Bài 4 Hai mặt phẳng vuông góc A Các câu hỏi hoạt dộng trong bài Hoạt động 1 trang 109 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d Chứng minh[.]
Bài 4: Hai mặt phẳng vng góc A Các câu hỏi hoạt dộng Hoạt động trang 109 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với cắt theo giao tuyến d Chứng minh có đường thẳng Δ nằm (α) Δ vng góc với d Δ vng góc với (β) Lời giải: Δ nằm (α) Δ vng góc với d d = A Từ A, vẽ đường thẳng a thuộc (β) a ⊥ d Vì ( ) ⊥ ( ) nên góc Δ a 90o hay ⊥ a ⊥ (d,a) hay ⊥ ( ) Hoạt động trang 109 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đơi vng góc với Chứng minh mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) đơi vng góc với Lời giải: AB ⊥ AC , AB ⊥ AD nên AB ⊥ ( ACD ) (theo định lí trang 99) AB ⊥ (ACD) (ABC) ⊥ (ACD) (theo định lí trang 108) AB (A B C ) AB ⊥ (ACD) (ABD) ⊥ (ACD) AB (ABD) AD ⊥ AC AD ⊥ (ABC) Ta có: AD ⊥ AB AD ⊥ (ABC) (ABD) ⊥ (ABC) AD (A B D ) Hoạt động trang 109 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình vng ABCD Dựng đoạn AS vng góc với mặt phẳng chứa hình vng ABCD a) Hãy nêu tên mặt phẳng chứa đường thẳng SB, SC, SD vng góc với mặt phẳng (ABCD) b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SBD) Lời giải: a) SA ⊥ ( ABCD ) , SA ( SAB ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) SA ⊥ ( ABCD ) , SA (SAD ) ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) SA ⊥ ( ABCD ) , SA ( SAC ) ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) b) ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ BD Ta có: BD ⊥ AC BD ⊥ (SAC) BD ⊥ SA Mà BD ( SBD ) nên ( SAC ) ⊥ ( SBD ) Hoạt động trang 111 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho biết mệnh đề sau ? a) Hình hộp hình lăng trụ đứng b) Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng c) Hình lăng trụ hình hộp d) Có hình lăng trụ khơng phải hình hộp Lời giải: Hình hộp hình lăng trụ tứ giác có đáy hình bình hành Từ ta thấy, a sai cạnh bên hình hộp chưa vng góc với đáy b c sai đáy lăng trụ khơng phải hình bình hành khơng phải hình hộp d hình lăng trụ tam giác, tứ giác thường, không hình hộp Hoạt động trang 111 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Sáu mặt hình hộp chữ nhật có phải hình chữ nhật khơng ? Lời giải: Sáu mặt hình hộp chữ nhật hình chữ nhật Hoạt động trang 112 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Chứng minh hình chóp có mặt bên tam giác cân Lời giải: Xét hình chóp S.A1A2 An có H chân đường cao hạ từ S xuống (A1A2 An) Khi HA1 = HA2 = = HAn SH ⊥ ( A1A A n ) SH ⊥ SA1, SH ⊥ SAn Xét tam giác vuông SHAm−1 SHAm ( m n ) có: SH chung HAm−1 = HAm (giả thiết) SHAm−1 = SHAm (hai cạnh góc vng) SAm−1 = Sm (hai cạnh tương ứng) Vậy SAm−1 = Sm hay SA1 = SA2 = = SAn nên mặt bên tam giác cân Hoạt động trang 112 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Có tồn hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) (SCD) vng góc với mặt phẳng đáy hay không ? Lời giải: Xét trường hợp AB CD cắt điểm H Ta lấy S đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) kẻ từ H rõ ràng (SAB) ⊥ ( ABCD ) (SCD ) ⊥ ( ABCD ) S D H C A B Vậy có tồn hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) (SCD) vng góc với mặt phẳng đáy B Bài tập Bài tập trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ) mệnh đề sau đúng? a) Nếu ( ) ⊥ ( ) (α)//(γ) ( ) ⊥ ( ) ; b) Nếu ( ) ⊥ ( ) ( ) ⊥ ( ) (β) // (γ) Lời giải: βγ α a) Đúng Thật vậy, ( ) ⊥ ( ) Suy tồn đường thẳng d ( ) d ⊥ ( ) Mà (α) // (γ) d ⊥ ( ) ( ) ⊥ ( ) b) Sai xảy trường hợp hai mặt phẳng (β) (γ) cắt Bài tập trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Người ta lấy giao tuyến Δ hai mặt phẳng hai điểm A B cho AB = 8cm Gọi C điểm (α) D điểm (β) cho AC BD vng góc với giao tuyến Δ AC= 6cm, BD = 24cm Tính độ dài đoạn CD Lời giải: () ⊥ () AC ⊥ AC ⊥ () AC () Do AC ⊥ AD hay tam giác ACD vng A Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACD ta được: DC2 = AC2 + AD2 (1) Vì BD ⊥ AB ABD vng B Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABD ta được: AD2 = AB2 + BD2 (2) Từ (1) (2) suy ra: DC2 = AC2 + AB2 + BD2 = 62 + 82 + 242 = 676 DC = 676 = 26 cm Bài tập trang 113 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông B Một đoạn thẳng AD vng góc với (α) A Chứng minh rằng: a) ABD góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC); b) Mặt phẳng (ABD) vng góc với mặt phẳng (BCD); c) HK // BC với H K giao điểm DB DC với mặt phẳng (P) qua A vng góc với DB Lời giải: a) Tam giác ABC vuông B nên AB ⊥ BC (1) AD vng góc với (α) nên AD ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ (ABD) suy BC ⊥ BD (ABC) (DBC) = BC BD ⊥ BC AB ⊥ BC góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) góc hai đường thẳng BD BA Mà DA ⊥ (ABC) DA ⊥ AB ABD 90 Vậy ABD góc hai mặt phẳng (ABC) (DBC) b) BC ⊥ (ABD) (ABD) ⊥ (BCD) BC (BCD) c) Do (P) qua A, H, K nên mặt phẳng (P) (AHK) qua A vng góc với DB nên HK ⊥ BD Trong (BCD) có: HK ⊥ BD BC ⊥ BD nên suy HK // BC Bài tập trang 114 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt điểm M không thuộc (α) không thuộc (β) Chứng minh qua điểm M có mặt phẳng (P) vng góc với (α) (β) Nếu (α) // (β) kết thay đổi nào? Lời giải: Gọi a = ( ) ( ) Mặt phẳng (P) mặt phẳng qua M vng góc với a Vì qua điểm nằm ngồi đường thẳng có mặt phẳng vng góc với đường thẳng nên (P) Ta chứng minh (P) vng góc với (α) (β) Thật vậy, ta có: a ( ) ; a ⊥ ( P ) ( ) ⊥ ( P ) Tương tự ta có ( ) ⊥ ( P ) Ngược lại có mặt phẳng (P) qua M vng góc với (α), (β) suy ( P ) ⊥ a Do (P) Vậy ta điều phải chứng minh Nếu (α) // (β), ta gọi d đường thẳng qua M vng góc với (α) Khi ta có d ⊥ ( ) mặt phẳng (P) chứa d vng góc với (α), (β) Vậy (α) // (β) có vơ số mặt phẳng (P) qua M vng góc với (α) (β) Bài tập trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (AB’C’D) vng góc với mặt phẳng (BCD’A’); b) Đường thẳng AC’ vng góc với mặt phẳng (A’BD) Lời giải: B C O A D C' B' A' D' BC ⊥ AB BC ⊥ ( ABB'A') a) BC ⊥ BB' BC ⊥ AB' ABB’A’ hình vng nên AB' ⊥ A'B AB' ⊥ BC AB' ⊥ BA ' AB ' ⊥ ( BCD' A ') Ta có: BC BA ' = B BC,BA ' ( BCD ' A ') Mà AB' ( AB'C'D ) ( AB ' C ' D ) ⊥ ( BCD ' A ') b) AA' ⊥ (ABCD) AA' ⊥ BD Mà BD ⊥ AC BD ⊥ ( ACC'A ' ) AC' ( ACC'A' ) nên suy BD ⊥ AC ' (1) AB ⊥ ( ADD'A ') AB ⊥ A'D Mà AD' ⊥ A'D A'D ⊥ ( ABC'D' ) Ta có AC ' ( ABC'D ') A 'D ⊥ AC ' (2) Từ (1) (2) suy ra: AC' ⊥ ( A 'BD ) Bài tập trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a Chứng minh rằng: a) Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng (SBD); b) Tam giác SBD tam giác vuông Lời giải: a) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Theo tính chất hình thoi O trung điểm AC, BD Xét tam giác cân SAC cân S có SO vừa đường trung tuyến đồng thời đường cao SO ⊥ AC (1) Mặt khác ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD (2) Từ (1) (2) suy AC ⊥ (SBD) AC (ABCD) (ABCD) ⊥ (SBD) b) Xét hai tam giác SAC BAC có: SA = SB = BC = BA = a AC chung SAC = BAC (cạnh – cạnh – cạnh) Do đường trung tuyến ứng với đỉnh tương ứng hai tam giác nhau: SO = BO O trung điểm BD nên OB = OD SO = BO = BD Tam giác SBD có trung tuyến SO = BD nên vng S Vậy tam giác SBD tam giác vuông S Bài tập trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c a) Chứng minh mặt phẳng (ADC’B’) vng góc với mặt phẳng (ABB’A’) b) Tính độ dài đường chéo AC’ theo a, b, c Lời giải: a) Vì ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật ta có: AD ⊥ AB AD ⊥ ( ABB ' A ') AD ⊥ AA' Mà AD ( ADC'B') Nên ( ADC'B') ⊥ ( ABB'A ') b) Xét tam giác ABC vuông B, ta có: AB2 + BC2 = AC2 Suy AC2 = a2 + b2 Xét tam giác ACC’ vuông C ta có: AC’2 = AC2 +CC’2 Suy AC’2 = a2 + b2 + c2 AC = a + b + c Bài tập trang 114 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Tính độ dài đường chéo hình lập phương cạnh a Lời giải: Hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo là: AC' = a + b + c Hình lập phương hình hộp chữ nhật có a = b = c nên ta có đường chéo AC' = a + a + a = 3a = a Bài tập trang 114 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SH đường cao Chứng minh SA ⊥ BC SB ⊥ AC Lời giải: Hình chóp tam giác nên ta có H tâm tam giác ABC SH ⊥ (ABC) SH ⊥ BC Và AH ⊥ BC (vì H trực tâm) Suy BC ⊥ (SAH) SA (SAH) BC ⊥ SA Chứng minh tương tự, ta có: SH ⊥ (ABC) SH ⊥ AC Mà H trực tâm tam giác ABC BH ⊥ AC AC ⊥ (SBH); SB (SBH) AC ⊥ SB Cách khác: Sử dụng định lí ba đường vng góc Ta có: AH ⊥ BC Mà AH hình chiếu SA (ABC) BC ⊥ SA ( định lí ba đường vng góc) Lại có : AC ⊥ BH BH hình chiếu SB (ABC) AC ⊥ SB ( định lí ba đường vng góc) Bài tập 10 trang 114 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a Gọi O tâm hình vng ABCD a) Tính độ dài đoạn SO b) Gọi M trung điểm đoạn SC Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) (SAC) vng góc với c) Tính độ dài đoạn OM tính góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) Lời giải: a) Hình chóp tứ giác nên SO ⊥ (ABCD) Do SO ⊥ AC a Tam giác ABD vuông A nên BD = AB2 + AD = a AO = BD = 2 Xét tam giác SOA vuông O: a 2 b) SO ⊥ (ABCD) SO ⊥ BD SO = SA − AO2 = Lại có ABCD hình vng nên BD ⊥ AC Do BD ⊥ (SAC) Mà BD (MBD) (MBD) ⊥ (SAC) c) Trong tam giác SAC có: SM = MC OA = OC Suy OM đường trung bình tam giác SAC SC a OM = = 2 SDC = SBC (cạnh-cạnh-cạnh) Suy DM = BM Suy tam giác BDM cân M OM vừa trung tuyến đồng thời đường cao nên OM ⊥ BD (MBD) (ABCD) = BD OM ⊥ BD OC ⊥ BD Suy góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) MOC SC a = hay OM = MC Ta có OM = 2 Tam giác OMC vuông cân M nên MOC = 45 Vậy góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) 45o Bài tập 11 trang 114 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a góc A 60o, cạnh SC = a SC vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK vng góc với SA K Hãy tính độ dài IK c) Chứng minh BKD = 90 từ suy mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (SAD) Lời giải: a) SC ⊥ (ABCD) SC ⊥ BD ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD (2) Từ (1) (2) suy BD ⊥ (SAC) Mà BD (SBD) (SBD) ⊥ (SAC) b) Xét tam giác ABD có AB = AB góc A= 60o nên tam giác a AC = 2AI = a SC ⊥ (ABCD) SC ⊥ CA nên tam giác SAC vng C Do AI = Xét tam giác vng SAC có: 6a 3a SA = AC + SC = 3a + = 2 2 Xét SCA IKA có: A chung SCA ~ IKA (góc - góc) SCA = IKA = 90 IK AI = SC AS AI.SC a IK = = AS c) Dễ thấy ABD nên BD = a IK = BD nên BKD vuông K Vậy BKD = 90 Ta có: BD ⊥ (SAC) (chứng minh trên) BD ⊥ SA BD ⊥ SA SA ⊥ BK SA ⊥ (BKD) SA ⊥ DK IK ⊥ SA Ta có: (SAB) (SAD) = SA (SAB) BK ⊥ SA (SAD) DK ⊥ SA Suy góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) góc hai đường thẳng BK DK góc BKD = 90 Vậy ( SAB ) ⊥ ( SAD ) (điều phải chứng minh) ... Suy góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) MOC SC a = hay OM = MC Ta có OM = 2 Tam giác OMC vuông cân M nên MOC = 45 Vậy góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) 45 o Bài tập 11 trang 1 14 SGK Toán lớp 11 Hình... b) Sai xảy trường hợp hai mặt phẳng (β) (γ) cắt Bài tập trang 113 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Người ta lấy giao tuyến Δ hai mặt phẳng hai điểm A B cho AB =... qua A, H, K nên mặt phẳng (P) (AHK) qua A vuông góc với DB nên HK ⊥ BD Trong (BCD) có: HK ⊥ BD BC ⊥ BD nên suy HK // BC Bài tập trang 1 14 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hai mặt phẳng (α), (β)