Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc

Câu [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Khẳng định sau khẳng định sai ? A Trong khơng gian đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng đường thẳng vng góc với mặt phẳng B Trong khơng gian hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba C Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng hai đường thẳng song song với D Trong không gian hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song với Tác giả: Đỗ Thị Bích Hường Lời giải Các câu A,B,C lý thuyết ( Định lý, hệ ) Câu D sai hai đường thẳng cắt chéo Bài tập tương tự Câu Khẳng định sau khẳng định ? A Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với B Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với C Trong khơng gian đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại D Trong khơng gian đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại Câu Khẳng định sau khẳng định ? A Trong không gian hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song B Trong không gian hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song C Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng song song D Trong khơng gian hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song Ghi nhớ: Để làm câu hỏi lý thuyết quan hệ vuông góc khơng gian -Cần nắm định lý, hệ quan hệ vng góc hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng, hai mặt phẳng -Nắm mối liên hệ quan hệ vuông góc quan hệ song song khơng gian Câu [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho hình chóp S ABCD Gọi H trung điểm AC Tìm mệnh đề sai?  SAC    SBD  B SH   ABCD  C  SBD    ABCD  D CD   SAD  A Lời giải Tác giả: Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng Chọn D AC  BD � �� AC  ( SBD) � ( SAC )  ( SBD) AC  SH � Vì S ABCD hình chóp � SH  ( ABCD) SH  ( ABCD) � �� SH �( SBD) �  SBD    ABCD  CD   SAD  mệnh đề sai Bài tập tương tự : Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi O giao điểm AC BD Tìm mệnh đề sai? AC   SBD   SAC    ABCD  C SO   ABCD  D AB   SAD  A B Câu Cho hình chóp S ABC có O tâm đáy Tìm mệnh đề sai? SO   ABC  AB   SOC   SAB    SBC  A B C Câu D  SAO    ABC  [1H3-4.1-1] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Tìm mệnh đề ? A Hình chóp có tất cạnh B Hình lập phương có mặt hình vng C Hình hộp có đáy hình chữ nhật D Hình lăng trụ có đáy tam giác Lời giải Tác giả: Trần Quốc Đại ; Fb: Trần Quốc Đại Chọn B Vì theo định nghĩa hình lập phương hình hộp chữ nhật có măt hình vng Bài tập tương tự : Câu Chọn khẳng định Đúng ? A Tứ diện có tất mặt tam giác B Hình chóp có đáy hình vng hình chóp tứ giác C Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật D Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật Câu Cho mệnh đề sau: I Hình chóp tam giác có tất mặt tam giác II Hình chóp tứ giác có đáy hình vng mặt bên tam giác III Hình lăng trụ có tất mặt hình vng Hỏi có tất mệnh ? A B D C Câu 10 [1H3-4.2-2] (KIM-LIÊN 11 hk2 -2017-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình AB  BC  a  AD SA   ABCD  thang vuông A B ; , Biết góc hai mặt phẳng SCD ABCD     45�(tham khảo hình vẽ bên) Tính SA ? a A B 2a C a D a Lời giải Tác giả: Phan Minh Quốc Vinh ; Fb: Vinh Phan Chọn D � Gọi M trung điểm AD Khi đó, tứ giác ABCM hình vuông nên ACM  45� � Tam giác MCD vuông cân M nên MCD  45� � Suy ACD  90� SA   ABCD  CD � ABCD  CD  AC Ta có CD  SA (vì , ), nên suy CD  SC �  SCD  � ABCD   CD � �  45� � � SCD  ,  ABCD   � AC , SC  SCA �AC  CD �SC  CD Như vậy, �    Tam giác SAC vuông cân A nên SA  AC  AB  a  Câu 11 [1H3-4.2-3] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Cho hai tam giác ACD BCD nằm hai mặt phẳng vng góc với AC  AD  BC  BD  a , CD  x Tìm giá  ABC   ABD  vng góc trị x để hai mặt phẳng a a a a x x x x A B C D Lời giải Tác giả: Bình Yên; Fb: Bình Yên Chọn B Gọi I , J trung điểm AB , CD Vì J trung điểm CD AC  AD nên AJ  CD Do ( ACD)  ( BCD) � AJ  ( BCD) 2 Ta thấy AJD vuông J nên AJ  a  x Mặt khác AC  AD  BC  BD  a nên AJB vuông cân J 2 Suy ra: AB  AJ  2(a  x ) 1 AB  2(a  x ) 2 Do IA  IB , AJB vng J nên � Vì CI DI vng góc với AB nên ( ABC )  ( ABD) suy CID  90� 1 a IJ  CD � 2(a  x )  x � x  2 Ta có IJ  Câu 12 [1H3-4.2-3] (HK sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với 1)Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng BC  ABC  Tìm giá trị 2)Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng lớn biểu thức P  cos   cos   cos  Lời giải Tác giả: Ngô Văn Hiếu, Fb: Ngo hieu OA  OB � � OA  OC �� OA  (OBC ) � OA  BC OB �OC  O � � Ta có Bài tập tương tự Câu 13 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với a)Chứng minh OB  AC  ABC  Tìm giá trị b)Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng lớn biểu thức P  sin   sin   sin  ĐS: Câu 14 max P  � sin   sin   sin   3 Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi  ,  ,  góc tạo mặt bên (OBC ), (OCA), (OAB ) với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  tan   tan   tan   cot   cot   cot  ĐS: P  15 � cos   cos   cos   B C D Góc Câu 15 [1H3-4.3-1] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho hình lập phương ABCD A���� A� D  ADD�   ABC �� hai mặt phẳng A 30� B 60� C 45� D 90� Lời giải Chọn D AB   ADD� A� D    ADD� A�  , suy  ABC ��  Do đó, Ta có ADD� A� D    90�  ,  ABC ��  � B C D Góc Câu 16 [1H3-4.3-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Cho hình lập phương ABCD A���� hai mặt phẳng A 60� B CD   A�� B 45� D  ABC �� bằng? C 90� D 30� Lời giải Tác giả: Đinh Xuân Nhân ; Fb: Đinh Xuân Nhân Chọn C  A� D �AD� � AD�   A�� B CD  �  ABC �� D    A�� B CD  � � AD  CD � Ta có Vậy góc hai mặt phẳng lehoanpc@gmail.com B CD   A�� D  ABC �� 90� Câu 17 [1H3-4.3-2] (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Cho hình lập phương ABCDA ' B ' C ' D ' Góc hai mặt phẳng ( BCD ' A ') ( ABCD ) bằng: 0 0 A 45 B 30 C 90 D 60 Lời giải Tácgiả:Quỳnh Giao; Fb:QGiaoDo Chọn A Ta có ( BCD ' A ') �( ABCD) = BC ; BC ^ ( ABB ' A ') Vậy AB; A ' B ) = 450 ( BCD ' A ') ;( ABCD) ) = ( � (� Phát triển SA ^ ( ABC ) PT 10.1 Cho hình chóp S ABC có AB ^ BC , gọi I trung điểm BC Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) góc sau đây? � A SBA � B SCA � C SCB � D SIA Lời giải Tácgiả:Quỳnh Giao; Fb:QGiaoDo Chọn A ( SBC ) �( ABC ) = BC ; BC ^ BA; BC ^ SA nên BC ^ ( SAB ) � � SB; AB ) = SBA ( SBC ) ;( ABC ) ) = (� ( Vậy Câu 18 [1H3-4.3-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật cạnh AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SB  2a Góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy A 90� B 60� C 45� D 30� Lời giải Tác giả: Hà Khánh Huyền ; Fb: Hà Khánh Huyền Chọn B Vì SA  ( ABCD) nên SA  BC Mặt khác, theo giả thiết AB  BC Do BC  ( SAB) nên SB  BC � � Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD ) góc SBA AB a �  cos SBA   �  60� SB 2a � SBA Ta có Vậy góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 60� Câu 19 [1H3-4.3-2] (THTT số 3) Khẳng định sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B Hai mặt phẳng song song góc chúng 0� C Hai đường thẳng không gian cắt góc chúng lớn 0�và nhỏ 90� D Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Tuân; Fb: Nguyễn Minh Tn Chọn A B sai góc 0�thì chúng trùng C sai chúng khơng vng chéo D sai chúng cắt Câu 20 [1H3-4.3-2] (Sở Đà Nẵng 2019) Trong hình chóp tam giác có góc cạnh bên mặt đáy 60�, tang góc mặt bên mặt đáy 3 A B C D Lời giải Tác giả: Đinh Minh Thắng ; Fb: Win Đinh Chọn D Nhận xét: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên có độ dài Tâm đáy chân đường cao hình chóp cạnh bên tạo với mặt đáy góc nhau, mặt bên tạo với mặt đáy góc Cho hình chóp S ABC hình vẽ SO   ABC  Gọi O trọng tâm tam giác ABC , �  60� � � SB , ABC    � SB , OB   SBO (vì tam giác SBO vuông O ) Gọi I trung điểm BC , BC  AI SO   ABC  Mặt khác nên SO  BC BC   SOI  � SI  BC Do �  SBC  � ABC   BC � �SI � SBC  ,OI � ABC  �SI  BC ,OI  BC � Ta có �  � � SI ,OI   SIO  SBC  , ABC    � (vì tam giác SOI vng O ) Xét tam giác SOB vng O, ta có SO  OB.tan 60� OA Xét tam giác SOI vuông O, ta có tan   SO OA 2OI   2 OI OI OI Câu 21 [1H3-4.3-2] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hình chóp tứ giác có góc mặt bên mặt phẳng đáy 45 Gọi  góc cạnh bên mặt phẳng đáy Tính tan  A tan   B tan   C tan   D tan   Lời giải Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết Chọn C Giả sử S ABCD hình chóp tứ giác có cạnh đáy a � Điểm M trung điểm DC , {O}  AC �BD Khi SMO  45 Xét SMO có Xét DBC có �  tan SMO SO a � SO  OM tan 450  OM BD  DC  CB  a � DO  a 2 a SO a tan      DO a 2 a 2 tan   2 Xét SDO có Vậy Câu 22 [1H3-4.3-2] (CHUYÊN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hình chóp tứ giác có tất cạnh a Tính cosin góc mặt bên mặt đáy 1 A B C D Lời giải Tác giả: Pham Anh; Fb: Pham Anh Chọn A S A O B D  H C SO   ABCD  Xét hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , O  AC � BD , Gọi gọi H trung điểm CD Ta có  SCD  � ABCD   CD Tam giác SCD cạnh a � SH  CD SH  a OH  a ABCD hình vng tâm O � OH  CD  SCD  mặt phẳng  ABCD  góc hai đường thẳng SH Khi góc mặt bên � OH góc SHO Xét tam giác SOH vuông O , có �  cos SHO OH  SH Câu 23 [1H3-4.3-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  a 3, SA  ( ABCD) Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABCD) 0 0 A 45 B 30 C 60 D 90 Lời giải Tác giả: Tạ Tiến Thanh; Fb: Thanh Ta Chọn C uuu r CA  3;  3;0  uuu r uuuu r uuuu r � �  2 CA, CC � �   0; 0;   ; CC � Ta có � 3; 6;0  