CẤP SỐ CỘNG Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung của các dãy số sau a) Dãy số 2, 4, 6, 8, 10, b) Dãy số 5; 2; 1; 4; 7; 10 c) Dãy số 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, 1 Định nghĩa Cấp số cộng là m[.]
CẤP SỐ CỘNG Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung dãy số sau: a) Dãy số: 2, 4, 6, 8, 10, b) Dãy số: 5; 2; 1; 4; 7; 10 c) Dãy số: 20, 15, 10, 5, 0, 5, 10, Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d khơng đổi, nghĩa là: un cấp số cộng n 2, u n u n 1 d Số d gọi công sai cấp số cộng Câu hỏi? Để chứng minh dãy số u n cấp số cộng, ta làm nào? –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––– Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng Xác định công sai số hạng cấp số cộng đó? a) Dãy số u n với u n 19n b) Dãy số u n với u n 3n Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Tính chất Định lí Nếu u n cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk u k 1 u k 1 Chứng minh: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Hệ Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a c 2b Ví dụ Ba góc tam giác vuông lập thành cấp số cộng Tìm ba góc đó? Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 12cm ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Số hạng tổng quát Định lí Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt u n xác định cơng thức sau: u n u1 n 1 d Chứng minh: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Một cấp số cộng có 10 số hạng, số hạng đầu 5, số hạng cuối 23 Tìm cấp số cộng đó? Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 27 tổng bình phương chúng 293 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 10 tổng bình phương chúng 30 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Câu hỏi? Để tìm n số hạng liên tiếp cấp số cộng thỏa điều kiện, ta cần nhớ: + Nếu n lẻ, cần đặt số hạng cần tìm – – – – – – – – – – – – – – – – – – –, công sai: – – – ––– + Nếu n chẵn, cần đặt số hạng cần tìm – – – – – – – – – – – – – – – – – – –, công sai: – – –– Tổng n số hạng cấp số cộng n Định lí Giả sử u n cấp số cộng có cơng sai d Gọi Sn u k u1 u u n k 1 ( Sn tổng n số hạng cấp số cộng) Ta có: Sn n u1 u n n 2u1 n 1 d 2 Chứng minh: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Cho cấp số cộng u n có u u 28 100 Hãy tính tổng 30 số hạng cấp số cộng Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Cho cấp số cộng u n có S6 18 S10 110 Tính S20 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Tính tổng sau: a) S 2n 1 2n 1 b) S 1002 992 982 972 22 12 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai, số hạng thứ 20 tổng 20 số hạng cấp số cộng sau, biết rằng: u a) u 35 u u u 10 b) u u 26 u u 14 c) u12 129 u d) 2 u u 16 BT Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng, biết: u 27 a) u15 59 u 5u b) u13 2u u u u 7 c) u u 2u u u 8 d) u u 75 u u 60 e) 2 u u12 1170 2 u1 u u 155 f) S3 21 S3 12 g) S5 35 u1 u u h) 2 u1 u u 35 u1 u u u 16 i) 2 2 u1 u u u 84 S5 j) u1.u u u u 45 u1 u u u u 20 k) 2 2 u1 u u u u 170 u1 u u 12 l) u1.u u S4 20 m) 1 1 25 u u u u 24 u1 u n) u u 65 72 BT Xác định số hạng đầu, công sai số hạng thứ n cấp số cộng sau, biết rằng: S12 34 a) S18 45 c) S20 S10 S5 u 10 b) S10 S20 2S10 d) S15 3S5 BT Cho cấp số cộng u1 , u , u , có cơng sai d a) Biết u u 22 40 Tính S23 b) Biết u1 u u u10 u13 u16 147 Tính u u11 u1 u u11 u16 c) Biết u u u12 u16 224 Tính S19 d) Biết u 23 u 57 29 Tính u10 u 70 u157 3u1 BT Tìm ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 15 tích chúng 105 b) Tổng chúng 15 tổng bình phương chúng 