BÀI 4 CẤP SỐ NHÂN Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung của các dãy số sau a) Dãy số 3, 6, 12, 24, 48, b) Dãy số 1 1 1 1 1, , , , , 2 4 8 16 c) Dãy số 2; 6;18; 54;162; 486 1 Định nghĩa Cấp[.]
BÀI CẤP SỐ NHÂN Câu hỏi Nhận xét tính chất đặc biệt chung dãy số sau: a) Dãy số: 3, 6, 12, 24, 48, 1 1 b) Dãy số: 1, , , , , 16 c) Dãy số: 2; 6;18; 54;162; 486 Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước số q không đổi, nghĩa là: un cấp số nhân n 2, u n u n 1.q u Số q gọi công bội cấp số nhân q n 1 , n 1 un Câu hỏi? Để chứng minh dãy số u n cấp số nhân, ta làm nào? –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– –––– Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số nhân Xác định công bội số hạng cấp số nhân đó? a) Dãy số u n với u n 3 2n 1 b) Dãy số u n với u n 1 53n n Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Tính chất Định lí Nếu u n cấp số nhân kể từ số hạng thứ hai, bình phương số hạng (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) tích hai số hạng đứng kề dãy, tức là: u 2k u k 1.u k 1 , k Hệ Nếu a, b, c ba số khác 0, “ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân b2 ac" Ví dụ Tìm số dương a b cho a, a 2b, 2a b lập thành cấp số cộng b 1 , ab 5, a 1 lập thành cấp số nhân Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Số hạng tổng quát Định lí Nếu cấp số nhân có số hạng u1 cơng bội q số hạng tổng quát u n tính cơng thức: u n u1.q n 1 , n Chứng minh: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Một cấp số nhân có tám số hạng, số hạng đầu 4374, số hạng cuối Tìm cấp số nhân đó? Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Tổng n số hạng cấp số nhân n Định lí Giả sử u n cấp số nhân có cơng bội q Gọi Sn u k u1 u u n k 1 Nếu q Sn nu1 Nếu q Sn u1 qn 1 q Ví dụ Tính tổng tất số hạng cấp số nhân, biết số hạng đầu 18, số hạng thứ hai 54 số hạng cuối 39366 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– Ví dụ Tính tổng: a) Sn 22 23 2n 2 b) 1 1 Sn 2n n 2 4 Giải: – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––– BÀI TẬP VẬN DỤNG BT Tìm số hạng đầu tiên, cơng bội cấp số nhân trường hợp sau: u1 u 51 a) u u 102 u1 u 165 b) u u 60 u u 72 c) u u 144 u u 90 d) u u 240 u1 u u 65 e) u1 u 325 u u u 42 f) u u 20 u1 u u 135 g) u u u 40 u1 u u 13 h) u u u 351 u1 u u 14 i) u1.u u 64 u1 u j) 2 u1 u u1 u u k) 2 u1 u u 21 u1 u u u 15 l) 2 2 u1 u u u 85 BT Tìm a, b biết 1, a, b ba số hạng liên tiếp cấp số cộng 1, a , b ba số hạng liên tiếp cấp số nhân BT Cho ba số tạo thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm 2, 3, vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành cấp số nhân Tìm số BT Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng, bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tìm số BT Giữa số 160 chèn số để tạo thành cấp số nhân Tìm số BT Giữa số 243 đặt thêm số để tạo thành cấp số nhân BT Ba số khác có tổng 114 coi ba số hạng liên tiếp cấp số nhân coi số hạng thứ nhất, thứ tư thứ 25 cấp số cộng Tìm số BT Tìm m để phương trình x m x 5m x 6m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân? BT Chứng minh với m phương trình x m 3 x m 3 x ln có ba nghiệm ba nghiệm lập thành cấp số nhân BT 10 Đầu mùa thu hoạch xồi, bác nơng dân bán cho người thứ nửa số xoài thu hoạch nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số lại nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số lại nửa quả,… Đến người thứ bảy bác bán nửa số xồi cịn lại nửa khơng cịn Hỏi bác nơng dân thu hoạch xoài đầu mùa?