Bài 2 2 cấp số cộng cd lời giải

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số khơng đổi d , tức là: un un   d ( n 2) Số d gọi công sai cấp số cộng u Nếu  n  cấp số cộng với cơng sai d với số tự nhiên n 2 , ta có: un  un  d Chú ý: Khi d 0 cấp số cộng dãy số không đổi II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng ( u n) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un =u1+(n−1)d  với n ≥ 2.  Nhận xét: u n−u1 + với n ≥ d III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Từ công thức un =u1+(n−1)d , ta có: n= Cho cấp số cộng u u  n Sn  n Nhận xét:  un  có số hạng đầu u1 công sai d Đặt Sn u1  u2  u3  un Khi đó:  2u1   n  1 d  n S  n u u1   n  1 d u  u 2u1   n  1 d Do n nên n Suy B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng Phương pháp Sử dụng định nghĩa  un  cấp số cộng un1  un d , Để chứng minh dãy số  un  cấp số cộng, ta xét d un1  un  un  cấp số cộng với công sai d  Nếu d số  Nếu d phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un 2020n  2021 b) Dãy số  un  với un  2n  Hướng dẫn giải với d số a) Dãy số Ta có Vậy  un  với un 2020n  2021 un 1  un 2020  n  1  2021   2020n  2021 2020  un  cấp số cộng với cơng sai b) Dãy số Ta có d 2020  un  với un  2n  un 1  un   n  1     2n    u Vậy  n  cấp số cộng với cơng sai d  Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un n2  n  u  1 u b) Dãy số  n  với n   n  3n Hướng dẫn giải a) Dãy số  un  với un n2  n  Ta có Vậy un 1  un  n  1   n  1    n  n  1 2n   un  không cấp số cộng u  1 u b) Dãy số  n  với n   Ta có Vậy phụ thuộc vào n un 1  un   1 n 1 n  3n n n n n   n  1     1  3n     1     1 3    1   phụ thuộc vào n  un  không cấp số cộng Dạng Xác định số hạng , công sai số hạng tổng quát cấp số cộng Phương pháp  Xác định cấp số cộng xác định số hạng đầu u1 công sai d  Từ giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 d giải hệ Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  có u3 15 d  Tìm un Lời giải ïìï 15 = u3 = u1 + 2d ïïì u1 = 19 Û í ® un = u1 +( n - 1) d =- 2n + 21 í ï ïïỵ d = - Ta có ïỵ d =- Ví dụ 2: Một cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu 5, số hạng thứ tám 40 Khi cơng sai d cấp số cộng bao nhiêu? Lời giải Ta có: ìïï u1 = ¾¾ ®d =5 í ïïỵ 40 = u8 = u1 + 7d Ví dụ 3: Cho cấp số cộng  un  có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17 Lời giải Ta có cơng sai cấp số cộng Suy u17 u1  (17  1) d 11 d u3  u15 84    15  12 u  Ví dụ 4: Cho cấp số cộng n có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17 u  Cho cấp số cộng n có u1  2u5 0 S 14 Tính số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng Lời giải Ta có u1  2u5 0  u1  2(u1  4d ) 0  3u1  8d 0 4(2u1  3d ) S 14  14  2u1  3d 7 3u1  8d 0 u 8   2u  3d 7 d  Ta có hệ phương trình  Dạng Tính tổng số hạng cấp số cộng Phương pháp Tính tổng n số hạng nhờ cơng thức: Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  Sn  n  u1  u n  n  2u1   n  1 d    có u1 4 d  Tính tổng 100 số hạng cấp số cộng Lời giải S n nu1  n  n  1 d   S100 100u1  100.99 d  24350 Ví dụ 2: Xét số nguyên dương chia hết cho Tính tổng số 50 số nguyên dương Lời giải Số nguyên dương chia hết cho có dạng  3n n  *  nên chúng lập thành cấp số cộng u1 3 50 un 3n      