Bài 2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán lớp 11 Hình học Quan sát các cạnh tường trong lớp học và xem cạnh tường là[.]
Bài 2: Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song A Các câu hỏi hoạt động Hoạt động trang 55 SGK Toán lớp 11 Hình học: Quan sát cạnh tường lớp học xem cạnh tường hình ảnh đường thẳng Hãy số cặp đường thẳng thuộc mặt phẳng Lời giải: Học sinh tự quan sát Nhận thấy mép sàn nhà với tường mép góc tường đối diện khơng thể thuộc mặt phẳng Hoạt động trang 56 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ giác ABCD, chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo Chỉ cặp đường thẳng chéo khác tứ diện (h.2.29) Lời giải: Giả sử hai đường thẳng AB CD không chéo nhau, nghĩa tồn mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng AB CD Khi đó: AB ( ) suy CD ( ) A,B ( ) C,D ( ) Hay bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Điều mâu thuẫn với giả thiết ABCD tứ diện Vậy AB CD chéo Các cặp đường thẳng chéo khác tứ diện này: AC BD, BC AD Hoạt động trang 57 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho mặt phẳng (α) (β) Một mặt phẳng (γ) cắt (α) (β) theo giao tuyến a b Chứng minh a b cắt I I điểm chung (α) (β) (h.2.32) Lời giải: a b cắt I nên: I a ( ) (vì a giao tuyến (α) (γ)) I b ( ) (vì a giao tuyến (β) (γ)) Nên I điểm chung (α) (β) B Bài tập Bài tập trang 59 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R S bốn điểm lấy bốn cạnh AB, BC, CD DA Chứng minh bốn điểm P, Q, R S đồng phẳng thì: a) Ba đường thẳng PQ, SR AC song song đồng quy; b) Ba đường thẳng PS, RQ BD song song đồng quy Lời giải: Xét tam giác ABC có: P trung điểm AB (giả thuyết) Q trung điểm BC (giả thuyết) Nên PQ đường trung bình tam giác ABC Suy PQ // AC Chứng minh tương tự ta có: SR // AC Do PQ // SR hay P, Q, R, S đồng phẳng a) Gọi (α) mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S PQ = ( ABC ) ( ) Ta có: RS = ( ) ( ACD ) AC = ( ACD ) ( ABC ) Theo định lý giao tuyến mặt phẳng, ba đường thẳng PQ, RS, AC đôi song song đồng quy b) Gọi (α) mặt phẳng chứa bốn điểm P, Q, R, S PS = ( ABD ) ( ) Ta có: RQ = ( ) ( BCD ) BD = ( ABD ) ( BCD ) Theo định lý giao tuyến mặt phẳng, ba đường thẳng PS, RQ, BD đôi song song đồng quy Bài tập trang 59 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S AD mặt phẳng (PQR) hai trường hợp sau a) PR song song với AC b) PR cắt AC Lời giải: (ABC) (ADC) = AC (ABC) (PRQ) = PR a) Ta có: suy AC // PR // d (ADC) (PRQ) = d AC / /PR Q CD (ADC) Mà Q (PRQ) Nên Q d hay d đường thẳng qua Q song song AC Trong (ADC), qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD S Vậy S = AD (PQR) b) Gọi I giao điểm PR với AC (ABC) (ADC) = AC (ABC) (PRQ) = PR Ta có: suy AC, PR, d đồng quy I (ADC) (PRQ) = d AC PR = I Trong (ADC), kéo dài IQ cắt AD S S AD Khi S (PQR) Vậy S = AD (PQR) Bài tập trang 60 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN a) Tìm giao điểm A’ đường thẳng AG mặt phẳng (BCD); b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ Mx cắt (BCD) M’ Chứng minh B, M’, A’ thẳng hàng BM’ = M’A’ = A’N; c) Chứng minh GA = 3GA’ Lời giải: a) Trong mặt phẳng (ABN) gọi A’ giao điểm BN AG A' AG Ta có suy A’ = AG (BCD) A' BN (BCD) MM'∥ AA' b) Ta có: AA' (ABN) M AB ABN ( ) Suy MM ' ( ABN ) M' ( ABN ) Suy M' ( BCD ) Suy M ' ( ABN ) ( BCD ) = BN Mà A’ thuộc BN nên M’, A’, B thẳng hàng (cùng nằm BN) Xét tam giác NMM’ có: G trung điểm NM GA’// MM’ Suy A’ trung điểm NM’ (1) Xét tam giác BAA’ có: M trung điểm AB MM’//AA’ Suy M’ trung điểm BA’ (2) Từ (1) (2) suy BM’ = M’A’ = A’N c) Ta có MM' = AA' 1 1 GA' = MM' = AA' = AA' 2 GA = AA'− GA' = AA'− AA' = AA' 4 GA' AA' = = Suy GA AA' Vậy GA = 3GA’ ... AC / /PR Q CD (ADC) Mà Q (PRQ) Nên Q d hay d đường thẳng qua Q song song AC Trong (ADC), qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD S Vậy S = AD (PQR) b) Gọi I giao điểm PR... phẳng, ba đường thẳng PS, RQ, BD đôi song song đồng quy Bài tập trang 59 SGK Tốn lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD ba điểm P, Q, R ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S AD mặt phẳng (PQR) hai trường... thẳng PQ, SR AC song song đồng quy; b) Ba đường thẳng PS, RQ BD song song đồng quy Lời giải: Xét tam giác ABC có: P trung điểm AB (giả thuyết) Q trung điểm BC (giả thuyết) Nên PQ đường trung bình