Toan 11 c8 b3 1 hai mat phang vuong goc tuluan de

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 3: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC LÝ THUYẾT I = = GĨC = GIỮA HAI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai I mặt phẳng a             ,     a, b b          HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Hai mặt phẳng vng góc: Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90 P  Q   P , Q 90     Chú ý:        / /        ,     0o ;           ,     0o Cách xác định góc khác: Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với giao tuyến điểm” Page 34 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bước Tìm giao tuyến d (P) (Q) Bước Chọn điểm O d, từ đó: +) Trong (P) dựng Ox  d +) Trong (Q) dựng Oy  d Khi đó:    ,     Ox, Oy  Lưu ý: Việc xác định điểm O thực theo cách sau: Chọn điểm M (Q) cho dễ dàng xác định hình chiếu H (P) Dựng MO  d     ,     MOH Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc Định lý 1: Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a   P    P   Q  a  Q    TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Định lý 2: Với hai mặt phẳng vng góc với nhau, đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng  P    Q   a   P   a   Q  b  P    Q  a  b  Nhận xét: Cho hai mặt phẳng phẳng  P  P  P  Q vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng  Q đường thẳng nằm A P   P    Q   a   P   A a   Q Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ Page 35 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  P    R       R   Q    R    P    Q   HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG a) Hình lăng trụ đứng Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với hai mặt đáy - Các mặt bên hình chữ nhật - Các mặt bên vng góc với hai đáy b) Hình lăng trụ Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác c) Hình hộp đứng Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành d) Hình hộp chữ nhật Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Tất mặt hình chữ nhật 2 Đường chéo d  a  b  c với a, b, c kích thước e) Hình lập phương Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh Page 36 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Hình chóp Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên +) Các cạnh bên hình chóp tạo với đáy góc +) Các mặt bên hình chóp tam giác cân Page 37 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN +) Các mặt bên hình chóp tạo với đáy góc Hình chóp cụt Định nghĩa Page 38 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬ P TỰ LUẬN = = = XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG CÁCH DÙNG ĐỊNH NGHĨA DẠNG I PHƯƠNG PHÁP = = = Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng I a             ,     a, b b       Chú ý:       / /        ,     0o ;           ,     0o = = Câu= 1: I Câu 2: BÀI TẬP Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA a, góc hai mặt phẳng (SAD) (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Cơsin góc hợp hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Page 39 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG XÁC ĐỊNH GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG DỰA TRÊN GIAO TUYẾN = = = I PHƯƠNG PHÁP Dùng cho hai mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với giao tuyến điểm” Bước Tìm giao tuyến d (P) (Q) Bước Chọn điểm O d, từ đó: +) Trong (P) dựng Ox  d +) Trong (Q) dựng Oy  d  ,   Ox, Oy        Khi đó: Lưu ý: Việc xác định điểm O thực theo cách sau: Chọn điểm M (Q) cho dễ dàng xác định hình chiếu H (P) Dựng MO  d     ,     MOH = = Câu= 3: I Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD) Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a Đường thẳng SO vuông BÀI TẬP góc với mặt phẳng đáy (ABCD) SO  a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) B, SA   ABC  , SA  3cm, AB 1cm Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng bên (SBC) hợp với mặt đáy góc Mặt Câu 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông, BA BC a, cạnh bên AA a Gọi  góc hợp hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) Khi đó, tính tan  Page 40 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân SA   ABC  , AB BC a Câu 8: B, SA a Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có độ dài đường chéo a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi  góc hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) Biết tan   , tính góc (SAC) (SBC) Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAB tam giác (SAB) vuông góc với (ABCD) Gọi  góc tạo (SAC) (SCD) Giá trị cos DẠNG XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG BẰNG CÁCH DÙNG ĐINH LÝ HÌNH CHIẾU = = = I PHƯƠNG PHÁP Dùng định lý diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác H (P) S' diện tích hình chiếu H (P')  góc (P) (P') S  S cos  hay cos   S S BÀI TẬP = = Câu= 10: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng AA', BB', CC' thỏa mãn diện tích tam giác MNP a2 Tính góc hai mặt phẳng I (MNP) (ABCD) HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN TỔNG HỢP VỀ GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Câu 11: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , BC a , cạnh SA vng góc  SBM  với đáy, SA a Gọi M trung điểm AC Tính cơsin góc hai mặt phẳng  SAB  Câu 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OB OC a 6, OA a Tính góc hai mặt phẳng ( ABC ) (OBC ) SA   ABCD  Câu 13: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , Tính cosin góc mặt ( SBD) ( ABCD ) Câu 14: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OB OC a 6, OA a Tính góc hai mặt phẳng ( ABC ) (OBC ) Page 41 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN SA   ABCD  Câu 15: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , Tính cosin góc mặt ( SBD) ( ABCD ) Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB 2 AA 2 Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC  BC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  ABC   MNP  bằng: a SA  ABCD   SA , đáy ABCD Câu 17: Cho hình chóp S ABCD có vng góc với mặt phẳng , hình thang vng A D có AB 2 AD 2 DC a (Hình vẽ minh họa) Góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  S B A C D Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a (hình bên) Gọi H , K hình chiếu vng góc A  AHK   ABCD  SB, SD Số đo góc tạo mặt phẳng S K H D A B C Page 42 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , biết AD 2a , AB BC a , cạnh SA vng góc với đáy góc hai mặt phẳng SA  a Gọi E trung điểm AD , tính  SBE   ABCD  Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  AD a, AA ' b Gọi M trung điểm a CC ' Tỉ số b để hai mặt phẳng  A ' BD   MBD  vng góc với Câu 21: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Tính số đo góc hai mặt phẳng  BA ' C   DA ' C  Câu 22: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên 2a , cạnh đáy a Gọi  góc hai mặt bên hình chóp Hãy tính cos   Câu 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh AB a, góc BAD 60 , SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , SA x Tìm x để góc  SBC   SCD  900 Câu 24: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , góc ABC 60 , tam giác SBC cạnh a , hình chiếu vng góc S lên  ABC  trung điểm H cạnh BC Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   ABC  Khi Câu 25: Cho hình chóp S ABC có cạnh đáy a chiều cao a Gọi  góc mặt bên đáy hình chóp Tính tan  SA   ABCD  SA  x Câu 26: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , Xác  SBC   SDC  tạo với góc 60 định x để hai mặt phẳng a Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều, có cạnh đáy a chiều cao Số đo góc mặt bên mặt đáy Vậy góc mặt bên mặt đáy 60 Câu 28: Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính cosin góc hai mặt phẳng  CBD  ABCD  Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA a Cho biết AB 2 AD 2 DC 2a Tính góc hai mặt phẳng  SBA  SBC  Page 43 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 30: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, BC  a ACD vuông cân C Cạnh bên SA vng góc với đáy SA a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SD AHI  ABCD  I trung điểm SC Tính tan góc hai mặt phẳng   Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , cạnh bên SA a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm SB SD Sin góc hai mặt phẳng  AMN   SBD  Câu 32: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết BC SB a, SO  a Tìm số đo góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  Câu 33: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy 2a , cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB SB a , SO  a Tìm số đo góc hai mặt phẳng  SAB   SAD  Câu 35: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB SA a , SO  a Tìm số đo góc hai mặt phẳng  SAB   SAD  Câu 36: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân B , cạnh bên SA vng góc với mặt  SAC   SBC  phẳng đáy, AB BC a SA a Góc hai mặt phẳng Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân, với AB  AC a góc  BAC 120 , cạnh bên AA a Gọi I trung điểm CC  Cosin góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABI  Câu 38: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi Biết AC 2, AA '  Tính góc hai mặt phẳng  AB ' D '  CB ' D ' Câu 39: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy 2a , cạnh bên a Tính góc hai mặt phẳng  ABC   ABC  Page 44 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN DẠNG 4: CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC = = = I PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với đáy Gọi H, K    vng góc với ta dùng hình chiếu A SB, SD Chứng minh cách sau:  SAC    AHK  Cách Xác định góc hai mặt Lời giải 90 phẳng, tính trực tiếp góc   ,    900         Cách Chứng minh mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh hai mặt phẳng     a             a      SA  CD  SA   ABCD    CD  AD  AD  SA  A   Ta có  CD   SAD   CD  AK Suy AK   SCD   AK  SC Mà AK  SD nên Tương tự ta chứng minh AH  SC SC   AHK  Do SC   SAC   SAC    AHK  Mà nên BÀI TẬP = = Câu= 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SAC tam giác nằm I  ABC   SBC    SAC  mặt phẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh Câu 41: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA a , cạnh lại b Chứng minh  SAC    ABCD   SAC    SBD  Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD a 2, SA a SA   ABCD  Gọi M trung điểm AD Chứng minh  SAC    SMB  Page 45 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 43: Cho hình chóp S.ABC, có đọ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính diện tích tam giác AMN biết  AMN    SBC  Câu 44: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  AD a, AA b Gọi M trung điểm a CC  Xác định tỉ số b để hai mặt phẳng  ABD   MBD  vng góc với Câu 45: Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng A qua BC Trên đường thẳng d   ABCD  A lấy điểm S cho SD  a Chứng minh  SAB    SAC  DẠNG 5: DÙNG MỐI QUAN HỆ VNG GĨC GIẢI BÀI TOÁN THIẾT DIỆN = = = I PHƯƠNG PHÁP  P  qua điểm vng Mặt phẳng góc với đường thẳng a cắt hình chóp theo thiết diện  P  có tính chất gì? +) Xác định mặt phẳng  P Tìm đường thẳng song song với  P  +) Tìm đoạn giao tuyến mặt hình chóp: Sử dụng tính chất giao tuyến song song sau a   Q    P    Q  m // a  a //  P  + Kết luận hình dạng thiết diện tính yêu cầu liên quan  Thiết diện hình gì?  Dựa vào cơng thức tính diện tích để tính diện tích thiết diện  Áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhỏ diện tích thiết diện Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB a, SA  a Gọi I trung điểm  P  qua A cạnh BC, mặt phẳng vng góc với SI cắt hình chóp cho theo thiết diện Tính diện tích thiết diện Lời giải AH   P  Kẻ AH  SI Suy Ta có AI  BC , SI  BC  BC  AH Mà  P   SI  P  // BC nên  P    SBC  d // BC  H  d Lại có Gọi E, F giao điểm d SB, SC Suy thiết diện cần tìm AEF Page 46 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có SI  SA SB SC  a a , AI  , 2 3a a a   4 5a a 10  AH  EF SH a   EF  Ta có BC SI S SAI   S AEF 1 a 10 a a 10  AH FE   2 16 BÀI TẬP = = Câu= 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A, D; AB 2a; SA  AD DC a; I SA   ABCD     qua SD      SAC  Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng Câu 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  P  qua A vng góc với SC Tính diện tích thiết diện cắt đáy SA 2a Mặt phẳng  P hình chóp S.ABCD   Câu 48: Cho lăng trụ tứ giác ABCD ABC D , cạnh đáy lăng trụ a Một mặt phẳng  ABCD  hợp với mặt phẳng đáy Tính diện tích thiết diện góc 45 cắt cạnh bên lăng trụ M, N, P, Q Câu 49: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi H trung điểm BC, O trung điểm AH G trọng tâm tam giác ABC Biết SO vng góc mặt phẳng  ABC   P  qua G SO 2a Tính diện tích thiết diện với hình chóp S.ABC cắt mặt phẳng vng góc với AH Câu 50: Cho hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực đoạn thẳng BD Tính diện tích thiết diện Câu 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA b vng góc với  ABCD  Gọi M điểm cạnh AB sau cho AM x   x  a  Gọi    mặt phẳng đáy mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng AC a) Xác định thiết diện hình chóp cho với mặt phẳng   b) Tính diện tích S thiết diện theo a, b, x Page 47 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN c) Tìm x để diện tích thiết diện lớn Page 48 Sưu tầm biên soạn