S50   u1  u50  3825 u50 150 Chú ý: Sn  Ví dụ 3: Tính tổng n  n  1 n d  u1  un  nu1  2 S 1        2n  1  2n với n 1 n   Lời giải * 2n  1  2n  Với n    Ta có S                 2n  1  2n  Do ta xem S tổng n số hạng, mà số hạng  nên S  n Nhận xét: Ta có 1;3;5; ; 2n  2; 4;6;; 2n cấp số cộng có n số hạng nên S       2n  1        2n   n n   2n  1    2n  n  n  n  n 2  Ví dụ 4: Cho cấp số cộng số cộng cho  un   thỏa mãn u2  u8  u9  u15 100 Tính tổng 16 số hạng cấp Lời giải Ta có u2  u8  u9  u15 100  4u1  30d 100  2u1  15d 50 16 S16   u1  u16  8  2u1  15d  8.50 400 Khi 2 u  Ví dụ 5: Cho cấp số cộng n có cơng sai d  u2  u3  u4 đạt giá trị nhỏ Tính tổng S100 100 số hạng cấp số cộng Lời giải Đặt a u1 2 2 u22  u32  u42  a  d    a  2d    a  3d  3a  36a  126 3  a    18 18 Dấu xảy a  0  a 6 Suy u1 6 100  2u1   100  1 d  S100   14250 Ta có Ví dụ Biết Ta có u4  u8  u12  u16 224 Tính S19 Hướng dẫn giải u4  u8  u12  u16 224  u1  3d  u1  7d  u1  11d  u1  15d 224  4u1  36d 224  u1  9d 56 19 S19   2u1  18d  19  u1  9d  19.56 1064 Ta có Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x cấp số cộng) Phương pháp Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho số  4;1;6; x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm x Lời giải Vì số  4;1;6; x theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên với a u4  u3 u3  u2    x  6   x 11 Ví dụ 2: Nếu số  m;  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng m bao nhiêu? Lời giải Ba số  m;  2m; 17  m theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên u1  u3 2u2    m    17  m  2   2m   m 4 Nhận xét: Ta dùng tính chất u3  u2 u2 u1 Ví dụ 3: Với giá trị x y số  7; x; 11; y theo thứ tự lập thành cấp số công? Lời giải Bốn số  7; x; 11; y theo thứ tự u1 , u2 , u3 , u4 lập thành cấp số cộng nên u4  u3 u3  u2  y  11 11  x     y  11 x  u4  u3 u2  u1  x  y 22    x  y  18  x 2   y 20 Dạng Chứng minh hệ thức cấp số cộng lập thành cấp số cộng, tốn có sử dụng yếu tố cấp số cộng Phương pháp Nếu  un  cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số u u uk  k  k 1 cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải Ta chứng minh phép biến đổi tương đương Ba số 1 , , b  c c  a a  b lập thành cấp số cộng  c a  ( b 1   b c a b b a c b   c a ( c  a )( b  c ) ( a  b )( c  a ) a )( b  a ) ( c  b )( c  b ) b  a c  b  a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, chứng minh  2 a) a  2bc c  2ab b) a  8bc  2b  c  Hướng dẫn giải Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên a  c 2b  a 2b  c a) Ta có a  2ab  2b  c    2b  c  b 4b  4bc  c  4b  2bc = c  2bc 2 2 Vậy a  2ab c  2bc  a  2bc c  2ab b) Ta có a  8bc  2b  c   8bc 4b  4bc  c  8bc = 4b  4bc  c  2b  c  Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 3a ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác theo a Hướng dẫn giải x  y  z Gọi x, y, z theo thứ tự độ dài ba cạnh tam giác  Chu vi tam giác x  y  z 3a  1 Theo tính chất cấp số cộng, ta có Tam giác cho vuông nên x  z 2 y x  y z  2  3 Thay (2) (1), ta y 3a  y a Thay y a vào (2), ta x  z 2a  x 2a  z Thay x 2a  z y a vào (3), ta  2a  z   a  z  5a  4az 0  z  5a 3a  x 4 3a 5a , a, Vậy độ dài ba cạnh tam giác Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành x  3mx  2m  m   x  9m2  m 0 cấp số cộng: Lời giải - Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng Theo định lý Vi-ét phương trình bậc ba, ta có x1  x2  x3 3m Vì x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng nên x1  x3 2 x2 Suy 3x2 3m  x2 m Thay x2 m vào phương trình cho, ta  m 0 m3  3m.m  2m  m   m  9m  m 0  m  m 0    m 1 - Điều kiện đủ: + Với m 0 ta có phương trình x 0  x 0 (phương trình có nghiệm nhất) Do m 0 khơng phải giá trị cần tìm + Với m 1 , ta có phương trình x  x  x  0  x 1; x  2; x 4 Ba nghiệm  2; 1; lập thành cấp số cộng nên m 1 giá trị cần tìm Ví dụ Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số 2 cộng: x  10 x  2m  7m 0 Lời giải t  x  t 0  2 Khi ta có phương trình: t  10t  2m  m 0 (*) Phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt Đặt 2 5  (2m  m)     2m  m  25 2m  m  (do tổng hai nghiệm 10  nên không cần điều kiện này) + Với điều kiện (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 (t1  t2 )  t2 ;  Khi phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng  t1 ; t1 ; t2     t1   t2  t1   t1  t  t1  t2 9t1 Theo định lý Vi-ét ta có: t1  t2 10; t1.t 2m  m t2 9t1   t1  t2 10  t t 2m  7m Suy ta có hệ phương trình  t1 1   t2 9  2m  7m 9  m 1   m   C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Vì sao? 11 , , 2, , 10,  2,  14,  26,  38 a) ; b) c) 1, 2, 3, 4, ; d) 1, 4, 7,10,13 Lời giải a)Ta có: 10;  2;  14;  26;  38 cấp số cộng có số hạng đầu u1 10 cơng sai cấp số cộng là: d  12 11 ; ; 2; ; u1  d cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai b) Ta có: 2 2 2 2 c)Ta có: ; ;3 ; ;5 khơng cấp số cộng  3  d) Ta có: 1; 4;7;10;13 cấp số cộng có số hạng đầu u1 1 công sai d 3 u Bài Trong dãy số  n  với số hạng tổng quát sau, dãy số cấp số cộng? Nếu cấp số cộng, tìm số hạng đầu u1 cơng sai d a) un 3  2n un  3n  b) Lời giải u 3   n  1 3  2n  1  2n a) Ta có: n 1 Suy un 1  un 1  2n   Vì cấp số cộng có số hạng đầu u1 1 cơng sai d   n  1  3n  10 u n 1   5 b) Ta có: 3n  10 3n  un 1  un    5 Xét hiệu c) un 3n d u  Vì cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai n 1 n u 3 3.3 c) Ta có: n 1 u  u 3.3n  3n 2.3n với n  N* Xét hiệu n 1 n Vì khơng cấp số cộng  un  có số hạng đầu u1  , công sai d 5 a) Viết công thức số hạng tổng quát un Bài Cho cấp số cộng b) Số 492 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số 300 có số hạng cấp số cộng khơng? Lời giải a) Ta có công thức số hạng tổng quát cấp số cộng un là: u1   (n  1).5 5n  b) Xét un 492  5n  492  n 100 Vậy số 492 số hạng thứ 100 cấp số cộng u 300 c) Xét n  5n  300  n 61,  N å Vậy không tồn số hạng cấp số cộng 300 u Bài Cho cấp số cộng  n  có u1 4, u2 1 Tính u10 Lời giải u Công sai cấp số cộng  n  d = u2  u1 1   u u1   n  1 d 4   n  1 ( 3) Khi số hạng tổng quát cấp số cộng là: n u 4   10  1   3 31 Suy 10 u1  un   u1  u2  u3  Bài Cho cấp số cộng với a) Tìm cơng sai d viết công thức số hạng tổng quát un b) Số - 67 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số có phải số hạng cấp số cộng khơng? Lời giải a) Ta có: u1  u2  u3   u1  u1  d  u1  2d   3u1  3d  1 Mà u1  nên d  3 2 un    n  1  n  3 3 với n  N* Khi cơng thức tổng quát cấp số cộng là: un  n   67 3 b) Xét  202 n 3  n 101  Vậy số  67 số hạng thứ 101 dãy c) Xét un 7 n  7 3 20   n 3   n  10  N å Vậy số số hạng cấp số cộng Bài Tính tổng 100 số hạng đầu dãy số Ta có:  un  với un 0,3n  với n 1 Lời giải un 1 0,  n  1  0, 3n  5, Xét hiệu un 1  un 0,3n  5,3  0,3n  0,3 u Do  n  cấp số cộng với số hạng đầu u1 5,3 công sai d 0,3 u 5,   n  1 0,3 Khi số hạng tổng quát cấp số cộng un là: n u 5,3   100  1 0, 35 Suy 100 100  5,3  35  S100  2015 Vậy tổng 100 số hạng đầu dãy số là: n Bài Chiều cao (đơn vị: centimét) đứa trẻ tuổi phát triển bình thường cho cơng thức: xn 75   n  1 (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm tuổi centimét? x b) Dãy số  n  có cấp số cộng khơng? Trung bình năm, chiều cao đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên centimét? Lời giải a) Chiều cao năm tuổi đứa bé phát triển bình thường là: x3 75    1 85  cm  b) Ta có: xn 1 75   n   1 75  5n x  x 75  5n   75   n  1  5 Xét hiệu n 1 n x Do  n  cấp số cộng có số hạng đầu x1 75 cơng sai d 5 Bài Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương 120 triệu Kể từ năm thứ hai trở đi, năm tiền lương tăng 18 triệu Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương 24 triệu Kể từ quý thứ hai trở đi, quý tiền lương tăng 1,8 triệu Nếu người tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em chọn phương án khi: a) Kí hợp đồng lao động năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Lời giải +) Theo phương án 1: Gọi (un) dãy số tiền lương người lao động theo phương án qua năm Dãy số un lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1 120 công sai d 18 u 120   n  1 18 Khi số hạng tổng quát cấp số nhân là: n v +) Theo phương án 2: Gọi  n  dãy số tiền lương người lao động theo phương án qua quý   lập thành cấp số cộng có số hạng đầu v1 24 công sai d 1,8 v 24   n  1 1,8 Khi số hạng tổng quát cấp số nhân n a) Khi kí hợp đồng năm tương đương với 12 quý ta có: +) Theo phương án 1: u3 120 + (3 - 1).18 = 156 (triệu đồng) Dãy số Tổng số tiền lương nhận sau năm là:  120  156  S3  414 (triệu đồng) u 24   12  1 1,8 43,8 +) Theo phương án 2: 12 Tổng số tiền lương nhận sau năm tương ứng với 12 quý là: 12  24  43,8  S12  406,8 (triệu đồng) Vậy tuyển dụng vào doanh nghiệp kí hợp đồng lao động năm nên theo phương án b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có: u 120   10  1 18  282 +) Theo phương án 1: 10 (triệu đồng) 10  120  282  S10  2010 Tổng số tiền lương nhận sau 10 năm là: (triệu đồng) u 24   40  1 1,8 94, +) Theo phương án 2: 40 (triệu đồng) 40  24  94,  S12  2364 Tổng số tiền lương nhận sau 10 năm tương ứng với 40 quý là: (triệu đồng) Vậy tuyển dụng vào doanh nghiệp kí hợp đồng lao động 10 năm nên theo phương án D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dãy số sau cấp số cộng? 1  ;  ; 0; ; ;1; A 3 3 B 15 2;12 2;9 2;6 2; 11 ;1; ; ; ; C 5 5 ; ; 3; ; ; 3 D 3 Lời giải Chọn C Chỉ cần tồn hai cặp số hạng liên tiếp dãy số có hiệu khác nhau: kết luận dãy số khơng phải cấp số cộng Xét đáp án A: - um +1 - um = / uk +1 - uk 1 ; - ;0; ; ;1; ắắ đ = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 = L ắắ đ 3 3 3 loại A ta Xét đáp án B: 15 2;12 2;9 2;6 2; ắắ đ- 3 = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 = L ắắ đ loi B 11 ;1; ; ; ; ắắ đ = u2 - u1 = / u3 - u2 = ắắ đ 5 Xét đáp án C: 5 5 Chọn C ; ; 3; ; ; ắắ đ = u2 - u1 = u3 - u2 = u4 - u3 ¾¾ ® 3 3 Xét đáp án D: loại D Câu 2: u1  1 , d công sai Năm số hạng liên tiếp Cho cấp số cộng có số hạng đầu cấp số là: 1 1  ;0;1; ;1  ; 0; ;0; A B 2 ;1; ; 2; C 2 D  1 ;0; ;1; 2 Lời giải Chọn D un = u1 +( n - 1) d = - Ta dùng cơng thức tổng qt để tính số hạng cấp số cộng 1 n +( n - 1) = - + 2 2, un +1 = un + d = un + ìï ïï u1 = - ïï ïï u = u +d = ïï ï 1 ï u1 = - ; d = ắắ đ ùớ u3 - u2 + d = ïï 2 ïï u = u + d = ïï ïï ïï u5 = u4 + d = ïïỵ Ta có Nhận xét: Dùng chức “lặp” MTCT để tính: X =X+ Nhập: (nhập X = X + d ) Bấm CALC: nhập - (nhập u1 ) Để tính số hạng đầu ta bấm dấu “=” liên tiếp để kết lần nữa! Câu 3: Viết ba số hạng xen số 22 để cấp số cộng có năm số hạng A 7; 12; 17, B 6; 10; 14 C 8; 13; 18 D 6; 12; 18 Lời giải Chọn A Giữa 22 số hạng với Ta có Câu 4: có thêm ba số hạng lập thành cấp số cộng, xem ta có cấp số cộng có u1 = 2; u5 = 22; ta cần tìm u2 , u3 , u4 ìï u2 = u1 + d = ïï u5 - u1 22 - u5 = u1 + 4d Û d = = = ắắ đ ùớ u3 = u1 + 2d = 12 ïï 4 ïïỵ u4 = u1 + 3d = 17 Cho hai số  23 Xen kẽ hai số cho n số hạng để tất số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d 2 Tìm n A n 12 B n 13 C n 14 D n 15 Lời giải Chọn A u =- 3, un+2 = 23 Theo giả thiết ta cấp số cộng có n + số hạng với Khi Câu 5: un +2 = u1 +( n +1) d Û n +1 = Biết số A n 5 un +2 - u1 23 - ( - 3) = = 13 Û n = 12 ¾¾ ®A d Cn1 ; Cn2 ; Cn3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với n  Tìm n B n 7 C n 9 D n 11 Lời giải Chọn B Ba số Cn ; Cn ; Cn theo thứ tự u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng nên u1 + u3 = 2u2 Û Cn1 + Cn3 = 2Cn2 ( n ³ 3) Û n + Û 1+ n - 3n + = n - Û n - 9n +14 Û Nhận xét: Nếu Câu 6: uk - , uk , uk +1 ( n - 2) ( n - 1) n = ( n - 1) n én = ê Û n = ( n ³ 3) ê ën = ba số hạng liên tiếp cấp số cộng ta có u Cho cấp số cộng  n  có số hạng đầu 5; 9; 13; 17;  Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un 5n  B un 5n  C un 4n  D un 4n  Lời giải Chọn C Các số 5; 9; 13; 17; L theo thứ tự lập thành cấp số cộng ( un ) nên ìïï u1 = CTTQ ắắ ắ đ un = u1 +( n - 1) d = + ( n - 1) = 4n +1 í ïïỵ d = u2 - u1 = Câu 7: u Cho cấp số cộng  n  A C un    n  1 un    n  1 có u1  d Khẳng định sau đúng? un   n  B D un    n  1 Lời giải Chọn C ïìï u1 = - CTTQ ù ắắ ắ đ un = u1 +( n - 1) d = - + ( n - 1) í ïï d = 2 Ta có ỵï Câu 8: uk - + uk +1 = 2uk Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? u 7  3n B n A un 7  3n C un  3n D un 7.3n D u1 1  un 2un  Lời giải Chọn A Dãy ( un ) cấp số cộng Û un = an + b ( a, b số) Câu 9: Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? u1 1  n  u  sin n u   1  2n  1 u un   n A n B C  n Lời giải Chọn C Dãy ( un ) cấp số cộng Û un = un- + d ( d số) Câu 10: Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? u  2n  15 A un  4n  B un  2n  19 C un  2n  21 D n Lời giải Chọn D n Dãy số un = - +15 khơng có dạng an + b nên có khơng phải cấp số cộng Câu 11: Cho cấp số cộng A u15 34  un  có u1  d 3 Mệnh đề sau đúng? B u15 45 C u13 31 D u10 35 Lời giải Chọn C ïìï u15 = 37 ùỡù u1 = - ù ù ắắ đ un = 3n - ắắ đ u13 = 31 í ïỵï d = ïï ïïỵ u10 = 22 1 d  Gọi S5 tổng số hạng cấp số Câu 12: Cho cấp số cộng có cộng cho Mệnh đề sau đúng? 5 S5  S5  S5  S5  5 A B C D  un  u1  Lời giải Chọn A ìï ïï u1 = ỉ 1ư 5.4 ïï ắắ đ S5 = 5u1 + d = +10.