Bài 2 2 cấp số cộng cd đề bài

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số khơng đổi d , tức là: un un   d ( n 2) Số d gọi công sai cấp số cộng u Nếu  n  cấp số cộng với cơng sai d với số tự nhiên n 2 , ta có: un  un  d Chú ý: Khi d 0 cấp số cộng dãy số không đổi II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng ( u n) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức: un =u1+(n−1)d  với n ≥ 2.  Nhận xét: u n−u1 + với n ≥ d III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Từ công thức un =u1+(n−1)d , ta có: n= Cho cấp số cộng u u  n Sn  n Nhận xét:  un  có số hạng đầu u1 công sai d Đặt Sn u1  u2  u3  un Khi đó:  2u1   n  1 d  n Sn   Do nên Suy B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP un u1   n  1 d u1  un 2u1   n  1 d Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng Phương pháp Sử dụng định nghĩa  un  cấp số cộng un1  un d , Để chứng minh dãy số  un  cấp số cộng, ta xét d un1  un  un  cấp số cộng với công sai d  Nếu d số  Nếu d phụ thuộc vào n  un  khơng cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số  un  với un 2020n  2021 u u  2n  b) Dãy số  n  với n Ví dụ Chứng minh dãy số sau khơng phải cấp số cộng a) Dãy số  un  với un n2  n  1 với d số u  1 u b) Dãy số  n  với n   n  3n Dạng Xác định số hạng , công sai số hạng tổng quát cấp số cộng Phương pháp  Xác định cấp số cộng xác định số hạng đầu u1 công sai d  Từ giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 d giải hệ Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  có u3 15 d  Tìm un Ví dụ 2: Một cấp số cộng có số hạng Số hạng đầu 5, số hạng thứ tám 40 Khi cơng sai d cấp số cộng bao nhiêu?  un  có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17 u  Ví dụ 4: Cho cấp số cộng n có u1 123 u3  u15 84 Tìm số hạng u17 u  Cho cấp số cộng n có u1  2u5 0 S 14 Tính số hạng đầu u1 cơng sai Ví dụ 3: Cho cấp số cộng d cấp số cộng Dạng Tính tổng số hạng cấp số cộng Phương pháp Tính tổng n số hạng nhờ công thức: Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  un  Sn  n  u1  u n  n  2u1   n  1 d    có u1 4 d  Tính tổng 100 số hạng cấp số cộng Ví dụ 2: Xét số nguyên dương chia hết cho Tính tổng số 50 số nguyên dương Ví dụ 3: Tính tổng S 1        2n  1  2n Ví dụ 4: Cho cấp số cộng số cộng cho  un  với n 1 n   thỏa mãn u2  u8  u9  u15 100 Tính tổng 16 số hạng cấp 2 u  Ví dụ 5: Cho cấp số cộng n có cơng sai d  u2  u3  u4 đạt giá trị nhỏ Tính tổng S100 100 số hạng cấp số cộng Ví dụ Biết u4  u8  u12  u16 224 Tính S19 Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x cấp số cộng) Phương pháp Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho số  4;1;6; x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm x Ví dụ 2: Nếu số  m;  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng m bao nhiêu? Ví dụ 3: Với giá trị x y số  7; x; 11; y theo thứ tự lập thành cấp số công? Dạng Chứng minh hệ thức cấp số cộng lập thành cấp số cộng, tốn có sử dụng yếu tố cấp số cộng Phương pháp Nếu  un  cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số u u uk  k  k 1 cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c 2b Sử dụng tính chất cấp số cộng Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Chứng minh ba số dương a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng số 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, chứng minh 2 a  8bc  2b  c  a) a  2bc c  2ab b) Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 3a ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác theo a Ví dụ Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành x  3mx  2m  m   x  9m  m 0 cấp số cộng: m Ví dụ Tìm giá trị tham số để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số 2 cộng: x  10 x  2m  m 0 C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? Vì sao? 11 , , 2, , 10,  2,  14,  26,  38 a) ; b) c) 1, 2, 3, 4, ; d) 1, 4, 7,10,13 u Bài Trong dãy số  n  với số hạng tổng quát sau, dãy số cấp số cộng? Nếu cấp số cộng, tìm số hạng đầu u1 cơng sai d a) un 3  2n b) un  3n   un  có số hạng đầu u1  , công sai d 5 a) Viết công thức số hạng tổng quát un Bài Cho cấp số cộng b) Số 492 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số 300 có số hạng cấp số cộng không? Bài Cho cấp số cộng  un  có u1 4, u2 1 Tính u10 c) un 3n u1  u2  u3  với a) Tìm cơng sai d viết cơng thức số hạng tổng quát un b) Số - 67 số hạng thứ cấp số cộng trên? c) Số có phải số hạng cấp số cộng không? u Bài Cho cấp số cộng  n  u1  u Bài Tính tổng 100 số hạng đầu dãy số  n  với un 0,3n  với n 1 Bài Chiều cao (đơn vị: centimét) đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường cho công thức: xn 75   n  1 (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm tuổi centimét? x b) Dãy số  n  có cấp số cộng khơng? Trung bình năm, chiều cao đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên centimét? Bài Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương 120 triệu Kể từ năm thứ hai trở đi, năm tiền lương tăng 18 triệu Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương 24 triệu Kể từ quý thứ hai trở đi, quý tiền lương tăng 1,8 triệu Nếu người tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em chọn phương án khi: a) Kí hợp đồng lao động năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Dãy số sau cấp số cộng? 1  ;  ; 0; ; ;1; A 3 3 B 15 2;12 2;9 2;6 2; ; ; 3; ; ; 3 3 D 11 ;1; ; ; ; C 5 5 Câu 2: u1  1 , d công sai Năm số hạng liên tiếp Cho cấp số cộng có số hạng đầu cấp số là: 1 1  ;0;1; ;1  ; 0; ;0; A B 2 ;1; ; 2; C 2 D  1 ;0; ;1; 2 Câu 3: Viết ba số hạng xen số 22 để cấp số cộng có năm số hạng A 7; 12; 17, B 6; 10; 14 C 8; 13; 18 D 6; 12; 18 Câu 4: Cho hai số  23 Xen kẽ hai số cho n số hạng để tất số tạo thành cấp số cộng có cơng sai d 2 Tìm n A n 12 Câu 5: Biết số A n 5 B n 13 C n 14 D n 15 Cn1 ; Cn2 ; Cn3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng với n  Tìm n B n 7 C n 9 D n 11 Câu 6: u Cho cấp số cộng  n  có số hạng đầu 5; 9; 13; 17;  Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng A un 5n  Câu 7: Câu 9: C un 4n  D un 4n  1 d Khẳng định sau đúng? Cho cấp số cộng có u1  1 un   n  un    n  1 2 A B  un  C Câu 8: B un 5n  un    n  1 D un    n  1 Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? un  n u   u   n 3n A n B n C Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? u1 1  n  u  sin n un   1  2n  1 un un    n A B C D un 7.3n D u1 1  un 2un  Câu 10: Trong dãy số cho đây, dãy số cấp số cộng? A un  4n  Câu 11: Cho cấp số cộng A u15 34 B un  2n  19  un  C un  2n  21 D un  2n  15 có u1  d 3 Mệnh đề sau đúng? B u15 45 C u13 31 D u10 35 1 d  Gọi S5 tổng số hạng cấp số Câu 12: Cho cấp số cộng có cộng cho Mệnh đề sau đúng? 5 S5  S5  S5  S5  5 A B C D  un  Câu 13: Cho cấp số cộng A u1 16  un  u1  có d  S8 72 Tìm số hạng u1 1 u1  u1  u  16 16 16 B C D Câu 14: Một cấp số cộng có số hạng đầu 1, cơng sai 4, tổng n số hạng đầu 561 Khi số hạng thứ n cấp số cộng un có giá trị bao nhiêu? A un 57 B un 61 C un 65 D un 69 Câu 15: Một cấp số cộng có 12 số hạng Biết tổng 12 số hạng 144 số hạng thứ mười hai 23 Khi cơng sai d cấp số cộng cho bao nhiêu? A d 2 B d 3 C d 4 D d 5 Câu 