Bai tap toan hinh 11 bai 2 co dap an hai duong thang vuong goc

GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a và b là góc nhỏ nhất trong bốn góc mà a và b cắt nhau tạo nên Góc giữa hai đường thẳng c[.]

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Góc hai đường thẳng cắt a b góc nhỏ bốn góc mà a b cắt tạo nên Góc hai đường thẳng cắt a b khơng gian góc hai đường thẳng a b qua điểm song song (hoặc trùng) với a b Chú ý: góc hai đường thẳng ln góc nhọn ( vuông ) Phương pháp: Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vecto phương ( vecto pháp tuyến ) hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức: cos   cos  u , v   u.v u.v Đường thẳng vng góc với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a   P  góc đường thẳng a  P  90 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với  P  góc đường thẳng a  P  góc a hình chiếu a a  P  a P B BÀI TẬP MINH HỌA a' Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB , BC , CD Xác định góc hai đường thẳng MN AP A 450 Đáp án A B 30 C 60 D 90 Lời giải Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a MN //AC nên:  MN , AP    AC, AP  Ta tính góc PAC a a Vì ADP vng D nên AP  AD  DP  a     2 2 2 AAP a 5 3a AA  AP  a       vuông A nên AP  2 CCP vuông C nên CP  CC 2  C P  a  a2 a  Ta có AC đường chéo hình vng ABCD nên AC  a Áp dụng định lý cosin tam giác ACP ta có: CP  AC  AP  AC AP.cos CAP  cos CAP   cos CAP  45  90     Nên AC ; AP  CAP  45 hay MN; AP  45 Chọn A Phương pháp 2: Ta có MN AP  MN AP cos  MN , AP   cos  MN , AP   MN AP MN AP * Ta có: MN AP   MB  BN  AA  AD  DP   MB.AA  MB.AD  MB.DP  BN AA  BN AD  BN DP a a a 3a      a   1 2 MN AP  a 3a 2a   2 2 3a Thay 1 ,   vào  ta được: cos MN , AP     MN , AP   450 2a   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a Gọi M , N trung điểm BC , AD Biết MN  a Tính góc AB CD B 30 A 450 C 60 D 90 Đáp án C Lời giải Gọi I trung điểm AC Ta có IM  IN  a Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có: cos MIN  IM  IN  MN a  a  3a     MIN  1200 2.IM IN 2.a.a Vì IM / / AB, IN / /CD   AB, CD    IM , IN   1800  1200  600 Ví dụ 3: Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A , AB  a , AC  a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA , BC Lời giải Chọn D Phương pháp 1: Gọi H trung điểm BC ,  góc AA BC     Ta có AA / / BB BC / / BC nên góc AA, BC   BB, BC Ta tính góc BBH ABC vng A nên ta có: BC  AB  AC  a  3a  2a AH  BC  a  AH  AA2  AH  4a  a  a Vì AH   ABC nên ABH vng A BH  AH  AB2  a  3a  2a cos BBH  BB  BH  BH 4a  a  4a   Chọn A BB.BH 2.2a.a Phương pháp 2: Ta có   cos   cos AA; BC     AA.BC  AA BC    AH  HA BC  AH BC  HA.BC 4a 2a.2a  AH BC 4a  1 AB  AC AC  AB AC  AB  3a  a    2     2 4a 4a 4a Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM A B C D Hướng dẫn giải Chọn B     Cách Gọi N trung điểm AD ta có: MN //AC  AC; BM  MN ; BM Ta tính góc BMN Ta có: BM  BN  MN  AC a  2 a (trung tuyến tam giác đều) Áp dụng định lý cosin cho BMN , ta được: BM  MN  BN MN cos BMN    0 BM MN BM Vậy cos  AC ; BM   Cách cos   cos  AC, BM   AC.BM   AC CM  CB AC BM a  a a2 a2 a 0 a2   a cos120  a a cos120 AC.CM  AC.CB     24  2 a a a a 2 2 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  SA  a Gọi  góc SC  SAB  ,  góc AC  SBC  Giá trị tan   sin  A bằng? 1 B  19 C  21 D  20 Hướng dẫn giải Chọn C Để xác định góc SC  SAB  ta xác định hình chiếu SC lên mặt phẳng  SAB  Ta có: S hình chiếu S  SAB  , B hình chiếu C  SAB   BC  AB   BC  SA Vậy SB hình chiếu SC  SAB    SC,  SAB    BSC   SBC vuông B  tan   tan BSC  BC  SB a SA2  AB  Kẻ AH  SB H mà BC   SAB  nên AH  BC  AH   SBC   HC hình chiếu vng góc AC  SBC    AC,  SBC    ACH   SAB vuông nên 1 a    AH  2 AH AS AB ACH vuông H  sin   sin ACH  Vậy tan   sin   AH 21  AC 7  21 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , đáy có cạnh a có tâm O Gọi M , N trung điểm SA , BC Biết góc MN  ABCD  60 Tính góc MN  SAO  A   arcsin C   arcsin 5 B   arcsin D   arcsin Lời giải Chọn A S M A B P N O H D C Gọi P trung điểm AO  MP đường trung bình SAO  MP / / SO  MP   ABCD   Góc MN  ABCD  góc MNP  60 Áp dụng định lý cosin cho PNC ta có: NP  CN  CP  2CN CP.cos 45  a2  a    a   a 4   a 9a 2a 11a 3a 5a +     8 Trong tam giác vuông MNP ta có : PN 15 15  a PM  NP.tan 60  a  SO  2MP  a cos 60 Gọi H trung điểm CO  NH / / BD  NH  AC MN  Mà NH  SO  NH   SAC   MN ,  SAC    NMH 5a a , MN  (tính trên) NH Vậy MHN ta có : sin NMH  Nên gọi  góc MN  MN   hay   arcsin  SAO  thì: sin   0    2  Ta có : HN  OB  Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có a độ dài cạnh đáy CBS   Gọi  góc cạnh bên với đáy Tính sin  theo  A sin   C sin     12sin   4sin B sin    12sin D sin      12sin Lời giải Chọn A S A C a O a H B Gọi H trung điểm BC , O chân đường cao hạ từ S Ta có AO  AH  a , SHB vuông H nên ta có: Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a CBS   Gọi  góc cạnh bên đáy Tính sin  theo  A sin     12sin B sin    12sin C sin     4sin D sin      12sin Lời giải Chọn A Gọi H trung điểm BC , O chân đường cao hạ từ S 3 a Ta có AO  AH  SHB vng H nên: sin   BH BH a a  SB    SA  SB  SC     SB sin 2sin 2sin 2 Trong tam giác vng SAO ta có: SO  SA  AO  2 a2 a  a2    4sin 6sin 2  12sin Góc cạnh bên đáy SAO  sin    SO    12sin SA Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD Thiết diện qua đỉnh A vng góc với cạnh bên SC có diện tích thiết diện nửa diện tích đáy Gọi  góc cạnh bên đáy Tính  A   arcsin  33 B   arcsin  33 C   arcsin  33 D   arcsin  33 Lời giải Chọn B Đặt cạnh đáy hình vuông ABCD a  AC  a Giả sử thiết diện qua A cắt SC , SB , SD K , N , M Theo giả thiết SC   ANKM   MN  SC Mặt khác: BD  SC (vì BD   SAC  )  MN //BD  MN   SAC   MN  AK  S ANKM  AK MN  SCA    AK  AC sin   a sin  MN SO SO  OO OO     1 (vì AOO  ACK   ; với O  MN  AK ) BD SO SO SO a cot  MN   OO  a cot    1   cot  BD OC tan     MN  BD 1  cot    a 1  cot        2  Ta có S AMKN  S ABCD  AK MN  a  a sin  a 1  cot    a 2 2     2sin   1  sin   4sin   sin         2   sin    33  33    arcsin 8 Ví dụ 11 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  AB  a Tính diện tích tam giác SBD theo a A a B a C Lời giải Chọn C a D a  BD  AC  BD  SO  BD  SA Gọi O  AC  BD ta có:  Khi S BCD  SO.BD  SA2  AO a  a 2 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng, cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  AB  a Tính Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng  SBD    A arcsin   B arcsin    3 4 C arcsin   D arcsin   3 3 Lời giải Chọn C Gọi H hình chiếu C lên SO  O  AC  BD  (vì góc SOC tù nên H nằm   CH  SO  CH   SBD   SC ,  SBD   CSO CH  BD ngồi SO ) Ta có:  a SA SO a CH Ta có: SAO CHO      CH   sin CSO   SH CO a SC 3 1  CSO  arcsin   3 ... lý cosin cho BMN , ta được: BM  MN  BN MN cos BMN    0 BM MN BM Vậy cos  AC ; BM   Cách cos   cos  AC, BM   AC.BM   AC CM  CB AC BM a  a a2 a2 a 0 a2   a cos 120  a a cos 120 ... SO a cot  MN   OO  a cot    1   cot  BD OC tan     MN  BD 1  cot    a 1  cot        2? ??  Ta có S AMKN  S ABCD  AK MN  a  a sin  a 1  cot    a 2 2 ...  SB  SC     SB sin 2sin 2sin 2 Trong tam giác vuông SAO ta có: SO  SA  AO  2 a2 a  a2    4sin 6sin 2  12sin Góc cạnh bên đáy SAO  sin    SO    12sin SA Ví dụ 10 Cho hình