ỗ - ữ =ữ ỗ ữ ỗ ùù ố 4ø 4 ïï d = ïỵ Câu 13: Cho cấp số cộng A u1 16  un  có d  S8 72 Tìm số hạng u1 1 u  u  1 16 16 B u1  16 C D Lời giải Chọn A ìï d = - ùù ắắ đ 72 = 8u1 + 28.( - 2) Û u1 = 16 í ïï 72 = S8 = 8u1 + 8.7 d ïỵ Câu 14: Một cấp số cộng có số hạng đầu 1, công sai 4, tổng n số hạng đầu 561 Khi số hạng thứ n cấp số cộng un có giá trị bao nhiêu? A un 57 B un 61 C un 65 D un 69 Lời giải Chọn C ïìï u1 = 1, d = n2 - n ù ắắ đ 561 = n + Û 2n - n - 561 = Û n = 17 í n n ( ) ïï 561 = S = nu + d n ïïỵ un = u17 = u1 +16d = +16.4 = 65 ắắ đC Câu 15: Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144 số hạng thứ mười hai 23 Khi công sai d cấp số cộng cho bao nhiêu? A d 2 B d 3 C d 4 D d 5 Lời giải Chọn A ïìï u1 +11d = 23 ỡùù u12 = 23 ù ắắ đ Û í í 12 ïỵï S12 = 144 ïï ( u1 + u12 ) = 144 ïỵ ïìï u1 = ï í ïï d = 23 - u1 = 11 ỵï Câu 16: Tổng n số hạng cấp số cộng tiên u1 công sai d cấp số cộng cho A u1 = 2; d =- B u1 = - 4; d = Sn  C 3n  19n * với n   Tìm số hạng đầu u1 = - ; d = - 2 D u1 = ; d = 2 Lời giải Chọn B Ta có ỉ d÷ 3n - 19n 19 n2 - n d = n n = S n = nu1 + d = n +ỗ n ỗu1 - ữ ữ ỗ ố 4 2 2ø ìï d ïï = ïìï u1 = - ïï Û í Û ïí ïï d 19 ïï d = ïï u1 - = ïỵ 2 ïỵ Câu 17: Tổng n số hạng cấp số cộng quát un cấp số cộng cho A un 2n  B un 3n  C Sn n  4n với n  * Tìm số hạng tổng un 5.3n  Lời giải Chọn A  8 un 5    5 D n ìï d ïï = ổ d d ù 2 ữ ỗ n + 4n = Sn = n +ỗu1 - ữ n ùớ ữ ỗ ùù ố d 2ø ïï u1 - = ï ỵ Ta cú ỡù u = ùớ ắắ đ un = n + ïïỵ d = Câu 18: Cho cấp số cộng A u1001 4005  un  có u2 2001 u5 1995 Khi u1001 bằng: B u1001 4003 C u1001 3 D u1001 1 Lời giải Chọn C ìïï 2001 = u2 = u1 + d ìï u = 2003 Û ïí ắắ đ u1001 = u1 +1000d = ïỵï 1995 = u5 = u1 + 4d ïïỵ d = - Câu 19: Cho cấp số cộng A d   un  , biết: un  1, un1 8 Tính cơng sai d cảu cấp số cộng C d  D d 9 B d 7 Lời giải Chọn D d = un+1 - un = - ( - 1) = u Câu 20: Cho cấp số cộng  n  Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: u10  u20 u5  u10 A B u90  u210 2u150 C u10 u30 u20 u10 u30 u20 D Lời giải Chọn B Xét đáp án A: ïìï u10 + u30 u1 + 9d + u1 + 29d = = u1 +19d ù ắắ đ 2 ùù ùợ u5 + u10 = u1 + 4d + u1 + 9d = 2u2 +13d Xét đáp án B: ìï u90 + u210 = 2u2 + 298d = ( u1 +149d ) ï í ïï 2u150 = ( u1 +159d ) î loại Nhận xét: Có thể lấy cấp số cộng cụ thể để kiểm tra, ví dụ Câu 21: Cho cấp số cộng số cộng cho A S 24 60  un  un = n ( n Î ¥ * ) thỏa mãn u2  u23 60 Tính tổng S 24 $24$ số hạng cấp B S24 120 C S 24 720 Lời giải Chọn C u2 + u23 = 60 Û ( u1 + d ) +( u1 + 22d ) = 60 Û 2u1 + 23d = 60 Khi S 24 = 24 ( u1 + u24 ) = 12 ( u1 +( u1 + 23d ) ) = 12 ( 2u1 + 23d ) = 12.60 = 720 D S24 1440 Câu 22: Một cấp số cộng có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 17; tổng số hạng thứ hai số hạng thứ tư 14 Tìm cơng sai d câp số cộng cho A d 2 B d  C d 4 D d 5 Lời giải Chọn B ïìï u1 + u6 = 17 Û í ïïỵ u2 + u4 = 14 ïíïì 2u1 + 5d = 17 Û ïïỵ 2u1 + 6d = 14 Câu 23: Cho cấp số cộng d A  un  ïíïì u1 = 16 ïïỵ d = - thỏa mãn u7  u3 8  u2u7 75 d B Tìm cơng sai d câp số cộng cho C d 2 D d 3 Lời giải Chọn C ïìï u7 - u3 = Û í ïỵï u2 u7 = 75 ìï ( u1 + 6d ) - ( u1 + 2d ) = ï Û í ïï ( u1 + d ) ( u1 + 6d ) = 75 ỵ Câu 24: Cho cấp số cộng u1 13  d   A  un  ïì d = íï ïï ( u1 + 2) ( u1 +12) = 75 ỵ u1  u7 26  2 u  u  466  thỏa mãn  Mệnh đề sau đúng? u1 10 u1 1 u1 13    d  d 4 d     B C D Lời giải Chọn C Ta có ìï u1 + u7 = 26 ïí Û ïï u22 + u62 = 466 ỵ ïìï 2u1 + 6d = 26 Û í 2 ï ỵï ( u1 + d) +( u1 + 5d) = 466 (1) ïìï u1 = 13- 3d í 2 ï ỵï ( u1 + d) +( u1 + 5d) = 466 ( 2) 13 - 2d ) +( 13 + d ) = 466 Û 8d + 338 = 466 Thay (1) (2) ta được: ( éd = Þ u1 = Û ê êd = - Þ u1 = 25 ë Câu 25: Cho cấp số cộng sau? u1 21  d 3  A  un  thỏa mãn B u1  u3  u5 15  u1  u6 27 u1 21  d  C Chọn khẳng định khẳng định u1 18   d 3 D u1 21  d 4 Lời giải Chọn B Ta có ìïï u1 - u3 + u5 = 15 Û í ïỵï u1 + u6 = 27 ïìï u1 - ( u1 + 2d ) +( u1 + 4d ) = 15 ìï u + 2d = 15 Û ïí Û í ïï u1 +( u1 + 5d ) = 27 ïỵï 2u1 + 5d = 27 ỵ ïíìï u1 = 21 ïỵï d = - Câu 26: Cho cấp số cộng d  10 A d 3  un  thỏa u2  u4  u6 36  u2u3 54 u Tìm cơng sai d cấp số cộng  n  biết C d 5 B d 4 D d 6 Lời giải Chọn A Ta có ïìï u2 + u4 + u6 = 36 Û í ïỵï u2u3 = 54 ïìï ( u1 + d) +( u1 + 3d) +( u1 + 5d) = 36 í ïï ( u1 + d) ( u1 + 2d) = 54 ỵ ìï u + 3d = 12 ( 1) Û ïí ïï ( u1 + d) ( u1 + 2d) = 54 ( 2) ỵ Từ ( 1) u1 = 12- 3d suy Thay vào ( 2) , ta ( 12- 2d) ( 12- d) = 54 Û d - 18d + 45 = Û d = d = 15 Câu 27: Cho cấp số cộng A u2 3  un  thỏa u1  u2  u3 27  2 u1  u2  u3 275 B u2 6 Tính u2 C u2 9 D u2 12 Lời giải Chọn C ìï u1 + u2 + u3 = 27 ïí Û ïï u12 + u22 + u32 = 275 ỵ Ta có ìï u1 +( u1 + d) +( u1 + 2d) = 27 ï í ïï u +( u + d) +( u + 2d) = 275 1 ïỵ ìï u1 + d = ( 1) Û ïí 2 ïï u1 +( u1 + d) +( u1 + 2d) = 275 ( 2) ïỵ Từ ( 1) suy d = 9- u1 Thay vào ( 2) , ta 2 ù2 u12 +( u1 + 9- u1 ) + é ëu1 + 2( 9- u1 ) û = 275 Û u1 - 18u1 + 65 = Û u1 = 13 Vậy ïìï u1 = 13 í ïïỵ d = - hoặc u1 = ùỡù u1 = ắắ đ u2 = u1 + d = í ïïỵ d = Câu 28: Tính tổng T 15  20  25   7515 A T 5651265 B T 5651256 C T 5651625 D T 5651526 Lời giải Chọn A Ta thấy số hạng tổng T tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 15 công sai d = Giả sử tổng có n số hạng un = 7515 Û u1 +( n- 1) d = 7515 Û 15+( n- 1) = 7515 Û n = 1501 Vậy T = S1501 = ( 2u1 +1500d ) 1501 ( 2.15 +1500.5) 1501 = = 5651265 2 2 2 Câu 29: Tính tổng T 1000  999  998  997    A T 500500 B T 500005 C T 505000 D T 500050 Lời giải Chọn A Ta có T = 1.( 1000+ 999) +1.( 998+ 997) + +1.( 2+1) = 1999+1995+ + Ta thấy số hạng tổng T tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 1999 công sai d = - Giả sử tổng có n số hạng un = Û u1 +( n - 1) d = Û 1999 + ( n - 1) ( - 4) = Û n = 500 Vậy T = S500 = ( u1 + u500 ) 500 = ( 1999 + 3) 500 = 500500 Câu 30: Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có cơng sai $d,$ số hạng cấp số cộng cho 1 1 ; ; ; ; un cấp số cộng? khác $0.$ Với giá trị d dãy số u1 u2 u3 A d  B d 0 C d 1 D d 2 Lời giải Chọn B ìï ï ïïï u2 ïìï u2 - u1 = d Þ í í ïïỵ u3 - u2 = d ïï ïï ïỵ u3 Ta có d =u1 u1u2 d =u2 u2 u3 Theo u cầu tốn ta phải có 1 1 = u2 u1 u3 u2 éd = ê éd = Û ê1 Û d =0 Û ê ê = êu1 = u3 = u1 + 2d ë êu1 u3 ë Câu 31: Ba góc tam giác vng tạo thành cấp số cộng Hai góc nhọn tam giác có số đo (độ) là:   A 20 70   B 45 45   C 20 45   D 30 60 Lời giải Chọn D Ba góc A, B, C tam giác vuông theo thứ tự ( A < B < C ) lập thánh cấp số cộng nên C = 90, C + A = B Ta có ïìï A + B + C = 180 ïï Û í A + C = 2B ïï ỵïï C = 90 ïìï 3B = 180 ïï í A +C = 2B Û ïï ỵïï C = 90 ïìï B = 60 ïï í A = 30 ïï ỵïï C = 90 A, B, C  A  B  C  Câu 32: Ba góc tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn gấp đơi góc bé Hiệu số đo độ góc lớn với góc nhỏ bằng:  A 40  B 45  C 60 Lời giải  D 80 Chọn A Ba góc A, B, C tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, C = A, C + A = B Ta có ìï A + B +C = 1800 ïï ïí A +C = 2B Û ïï ïỵï C = 2A ìï 3B = 1800 ïï ïí A +C = 2B Û ïï ïỵï C = 2A ìï B = 600 ìï A = 400 ïï ùù ù đ ớù B = 600 ắắ đ C - A = 400 í A +C = 120 ¾¾ ïï ïï ïï C = 2A ïï C = 800 ỵ ỵ Câu 33: Một tam giác vng có chu vi độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài cạnh tam giác là: 5 ; 1; ; 1; ; 1; ; 1; 4 A B C D Lời giải Chọn C Ba cạnh a, b, c ( a < b < c ) tam giác theo thứ tự lập thành cấp số cộng thỏa u ìï a + b = c ïï ïí a + b + c = Û ïï ï a + c = 2b cầu ỵï Ta có ìï a + b = c ìï a + b = c ïï ïï ïí 3b = Û ïí b = ïï ïï ïỵï a + c = 2b ïïỵ a = 2b - c - - c ìï ïï a = ï ïï b =1 a + b = c ¾¾ ¾ ® c + = c Û c + = Û c = Þ b = ( ) í a =2- c ïï ïï ïï c = ỵï Câu 34: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy có 25 ghế Mỗi dãy sau có dãy trước ghế Hỏi rạp hát có tất ghế? A 1635 B 1792 C 2055 D 3125 Lời giải Chọn C Số ghế dãy (bắt đầu từ dãy đầu tiên) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có 30 số hạng có cơng sai d = u1 = 25 Tổng số ghế S30 = u1 + u2 +L + u30 = 30u1 + 30.29 d = 2055 Câu 35: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây,.Hỏi có tất hàng cây? A 73 B 75 C 77 D 79 Lời giải Chọn C Số hàng (bắt đầu từ hàng thứ nhất) lập thành cấp số cộng ( un ) có u1 = 1, d = Giả sử có n hàng u1 + u2 +L + un = 3003 = Sn Ta có 3003 = S n = nu1 + n ( n - 1) d Û n + n - 6006 = Û n = 77 Câu 36: Một đồng hồ đánh chuông, kể từ thời điểm (giờ) sau số tiếng chng đánh số mà đồng hồ thời điểm đánh chuông Hỏi ngày đồng hồ đánh tiếng chng? A 78 B 156 C 300 D 48 Lời giải Chọn C Kể từ lúc (giờ) đến 24 (giời) số tiếng chuông đánh lập thành cấp số cộng có 24 số hạng với u1 = 1, cơng sai d = Vậy số tiếng chuông đánh ngày là: S = S24 = 24 ( u1 + u24 ) = 12 ( + 24) = 300 Câu 37: Trên bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đặt tiếp vào thứ hai số hạt nhiều ô thứ 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều ô thứ hai 5,… tiếp tục đến ô thứ n Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ có vng? A 98 B 100 C 102 D 104 Lời giải Chọn B Số hạt dẻ ô (bắt đầu từ thứ nhất) theo thứ tự lập thành cấp số cộng ( un ) có u1 = 7, d = Gọi 25450 = Sn = nu1 + n n ( n - 1) số ô bàn cờ u1 + u2 +L + un = 25450 = S n Ta có d = 7n + n - n Û 5n + 9n - 50900 = Û n = 100 Câu 38: Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ giá mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Vậy hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? A 5.2500.000 đồng B 10.125.000 đồng C 4.000.000 đồng D 4.245.000 đồng Lời giải Chọn B Giá tiền khoang mét (bắt đầu từ mét đầu tiên) lập thành cấp số cộng ( un ) có u1 = 80 000, d = 5000 Do cần khoang 50 mét nên tổng số tiền cần trả u1 + u2 +L + u50 = S50 = 50u1 + 50.49 d = 50.80000 +1225.5000 = 10125000