16: Tổng n số hạng cấp số cộng tiên u1 công sai d cấp số cộng cho A u1 = 2; d =- B u1 = - 4; d = Sn  C Câu 17: Tổng n số hạng cấp số cộng quát un cấp số cộng cho A un 2n  Câu 18: Cho cấp số cộng A u1001 4005 Câu 19: Cho cấp số cộng A d  B un 3n   un  C 3n  19n * với n   Tìm số hạng đầu u1 = - ; d = - 2 Sn n  4n với n  * Tìm số hạng tổng un 5.3n  có u2 2001 u5 1995 Khi u1001 bằng: B u1001 4003 C u1001 3  8 un 5    5 D n D u1001 1  un  , biết: un  1, un1 8 Tính cơng sai d cảu cấp số cộng C d  D d 9 B d 7 u Câu 20: Cho cấp số cộng  n  Hãy chọn hệ thức hệ thức sau: u10  u20 u5  u10 A B u90  u210 2u150 C u10 u30 u20 Câu 21: Cho cấp số cộng số cộng cho A S 24 60 D u1 = ; d = 2  un  u10 u30 u20 D thỏa mãn u2  u23 60 Tính tổng S 24 $24$ số hạng cấp B S24 120 C S 24 720 D S24 1440 Câu 22: Một cấp số cộng có số hạng Biết tổng số hạng đầu số hạng cuối 17; tổng số hạng thứ hai số hạng thứ tư 14 Tìm cơng sai d câp số cộng cho A d 2 Câu 23: Cho cấp số cộng d A Câu 24: Cho cấp số cộng u1 13  d   A Câu 25: Cho cấp số cộng sau? B d   un  thỏa mãn C d 4 u7  u3 8  u2u7 75 d B  un   un  D d 5 Tìm cơng sai d câp số cộng cho C d 2 D d 3 u1  u7 26  2 u2  u6 466 thỏa mãn u1 10  d   B thỏa mãn Mệnh đề sau đúng? u1 1 u1 13   d 4 d    C D u1  u3  u5 15  u1  u6 27 Chọn khẳng định khẳng định A u1 21  d 3 B Câu 26: Cho cấp số cộng d  10 A d 3 Câu 27: Cho cấp số cộng A u2 3  un   un  u1 21  d  thỏa C u2  u4  u6 36  u2u3 54 u1 18   d 3 u Tìm cơng sai d cấp số cộng  n  biết C d 5 B d 4 u1  u2  u3 27  u  u22  u32 275 thỏa  Tính u2 B u2 6 C u2 9 Câu 28: Tính tổng T 15  20  25   7515 A T 5651265 B T 5651256 D u1 21  d 4 C T 5651625 2 2 2 Câu 29: Tính tổng T 1000  999  998  997    A T 500500 B T 500005 C T 505000 D d 6 D u2 12 D T 5651526 D T 500050 Câu 30: Cho cấp số cộng u1 ; u2 ; u3 ; ; un có cơng sai $d,$ số hạng cấp số cộng cho 1 1 ; ; ; ; un cấp số cộng? khác $0.$ Với giá trị d dãy số u1 u2 u3 A d  B d 0 C d 1 D d 2 Câu 31: Ba góc tam giác vng tạo thành cấp số cộng Hai góc nhọn tam giác có số đo (độ) là:   A 20 70   B 45 45   C 20 45   D 30 60 A, B, C  A  B  C  Câu 32: Ba góc tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn gấp đơi góc bé Hiệu số đo độ góc lớn với góc nhỏ bằng:  A 40  B 45  C 60  D 80 Câu 33: Một tam giác vng có chu vi độ dài cạnh lập thành cấp số cộng Độ dài cạnh tam giác là: 5 ; 1; ; 1; ; 1; ; 1; 4 A B C D Câu 34: Một rạp hát có 30 dãy ghế, dãy có 25 ghế Mỗi dãy sau có dãy trước ghế Hỏi rạp hát có tất ghế? A 1635 B 1792 C 2055 D 3125 Câu 35: Người ta trồng 3003 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, hàng thứ hai trồng cây, hàng thứ ba trồng cây,.Hỏi có tất hàng cây? A 73 B 75 C 77 D 79 Câu 36: Một đồng hồ đánh chng, kể từ thời điểm (giờ) sau số tiếng chng đánh số mà đồng hồ thời điểm đánh chng Hỏi ngày đồng hồ đánh tiếng chuông? A 78 B 156 C 300 D 48 Câu 37: Trên bàn cờ có nhiều vuông, người ta đặt hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đặt tiếp vào thứ hai số hạt nhiều ô thứ 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt nhiều ô thứ hai 5,… tiếp tục đến ô thứ n Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng 25450 hạt Hỏi bàn cờ có vng? A 98 B 100 C 102 D 104 Câu 38: Một gia đình cần khoan giếng để lấy nước Họ thuê đội khoan giếng nước đến để khoan giếng nước Biết giá mét khoan 80.000 đồng, kể từ mét khoan thứ giá mét khoan tăng thêm 5000 đồng so với giá mét khoan trước Biết cần phải khoan sâu xuống 50m có nước Vậy hỏi phải trả tiền để khoan giếng đó? A 5.2500.000 đồng B 10.125.000 đồng C 4.000.000 đồng D 4.245.000 đồng