Bài 2 Hai đường thẳng vuông góc A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Hình học Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau[.]
Bài 2: Hai đường thẳng vng góc A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 93 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có H trung điểm cạnh AB Hãy tính góc cặp vectơ sau đây: a) AB BC ; b) CH AC Lời giải: Tứ diện ABCD có mặt tam giác a) Góc AB BC góc α α = 180o – 60o = 120o b) Góc CH AC góc β H trung điểm cạnh AB tam giác ABC nên CH vừa trung tuyến vừa đường cao nên CH ⊥ AB Xét tam giác vng ACH H có ACH + CAH = 90 ACH = 90 − 60 = 30 Nên β = 180o – 30o = 150o Hoạt động trang 94 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a) Hãy phân tích vectơ AC' BD theo ba vectơ AB , AD , AA' ( ) b) Tính cos AC',BD từ suy AC' BD vng góc với Lời giải: a) AC' = AC + AA' = AB + AD + AA' BD = AD − AB AC'.BD b) cos AC',BD = AC' BD ( ) ( )( AC'.BD = AB + AD + AA ' AD − AB ( ) ( ) ) = AB + AD + AA ' AD − AB + AD + AA ' AB = AB.AD + AD.AD + AA'.AD − AB.AB − AD.AB − AA'.AB Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi vuông góc với ( ) ( ) AC'.BD = + AD + − AB − − = (vì AB = AD) ( ) cos AC ',BD = ( AC'.BD AC' BD =0 ) AC ',BD = 90 Vậy hai vectơ AC' BD vng góc với Hoạt động trang 95 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc cặp đường thẳng sau đây: a) AB B’C’; b) AC B’C’; c) A’C’ B’C Lời giải: a) Góc AB B’C’ góc AB BC (vì B’C’//BC) Suy góc AB B’C’ là: ABC = 90 b) Góc AC B’C’ góc AC BC (vì B’C’//BC) Suy góc AC B’C’ là: ACB = 45 c) Góc A’C’ B’C góc AC B’C (vì A’C’//AC) ACB' AC = B’C = AB’ (đường chéo hình vng nhau) Suy góc A’C’ B’C là: ACB' = 60 Hoạt động trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy nêu tên đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với: a) Đường thẳng AB; b) Đường thẳng AC Lời giải: a) Đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với đường thẳng AB AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’ b) Đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với đường thẳng AC BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’ Hoạt động trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Tìm hình ảnh thực tế minh họa cho vng góc hai đường thẳng khơng gian (trường hợp cắt trường hợp chéo nhau) Lời giải: Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền bàn, hai cạnh liền cửa số Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp tường tạo đường thẳng vng góc với cạnh mặt tường bên cạnh B Bài tập Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ sau đây: a) AB EG ; b) AF EG ; c) AB DH Lời giải: a) Vì ABCD.EFGH hình lập phương nên EG = AC ( ) ( ) Do đó: AB,EG = AB,AC = 45 b) Ta có: ( AF,EG ) = ( AF,AC ) = 60 Do tam giác AFC có ba cạnh ba đường chéo ba mặt bên nên AFC tam giác c) Vì ABCD.EFGH hình lập phương nên DH = AE ( ) ( ) Do đó: AB,DH = AB,AE = 90 Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB ⊥ CD AC ⊥ BD AD ⊥ BC Lời giải: ( a) AB.CD = AB AD − AC ( ) AD.BC = AD.( AC − AB ) ) AC.DB = AC AB − AD Cộng vế ba đẳng thức ta được: AB.CD + AC.DB + AD.BC ( ) ( ) ( = AB AD − AC + AC AB − AD + AD AC − AB ) = AB.AD − AB.AC + AC.AB − AC.AD + AD.AC − AD.AB = AB.AD − AD.AB + AC.AB − AB.AC + AD.AC − AC.AD =0+0+0=0 b) AB ⊥ CD AB.CD = AC ⊥ DB AC.DB = Từ đẳng thức câu a ta có: AB.CD + AC.DB + AD.BC = AD.BC = AD ⊥ BC Bài tập trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: a) Trong khơng gian hai đường thẳng a b vng góc với đường thẳng c a b có song song với khơng? b) Trong khơng gian đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a có vng góc với c không? Lời giải: a) Trong không gian hai đường thẳng a b vng góc với đường thẳng c nói chung a b chưa song song với a b cắt chéo Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB BC vng góc với BB’ AB BC cắt B, nghĩa chúng không song song b) Trong không gian a ⊥ b b ⊥ c a c cắt chéo nhau, nói chung a c chưa vng góc với Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB A’B’ vng góc với AA’ AB//A’B’ khơng vng góc Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong khơng gian cho hai tam giác ABC ABC’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC’ C’A Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CC' ; b) Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Lời giải: ( a) AB.CC' = AB AC' − AC ) = AB.AC' − AB.AC = AB.AC'.cos BAC' − AB.AC.cos BAC 1 = a.a − a.a = 2 AB ⊥ CC' b) Theo giả thiết Q, P trung điểm AC’, BC’ QP đường trung bình tam giác ABC’ Suy ra: QP // AB, QP = AB (1) Chứng minh tương tự ta có: PB // CC’, PN = CC ' MN // AB, MN = AB (2) Từ (1) (2) suy ra: MN // QP, MN = QP Do MNPQ hình bình hành Ta có: MN // AB, PN // CC’ mà AB ⊥ CC ' MN ⊥ NP Hình bình hành MNPQ có góc vng nên MNPQ hình chữ nhật Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC có ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC , SB ⊥ AC , SC ⊥ AB Lời giải: ( ) ( ) ( ) a) SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB = SA.SC.cos ASC − SA.SB.cos ASB = Vậy SA ⊥ BC b) SB.AC = SB SC − SA = SB.SC − SB.SA = SB.SC.cos BSC − SB.SA.cos ASB = Vậy SB ⊥ AC c) SC.AB = SC SB − SA = SC.SB − SC.SA = SC.SB.cos BSC − SC.SA.cos ASC = Vậy SC ⊥ AB Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC’D’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O’ Chứng minh AB ⊥ OO' tứ giác CDD’C’ hình chữ nhật Lời giải: D' C' O' B A O D ( ) ( ) Ta có: AO = AO' ; AO,AB = AO',AB = 45 Do vậy: C ( AB.OO' = AB AO' − AO ) = AB.AO' − AB.AO = AB AO' cos45o – AB AO cos45o = AB.AO’.cos45o–AB.AO.cos45o = Suy ra: AB ⊥ OO ' CD∥ AB;CD = AB CD∥ C'D' Ta có: C'D'∥ AB;C'D' = AB CD = C'D' Vậy CDD’C’ hình bình hành Mặt khác ta có: CC'∥ OO' C'D'∥ AB CC' ⊥ C ' D ' OO' ⊥ AB Vậy CDD’C’ hình chữ nhật Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho S diện tích tam giác 2 AB AC − AB.AC ABC Chứng minh S = Lời giải: 1 SABC = AB.AC.sin A = AB.AC − cos A 2 AB.AC Ta lại có: cos A = AB AC ( AB.AC cos A = AB AC AB.AC Nên − cos A = − AB AC AB.AC − cos A = − AB AC Do đó: SABC AB.AC = AB.AC − AB AC 2 ) ( ) AB.AC = AB2 AC2 − AB2 AC2 2 AB AC ( AB.AC ) 2 AB.AC − AB2 AC2 AB2 AC2 2 = AB AC − AB.AC (điều phải chứng minh) Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có = ( ) AB = AC = AD BAC = BAD = 60 Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CD ; b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN ⊥ AB MN ⊥ CD Lời giải: ( ) a) AB.CD = AB AD − AC = AB.AD − AB.AC = AB.AD.cos BAD − AB.AC.cos BAC = Vậy AB ⊥ CD b) MN = MA + AD + DN (1) MN = MB + BC + CN (2) Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) MN = MA + MB + AD + BC + DN + CN = + AD + BC + = AD + BC ( ) ( 1 AD + BC = AD + AC − AB 2 Ta có: AB.MN = AB AD + AC − AB MN = ( ) ) ( ) = AB.AD + AB.AC − AB2 = AB.AD.cos BAD + AB.AC.cos BAC − AB2 = ( AB.AD.cos60 + AB.AC.cos60 − AB2 ) 11 = AB2 + AB2 − AB2 = 2 2 Vậy AB ⊥ MN Lại có: MN.CD = AD + AC − AB AD − AC 2 = AD + AC.AD − AB.AD − AC.AD − AC + AB.AC = AD2 − AB.AD − AC2 + AB.AC = AD2 − AB.AC.cos BAD − AC2 + AB.AC.cos BAC = ( AB2 − AB2 cos60 − AB2 + AB2 cos60 ) = 0 = Vậy MN ⊥ CD ( ) ( )( ) ( ( ( ) ) ) ... Hãy nêu tên đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với: a) Đường thẳng AB; b) Đường thẳng AC Lời giải: a) Đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương cho vng góc với đường thẳng AB AD,... Bài tập trang 97 SGK Tốn lớp 11 Hình học: a) Trong khơng gian hai đường thẳng a b vuông góc với đường thẳng c a b có song song với không? b) Trong không gian đường thẳng a vng góc với đường thẳng. .. AB.AC − AB AC 2 ) ( ) AB.AC = AB2 AC2 − AB2 AC2 2 AB AC ( AB.AC ) 2 AB.AC − AB2 AC2 AB2 AC2 2 = AB AC − AB.AC (điều phải chứng minh) Bài tập trang 98 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