uuu r uuuu r uu r uu r � � � CA , CC �  ACC  Do n2 phương với � � Gọi n2 vectơ pháp tuyến mặt phẳng uu r n2  3;3;0 nên ta chọn ur uu r 4 n1.n2 cos   ur uu  r  n1 n2 5.2 Ta có   Cách 2: Vũ Thị Thúy Gọi K trung điểm AC �BK  AC � BK   ACC � A�  � BK  NC � � BK  AA � Suy Kẻ KH  NC  H �NC  , suy NC   BKH  �  MNP  � ACC �   NC � �  � �  MNP  ,  ACC �    KHB �BH  NC �KH  NC � Ta có: BK  3, KH  Khi đó: cos   21 21 � BH  7 KH  BH Câu 72 [1H3-4.3-4] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4) Cho tứ diện ABCD � � � có BC  , CD  , ABC  BCD  ADC  90�, góc hai đường thẳng AD BC 60� Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   ACD  43 A 43 43 B 86 43 C 43 43 D 43 Lời giải Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram Chọn A  BCD  ︿ Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng CD  AD, CD  AH � CD   AHD  � CD  HD Ta có: Tương tự: CB  AB, CB  AH � CB   AHB  � CB  HB � BCDH hình chữ nhật AD ; BC   � AD ; HD   � ADH  60� � Khi đó: BC // HD � Trong ADH vng H có AH  HD.tan 60� 3 ︿ Xét hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ: H  0;0;0  B  4; 0;  D  0;3;0  A , , , uuu r uuur BA  4; 0; 3 BC   0; 3;  ,     0; 0; 3  , C  4; 3; 0 uuu r uuur � � BA � , BC �  9 ; 0; 12   3  ur n1  3 ; 0;  � Mặt phẳng  ABC  ; 0;   có véctơ pháp tuyến uuur uuur uuur uuur � AD  0; 3; 3 DC   4; 0;  AD, DC � � � 0;12 ; 12  12 0; ; 1 ,  uu r n  0; ; 1 ACD   � Mặt phẳng có véctơ pháp tuyến         ABC  ACD  Gọi  góc hai mặt phẳng   ur uu r n1 n2 ur uu r 4 43 cos   cos n1 , n2  ur uu  r  43 43.2 n1 n2 Khi đó:   Câu 73 [1H3-4.3-4] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt �  30�  SAD  vng góc với mặt đáy  ABCD  Tam giác SAD vng S có SDA bên Gọi M , N , P trung điểm SA , SC SD  góc hai mặt phẳng  MCD   BNP  Tính cos  91 187 cos   cos   cos   91 187 A B C D cos   Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Bảo ; Fb: Nguyễn Thanh Bảo Chọn B Gọi Vì   �  MCD  ;  SCD   ;   �  BNP  ;  SCD   ;   �  MCD  ;  BNP    MCD  ,  BNP   SCD  giao theo giao tuyến song song với �       180� Chọn AD  2a SD �  cos SDA == � AD Ta có SAD vuông S nên: SA �  sin SDA == � AD SA 2a sin 30 Do M trung điểm SA SA a � SM  cos 30 SD 2a SD a a � +) Dễ thấy   SDM SDM vuông S � +) Dễ thấy tan   SM  SD NP // DC � NP   SAD  �   � AP; DP  P trung điểm SD SAP vuông S � SP  DP  a � AP  SA2  SP  a   3a a   SP 21 21 � cos � APS   � cos � APD  cos   � APS   cos � APS   AP 7 Có: tan    � tan     � tan    cos  3 (Vì   90�) tan   tan  3 � tan          tan  tan  1 3  � tan   tan            tan       Vì   90��   90�� cos   3 � cos   1 64    tan   27 91 64 91 91 HẾT Câu 74 [1H3-4.3-4] (THPT ĐƠ LƯƠNG LẦN 2) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết đường thẳng SC tạo với đáy góc 60� Tính tang góc hai mặt phẳng  SCD   ABCD  15 15 15 A 15 B C D 15 Lời giải Tác giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần Chọn B Gọi H , E trung điểm AB , CD �  SAB    ABCD  �  SAB  � ABCD   AB � SH   ABCD  � �SH  AB � �  60� SC ,  ABCD    � SC , HC   SCH �  HBC B Xét vuông HC  HB  BC  a Xét SHC vuông H SH  tan 60� HC  a 15 �  SCD  � ABCD   CD � � Trong  SCD  : SE  CD � � SE , HE   SEH  SCD  ,  ABCD    � � � Trong  ABCD  : HE  CD � Xét SHE vng H Ta có HE  2a �  tan SHE SH 15  HE Câu 75 [1H3-4.3-4] (HK sở bắc giang toán 11 năm 2017-2018) 2) Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị lớn biểu thức P  cos   cos   cos  Lời giải Tác giả:Lê Thị Thu Hằng ; Fb: Lê Hằng * Gọi H trực tâm tam giác ABC � BC  AH mà BC  OA (cmt ) � BC  (OHA) � BC  OH Chứng minh tương tự AC  OH � OH  ( ABC ) * OBC vng O có OM đường cao AOM vng O có OH đường cao � � � 1   2 OM OB OC 1   2 OH OM OA2 1 1    2 OH OA OB OC (1) * Vì OH  ( ABC ) � H hình chiếu O ( ABC ) �  � góc OA với ( ABC ) OAH � � Tương tự góc OB với ( ABC ) OBH   , góc OC với ( ABC ) OCH   Ta có sin   OH OH sin  � OA  �  OA sin  OA2 OH sin  sin   ;  OH OC OH thay vào (1) ta có: Tương tự OB sin   sin   sin   � cos   cos   cos   2 2 * Ta có: (cos   cos   cos  ) �3(cos   cos   cos  )  � cos   cos   cos  � Vậy giá trị lớn P Dấu xảy cos   cos   cos   Bài tập tương tự : Câu 76 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB), (OBC ), (OCA) với mặt phẳng ( ABC ) Tính giá trị biểu thức P  cos   cos   cos  Đáp số: P = Câu 77 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc mặt phẳng (OAB), (OBC ), (OCA) với mặt phẳng ( ABC ) Tìm giá trị lớn biểu thức P  sin   sin   sin  Đáp số: Giá trị lớn P  Ghi nhớ:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H trực tâm tam OH  ( ABC ) � � �� 1 1    � 2 OA OB OC �OH giác ABC ngược lại cho giả thiết OH  ( ABC ) � H trực tâm B C D Góc hai Câu 78 [1H3-4.4-2] (Đặng Thành Nam Đề 1) Cho hình lập phương ABCD A���� B CD  D  A��  ABC �� mặt phẳng 30� 60� A B C 45� D 90� Lời giải Tác giả: Bùi Thị Kim Oanh; Fb: Bùi Thị Kim Oanh Chọn D �AB  AA� � AB   ADD� A� D  � AB  A� � ( 1) AB  AD � Ta có: +  A� D ( 2) + AD� D   ABC �� D ( 1) ( 2) suy A� Từ � D   ABC �� D �A� � A� D � A�� B CD  �  A�� B CD    ABC �� D +� B CD  D  A��  ABC �� Vậy góc hai mặt phẳng 90� Câu 79 [1H3-4.4-2] (Lê Q Đơn Điện Biên Lần 3) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  2a vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tính tang góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B C D Lời giải Tác giả: Giáp Minh Đức; Fb: Giáp Minh Đức Chọn D Cách 1: A �O ( 0;0; 0) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (như hình vẽ) với D ( a ; 0;0) B ( 0; a ;0) C ( a ; a ; 0) Do SA = 2a ABCD hình vng cạnh a nên ta có , , � � a M� ;0; a� � � � � S ( 0;0; 2a) � � Vì M trung điểm SC suy uur uur � SB , SC � = ( 0; - 2a ; - a ) ( SBC ) có vectơ pháp tuyến � � � � Ta có Khi mặt phẳng ur n1 = ( 0; 2;1) uuur uuu r � 2 a2 � � � � AM , AC =� - a ;a ; � � � � � � � �� 2� ( MAC ) có vectơ pháp tuyến � Tương tự Khi mặt phẳng uu r n2 = ( - 2; 2;1) ( SBC ) ( MAC ) Gọi a góc hai mặt phẳng ur uu r n1.n2 ur uu r cos a = cos n1 , n2 = ur uu r = tan a = - 1= n1 n2 cos a Ta có Suy ( Vậy tan a = ) Cách 2: Gọi E điểm đối xứng A qua M Khi tứ giác SADE hình bình hành � SE / / AD � � � Ta có �SE = AD mà hình bình hành Dễ thấy Kẻ � BC / / AD � � � �BC = AD , suy � SE / / BC � � � �SE = BC Do E �( SBC ) tứ giác SBCE ( SBC ) �( AMC ) = CE AH ^ SB, ( H �SB ) ( 1) Do SB / / CE � AH ^ CE ( K �CE ) Do BC ^ CE � HK ^ CE ( 2) Kẻ HK / / BC , Từ ( 1) ( 2) suy AK ^ CE � ( SBC ) �( AMC ) = CE � � �HK �( SBC ) , HK ^ CE � � � � �AK �( AMC ) , AK ^ CE � ( ( SBC ) , ( AMC ) ) = ( HK , AK ) = AKH Ta có � 1 1 2a = 2+ = + = � AH = 2 SA AB 4a a 4a Trong tam giác SAB ta có: AH Trong tam giác AHK vng H có Suy tan � AKH = AH = 2a , HK = BC = a AH = HK Vậy tang góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( AMC ) Cách 3: Gọi O tâm hình vng ABCD N , I trung điểm SA AB � MN / / AD � � � � MN = AD � Ta có � � OI / / AD � � � � OI = AD � � Suy � MN / /OI � � OMNI � � MN = OI � hình bình hành � OI / / BC � � � � ( OMNI ) / / ( SBC ) � ( ( SBC ) , ( AMC ) ) = ( ( OMNI ) , ( AMC ) ) Ta có �NI / / SB Dễ thấy ( OMNI ) �( AMC ) = MO ( 1) Kẻ AH ^ NI , NI / / OM � AH ^ OM ( K �OM ) Do OI ^ OM � HK ^ OM ( 2) Kẻ HK / / OI , Từ ( 1) ( 2) suy AK ^ OM � ( OMNI ) �( AMC ) = OM � � �HK �( OMNI ) , HK ^ OM � � � �AK �( AMC ) , AK ^ OM � ( ( OMNI ) , ( AMC ) ) = ( HK , AK ) = � AKH Ta có � 1 1 a = + = + = � AH = 2 NA AI a a a Trong tam giác NAI ta có: AH Trong tam giác AHK vng H có Suy tan AKH = AH = a a HK = OI = 5, AH = HK Vậy tang góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( AMC ) Câu 80 [1H3-4.4-3] (HSG 12 Bắc Giang) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , biết  SAC   SCD  Tính cạnh bên tạo với đáy góc 60� Gọi  góc hai mặt phẳng tan  21 21 tan   tan   tan   tan   A B C D Lời giải Tác giả: Phạm Chí Dũng; Fb: Phạm Chí Dũng Chọn D Cách SO   ABCD  Gọi O  AC �BD Do hình chóp S ABCD nên OD  SO � � OD  AC � OD   SAC  Ta có: �  SAC  Vậy SCO hình chiếu SCD lên mặt phẳng Suy S SCO  S SCD cos   SAC   SCD  , với  góc hai mặt phẳng  ABCD  Ta có: OD hình chiếu SD lên � �, OD  SDO � SD ,  ABCD     SD   Suy � Theo đề ta suy SDO  60� ABCD hình vng: AC  BD  BC  2a , OD  BD 2a  a 2 Tam giác SOD vuông A : SO  OD.tan 60� a S SCO  1 1 a2 SSAC  SO AC  a 3.2a  2 Gọi M trung điểm CD Suy SM  BC (do SCD cân S ) OM  a BC  2 (do tính chất đường trung bình BCD ) a a 14 SM  SO  OD  3a   2 Tam giác SOM vuông O : S SCD  2 1 a 14 a2 SM CD  a  2 2 cos   SSCO SSCD Vậy a2 21  22  a tan   1  cos  Do Cách Vì OC , OD , OS đơi vng góc nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz với C , D , S nằm Ox , Oy , Oz Do   O  0; 0;0  C  a; 0;  D  0; a;0  S 0; 0; a , , ,  SCD  Phương trình mặt phẳng tuyến ur n1    x y z   1  SCD  có vectơ pháp a a a là: nên mặt phẳng 3; 3;1  SAC  là: y  nên mặt phẳng  SAC  có vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng uu r n2   0;1;  ur uu r n1.n2 21 cos   ur uu r  tan   1  n1 n2 cos  Ta có: Vậy Cách Gọi H hình chiếu O lên SC OD  SO � � OD  AC � OD   SAC  � OD  SC +) � OH  SC � � SC   OHD  � OD  SC � +) �, HD   SAC  ,  SCD     HO �   Do ABCD hình vng: AC  BD  BC  2a , OC  OD  BD 2a  a 2 Xét tam giác SOC vng O có OH đường cao: a 1 1      � OH  2 2 OH OC OS a 3a 3a �  tan OHD Xét tam giác OHD vuông O : Vậy tan   OD a   OH a 3 3 Câu 81 [1H3-4.4-3] (THCS-THPT-NGUYỄN-KHUYẾN-TP-HCM-24THÁNG3) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi  góc tạo mặt bên mặt đáy hình chóp Giá trị cos 1 A B C D Lời giải Tác giả:Võ Thị Hồng Nga ; Fb:Hồng Nga Chọn C Gọi O tâm mặt đáy SO  mp  ABCD  Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi I trung điểm đoạn BC �BC  SO � BC  ( SOI ) � BC  OI � Ta có: �BC  ( SBC ) �( ABCD ) � �; OI )  SIO �  � (� SBC );( ABCD )  ( SI �BC  SI �( SBC ) �BC  OI �( ABCD) �  Ta có: Xét tam giác SOD vng O , ta có:  SD  a; OD  a a � SO  2 Xét tam giác SOI vuông O , có: SO  a a a ; OI  � SI  2 � cos   OI  SI Câu 82 [1H3-4.4-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y   x  x  3x  điểm M (1;1) A 1 B 4 C D 2 Lời giải Tác giả: Huỳnh Phạm Minh Nguyên ; Fb: Nguyen Huynh Chọn B Ta có x  y  (1)  (1)  3(1)   nên điểm M (1;1) thuộc đồ thị hàm số y   x3  x  3x  Do đó: hệ số góc tiếp tuyến M (1;1) y '(1) Ta có: y '  3 x  x  nên y '(1)  3    4 Bài tập tương tự : Câu 83 Câu 84 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  3x  điểm M (2;6) A 19 B C D 3 Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm M (4;9) A 148 C B 36 M ( x0 ; y0 ) D 356 thuộc đồ thị hàm số y  f ( x ) hệ số góc tiếp tuyến M ( x0 ; y0 ) f '( x0 ) với đồ thị hàm số y  f ( x) điểm Ghi nhớ: Nếu điểm Câu 85 [1H3-4.4-3] (HK2 THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI) Cho tứ diện ABCD Thiết diện tứ diện ABCD mặt phẳng trung trực cạnh BC A Hình thang B Tam giác vng C Hình bình hành D Tam giác cân Lời giải Tác giả:Bùi Đoàn Tiến ; Fb:Bùi Đoàn Tiến Chọn D AMD  Gọi M trung điểm BC Ta có AB  AC ; MB  MC ; DB  DC nên  mặt phẳng trung trực BC đồng thời tiết diện tứ diện ABCD mặt phẳng trung trực cạnh BC Giả sử tứ diện ABCD có cạnh a AMD có AM  MD  a AM  MD  AD nên AMD cân M Bài tập tương tự : Câu 86 Cho tứ diện MNEF Thiết diện tứ diện MNEF mặt phẳng trung trực cạnh EF A Tam giác B Tam giác cân C Tam giác vuông cân D Tam giác vuông Câu 87 Cho tứ diện ABCD canh a Thiết diện tứ diện ABCD mặt phẳng trung trực cạnh BC có diện tích 2a 3a 2a 2a A (đvdt) B (đvdt) C (đvdt) D (đvdt) Ghi nhớ: +) Tứ điện có tất cạnh +) Chiều cao tam giác cạnh a có độ dài h a Câu 88 [1H3-4.5-2] (HK2 THPT lý thái tổ bắc ninh) Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC tam  ABC  Khẳng định giác ABC vng C Gọi H hình chiếu S mặt phẳng sau đúng? A H trùng với trọng tâm tam giác ABC B H trùng với trung điểm AB C H trùng với trực tâm tam giác ABC D H trùng với trung điểm BC Lời giải Tác giả: Vũ Văn Tuấn ; Fb:Vũ Văn Tuấn Chọn B A Xét tam giác vng SHA, SHB, SHC có SA  SB  SC SH chung Do tam giác SHA, SHB, SHC Từ suy HA  HB  HC hay H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác tam giác ABC vuông C nên H trùng với trung điểm AB ... góc hai mặt phẳng ( ADC � D ) vng góc cắt hai mặt phẳng ( ADC � B� ) ( BCD� A� ) Cách 2: Mặt phẳng ( DCC �� C theo hai giao tuyến DC� D� B� ) ( BCD� A� ) góc hai đường thẳng DC �và D� � Góc hai. .. PAB  Suy góc hai mặt phẳng � góc HOK  AEFB  góc hai đường thẳng OH OK � � Ta lại có HOK  OPK Do Cơsin góc hai mặt phẳng a OP �  cos OPK    OK a 3  PAB   AEFB  Câu 40 [1H3 -4.3 -2] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)... 19 [1H3 -4.3 -2] (THTT số 3) Khẳng định sau đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với B Hai mặt phẳng song song góc chúng 0� C Hai đường thẳng không gian cắt góc chúng