Toan 11 c8 b4 2 khoang cach phần thể tích tuluan p1 de

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 4: KHOẢNG CÁCH I LÝ THUYẾT = = = CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP, KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI HỘP I 4.1 Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c : V = abc 4.2 Thể tích khối lập phương có kích thước a : V = a 4.3 Thể tích khối chóp S V  S.h + Thể tích khối chóp h C A Trong đó: S diện tích đa giác đáy h : chiều cao khối chóp H B 4.4 Thể tích khối chóp cụt V  h S  S.S  S  + Thể tích khối chóp cụt   Trong đó: S , S  diện tích hai đáy h : chiều cao khối chóp 4.5 Thể tích khối lăng trụ C1 A1 B1 Thể tích khối lăng trụ V S.h S diện tích đa giác đáy h : chiều cao khối lăng trụ Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao độ dài cạnh bên A C G H B Page 80 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Tỉ số thể tích Cho hình chóp S ABC Trên đoạn thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm M , N , K khác S với S , ta có: VS MNK SM SN SK  VS ABC SA SB SC M A K n N C B + Các công thức tính nhanh (nếu có), có chứng minh cơng thức tính nhanh (nếu có thể) CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT SỬ DỤNG ĐỂ LÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÔNG THỨC 1: Với tứ diện ABCD có AB, AC , AD đơi mợt vng góc AB a, AC b, AD c , ta có VABCD  abc Chứng minh 1 1 VABCD  AD.SABC  AD AB AC  abc 3 Ta có a3 V 12 CÔNG THỨC 2: Thể tích khối tứ diện cạnh a : Chứng minh Page 81 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Xét tứ diện ABCD cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác BCD a2 a a AG  a   DG  3 Ta có , suy Diện tích tam giác BCD : S BCD a2  a a2 a3 V  3 12 Thể tích khối tứ diện cạnh a là: V  h B  B ' BB CÔNG THỨC 3: Thể tích khối chóp cụt với h khoảng cách giữa hai đáy, B, B diện tích hai đáy   CÔNG THỨC 4: Thể tích khối tứ diện biết góc  ,  ,  cạnh a , b, c tại một đỉnh: V abc  cos  cos  cos   cos   cos2   cos  Chứng minh Page 82 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Xét tứ diện S ABC có góc  ,  ,  cạnh a , b, c tại đỉnh S hình vẽ Dựng mặt phẳng qua A , vng góc với SA , cắt cạnh SB, SC tại B, C  SB  Ta có SA a SA a  ; SC    cos  cos  cos  cos  AB a tan  , AC  a tan  VS ABC SB SC  bc   VS ABC  SB SC a cos  cos  Áp dụng định lí cosin SBC  , có  AC   AB2  AC 2  BC 2 ABAC .cos B  1 cos    cos   a tan   a tan   a    a   2  2  cos  cos  cos  cos    cos  cos    AC  a cos   cos  cos   AB AC .cos B cos  cos   AB AC.sin B AC Ta có a tan  tan   a a 2  AC   AB AC   AB AC .cos B  cos   cos   cos   cos  cos  cos  cos2  cos2    cos     cos    cos a    cos   cos2   cos  cos  cos  cos  cos2   cos   cos   cos2   cos  cos  cos  cos  cos   S ABC    AC  a  cos2   cos2   cos2   cos  cos  cos  AB AC .sin B  2 cos  cos  Page 83 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Suy VS ABC  bc VS ABC   abc  cos  cos  cos   cos   cos   cos  a cos  cos  AB a; CD b; d  AB, CD  d ;  AB; CD   CÔNG THỨC 5: Cho tứ diện ABCD có Khi VABCD  abd sin  Chứng minh Trong mặt phẳng  ABC  vẽ hình bình hành CBAA Ta có AA  BC nên VABCD VABCD Gọi MN đoạn vng góc chung AB CD với M  AB, N  CD Vì BM CA nên VBACD VMACD Ta có MN  AB nên MN  CA MN   CDA Ngoài MN  CD nên Ta có  AB, CD   AC , CD   1 1 VMACD  S ACD MN   CA CD sin  MN  AB CD d sin  3 Do VABCD  AB CD.d sin  Vậy CÔNG THỨC 6: Tỉ số thể tích hai hình chóp có đáy hình bình hành Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành; hình chóp tứ giác S ABC D có A, B, C , D nằm VS ABC D SA SC   SB SD      SA SC  SB SD  cạnh SA, SB, SC , SD ; đó: VS ABCD Page 84 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Chứng minh VS ABC D VS AC D VS AC B SA SC  SD  SA SC  SB     V V V SA SC SD SA SC SB S ABCD S ACD S ACB Ta có SA SC   SB SD      SA SC  SB SD  CÔNG THỨC 7: Mặt phẳng   cắt cạnh khối lăng trụ ABC ABC  tại AM BN CP x yz  x,   y , z VABC MNP  VABC ABC   M , N , P cho AA BB CC Khi Chứng minh Ta có VABCMNP  VNACB  VNACPM VNACB  BN BN VBACB   VABCAB C  BB BB  1 VNACPM S ACPM (CP  AM ) 2  CP AM        VBACC A S ACC A AA  CC  AA  Page 85 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  CP AM   VNACPM      VABCABC   CC  AA   2  BN CP AM  VABCMNP  VNACB  VNACPM =     VABCABC  1 2      BB CC AA   Từ suy A , B ,C , D CÔNG THỨC 8: Cho hình hợp ABCD ABC D, lấy 1 1 cạnh AA, BB, CC , DD cho bốn điểm đồng phẳng Ta có tỉ số thể tích hai khối đa diện: VABCD A1B1C1D1 VABCD ABCD  AA CC1   BB1 DD1    1      AA CC    BB DD  Chứng minh Gọi I , I  trung điểm AC , AC  Ta chứng minh ba mặt phẳng  ACC A ,  BDDB ,  A1B1C1D1  Ta có Suy  ABBA //  CDDC  đôi một cắt theo ba giao tuyến đồng quy tại , suy I1 A1 B1 // C1D1 Tương tự, ta A1 D1 // B1C1 A1B1C1D1 hình bình hành, ta có I1 trung điểm A1C1 II1 đường trung bình hình thang AA1C1C BB1D1D , suy 2II1  AA1  CC1 BB1  DD1 Ta có AA1 CC1 BB1 DD1    Suy ra: AA CC  BB DD Áp dụng công thức tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác, ta có: VABCD A1B1C1D1 VABC A1B1C1  VACD A1C1D1  AA BB CC  1  AA DD1 CC1       VABCD ABC D      VABCD ABC D  AA BB  CC    AA DD CC    AA CC   BB DD1      VABCD ABCD     VABCD ABCD  AA CC    BB DD  Page 86 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  SAB  ,  SBC  ,  SCA  vng góc CƠNG THỨC 9: Cho hình chóp S ABC với mặt phẳng S ,S ,S với đôi một, diện tích tam giác SAB, SBC , SAC Khi đó: VS ABC  S1S2 S3 Chứng minh Đặt SA  a, SB  b, SC  c 1 S1  ab; S  bc; S3  ca 2 Suy      ab   bc   ca  2.S1.S2 S3 abc      abc    6 3 2 VS ABC  ABC  , hai mặt phẳng CƠNG THỨC 10: Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với   SAB   SBC  vng góc với nhau, BSC  ; ASB  Khi đó: VS ABC  SB sin 2 tan  12 Chứng minh SA SB.cos   SAB   SBC  vuông góc với Page 87 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  SAB  Nên BC vng góc 1 BC SB tan   SSBC  SB.BC  SB tan  2 Tam giác SBC vuông tại B nên Kẻ AK vuông góc SB Lúc AK khoảng cách từ A đến SBC Do AK vng góc BC SB Ta có AK  SA.sin  SB.sin cos AK  SB sin 2 VS ABC  SB sin 2 tan  12 CƠNG THỨC 11: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên b VSABC  a 3b  a 12 Khi đó: Chứng minh 2 3 AG  AM  a a 3   3b  a SG  b   a     VS ABC 1 3b  a a 3b  a  a  2 12 CƠNG THỨC 12: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  a tan  24 Chứng minh Page 88 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 1 3 GM  AM   a  a 3 SG  a tan  1 3 a 3tan VS ABC  a atan  2 24 CƠNG THỨC 13: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  3b3 sin  cos  Chứng minh SG b sin  3 AM  AG  b.cos  BC  3.b.cos 2 S ABC  3 2 3b3 sin  cos  b cos   VS ABC  4 CƠNG THỨC 14: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA SB SC SD b Page 89 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN  DA '2  DC '2 4b  2  DA '  DB ' 4a   DB '2  DC '2 4c Ta có  Khi đó: VABCD   DA '2 2( a  b  c )  2 2  DB ' 2(a  b  c )  DC '2 2( a  b  c )  1 ( a  b2  c )( a  b2  c )( a  b  c ) DA '.DB '.DC '  24 Cách 2: Dựng lăng trụ AMNBCD hình bên N n A m h a B M I b D C c Từ giả thiết ta có: MNDC hình thoi; tam giác CAN , DAM tam giác cân, suy ra: AI  NC , AI  DM  AI  (CDMN ) 1 1 VABCD  VA.MNDC  4VA.IMN 2VA.IMN  IA.IM IN  h.m.n 2 3 Ta có:   a  b2  c m   h  m c  2   a  b  c2 2 h  n  b   n   m  n a    a2  b2  c2 h   Từ Suy ra: VABCD  ( a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) Cách 3: Dựng hình hợp chữ nhật AMCN PBQD hình bên Page 91 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN N C n b A m c p M D a Q P B Gọi kích thước hình hợp m, n, p VPADB VMABC VQBCD VNACD  VAMCN PBQD Ta có: Suy ra: 1 VABCD  VAMCN PBQD  m.n p 3  a  b2  c m  2 2  m  n b     a  b2  c 2  m  p a  n   p  n2 c    a  b2  c p   Ta có: VABCD  ( a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) Cách 4: A b I P a c M G B Q N D J C Gọi I , J , M , N , P, Q trung điểm AB, CD, AC , BD, AD, BC Page 92 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta thấy tứ giác MINJ hình thoi Ta chứng minh PQ vng góc với AD BC nên PQ vng góc với mp  IMJN  Gọi G giao điểm đường IJ , MN , PQ Ta có 1 VPMINJQ 2VP.MINJ 2 PG IJ MN  PQ.IJ MN VAIMP VBINQ VCQMJ VDPNJ  VABCD Vì nên VPIMJNQ VABCD  (VAIMP  VBINQ  VCQMJ  VDPNJ )  VABCD VABCD 2VPIMJN  PQ.IJ MN Suy Ta tính được: IJ IC  CJ  AC  BC AB CD b  c  a    4 Tương tự: PQ  b2  a2  c2 a  b2  c2 MN  2 ; Từ đó: VABCD  ( a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) Page 93 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN = = = DẠNG THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY I Kiến thức cần nhớ: V  B.h 1) Công thức tính: ( B : diện tích đáy h chiều cao khối chóp) 2) Chiều cao khối chóp thường tính đợ dài cạnh vng góc với đáy Loại 1: Tính công thức Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ): Ở loại tốn trình bày cách tính thể tích khối chóp có mợt cạnh vng góc với đáy sử V  B.h dụng đơn công thức , B : diện tích đáy h chiều cao khối chóp Ta cần nhớ mợt số kiến thức sau: Các hệ thức lượng tam giác vuông 2  BC  AB  AC  AH BC  AB AC 2  AB  BH BC , AC CH CB 1  2 AB AC , AH  BH CH  AH Các hệ thức tam giác thường  Định lý hàm cosin: 2  a b  c  2bc cos A 2  b a  c  2ac cos B 2  c a  b  2ab cos C  Định lý hàm sin: a b c   2 R  sin A sin B sin C ( R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC ) Page 94 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  Công thức tính diện tích tam giác: 1 SABC  a.ha  b.hb  c.hc 2    S ABC A SABC  abc R , S ABC  pr   mc2   b2  c   a , mb2  B C a bc Trong đó: , r bán kính đường trịn nợi tiếp p S  p  p  a   p  b  p  c    Công thức tính độ dài đường trung tuyến: ma2  1  bc sin A  ac sin B  ab sin C 2 A  a  c   b2 b c ma  a  b2   c B C a Diện tích đa giác:  Tam giác vuông A SABC  AB AC  Diện tích: B C A  Diện tích tam giác  Diện tích: S AB h AB h  Đường cao: B  Hình vng:  Diện tích: S  AB H C A D B C  Đường chéo: AC  BD  AB  Hình chữ nhật:  Diện tích: S  AB AD D A 2  Đường chéo: AC  BD  AB  AD O B C Page 95 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  Hình thoi: A B S  AC.BD  Diện tích:  Đặt biệt: góc hình thoi 60 , hình thoi tạo tam giác C  Hình thang: S A D D  AD  BC  AH  Diện tích:  Đặc biệt: Hình thang vng, hình thang cân B Câu 1: Câu 2: Câu 3: H C Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng tại A , AB a, AC 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC SA   ABC  , ABC Cho hình chóp S ABC có vng cân tại A, SA  BC a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC SA   ABC  Cho khối chóp S ABC có , tam giác ABC vng tại B , AB a , AC a Tính thể tích khối chóp S ABC , biết SB a Câu 4: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc đáy SA 2 3a Tính thể tích V khối chóp S ABC Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8:  SA   ABC  SA a AB a AC 2a Cho khối chóp S ABC có , , , BAC 120 Tính thể tích khối chóp S ABC Hình chóp S ABCD có đáy hình vng, SA vng góc với đáy SA a , AC a Khi thể tích khối chóp S ABCD SA   ABCD  , AB 3a AD 2a Cho khối chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, , , SB 5a Tính thể tích V khối chóp S ABCD theo a ABCD  , Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  