83 c) Tổng chúng 21 tổng bình phương 155 BT Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết rằng: a) Tổng chúng 10 tổng bình phương 70 b) Tổng chúng 22 tổng bình phương 66 c) Tổng chúng 36 tổng bình phương 504 d) Chúng có tổng 20 tích chúng 384 e) Tổng chúng 20, tổng nghịch đảo chúng 25 số 24 số nguyên f) Nó số đo tứ giác lồi góc lớn gấp lần góc nhỏ BT Tìm năm số hạng liên tiếp cấp số cộng, biết tổng chúng 40 tổng bình phương chúng 480 BT Một cấp số cộng có số hạng với công sai d dương số hạng thứ tư 11 Hãy tìm số hạng cịn lại cấp số cộng đó, biết hiệu số hạng thứ ba số hạng thứ năm BT Một cấp số cộng có số hạng mà tổng số hạng thứ ba số hạng thứ năm 28, tổng số hạng thứ năm số hạng cuối 140 Tìm cấp số cộng BT Viết sáu số xen hai số 24 để cấp số cộng có tám số hạng Tìm cấp số cộng BT 10 Giữa số 35, đặt thêm sáu số để cấp số cộng BT 11 Giữa số 67, đặt thêm 20 số để cấp số cộng BT 12 Một người trồng 3003 theo hình tam giác sau: “hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây, ” Hỏi có hàng trồng thế? BT 13 Một cơng viên hình tam giác trồng xanh theo hàng có quy luật cấp số cộng sau: hàng thứ có cây, hàng thứ 10 có 54 cây, hàng cuối có 2014 Hỏi cơng viên có tất hàng trồng? BT 14 Bạn A muốn mua quà tặng mẹ chị nhân ngày Quốc tế phụ nữ 8/3 Do A định tiết kiệm từ ngày 1/1 năm với ngày đầu 500 đồng/ngày, ngày sau cao ngày trước 500 đồng Hỏi đến ngày 8/3 bạn A có đủ tiền để mua quà cho mẹ chị không? Giả sử quà A dự định mua khoảng 800 ngàn đồng từ ngày 1/1 đến ngày 8/3 có số ngày 67 ngày BT 15 Một tịa nhà hình tháp có 30 tầng tổng cộng có 1890 phịng, lên cao số phịng giảm, biết tầng liên tiếp phòng Quy ước tầng tầng số 1, lên tầng số 2, 3, Hỏi tầng số 10 có phịng? BT 16 Khi ký hợp đồng dài hạn (10 năm) với công nhân tuyển dụng Công ty liên doanh X đề xuất hai phương án trả lương để người lao động chọn, cụ thể là: Phương án 1: người lao động nhận 36 triệu đồng cho năm làm việc kể từ năm thứ hai, mức lương tăng thêm triệu đồng năm Phương án 2: người lao động nhận nhận triệu đồng cho quí kể từ quí làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 500.000 đồng q Biết năm có quí Nếu em người lao động, em chọn phương án nào? BT 17 Tìm x để ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng với: a) a 10 3x, b 2x 3, c 4x b) x a bc, y b ca, z c2 ab BT 18 Tìm nghiệm phương trình: x 15x 71x 105 0, biết nghiệm phân biệt chúng lập thành cấp số cộng BT 19 Giải phương trình sau: a) 11 16 21 x 970 b) 12 17 22 x 245 c) x 1 x x x 28 155 d) 2x 1 2x 2x 11 2x 96 1010 BT 20 Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Chứng minh rằng: a) a 2bc c2 2ab b) a 8bc 2b c c) a b c a b c b a c c2 a b d) ba số: a bc, b ac, c2 ab cấp số cộng e) ba số: b2 bc c2 , a ac c2 , a ab b2 cấp số cộng e) ba số: 1 ; ; , a, b, c cấp số cộng b c c a a b BT 21 Cho ba số a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai khác khơng Chứng minh rằng: 1 lập thành cấp số cộng , , bc ca a b BT 22 Cho tam giác ABC có tan A B C , tan , tan theo thứ tự lập thành cấp số cộng 2 Chứng minh cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng BT 23 Cho tam giác ABC có cot A B C ,cot ,cot theo thứ tự lập thành cấp số cộng 2 Chứng minh: ba cạnh a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng BT 24 Tìm tham số m để phương trình f x có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng trường hợp sau: b) f x x m 1 x a) f x x 2mx 2m c) f x x 3m x m 1 d) f x x 10mx 9m BT 25 Tìm tham số m để phương trình x 3m 1 x 2mx có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng?