Bài 2 2 cấp số cộng cd vở bài tập

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số khơng đổi d , tức là: un un   d ( n 2) Số d gọi công sai cấp số cộng u Nếu  n  cấp số cộng với cơng sai d với số tự nhiên n 2 , ta có: un  un  d Chú ý: Khi d 0 cấp số cộng dãy số không đổi II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng ( u n) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un =u1+(n−1)d  với n ≥ 2.  Nhận xét: u n−u1 + với n ≥ d III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Từ công thức un =u1+(n−1)d , ta có: n= Cho cấp số cộng u u  n Sn  n Nhận xét:  un  có số hạng đầu u1 công sai d Đặt Sn u1  u2  u3  un Khi đó:  2u1   n  1 d  n Sn   Do nên Suy B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP un u1   n  1 d u1  un 2u1   n  1 d Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng Phương pháp Sử dụng định nghĩa  un  cấp số cộng un1  un d , Để chứng minh dãy số với d số  un  cấp số cộng, ta xét d un1  un  un  cấp số cộng với công sai d  Nếu d số  Nếu d phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un 2020n  2021 b) Dãy số  un  với un  2n   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un n2  n  b) Dãy số  un  với un   1 n  3n  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Xác định số hạng , công sai số hạng tổng quát cấp số cộng Phương pháp  Xác định cấp số cộng xác định số hạng đầu u1 công sai d  Từ giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 d giải hệ Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  có u3 15 d  Tìm un  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Một cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu 5, số hạng thứ tám 40 Khi cơng sai d cấp số cộng bao nhiêu?  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Cho cấp số cộng  un  có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17  Lời giảiLời Lời giảigiải u  Ví dụ 4: Cho cấp số cộng n có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17 u  Cho cấp số cộng n có u1  2u5 0 S 14 Tính số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Tính tổng số hạng cấp số cộng Phương pháp Tính tổng n số hạng nhờ cơng thức: Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  Sn  n  u1  u n  n  2u1   n  1 d    có u1 4 d  Tính tổng 100 số hạng cấp số cộng  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Xét số nguyên dương chia hết cho Tính tổng số 50 số nguyên dương  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Tính tổng S 1        2n  1  2n với n 1 n    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 4: Cho cấp số cộng số cộng cho  un  thỏa mãn u2  u8  u9  u15 100 Tính tổng 16 số hạng cấp  Lời giảiLời Lời giảigiải 2 u  Ví dụ 5: Cho cấp số cộng n có cơng sai d  u2  u3  u4 đạt giá trị nhỏ Tính tổng S100 100 số hạng cấp số cộng  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Biết u4  u8  u12  u16 224 Tính S19  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x cấp số cộng) Phương pháp Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho số  4;1;6; x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm x  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Nếu số  m;  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng m bao nhiêu?  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Với giá trị x y số  7; x; 11; y theo thứ tự lập thành cấp số cơng?  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Chứng minh hệ thức cấp số cộng lập thành cấp số cộng, toán có sử dụng yếu tố cấp số cộng Phương pháp Nếu  un  cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số u u uk  k  k 1 cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành cấp số cộng  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, chứng minh 2 a) a  2bc c  2ab b) a  8bc  2b  c   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 3a ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác theo a  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành x  3mx  2m  m   x  9m  m 0 cấp số cộng:  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số 2 cộng: x  10 x  2m  7m 0  Lời giảiLời Lời giảigiải C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Vì sao? 11 , , 2, , a) 10,  2,  14,  26,  38 ; b) c) 1, 2, 3, 4, ; d) 1, 4, 7,10,13  Lời giảiLời Lời giảigiải u Bài Trong dãy số  n  với số hạng tổng quát sau, dãy số cấp số cộng? Nếu cấp số cộng, tìm số hạng đầu u1 cơng sai d a) un 3  2n b) un  3n  c) un 3n  Lời giảiLời Lời giảigiải  un  có số hạng đầu u1  , công sai d 5 a) Viết công thức số hạng tổng quát un Bài Cho cấp số cộng b) Số 492 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số 300 có số hạng cấp số cộng không?  Lời giảiLời Lời giảigiải Bài Cho cấp số cộng  un  có u1 4, u2 1 Tính u10  Lời giảiLời Lời giảigiải u1  u2  u3  với a) Tìm công sai d viết công thức số hạng tổng quát un b) Số - 67 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số có phải số hạng cấp số cộng không? u Bài Cho cấp số cộng  n  u1   Lời giảiLời Lời giảigiải Bài Tính tổng 100 số hạng đầu dãy số  un  với un 0,3n  với n 1  Lời giảiLời Lời giảigiải Bài Chiều cao (đơn vị: centimét) đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường cho cơng thức: xn 75   n  1 (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm tuổi centimét? x b) Dãy số  n  có cấp số cộng khơng? Trung bình năm, chiều cao đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên centimét?  Lời giảiLời Lời giảigiải Bài Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương 120 triệu Kể từ năm thứ hai trở đi, năm tiền lương tăng 18 triệu Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương 24 triệu Kể từ quý thứ hai trở đi, quý tiền lương tăng 1,8 triệu Nếu người tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em chọn phương án khi: a) Kí hợp đồng lao động năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?  Lời giảiLời Lời giảigiải D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Dãy số sau cấp số cộng? 1  ;  ;0; ; ;1; A 3 3 B 15 2;12 2;9 2; 2; 11 ;1; ; ; ; C 5 5 Lời giải: ; ; 3; ; ; 3 3 D 1 u1  , d công sai Năm số hạng liên tiếp cấp Câu Cho cấp số cộng có số hạng đầu số là: 1 1 1 1  ;0;1; ;1  ;0; ;0; ;1; ; 2;  ;0; ;1; A B 2 C 2 D 2 Lời giải: Câu Viết ba số hạng xen số 22 để cấp số cộng có năm số hạng A 7; 12; 17, B 6; 10; 14 C 8; 13; 18 D 6; 12; 18 Lời giải: Câu Cho hai số  23 Xen kẽ hai số cho n số hạng để tất số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d 2 Tìm n A n 12 B n 13 C n 14 D n 15 Lời giải: Câu Biết số Cn ; Cn ; Cn theo thứ tự lập thành cấp số cộng với n  Tìm n A n 5 B n 7 C n 9 D n 11 Lời giải: u Câu Cho cấp số cộng  n  có số hạng đầu 5; 9; 13; 17;  Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un 5n  B un 5n  C un 4n  Lời giải: D un 4n  Câu Cho cấp số cộng un    n  1 A C un   Lời giải:  un  d Khẳng định sau đúng? có u1  un   n  B  n  1 D un    n  1 Câu Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? u  n n n 3n A un 7  3n B un 7  C D un 7.3 Lời giải: Câu Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? A un   1 n  2n 1 u1 1  un un    C Lời giải: B D un sin  n u1 1  un 2un  Câu 10 Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? n A un  4n  B un  2n  19 C un  2n  21 D un   15 Lời giải: u Câu 11 Cho cấp số cộng  n  có u1  d 3 Mệnh đề sau đúng? A u15 34 Lời giải: B u15 45 C u13 31 D u10 35  un  u1  Câu 12 Cho cấp số cộng có cho Mệnh đề sau đúng? S5  S5  A B Lời giải: 1 d  Gọi S5 tổng số hạng cấp số cộng S5  C D S5  u Câu 13 Cho cấp số cộng  n  có d  S8 72 Tìm số hạng u1 A u1 16 Lời giải: B u1  16 u1  16 C D u1  16 Câu 14 Một cấp số cộng có số hạng đầu 1, công sai 4, tổng n số hạng đầu 561 Khi số hạng thứ n cấp số cộng un có giá trị bao nhiêu? A un 57 Lời giải: B un 61 C un 65 D un 69 Câu 15 Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144 số hạng thứ mười hai 23 Khi cơng sai d cấp số cộng cho bao nhiêu? A d 2 B d 3 C d 4 D d 5 Lời giải: 3n  19n Sn  * Câu 16 Tổng n số hạng cấp số cộng với n   Tìm số hạng u1 công sai d cấp số cộng cho A C u1 = 2; d = u1 = - Lời giải: ; d = - 2 B u1 = - 4; d = D u1 = ; d = 2 * Câu 17 Tổng n số hạng cấp số cộng Sn n  4n với n   Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng cho A un 2n  Lời giải: B un 3n  n C un 5.3  8 un 5    5 D n u Câu 18 Cho cấp số cộng  n  có u2 2001 u5 1995 Khi u1001 bằng: A u1001 4005 B u1001 4003 C u1001 3 Lời giải: D u1001 1 u Câu 19 Cho cấp số cộng  n  , biết: un  1, un 1 8 Tính cơng sai d cảu cấp số cộng A d  Lời giải: B d 7 C d  D d 9 u Câu 20 Cho cấp số cộng  n  Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: u10  u20 u5  u10 A B u90  u210 2u150 u10 u30 u20 D C u10 u30 u20 Lời giải: u Câu 21 Cho cấp số cộng  n  thỏa mãn u2  u23 60 Tính tổng S 24 $24$ số hạng cấp số cộng cho A S 24 60 Lời giải: B S24 120 C S 24 720 D S 24 1440 Câu 22 Một cấp số cộng có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 17; tổng số hạng thứ hai số hạng thứ tư 14 Tìm công sai d câp số cộng cho A d 2 B d  C d 4 D d 5 Lời giải: u7  u3 8  un  u2u7 75   Câu 23 Cho cấp số cộng thỏa mãn Tìm cơng sai d câp số cộng cho 1 d d A B C d 2 D d 3 Lời giải: u1  u7 26  2 u  u  466 un    Câu 24 Cho cấp số cộng thỏa mãn  Mệnh đề sau đúng? u  13 u  10 u     u1 13     d  d  d 4 d      A B C D Lời giải: u1  u3  u5 15  un  u1  u6 27   Câu 25 Cho cấp số cộng thỏa mãn Chọn khẳng định khẳng định sau? u1 21 u1 21 u1 18 u1 21     d 3 d  d 3 d 4     A B C D Lời giải: u2  u4  u6 36  u2u3 54 u Câu 26 Cho cấp số cộng  n  thỏa d  10 A d 3 B d 4 C d 5 Lời giải: u Tìm cơng sai d cấp số cộng  n  biết D d 6 u1  u2  u3 27  u  u22  u32 275 un   Câu 27 Cho cấp số cộng thỏa  Tính u2 A u2 3 B u2 6 C u2 9 D u2 12 Lời giải: Câu 28 Tính tổng T 15  20  25   7515 A T 5651265 B T 5651256 C T 5651625 D T 5651526 Lời giải: 2 2 2 Câu 29 Tính tổng T 1000  999  998  997    A T 500500 B T 500005 C T 505000 D T 500050 Lời giải: Câu 30 Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có cơng sai $d,$ số hạng cấp số cộng cho 1 1 ; ; ; ; un cấp số cộng? khác $0.$ Với giá trị d dãy số u1 u2 u3 A d  Lời giải: B d 0 C d 1 D d 2 Câu 31 Ba góc tam giác vng tạo thành cấp số cộng Hai góc nhọn tam giác có số đo (độ) là:         A 20 70 B 45 45 C 20 45 D 30 60 Lời giải: A, B, C  A  B  C  Câu 32 Ba góc tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn gấp đơi góc bé Hiệu số đo độ góc lớn với góc nhỏ bằng:     A 40 B 45 C 60 D 80 Lời giải: Câu 33 Một tam giác vng có chu vi độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài cạnh tam giác là: 5 ; 1; ; 1; ; 1; ; 1; 4 A B C D Lời giải: Câu 34 Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy có 25 ghế Mỗi dãy sau có dãy trước ghế Hỏi rạp hát có tất ghế? A 1635 B 1792 C 2055 D 3125 Lời giải: Câu 35 Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây,.Hỏi có tất hàng cây? A 73 B 75 C 77 D 79 Lời giải: Câu 36 Một đồng hồ đánh chng, kể từ thời điểm (giờ) sau số tiếng chng đánh số mà đồng hồ thời điểm đánh chuông Hỏi ngày đồng hồ đánh tiếng chuông? A 78 B 156 C 300 D 48 Lời giải: Câu 37 Trên bàn cờ có nhiều vng, người ta đặt hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đặt tiếp vào thứ hai số hạt nhiều ô thứ 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều ô thứ hai 5,… tiếp tục đến ô thứ n Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ có vng? A 98 B 100 C 102 D 104 Lời giải: Câu 38 Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ giá mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Vậy hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? A 5.2500.000 đồng B 10.125.000 đồng C 4.000.000 đồng D 4.245.000 đồng Lời giải: