Các dạng bài tập về hai đường thẳng song song trong không gian I Lý thuyết ngắn gọn 1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng nếu chúng cùng nằm trong[.]
Các dạng tập hai đường thẳng song song không gian I Lý thuyết ngắn gọn Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian - Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng - Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng Hai đường thẳng chéo khơng có điểm chung - Hai đường thẳng gọi cắt chúng đồng phẳng có điểm chung - Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng điểm chung - Như vậy, khơng gian, có vị trí tương đối hai đường thẳng, là: song song, trùng nhau, cắt chéo - Khi nhắc đến hai đường thẳng phân biệt, ta hiểu có vị trí tương đối hai đường thẳng (bỏ trường hợp trùng nhau) Hai đường thẳng song song a Tính chất hai đường thẳng song song Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với b Định lý (về giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song Giả sử (P), (Q), (R) ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, đó: a (P) (R),b (Q) (R),c (P) (Q) Khi đó: TH1: a, b, c đồng quy TH2: a // b // c c Hệ (Định lý giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến (nếu có) hai mặt phẳng nói song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng II Các dạng tập hai đường thẳng song song không gian Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Sử dụng cách sau - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Áp dụng định lí giao tuyến song song - Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với đáy AD BC Biết AD = a, BC = b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC M, N Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD P, Q Chứng minh MN // PQ Lời giải: Ta có: I (SAD) I (SAD) (IBC) AD (SAD) Lại có BC (IBC) AD / /BC Do giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (IBC) đường thẳng qua I song song với AD, BC Khi (SAD), qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA P cắt SD Q (SAD) (IBC) PQ PQ / /AD / /BC (1) Chứng minh tương tự: J (SBC) J (SBC) (ADJ) AD (ADJ) BC (SBC) AD / /BC (SBC) (ADJ) MN MN / /AD / /BC (2) Do đó, từ (1) (2) suy ra: MN // PQ Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SB a Chứng minh MN // CD b Gọi P giao điểm SC (ADN), I giao điểm AN DP Chứng minh SI // CD Lời giải: a Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN // AB Lại có ABCD hình thang nên AB // CD Do đó: MN // CD b Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E giao điểm AD BC Trong mặt phẳng (SCD), gọi P giao điểm SC DI Ta có: E AD (ADN) EN (ADN) P (ADN) Vậy P SC (ADN) Do I AN DP I AN I (SAB) I DP I (SCD) SI (SAB) (SCD) AB (SAB) CD (SCD) SI / /CD Ta có: AB / /CD (SAB) (SCD) SI Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy không gian a Chứng minh bốn điểm đồng phẳng Phương pháp giải: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b qua hai bốn điểm chứng minh a, b song song cắt Khi A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b) b Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: - Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ qua giao điểm hai đường thẳng lại - Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi cắt chúng đôi nằm ba mặt phẳng phân biệt d1 ,d (P),d1 d I1 Bước 1: Xác định d ,d (Q),d d I với (P), (Q), (R) phân biệt d ,d (R),d d I 3 Bước 2: Kết luận d1 ,d ,d3 đồng quy I I1 I2 I3 Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC, SD Gọi J giao điểm AC BD a Chứng minh ME, NF, SJ đồng quy b Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng Lời giải: a.Trong (SAC) gọi I giao điểm ME SJ Ta có: ME đường trung bình tam giác SAC nên ME // AC Suy MI // AC, mà M trung điểm SA Nên I trung điểm SJ Suy ra: FI đường trung bình tam giác SJD Suy FI // JD Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng Vậy ME, NF, SJ đồng quy I b Do I giao điểm ME NF nên ME NF xác định mặt phẳng Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng Ví dụ 4: Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N, E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD, SDA Chứng minh: a Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b ME, NF, SO đồng quy với O tâm hình chữ nhật ABCD Lời giải: a Gọi M’, N’, E’, F’ trung điểm AB, BC, CD, DA Ta có: SM SN ; (tính chất trọng tâm tam giác) SM' SN' SM SN SM' SN' MN / /M'N' (Định lý Ta – lét) Tương tự: SE SF SE ' SF' EF / /E'F' (Định lý Ta – lét) M ' N '/ /AC Lại có: (tính chất đường trung bình) E 'F'/ /AC M'N'/ /E'F' Do đó: MN // EF Vậy bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b Gọi I giao điểm ME NF Dễ thấy M’N’E’F’ hình bình hành O giao điểm M’E’ N’F’ Xét ba mặt phẳng (M’SE’), (N’SF’), (MNEF) có (M 'SE ') (N 'SF') SO (M 'SE ') (MNEF) ME (N 'SF') (MNEF) NF ME NF I Do theo định lý giao tuyến ba mặt phẳng ba đường thẳng ME, NF, SO đồng quy I III Bài tập áp dụng Tự luận Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm cạnh AC, BD, AB, AD, BC, CD Chứng minh P, Q, R, S đồng phẳng Bài 2: Cho hình chóp S.ABC Gọi E, F trọng tâm tam giác SBC SAB Chứng minh EF // AC Trắc nghiệm Bài 1: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD, N trung điểm AD, M trung điểm cạnh BC cho MB = 2MC Khẳng định sau đúng? A MG // CN B MG CN cắt C MG // AB D MG CN chéo Bài 2: Giả sử có ba đường thẳng a, b, c b // a c // a Những phát biểu sau sai? (1) Nếu mặt phẳng (a, b) khơng trùng với mặt phẳng (a, c) b c chéo (2) Nếu mặt phẳng (a, b) trùng với mặt phẳng (a, c) ba đường thẳng a, b, c song song với đôi (3) Dù cho hai mặt phẳng (a, b) (a, c) có trùng hay khơng, ta có b // c A Chỉ có (1) sai B Chỉ có (2) sai C Chỉ có (3) sai D (1), (2) (3) sai Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, AD, CD, BC Mệnh đề sau sai? A MN // BD 2MN = BD B MN // PQ MN = PQ C MNPQ hình bình hành D MP NQ chéo Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Đường thẳng không song song với A’B’? A AB B CD C SC D C’D’ Bài 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng chéo chúng khơng có điểm chung B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo C Hai đường thẳng song song chúng mặt phẳng D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng hai đường thẳng chéo Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AD AC, G trọng tâm tam giác BCD Giao tuyến hai mặt phẳng (GIJ) (BCD) đường thẳng: A Qua I song song với AB B Qua J song song với BD C Qua G song song với CD D Qua G song song với BC Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J trung điểm cạnh AD BC G trọng tâm tam giác SAB Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (IJG): A Là đường thẳng song song với AB B Là đường thẳng song song với CD C Là đường thẳng song song với đường trung bình hình thang ABCD D Cả A, B, C Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD): A Là đường thẳng qua S song song với AB, CD B Là đường thẳng qua S C Là điểm S D Là mặt phẳng (SAD) ... Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến (nếu có) hai mặt phẳng nói song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng II Các dạng tập hai đường thẳng song song... điểm chung B Hai đường thẳng khơng có điểm chung hai đường thẳng song song chéo C Hai đường thẳng song song chúng mặt phẳng D Khi hai đường thẳng hai mặt phẳng hai đường thẳng chéo Bài 6: Cho tứ... phẳng - Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba - Áp dụng định lí giao tuyến song song - Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến