Bai tap toan hinh 11 bai 4 co dap an hai mat phang vuong goc

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa  Góc giữa hai mặt phẳng   và   là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó  Nếu hai mặt phẳng đó[.]

HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa  Góc hai mặt phẳng      góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Nếu hai mặt phẳng song song trùng góc chúng Phương pháp tính góc hai mặt phẳng cắt  Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a , b vng góc với hai mặt phẳng        Khi đó, góc hai mặt phẳng        ,      a, b  Tính góc  a, b   Phương pháp 2:  Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng       Dựng hai đường thẳng a , b nằm hai mặt phẳng vng góc với   giao tuyến c điểm c Khi đó:   ,      a, b  Hay ta xác định mặt phẳng phụ    vuông góc với giao tuyến c mà       a ,        b Suy    ,       a, b   Phương pháp 3: (trường hợp đặc biệt)  Nếu có đoạn thẳng nối hai điểm A , B  A    , B      mà AB     qua A B ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến c hai mặt phẳng H   Khi   ,     AHB B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy ABCD a SA  SB  SC  SD  a Tính cosin góc giauwx hai mặt phẳng  SAB   SAD  A B C D  Lời giải Chọn B Gọi I  BI  SA    DI  SA trung điểm SA Do tam giác SAD SAB nên  SAB  ,  SAD    BI , DI  Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có: 2     a  a  a  2 2    IB  ID  BD  cos BID   IB.ID 3 a a 2 Vậy cos  SAB  ,  SAD        Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a , SA vng góc với  ABCD  SA  a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  A arccos 10 B arccos C arccos 10 10 D arccos 10 Nhận xét: Theo định nghĩa góc hai mặt phẳng ta xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  SBC   SCD  Lời giải Chọn A Vì ABCD nửa lục giác nên AD  DC  CB  a Dựng đường thẳng qua A vng góc với  SCD  Trong mặt phẳng  ABCD  dựng AH  CD H  CD   SAH  Trong mặt phẳng  SAH  dựng AP  SH  CD  AP  AP   SCD  Dựng đường thẳng qua A vuông góc với  SBC  Trong mặt phẳng  SAC  dựng AQ  SC  BC  AC  BC   SAC   BC  AQ  BC  SA Lại có AQ  BC  Vậy AQ   SBC  Suy góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng AP AQ - Ta tính góc PAQ , có AH  AD  HD  a   a2 a  1 a    AP  2 AP AS AH Tam giác SAC vuông cân A  AQ  APQ vuông P  cos PAQ  SC a  2 AP 10 10   PAQ  arccos AQ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân với BA  BC  a , SA   ABC  , SA  a Gọi E , F trung điểm cạnh AB, AC Tính cosin góc hai mặt phẳng  SEF   SBC  A 10 B 10 C 10 D 10 Nhận xét: Giao tuyến hai mặt phẳng  SEF   SBC  đường thẳng St qua S song song với EF BC nên ta xác định hai đường thẳng qua S nằm hai mặt phẳng  SEF   SBC  vng góc với St (ta chứng minh hai đường thẳng SE SB ) Lời giải Chọn A  EF   SEF   Vì  BC   SBC   giao tuyến  SEF   SBC  đường thẳng qua S , song song  EF // BC  với BC , St  BC  AB   BC  SA  gt   SA   ABC    BC   SAB   BC  SB hay St  SB Tương tự EF   SAE   EF  SE mà EF // St  St  SE Vậy SB SE qua S vng góc với St nên góc hai mặt phẳng  SEF   SBC  góc hai đường thẳng SB SE Ta tính góc BSE Có SE  SA2  AE  a a ; SB  SA2  AB2  a ; BE  2 SE  SB  BE 3 Theo định lí cosin ta có: cos BSE    BSE  arccos 2.SE.SB 10 10 Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , SA  a SA   ABC  , AB  BC  a Tính góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  A 45 B 30 C 60 D 90 Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp - trường hợp đặc biệt Lời giải Chọn C Ta có  SAC    SBC   SC Gọi F trung điểm AC  BF   SAC  Dựng BK  SC K  SC   BKF     SAC  ,  SBC     KB, KF   BKF CFK a a FK SA FC.SA a CSA    FK    FC SC SC a a FB BFK vuông F  tan BKF     BKF  60    SAC  ,  SBC   a FK Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB  2a , SA vng góc với  ABCD  SA  a Tính tan góc hai mặt phẳng  SAD   SBC  A 14 B C D Lời giải Chọn D S a 2a A B E C D I Gọi SAD nửa lục giác nên AD BC , ABCD J SBC SI BD SA BD AD BD SAD BD AD BED nên AIB SI SI SA SAD , SSBC BD AI vuông với E SI IB a BED , SI (Vì BED vng D ) a a Hai tam giác vuông BDE EB, ED CB SI Vì theo trường hợp đặc biệt ta cần dựng DE Khi đó, a , AI DC D SAI đồng dạng nên: DEI tan BED BD DE DE SA DI SI DE a A Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng cân A có AB a , đường thẳng d vng góc với ABC điểm A ta lấy điểm D Tính góc hai mặt phẳng ABC DBC , trường hợp DBC tam giác A arccos B arccos 3 C Đáp Án: B Lời giải: arccos D arccos D H A C a a a B Gọi góc hai mặt phẳng ABC DBC Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác, ta có: S DB.DC.sin600 khác: S ABC AB.AC Mặt S S cos 3 ABC DBC arccos S DBC cos a2 3 a 2.a 2 2 a Mà: S DBC ABC 3 Ví dụ 7: Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A ' B ' có đáy tam giác vuông cân OA OB a , AA ' a Gọi M, P trung điểm cạnh OA, AA' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ B ' MP ? A a 15 B 12 5a 15 C 12 5a 15 D a 15 Đáp Án: C Lời giải: A' B' P O' A B H M Q O R Gọi R giao điểm MP OO ' Thiết diện tứ giác MPB ' Q , ta có: , Q OQ O ' B' giao điểm B' R RO RO ' OQ a với OB Tứ giác AMQB SAMQB nên: SPMQB ' Với cos OH Vậy: góc tạo hai mặt phẳng Ta có: SAMQB Hạ hình chiếu vng góc tứ giác PMQB ' mặt phẳng SOAB MQ , OHR SOMQ ta có: a OAB a 12 MQ OH MQ OR MPB ' Q a 12 MQ OHR ( OHR nhọn) a Ta có: cos cos OHR OH RH OH OH 2 13 OR a2 13 a2 15 5a2 15 Vậy: SPMQB ' 12 Ví dụ 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a, BAC  1200 , cạnh bên BB '  a Gọi I trung điểm CC ' Chứng minh tam giác AB' I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng  ABC   AB' I  A 15 10 B 30 10 10 30 C D Đáp án B Lời giải B' C' a I A' B C a a A Áp dụng định lý cosin cho ABC ta có: BC  a2  a2  2a2 cos1200  3a2 Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác: B ' BA có : B ' A  a 1 5a ICA có : AI  a     2 2 15 30 OAB B ' C ' I có : B ' I  3a  a 13a  4 Ta có: B ' A  AI  a  Ta có: SAB' I  5a 13a   B ' I  AB ' I 4 vuông A 1 a a2 10 AI AB '  a  2 a2 SABC  a2 sin1200  Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   AB' I  Thì ta có: cos  SABC SABI ' a2 3 30    10 a 10 10 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Mệnh đề mệnh đề sau? A Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương hai đường thẳng B Góc hai đường thẳng góc nhọn C Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) D Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c Câu Mệnh đề mệnh đề sau? A Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng cho B Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  góc đường thẳng b mặt phẳng  P  a b song song (hoặc a trùng với b ) C Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  góc đường thẳng a mặt phẳng  Q  mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng  Q  D Góc đường thẳng a mặt phẳng  P  góc đường thẳng b mặt phẳng  P  a b song song Câu Mệnh đề mệnh đề sau? A Góc hai mặt phẳng ln góc nhọn B Góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  R  mặt phẳng  R  song song với mặt phẳng  Q  (hoặc  R  trùng với  Q  ) C Góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  góc mặt phẳng  P  mặt phẳng  R  mặt phẳng  R  song song với mặt phẳng  Q  D Cả ba mệnh đề Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng  ABCD   Khi tan  nhận giá trị giá trị sau: A tan   B tan   C tan   D tan   Câu Cho hình lập phương ABCD ABC D Xét mặt phẳng  ABD  , mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Góc mặt phẳng  ABD  mặt phẳng chứa mặt hình lập phương B Góc mặt phẳng  ABD  mặt phẳng chứa mặt hình lập phương C Góc mặt phẳng  ABD  mặt phẳng chứa mặt hình lập phương  mà tan   D Cả ba mệnh đề sai Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng có mặt bên vng góc với đáy Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên mặt phẳng chứa mặt đáy Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Có hai cặp mặt phẳng vng góc B Có ba cặp mặt phẳng vng góc C Có bốn cặp mặt phẳng vng góc D Có năm cặp mặt phẳng vng góc Câu Cho hình lập phương ABCD.EFGH , xác định góc cặp vectơ AB, DH ? A 450 B 90 C 120 D 60 Câu Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c Mệnh đề sau đúng? A Nếu a b vng góc với c a / /b B Nếu a / /b , c  a c  b C Nếu góc a c góc b c a / /b D Nếu a b nằm mặt phẳng   c / /   góc a c góc b c Câu Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC, ASB  BSC  CSA Hãy xác định góc SB AC A 60 B 120 C 450 D 90 Câu 10 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC , ABD tam giác Góc AB CD A 120 B 60 C 90 D 30 Câu 11 Cho hình hộp ABCD.ABCD Giả sử tam giác ABC , ADC  tam giác nhọn Góc hai đường thẳng AC AD góc sau đây? B ABC B DAC C BBC D DAC Câu 12 Trong mện đề sau, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Câu 13 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J , K trung điểm BC , CA BD Khi góc AB CD là: A JIK B ABC C IJK D JKI Câu 14 Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho SA  a vng góc với  ABC  Tính góc SD BC A 60 B 90 C 45 D arctan Câu 15 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , I trung điểm BC , AD AC Cho  AB  2a , CD  2a MN  a Tính góc   AB, CD A 135 B 60 C 90  D 45 Câu 16 Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Tính góc SB  ABC  A arctan B 60 C 45 D 90 Câu 17 Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  a , ABC cạnh a Tính tan SC ,  SAB  ?   A 5 B C D Câu 18 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   DBC  Tính cos ? 3 Câu 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a ; SA   ABCD  SA  a A B C D Tính góc  hai mặt phẳng  ABCD   SBC  ?   2  D Câu 20 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a ; SA   ABCD  SA  a Tính góc  A B C hai mặt phẳng  SBC   SDC  ? 2   Câu 21 Cho ba tia Ox , Oy , Oz không gian cho xOy  120 , zOy  90 , xOz  60 Trên A B C  D ba tia lấy điểm A , B , C cho OA  OB  OC  a Gọi  ,  góc mặt phẳng  ABC  với mặt phẳng  OBC  mặt phẳng  OAC  Tính tan   tan  A ? B C D Câu 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a ; SA   ABCD  SA  a Tính góc hai đường thẳng SD BC A 60 B 30 C 45 D 90 Câu 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a ; SA   ABCD  SA  a Gọi I J trung điểm SA SC Tính góc hai đường thẳng IJ BD A 90 B 60 C arctan D 45 Câu 24 Cho tứ diện ABCD có CD  AB Gọi I , J , K trung điểm BC , AC , DB Biết IK  A 90 AB Tính góc hai đường thẳng CD IJ B 60 C 45 D 30 Câu 25 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M , N trung điểm AB , BC Tính góc hai đường thẳng MN CD A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 26 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng BD AD A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 27 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M , N , P trung điểm AB , BC , CD Tính góc hai đường thẳng MN AP A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 28 Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M , N , P trung điểm AB , BC , CD Tính góc hai đường thẳng DN AP A 90 B 45 C 60 D 30 Câu 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SA   ABCD  SA  a Tính cosin góc tạo SC mặt phẳng  SAB  Câu 30 Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với A  ABCD  cà B D SA  a Tính sin góc tạo AC mặt phẳng  SBC  A C B C D Câu 31 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ABC   , BC ' tạo đáy góc  Gọi I trung điểm AA’ , biết BIC  900 Tính tan   tan  A B C D.1 Câu 32 Cho hình chóp S.ABC có SA đường cao đáy tam giác ABC vuông B Cho BSC  450 , gọi ASB   Tìm sin  để góc hai mặt phẳng  ASC   BSC  60 15 A sin   B sin   C sin   D sin   D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án C +) Đáp án A sai góc hai đường thẳng bù với góc hai véc tơ phương +) Đáp án B sai góc 90 Câu Đáp án B +) Đáp án A sai đường thẳng vg với mặt phẳng +) Đáp án C, D: Vẽ hình thấy có vơ số đường thẳng mặt phẳng thỏa mãn Câu Đáp án B +) Đáp án A sai vì vg +) Đáp án C sai chẳng hạn  Q   R  cắt nhau,  P  mặt phẳng phân giác Câu Đáp án B CD  AD  CD   SAD     SDA Mà CD  SA Ta có:  SDA vuông cân A nên SDA  450 Câu Đáp án A Đáp án B, C giả sử ta xác định góc  A ' BD   ABCD  góc A ' IA với I trung điểm BD 2 a 2 a 6 2a 6a   a       a2 AI  A ' I  AA '2     4a cos AIA '    24   AI A ' I 2a 12 a a 2a 12 2  cos   1  tan   Câu Đáp án B Giả sử hình chóp S.ABCD Ta có  SAB    ABCD  ;  SAB    SAD  ;  SAD    ABCD  Câu Đáp án B  AB; DH    DC; DH   90 Câu Đáp án B Câu Đáp án D Từ giả thiết suy mặt hình chóp tam giác Gọi M , N , P trung điểm SA, SC , BC Giả sử cạnh hình chóp a MN  NP  a ; MP  SA SAP cân P a 3 PM      a a 2a   3a a a MN  NP  MP a 4      ;cos MNP   a a 4 2.MN NP 2 2 2 2 cos MNP    SB, AC   900 Cách 2: Lấy I trung điểm AC ta có: AC   SIB   AC  SB Cách 3: SB AC  SB  SC  SA   SB.SC  SB.SA  Câu 10 Đáp án C Gọi I trung điểm AB  AB  ( IDC )  AB  CD Ngoài ta sử dụng tích vơ hướng để giải toán Câu 11 Đáp án B Ta có: AC / / A ' C '   AC , A'D    A ' C ', A ' D   DA ' C ' (góc nhọn) Câu 12 Đáp án A Câu 13 Đáp án A Câu 14 Đáp án C Ta có: AD / / BC   SD, BC    SD, AD   ADS  450 Câu 15 Đáp án D 1   IN / / CD; IN  CD  a Theo tính chất đường trung bình tam giác:   IM / / AB; IM  AB  a      AB, CD    IM , IN  Áp dụng định lý cosin ta có: cos   IM  IN  MN 2      450 2.IM IN 2 Câu 16 Đáp án C Ta có SA   ABC   AB hình chiếu SB mặt phẳng  ABC     ASB   SD, AD   450 Câu 17 Đáp án A Hình câu 16 CI  AB  CI   SAB  CI  SA Gọi I trung điểm AB Ta có:   SI hình chiếu SC mặt phẳng  SAB     CSI   SC ,  SAB   CI  tan    SI CI SA2  AI  a a a   2 2  Câu 18 Đáp án B Gọi M trung điểm CB G trọng tâm tam giác BCD nên ta có BC   AGM     AMG Có DM  a a a  GM  ; AM  a GM  cos     AM a 3 Câu 19 Đáp án A Ta có giao tuyến BC   SBA    SBA (góc nhọn) Mà SBA vuông cân A nên   450 Câu 20 Đáp án D (Hình vẽ câu 19) Hai tam giác vng SBC SDC nên có chung chân đường cao M kẻ từ B D     MB, MD  Ta tính góc BMD Trong tam giác vng SBC ta có: 1 1  2  2 BM SB BC a    2a 2a 2   BM  Tương tự DM  a 2a 3 Áp dụng định lý cosin cho BMD ta có: 4a  2a MB  MD  BD cos BMD      BMD  1200    1800  1200  600 2.MB.MD  2  a   3  Hay 2 Câu 21 Đáp án A OAB  AC  a Tam giác OBC vuông BC  a Áp dụng định lý cosin cho OAB  AB  a  ABC có AB  AC  BC  ABC vuông C Gọi H trung điểm AB  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  OH   ABC     OIH ;   OJH (với I , J trung điểm BC AC ) a   OH OH OH  tan  tan        HI HJ HI HJ a a 2 2 Câu 22 Đáp án A Vì BC / / AD, SAD  900   SD, BC   SDA  tan SDA  SA    SD, BC   600 SD Câu 23 Đáp án A (Hình vẽ câu 22) Ta có IJ / / AC ,  IJ, BD   AOB  900 Câu 24 Đáp án A AB a  2 CD 2a 5a IK   AB  ; JK  AB  3 6 a 4a 25a a   JK Ta có: IJ  IK   16 Vậy IJK vuông I Đặt AB  a Ta có: IJ  Ta có IK / /CD   AB, CD   JIK  900 Câu 25 Đáp án B Ta có: AB / /C ' D '   MN , C ' D '   MN , AB   BMN  450 Câu 26 Đáp án C (Hình vẽ câu 25) Có B ' D '/ / BD   BD, AD '   B ' D ', AD '  AD ' B '  600 AB ' D ' cạnh a Câu 27 Đáp án B (Hình vẽ câu 25) MN / / AC   MN , AP    AC , AP   CAP (góc nhọn) Ta có: AC  a a 3a Trong tam giác vng APA ' có AP  2 Áp dụng định lý cosin cho CAP ta có: cos CAP    MN , AP   450 Trong tam giác vng CC ' P có CP  Câu 28 Đáp án A (Hình vẽ câu 25) Gọi N ' trung điểm B ' C ' Ta có ND / / N ' D '   ND, A ' P    N ' D ', A ' P  Có N ' C ' D '  PD ' A '  C ' D ' N '  D ' A ' P ' Mà C ' D ' N '  A ' D ' N '  900  D ' A ' P  A ' D ' N '  900  DIA '  900 hay  DN , A ' P   900 Câu 29 Đáp án C Ta có: CB   SAB   SB hình chiếu SC lên mặt phẳng  SAB    SC ,  SAB     SC , SB   CSB Do CSB vuông B nên: sin CSB  BC  SC BC SA2  AC  a a  Câu 30 Đáp án D (Hình vẽ giống câu 29) Kẻ AH  SB  BC  AH  AH   SBC   AH hình chiếu AC lên mặt phẳng  SBC    AC ,  SBC     AC , HC   ACH Tam giác SAB vuông  AH  SA AB a 6.a a   SB a 7 Vì AHC vuông H  sin ACH  Câu 31 Đáp án D AH  AC ... a Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  A arccos 10 B arccos C arccos 10 10 D arccos 10 Nhận xét: Theo định nghĩa góc hai mặt phẳng ta xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng... A Góc hai đường thẳng góc hai vectơ phương hai đường thẳng B Góc hai đường thẳng góc nhọn C Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) D Góc hai đường... điểm A ta lấy điểm D Tính góc hai mặt phẳng ABC DBC , trường hợp DBC tam giác A arccos B arccos 3 C Đáp Án: B Lời giải: arccos D arccos D H A C a a a B Gọi góc hai mặt phẳng ABC DBC Theo cơng