[r]
(1)Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim
nα = α > ; lim
n = ; limq
n = |q| <
1
*Các phép toán giới hạn :
lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; limvnlimunvn = limunlimvn
*Các định lý giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn
Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn
Định lý 2: Cho dãy số (un),(vn) (wn)
Nếu ∀n ta có un # # wn vaø limun = limwn = A limvn = A
Định lý 3: Nếu limun = limun1 = ∞ Nếu limun = ∞ limun1 =
*Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = 1 – qu1 1.Dùng định nghĩa,tính giới hạn sau:
a) limn +12 b) lim2n +1n -1 c) lim n12 2.Tính giới hạn sau:
a) lim2n
2 + n – 3
n2 +1 b) lim
– n2 + n – 1
2n2 – 1 c) lim 3n – n2 – 2
d) lim 4n –
n + e) lim n 2n 1 n
3 − +
−
f)lim( n2 – 2n – n ) g) lim2sinn +3cosn
3n – 3.Tính giới hạn sau:
a) lim2n – 3n2 +1 b) lim( n + – n ) c) lim n( n + – n )
d) lim n – 1( n + – n ) e) limn n – 13n2 +2
f) lim 2n n 2 + n
3n2 +2n + 1 g) lim
1 n
1 n n n
n
3
+
+ +
+ +
h) lim 2n – – n
3n + i) lim( n
2 + n – n2 + )
j) lim n( n2 + – n2 – ) k) lim(3 n3 −2n2 −n
) l) lim 4n
2 + – 2n – 1
n2 + 4n + – n m) lim(1 + n
2 – n4 + 3n + )
n) lim n
2 + 3 1 – n6 n4 + – n2 4.Tính giới hạn a) lim
n – 5.3n
3n + 1 b) lim
2n + 2n +
2n + 4.3n c) lim
4.3n + 7n + 2.5n + 7n d) lim
n – 4n
3n + 4n e) lim
(– 2)n + 3n
(– 2)n + 1 + 3n + f) lim
n n n
) (
2 ) (
+ +
g) lim + a + a
2 + …+ an
1 + b + b2 + …+ bn với |a| < ; |b| <
4.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 = + un
a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng
b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 5.Cho dãy (un) xác định u1 = 12 ; un+1 = 2 – un1
a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng
b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 6.Tìm số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515 7.Tính lim(1 – 212 ).(1 – 312 ).(1 – 412 )…(1 – n12 )
8 Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1(1 – xn) # 14 Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
(2)a)Chứng minh rằng: |xn – | < (12 )n ∀n # b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định : u1 = 12 ; un +1= un 2 + 1
2 a) Chứng minh rằng: un < ∀n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = un +1= + un
a) Chứng minh un < ∀ n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun
Giới hạn hàm số *Các phép toán giới hạn hàm số
[ ]
x a x a x a
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
→ ± = → ± →
[ ]
x a x a x a
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
→ = → →
x a x a
x a
lim f (x) f (x)
lim
g(x) lim g(x)
→ →
→
=
x a x a
lim f (x) lim f (x)
→ = →
*Các định lý giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn
Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x) # f(x) # h(x) Nếu
x a x a
lim g(x) lim h(x) L
→ = → = lim f (x)x→a =L
Định lý 3: Nếu
x a x a
1 lim f (x) lim
f (x)
→ = → = ∞
Neáu
x a x a
1
lim f (x) lim
f (x)
→ = ∞ → =
Định lý 4:
x
s inx
lim
x
→ = x
x
lim
sinx
→ =
x
sin kx
lim
kx
→ = x
kx
lim
sin kx
→ =
*Các dạng vơ định: giới hạn có dạng 00 ; ∞∞ ; 0.∞ ;
∞ – ∞