đáy ABCD hình thang vng tại A B có AB a, AD 3a, BC a Biết SA a 3, tính thể tích khối chóp S BCD theo a Câu 9:  Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc BAD 60 , a SA   ABCD  SA  , Thể tích khối chóp S ABCD Page 96 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA a SA vng góc với mặt phẳng đáy, tam giác SBD tam giác Thể tích khối chóp S ABCD LOẠI 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY KHI BIẾT GĨC GIỮA ĐƯỜNG VÀ MẶT PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ): Cách xác định góc giữa đường thẳng mặt phẳng - Nếu d   P d ,  P   90 d , P  d , d ' P     với d ' hình chiếu d  P    d - Nếu khơng vng góc với 0 d ,  P   90 Chú ý: Câu 11: Cho hình chóp SABCD, ABCD hình vng cạnh 2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD  Góc giữa SC  60 Tính thể tích khối chóp SABCD Câu 12: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vng cân tại B với AC a biết SA vng góc với đáy  ABC  SAB  SC hợp với  mợt góc 30 Tính thể tích khối chóp SABC Câu 13: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC SBC  SA hợp với  mợt góc 45 Tính thể tích khối chóp SABC LOẠI 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC ĐÁY KHI BIẾT GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ): - Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau: Cho hai mặt phẳng  P  Q cắt P theo giao tuyến d Từ một điểm I d ta dựng đường thẳng a   vng góc Q P Q với d dựng đường thẳng b   vng góc với d Khi góc giữa     góc giữa hai đường thẳng a b - Diện tích hình chiếu đa giác: S '  S cos  P (với S diện tích đa giác nằm   S ' diện tích hình chiếu vng góc đa giác  Q ,  góc giữa  P  Q ) Câu 14: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Biết góc giữa hai mặt phẳng S ABCD  SBD   ABCD  30 Tính thể tích khối chóp Page 97 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 15: Cho khối chóp S ABC có ABC tam giác vng cân tại A, BC a 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc giữa hai mặt phẳng S ABC  SBC   ABC  45 Tính thể tích khối chóp Câu 16: Cho khối chóp S ABC có cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc giữa hai mặt phẳng  SBC   ABC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC biết SA a diện tích tam giác SBC 3a Câu 17: Cho khối chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy Góc giữa hai mặt phẳng  SAD   SBC  60 Tính thể tích khối chóp S ABCD Page 98 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN LOẠI TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY KHI BIẾT KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI (KIẾN THỨC CẦN NHỚ): 1) Cần nhớ kiến thức xác định khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Xét tam giác SHM vuông tại H , HM vng góc với BC HK đường cao  SBC  ta sử dụng công thức  Tính khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên HM SH HK  HM  SH  Tính độ dài cạnh SH ta sử dụng công thức HM HK SH  HM  HK 2) Trong trường hợp toán cho khoảng cách từ mợt điểm tḥc đáy đến mặt bên, ta phải dùng tỷ lệ để đưa khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên Câu 18: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt  ABC  Khoảng cách đáy d từ A  SBC  đến mặt phẳng a 15 Tính VS ABC Câu 19: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB a, AD 2a ; cạnh bên SA vng góc với đáy Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng khối chóp S ABCD  SBD  2a Tính thể tích Câu 20: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng tại A B , AD 2 BC , AB  BC a Đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi E trung điểm cạnh AD , khoảng cách d từ điểm E đến mặt phẳng chóp S ABCD  SCD  a Tính thể tích khối Page 99 Sưu tầm biên soạn