Toan 11 c8 b4 3 khoang cach phần thể tích tuluan p2 hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 4: KHOẢNG CÁCH DẠNG 4: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG – ĐỀU Câu 48: Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có BB a , đáy ABC tam giác vuông cân B BA BC a Tính thể tích V khối lăng trụ cho Lời giải 1 a3 V ABC A' B 'C ' SABC BB '  BA.BC.BB '  a.a.a  2 Câu 49: Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB 3 , AC 5 , AA 8 Thể tích khối hộp cho Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 2 Ta có: AD BC  AC  AB 4 Thể tích khối hộp chữ nhật cho là: V  AB AD AA 3.4.8 96 Câu 50: Khối lập phương ABCD ABC D có độ dài đoạn AC a Thể tích khối Lời giải D' A' C' B' A D B C 2 2 2 Ta có: AC  AA  AC  AA  AB  BC 3 AB  a  a3 AC a V  AB   ABCD AB C D     3   Suy ra: Do đó: Câu 51: Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vng B , cạnh AB a , BC 2a , AA a Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải 1 S ABC  AB.BC  a.2a a 2 Ta có ABC vng B nên  Vậy thể tích khối lăng trụ cho VABC ABC SABC AA a a a Câu 52: Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB 4a Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN AA a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Lời giải B C 4a A a B' C' A' V S ABC AA  AB AA 8a 3 Thể tích khối lăng trụ cho Câu 53: Thể tích khối lăng trụ đứng ABC AB ' C  có đáy tam giác cạnh a AA a Lời giải a2 B Đáy tam giác cạnh a , suy diện tích đáy ABC AB ' C  khối lăng trụ đứng nên có chiều cao h  AA a a2 3a V  B.h  a  4 Thể tích khối lăng trụ ABC AB ' C  Câu 54: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy 2a , độ dài cạnh bên a Thể tích V khối lăng trụ Lời giải Theo tính chất lăng trụ tam giác đều, đáy tam giác ABC cạnh bên vng góc với đáy Do áp dụng công thức V SABC h  2a  3a a  4 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 55: Cho khối lăng trụ tứ giác có cạnh đáy a , chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải Ta có: V  B.h a 2a 2a Câu 56: Cho hình lăng trụ tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên a Thể tích khối lăng trụ Lời giải Lăng trụ cho lăng trụ tứ giác nên đáy hình vng cạnh a Cạnh bên vng góc với mặt đáy  Diện tích đáy hình lăng trụ  B a  2a Vậy thể tích khối lăng trụ cho V B.h 2a a 2a Câu 57: Cho lăng trụ tam giác có độ dài tất cạnh 3a Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải 9a B  3a   4 Diện tích đáy hình lăng trụ là: Chiều cao hình lăng trụ là: h 3a Thể tích khối lăng trụ là: V B.h  9a 27 a 3 3a  4 Câu 58: Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết C A a AC C 45 Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN 2 AC  AC .sin AC C a a CC   AC .cos AC C a a 2 Trong ACC  có ; Trong BAC có AC BA2  BC  AC 2 BA2  BA  AC a  1 a2 a3 VABC ABC CC .S ABC CC  .BA2 a  2 Thể tích khối lăng trụ Câu 59: Cho lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy tam giác cạnh Mặt phẳng ( AB C ) tạo  với mặt đáy 45 Thể tích lăng trụ ABC AB C  Lời giải A B C A' B' M C' Xét ( AB C ) ( AB C ) : Gọi M trung điểm B C  , tam giác AB C  nên AM  B C  , mặt khác lăng trụ ABC AB C  lăng trụ đứng nên AA  B C  Do AB C ), ( AB C ))   AMA 45 ( AAM )  B C  Vậy ((   Tam giác AAM vng A có AMA 45 nên vng cân A AA  AM  2  S AB C    ; Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  Suy VABC ABC   AA S ABC   3 3 o  Câu 60: Cho khối hộp đứng ABCD A1B1C1D1 có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC 120 , đường  ABCD  góc 60o Tính thể tích khối hộp cho thẳng AC1 tạo với mặt phẳng Lời giải Ta có    AC 60o CC1   ABCD    AC1 ,  ABCD  C ;  AC BA2  BC  BA.BC cos ABC a  Xét tam giác vng ACC1 , có: CC1  AC.tan C1 AC 3a Vậy VABCD A1B1C1D1 3a S ABCD CC1 BA.BC.sin120 CC1   o Câu 61: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi M trung điểm BC , AM a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Lời giải C' A' B' A C M B Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 2 AA  AM  AM  VABC ABC  S ABC AA   a 3 2 a  3a       3a a 9a  Câu 62: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng cân B AC 2a , biết  A ' BC  hợp với đáy  ABC  o góc 45 Thể tích lăng trụ là: Lời giải Do tam giác ABC vuông cân B, độ dài cạnh huyền AC 2a nên ta có : BA BC a o  Góc tạo mặt phẳng ( A ' BC ) đáy ( ABC ) góc A ' BA 45 đó: AA '  AB a Vậy thể tích lăng trụ là: V B.h  a 2.a a a 2 Câu 63: Cho hình hộp đứng ABCD ABC D có đáy hình vng cạnh a Khoảng cách từ điểm A a đến mặt phẳng ABCD Tính thể tích hình hộp theo a Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN BC  AB     ABCD   AABB  Ta có: BC  BB '  BC  ( AA ' B ' B) AH  BC   Gọi H hình chiếu A AB , suy AH  A ' B   AH  ( A ' BCD ') Như AH khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BCD ')  AH  a 1 1  2    2 3a a 3a AH AB Trong tam giác AAB , ta có AA Khi thể tích hình hộp là: V S ABCD AA a a AA ' a 3 a 3 Câu 64: Lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vuông A , BC 2a, AB a Mặt bên BBC C hình vng Khi thể tích lăng trụ Lời giải 2 Áp dụng định lý Pitago ta có AC  BC  AB a 1 a2 S ABC  AB AC  a.a  2 Vì BBC C hình vng nên BB BC 2a Vậy thể tích lăng trụ V S ABC BB  a2 2a a 3 Câu 65: Thể tích khối lăng trụ lục giác có tất cạnh a Lời giải Thể tích khối lăng trụ V B.h V B.h Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Với h a , Vậy V B 6 3a 3a  3 3 a a  a 2  Câu 66: Cho hình hộp đứng ABCD ABC D có đáy ABCD hình thoi cạnh a , góc BAD 60 Cho biết góc đường chéo BD mặt đáy 60 Thể tích khối hộp cho Lời giải Ta có : ABD cạnh a  BD a Ta có: DD   ABCD   BD  ABCD  hình chiếu BD lên mặt phẳng   BD 60 BD,  ABCD   BD, BD  D  Do đó: Ta có: DBD vuông D  DD BD.tan 60 a Vậy VABCD ABCD DD.S ABCD DD.2S ABD a 3.2 a 3a3  Câu 67: Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a Góc tạo đường thẳng AB AAC  mặt phẳng  30 Thể tích khối lăng trụ Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN C' A' B' A I C B Gọi I trung điểm cạnh AC Khi đó, BI  AC  AA ' C ' C    ABC  (tính chất hình lăng trụ đều)   AA ' C ' C    ABC   AC  BI   ABC  Lại có,  nên BI   AA ' C ' C   BI   AA ' C   AA ' C  Do đó, góc tạo đường thẳng A ' B mặt phẳng  góc BA ' I 30 a  ' I  BI  A ' B  BI sin BA  a  A'B sin BA ' I sin 30 Xét tam giác A ' BI vng I , ta có:  AA '  A ' B  AB a Ta có: VABC A ' B 'C ' S ABC AA '  a2 a3 a  4 Câu 68: Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB a , góc đường thẳng AC mặt phẳng  ABC  45 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Lời giải Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 76: Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng cạnh a , góc mặt phẳng  D ' AB  mặt phẳng  ABCD  30 Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Lời giải Ta có AB   ADD ' A '  AB  D ' A Lại có AB  AD   ' AD 30 D ' AB  ;  ABCD   D ' A, AD  D   Suy a 0  DD ' tan 30 AD   Xét D ' DA vuông D; AD a; D ' AD 30 Vậy VABCD A ' B 'C ' D ' DD '.S ABCD  a a3 a  3 Câu 77: Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB a , góc đường thẳng AB mặt phẳng  BCC B 30 Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi I trung điểm BC   AI  BC  Khi  AI  BC   AI   BBC C    AI  BB  BI 30   AB,  BBC C    AB, BI   A Đặt h BB tan 30  Ta có AI   BI a a2 h  Suy thể tích khối lăng trụ cho  h a V a2 a3 a  4 Câu 78: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh 2a Biết diện tích tam giác ABC 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Lời giải Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN S AA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  ABC  2a  Vì tam giác ABC nên có diện tích a S ABC  BC AH 2a Gọi H trung điểm cạnh BC Tam giác ABC cân A nên BC 2a  AH  Với 2a 2a 2a Xét tam giác AAH vng A có cạnh AA  AH  AH   2a    a  AH   2a  a AH 2a , suy 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC  bằng: a 3.3a 3a Câu 79: Cho khối hộp hình chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, AC 2 3a ,   C ' BD  ,  ABCD   60 Thể tích khối hộp chữ nhật cho Lời giải Gọi O  AC  BD  OC  AC AC a a AB  2 ,  BD  C ' BD    ABCD   BD   ACC ' A '   OC '  ACC ' A '    ABCD   OC  ACC ' A '   C ' BD  Ta có:  Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN    ' 60  COC '  90    C ' BD  ,  ABCD    OC ', OC  COC Xét tam giác COC ' vuông C : Ta có: Ta có:  tan COC ' CC '   CC ' OC tan COC ' a tan 60 3a OC   VABCDA ' B ' C ' D ' S ABCD CC '  a 3a 18a Câu 80: Cho khối lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy 2a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  a Thể tích khối lăng trụ cho Lời giải Gọi M trung điểm BC  I hình chiếu A lên AM Khi ta có  BC   AM  BC    AMA   BC   AI   BC   AA Mà AM  AI Từ suy  2 AI   ABC   d  A,  ABC    AI a Xét tam giác vuông AAM : 1 a    AA  2 AI AA AM  Thể tích khối lăng trụ cho V  AA.SABC 2a a 4a   Câu 81: Cho hình lập phương ABCD ABC D có khoảng cách hai đường thẳng AB BD Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 3a Thể tích khối lập phương ABCD ABC D Lời giải B C A D O H x C' B' A' D' Gọi O giao điểm BD AC Ta có:  BD  AC   BD  CC   AC  CC  C  BD   ACC A  Trong  ACC A : Từ C Khi ta có: Ta lại có: hạ CH  C ' O H CH  BD  CH  C O C ' O  BD O  CH   BDC '  AB // DC    BDC  AB '   BDC '  AB //  BDC  2a  d  AB; BD  d  AB;  BDC   d  A;  BDC   d  C ,  BDC   CH  CC  x    x CO   Đặt cạnh hình lập phương x 1 3    2 2  2 2 CC ' CO 4a x x x  x 4a  x 2a Khi CH 2a Do thể tích khối lập phương   8a DẠNG 5: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ XIÊN Câu 82: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt phẳng   ABC  trùng với trung điểm BC Tính đáy 30 Hình chiếu A xuống mặt phẳng thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Page 20 Sưu tầm biên soạn