1.Tính giới hạn sau: a)
2 x
2 x x lim
2
x −
− −
→ b) x 1
3 x x x
lim 2
2
x −
− + −
→
c)
4 x x
x x lim 2
2
x + +
+ −
→ d) x 3x 2
1 x x x lim 2
2
x − +
+ − − →
e)
9 x x
9 x x x
lim 4 2
2 3
x − −
+ + −
→ f) x 2x 3
1 x lim 3 2
4
x − +
− −
→
g)
1 x x
3 x x lim 2
2
1
x − −
− +
→ h)
x 4 x
2 x x lim
− + − − →
i)
1 x
x x x
lim 2
5
x −
+ −
→ k) x 1
1 x lim n
m
x −
−
→ m,n∈N
2.Tính giới hạn sau: a)
x
3 x lim
4
x −
− +
→ b) x
x x lim
0 x
− − +
→ c) x 49
3 x lim 2
7
x −
− −
→ d)
4 x
3 x lim 2
2
x −
− +
→ e) 4x 1 3
x x lim
2
x + −
− +
→ f) 1 5 x
x lim
4
x − −
+ −
→ g)
3 x
2 x x lim
1
x +
+ − + −
→ h) x 4x 3
4 x x
lim 3 2
1
x − +
− + + →
i)
1 x
x x lim
2
x −
−
→ j) x 3 2
1 x lim
1
x + −
−
→ k) 4x 1 3
x x lim
2
x + −
− + →
l)
3 x
3 x lim
1
x − +
− +
→ m) x 1
1 x x lim
2
1
x −
− + −
+
→ n) x 1
2 x x
lim 2
3
x −
− − →
o)
1 x
x x x lim
3
1
x −
− + + →
3.Tính giới hạn sau: a)
3
2
x 8 x 8 x
x lim
+ − −
→ b) x 1
2 x x lim
3
x +
+ + − →
c)
1 x
x lim
3
x→ + − d)
3
0
x x
1 x lim + −
→ e) x 5x 4
x x lim 2
3
x − +
− + →
f)
9 x
5 x 10 x
lim 2
3
x −
− + + −
→ g) x 2
2 x x 10 lim
3
x −
+ − −
(3)h) x x x lim 2 x − + − +
→ i)
3 x
8x 11 x
lim
x 3x
→
+ − +
− +
g)
3
4 x
(1 x )(1 x )(1 x )(1 x ) lim
(1 x)
→
− − − −
− h)
n
2 x
x nx n
lim
(x 1)
→
− + −
−
4.Tính giới hạn sau: a) x x sin lim x→ b) x sin x lim x→ c) x sin x sin lim x→ d) x x x cos lim − → e) x cos x cos lim x − −
→ f)x 0
x x cos x cos lim −
→ g) x 0
x x cos lim − → h) x sin x cos x sin lim x − π → i) x sin x cos x sin lim x − π → j) 1 x x sin x cos lim 4
x + −
− − → k) x cos x sin x cos x sin lim
x − −
− +
→ l) cosx)
1 x sin ( lim
x→ − m)limx 0(2 −x)tgx π → n) x sin x cos lim 2 x + −
→ o) x 0
x x cos x cos lim − → p) x tg x cos x sin lim 2 x − +
→ q) 1 tgx
x cos x sin lim x − − π → r) x x 1 x cos lim − − − →
4.Tính giới hạn sau: a)
x
1
lim
s inx sin 3x x
→
−
b) x 0
tgx s inx lim
x
→ −
c) 2
x cosx lim tg x → − d) x cosx lim x- /2 π → π e) x lim(1 cos2x)tgx π →
+ f)
x
1 tgx lim
1 cot gx
π → − − g) x
s inx - cosx lim
1 - tgx
π → h) x
tg x 3tgx lim
cos(x + )
π →
−
π i) xlim x.sin→∞ x π
j) 2
x
2 cosx
lim tg x → − + k) x
1 sin 2x sin 2x lim x → + − − l) x
lim(sin x sin x )
→∞ + − m) xlim(cos x+1 cos x )→∞ −
5.Tính giới hạn sau:
a) ) x x ( lim
x→ − − −
b) ) x x ( lim 2
x→− + + −
b) 2 2
x
1
lim
x 3x x 5x
→ + − + − + c) x x ) x x )( x ( lim 3 x + + − ∞
→ d) 2x 1
x x x lim x − − + ∞ →
e)lim( x2 x x)
x→∞ − + + f)xlim→−∞( 3−x− 5−x)
g)limx( x2 x)
x→∞ + − h) lim x( x x)
2
x→+∞ + −
i) lim( x2 2x x2 7x 3) x→+∞ − − − − + i)
2 x
x x 3x
lim
4x x
→∞ + + + + − + j) 2 x
9x x 4x 2x
lim
x
→∞
+ + − + +
+ h)
2 3 x
x 2x
lim
x x
→∞ + + − + j) x x x x x x lim 2
x + +
+ − + + + ∞
→ k) 1 14x 16x x 1
x lim
2
x→∞ + + + +
6.Tính giới hạn hàm số sau a) x x x lim x + − ∞
→ b)lim( x x x 1)
2
x→∞ − − +
c) x sin x lim x→ d) x x x cos x sin lim 2
x − +
+ ∞ → e) x x x cos lim 3 x − + +∞
→ f)
2 x
lim( x x x
→∞ + − )
g)
x
lim(2x 4x 4x 3)
→∞ − − − − h) xlim→+∞ x x x x
+ + −
i) 3 x
lim(x 3x x )
→∞ + − j) ( )
3
2
x
lim x x
→∞ + − −
7.Tìm số a,b để a)lim( x2 x ax b)
x→+∞ + + − − =
b) ax b) x x ( lim
x + − −
+
∞
→ =
Tính giới hạn sau:
a) ( 2 )
xlim x→+∞ x +2x−2 x + +x x b) ( )
3 2
xlim→+∞ x +3x − x −2x
Hàm số liên tục Định nghóa:
*Hàm số f(x) liên tục taïi xo ⇔
o
o xlim f (x)→x =f (x )
(4)xo ∈ (a;b)
*Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b]
vaø
x a x b
lim f (x)+ f (a) lim f (x)− f (b)
→ = → =
Các định lyù:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn số c ∈ (a;b) cho f(c) =
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b)
1.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – b)f(x) = 3x –
x2 + 3x b)f(x) = x + x2 + 4 2.Xét liên tục hàm số sau:
a) f(x) =
≥ −
< +
−
1 x 2x
1 x x x2
taïi xo =
b) f(x) =
= ≠ −
− − −
2 x 11
2 x x x
6 x x
2
taïi xo =
c) f(x) =
sin x
khi x x
khi x
π
≠
−
−π =
taïi xo =
d) f(x) =
2
x 3x
khi x
x
x
khi x
− + ≥
−
− <
taïi xo =
e) f(x) =
2
4 x
khi x
x
1 2x khix
− <
−
− >
taïi xo =
f) f(x) =
3
3
x x
2 x 1
khi x x
+ ≤
+ −
≥
+ −
taïi xo =
g) f(x) =
3
1 cosx
khi x sin x
1
khi x
− ≠
=
taïi xo =
h) f(x) =
1 2x
khi x 2 x
1 x
− −
≠
−
=
xo = 3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0 a) f(x) =
≥ +
< −
+
1 x a 2x
1 x x x
taïi x0 =
b) f(x) =
= ≠ −
− +
1 x a
1 x x
3 x x
2
taïi x0 =
c) f(x) =
1 cos4x
khi x x.sin 2x
x a
khi x x
− <
+
≥
+
taïi xo =
d) f(x) =
1 x x
khi x x
4 x
a x
x
− − +
<
−
+ ≥
+
taïi xo =
4.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) =
− ≥ −
− < −
−
2 x x
2 x x x2
b) f(x) =
> −
≤ ≤ +
+
< −
− +
5 x 3x
5 x
x 2x
2 x x
10 x x
2
(5)5.Tìm a để hàm số sau liên tục R a) f(x) =
3
3x 2
khi x
x
1
ax + x
4
+ −
>
−
≤
b) f(x) =
sin(x ) khi x cos x
a x
3
π
−
≠ π
−
π
=
5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục R
a) f(x) =
π >
π ≤ ≤ π − +
π − < −
x x cos
2 x b asinx
2 x x sin
b) f(x) =
> −
≤ ≤ +
<
3 x x
3 x b ax
1 x x2
6 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – =
c) x3 + x2 + x + 2/3 = d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + = f) cosx – x + = Chứng minh phương trình
a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Cho số a,b,c khác Chứng minh phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
Có nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c =
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0;13 ]
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh ba số f(0), f(1) ,f(1/2) dấu
c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1)
10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : a m + +
b m + +
c m = a)Chứng minh af(m + 1m ) < với a ≠
b)Cho a > , c < ,chứng minh f(1) >
c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1)
11*.Cho hàm số f(x ) liên tục đoạn [a;b] thoả f(x) ∈ [a;b] ∀ x ∈ [a;b]
Chứng minh phương trình: f(x) = x có nghiệm x ∈ [a;b] 12 Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm:
a) cosx + m.cos2x =
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + =
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – =
13.Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] α , β hai số dương Chứng minh rằng: phương trình f(x) = αf(a) + bf(α β)
+ β có nghiệm [a;b]
14.Cho phương trình x4 – x – = Chứng minh rằng: phương trình