BÀI 2 cấp số CỘNG

BÀI CẤP SỐ CỘNG MỤC TIÊU: Kiến thức: - Hiểu khái niệm cấp số cộng - Nắm công thức tổng quát, tổng n số hạng cấp số cộng - Biết số hạng đầu công sai cấp số cộng Kỹ - Tìm yếu tố cịn lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k , công sai, số số hạng, tổng n số hạng đầu cấp số cộng - Liên hệ kiến thức cấp số cộng để giải toán thực tế I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số cộng dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d không đổi, nghĩa (un ) cấp số cộng  n  2, un  un1  d Số d gọi Công sai cấp số cộng Định lí Nếu (un ) cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk  uk 1  uk 1 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a+c = 2b Định lí Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công thức sau un = u1 +(n -1)d Định lí n Giả sử (un ) cấp số cộng có cơng sai d Gọi Sn   uk  u1  u2  un ( Sn , tổng n số hạng k 1 cấp số cộng) n  u1  un  n  2u1  (n  1)d  Ta có Sn   2 Trang CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận dạng dãy số cấp số cộng ►Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa (un ) cấp số cộng un1 -un =d , với d số Để chứng minh dãy số (un ) cấp số cộng, ta xét d = u n1 - u n • Nếu d số (un ) cấp số cộng với công sai d • Nếu d phụ thuộc vào n (un ) khơng cấp số cộng ►Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số (un ) với un =2020n -2021 b) Dãy số (un ) với u n = 2n -5 Hướng dẫn giải a) Dãy số (un ) với un =2020n -2021 Ta có un1 -un =2020(n +1)-2021-(2020n -2021)=2020 Vậy (un ) cấp số cộng với công sai d = 2020 b) Dãy số (un ) với un = 2020n -2021 Ta có un1 -un =-2(n+1)+5-(-2n+5)=-2 Vậy (un ) cấp số cộng với cơng sai d = -2 Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng a) Dãy số (un ) với un = n  n 1 b) Dãy số (un ) với u n =(1)n  3n Hướng dẫn giải Trang a) Dãy số (un ) với un = n  n 1 Ta có un1  un  (n  1)2  (n  1)    n2  n  1  2n  phụ thuộc vào n Vậy (un ) cấp số cộng b) Dãy số (un ) với u n =(1)n  3n Ta có un1  un  (1)n1  3(n  1)  (1) n  3n   (1) n   (1) n   2(1) n phụ thuộc vào n Vậy (un ) cấp số cộng ►Bài tập tự luyện dạng Câu Dãy số sau cấp số cộng? A 1;3;6;9;12 B 1; 4;7;10;14 C 1; 2; 4;8;16 D 0; 4;8;12;16 Câu Trong dãy sau đây, dãy cấp số cộng? A un  3n B un  (3)n1 C un  3n1 D un  5n2  n 1 Câu Một cấp số cộng (un ) với u1   , d  có dạng khai triển sau đây? 2 1 1 1 1 A  ; 0; 1; ; 1; B  ; 0; ;0;  ; C ; 1; ; 2; ; D  ; 0; ;1; ; 2 2 2 2 2 Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng? A 1;  2;  4;  6;  B 1;  3;  6;  9;  12 C 1;  3;  7;  11;  15 D 1;  3;  5;  7;  Câu Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? B un  2n  3, n  A un  n  1, n  C un  n  1, n  Câu Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số Cộng? A un  3n2  2020 B un  3n  2020 C un  3n D un  (2).n1 , n  D un  (3)n1 Câu Trong dãy số (un ) sau dây, dãy số cấp số cộng? u1  D  un 1  un  Câu Các dãy số sau có số hạng tổng quát (un ) , dãy số cấp số cộng? A un  3n 1 B un  2n 1 C un  (n 1)2  n A 1;3;5;7;9 B 13;17; 21; 25; 29 C un   3n D un  (n  3)2  n2 Câu Trong dãy số sau dãy số cấp số cộng? u1  1 u1  1 A  B  C un  n2 un 1  un  un 1  2un  D un  (n  1)3 Câu 10 Dãy số cấp số cộng? A un  n  2n ,  n  *  B u n  3n  1,  n  *  C un  3n ,  n  *  D un  3n  ,n  n2 Câu 11 Khẳng định sau sai? A Dãy số 0,1;0, 01;0, 001;0, 0001; cấp số cộng  u1    1  B Dãy số  ;0; ;1; ; cấp số cộng với  2 d   Trang *  1  u1   1  C Dãy số ; ; ; cấp số cộng có ba số hạng  2 d   u  2 D Dãy số 2; 2; 2; 2; cấp số cộng  d  Câu 12 Cho dãy số có số hạng đầu 8;15;22;29;36; Viết cơng thức số hạng tổng quát? A u n =7n+7 B un =7n C Không viết dạng công thức D u n =7n+1 Câu 13 Cho cấp số Cộng hữu hạn 4;7;10;13;16; 1;6;11;16; 21; cấp số cộng có 100 số hạng Hỏi có tất số có mặt hai cấp số trên? A 21 B 20 C 18 D 19 Câu 14 Trong dãy số đây, dãy số cấp số cộng? A Dãy số (an ), với an  (2n  5)2  4n2 , n  N * B Dãy số (bn ), với b1  1, bn1  3bn  4, n  C Dãy số (cn ), với c0  2019 , n  * D Dãy số (dn ), với d1  1, dn1  2020 , n  dn  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-D 2-C 3-D 4-C 11-C 12-D 13-B 14-A 5-B 6-B 7-B 8-C 9-B 10-B Câu Dãy số 0; 4; 8; 12; 16 cấp số cộng có số hạng đầu u1  cơng sai d  Câu Ta có un  3n 1 cấp số cộng un1  un  3  n  1  1   3n  1  Câu 1 Ta có u1   , u2  0, u3  , u4  1, u5  , 2 Câu Dãy số  un  có tính chất un1  un  d gọi cấp số cộng Ta thấy dãy số ; 3 ; 7 ; 11 ; 15 cấp số cộng có số hạng đầu cơng sai – Câu Ta có un1  un   n  1   2n   2, n  Do dãy số đáp án B cấp số cộng theo định nghĩa Câu Ta có un1  un   n  1  2020  3n  2020   un1  un  Vậy dãy số cấp số cộng có cơng sai d  Câu Ta có un  2n  không cấp số cộng un1  un  2n1  2n Câu Xét dãy số un   3n , suy un1   3n1 Ta có : un1  un  2.3n , n  * * Trang Do un   3n cấp số cộng Câu u1  1 Ta có  cấp số cộng un 1  un  Câu 10 Ta có un  3n  1 n  * u1  1  un 1  un   un 1  un   cấp số cộng u n1  un  3 n  1  1-3n -1  số Câu 11 Xét đáp án C , 1 1 1     nên dãy số ; ; ; không cấp số cộng 2 2 2 Câu 12 u   công thức tổng quát un  7n 1 Dãy số 8; 15; 22; 29; 36; cấp số cộng với  d  Câu 13 Gọi cấp số cộng thứ  un  cấp số cộng thứ hai   Ta có un  u1   n 1 d    n 1  un  3n  1; vk  v1  (k 1)d  1 5(k 1)  vk  5k  Với k , n  ,1  n  100,1  k  100 Ta có un  vk  3n   5k   3n   k 1 Mà hai số nguyên tố nên n chia hết cho Đặt n  5t , t   k  3t  Do  n  100,1  k  100 nên t 1;2;3;;20 Câu 14 Ta có an   2n  5  4n2 , n  Do an1  an  20, n  * *  an  20n  25, n  * nên  an  cấp số cộng với cơng sai d  20 Dạng 2: Tìm số hạng đầu tiên, cơng sai cấp số cộng, tìm số hạng thứ k cấp số cộng, tính tổng ksố hạng ►Phương pháp giải Ta lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d Sau giải hệ phương trình tìm u1 d Muốn tìm số hạng thứ k , trước tiên ta phải tìm u1 d Sau áp dụng cơng thức uk =u1 +(k -1)d Muốn tính tổng k số hạng đầu tiên, ta phải tìm u1 d Sau áp dụng cơng thức Sk  k  u1  uk  k  2u1  (k  1)d   2 ►Ví dụ mẫu u1  u2  u3  Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng  2 u1  u2  u3  35 Hướng dẫn giải u1  u2  u3  u1  u1  d  u1  2d   Cách Ta có  2 u  u2  u3  35 u1   u1  d 2   u1  2d 2  35  Trang  u   d u   d u   d    12  2 (3  d )   (3  d )  35 d  d       Với d   u1  Với d  2  u1  Cách Đặt u1 = x-d; x2 = x; u3 = x +d Ta có u1  u2  u3  x  d  x  x  d    2 2 2 u1  u2  u3  35 ( x  d )  x  ( x  d )  35  x  x  x     2 (3  d )   (3  d )  35 d  d  2  Với d   u1  Với d  2  u1  Chú ý Áp dụng công thức un  u1  (n1)d lập hệ phương trình gồm u1 d Ví dụ Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Hướng dẫn giải Giả sử bốn số hạng a -3x; a - x; a + x; a+3x lập thành cấp số cộng với công sai d = 2x  (a  3x)  (a  x)  (a  x)  (a  3x)  20 Khi ta có  2 2 (a  3x)  (a  x)  (a  x)  (a  3x)  120  4a  20 a     x  1 4a  20 x  120 Vậy bốn số cần tìm 2; 4; 6; Chú ý: - Nếu số số hạng cấp số cộng lẻ gọi cơng sai d  x , chẵn gọi cơng sai d  x viết số hạng dạng đối xứng a1  a2  an  p 1 n(n  1)  - Nếu cấp số cộng (an ) thỏa mãn  p d  2 a1   n  a1  a2  an  s d  12  ns  p  n  n  1 Ví dụ Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 tổng 20 số hạng cấp số cộng us  19 un , biết  u9  35 Hướng dẫn giải  u  4d  19 u1  u  19 Áp dụng công thức ta có un =u1 +(n -1)d, ta có    u  35 u  d  35 d      Vậy số hạng u1  3, công sai d  Số hạng thứ 50 u50 =u1 +49d=3+49.4=199 Trang Tổng 20 số hạng S50  50  2u1  49d   25(2.3  49.4)  5050 Chú ý: Áp dụng công thức un  u1  (n1)d lập hệ phương trình gồm hai ấn u1 d Để tính tổng k số k  2u1  (k  1)d  Ví dụ Tìm số hạng đầu công sai cấp số cộng hạng đầu tiên, ta áp dụng công thức Sn   S  34 a)  12  S18  45 S4  20  b)  1 1 25  u  u  u  u  24  Hướng dẫn giải  12  2u1  11d   31  u1   34  S  34    u  33 d  17        a) Ta có  12  S18  45 18  2u1  17d   45 2u1  17d  d        S4  20 2  2u1  3d   20   b) Ta có  1 1 25   1 1 25  u  u  u  u  24  u  u  u  u  24 4    u1   d   1 1 25    (*)   3 24   d  d  d  d  2d  d  3d  2 2      1   1  25 10 10 25 ()            2 3 d d 9d d 24  5 d 5 d   5   24 25  25   2   2 4 d2 Đặt  t; t  ta 10 10 25 2(25  t )  2(25  9t )     25  9t 25  t 24 (25  9t )(25  t ) 24 100  20t    24(20  4t )  (25  9t )(25  t ) (25  9t )(25  t ) 24  145 t  9t  154t  145     t  Nếu t  145 145 145  d2  d  9  Với d  145 145  u1   Trang 145 145  u1   Nếu t   d   d  1  Với d   u1    ; 2 13  Với d  1  u1    2 Chú ý k  2u1  (k  1)d  Áp dụng công thức Sk  biểu diễn S4 , theo hai ẩn u1 d Áp dụng công thức un  u1  (n1)d lập hệ phương trình gồm hai ẩn u1 d  Với d   Ví dụ Biết u4  u8  u12  u16  224 Tính S19 Hướng dẫn giải Ta có u4 +u8 +u12 +u16 =224  u1  3d  u1  7d  u1 11d  u1 15d  224  4u1  36d  224  u1  9d  56 19  2u1  18d   19  u1  9d   19.56  1064 Ví dụ Cho cấp số cộng (un ) biết un =9-5n Tìm S100 Ta có S19  Hướng dẫn giải Ta có un1  un  [9  5(n  1)]  (9  5n)  5, n  * Suy d =-5, u1  n  2u1  (n  1)d  100(2.4  99.(5))   24350 2 ►Bài tập tự luyện dạng Câu Số hạng đầu u1 , công sai d cấp số cộng (un ) có u2  7; u3  Vậy S100  A u1  1; d  B u1  10; d  3 C u1  4; d  3 D u1  4; d  3 Câu Cho cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1  15 công sai d  2 Số hạng thứ cấp số cộng A A u8  B u8  1 C u8  103 D u8  64 Câu Cho cấp số cộng (un ) có u1 =-1; d =2; Sn =483 Giá trị n A n  20 B n  21 C n  22 D n  23 u1  2 Số 70 số hạng thứ cấp số Câu Cho cấp số cộng (un ) xác định  u01  un  cộng? A 15 B 23 C 25 D 205 Câu Cho cấp số cộng (un ) có u1  tổng 50 số hạng đầu 5150 Công thức số hạng tổng quát un A un  1 4n B un  5n C un   2n D un   3n Câu Cho cấp số cộng (un ) có un   2n Biết Sn  320 , giá trị n A n  16 n  20 B n  15 C n  20 D n  16 Trang Câu Cho dãy số (un ) biết un  2n  Chọn khẳng định A (un ) cấp số cộng với công sai d  B (un ) cấp số cộng với công sai d  2 C (un ) cấp số cộng với công sai d  D (un ) cấp số cộng với công sai d  5 Câu Cho cấp số cộng (un ) biết u1  d  Lựa chọn kết kết sau A u15  u3  46 B u29  u22  28 C u17  u13  18 D u1000  u100  350 Câu Cho dãy số (un ) cấp số cộng có cơng sai d  Chọn khẳng định khẳng định sau A Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;; u10n , n  theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 10 B Dãy số u10 ; u20 ; u30 ;; u10,0 , n  theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 20 C Dãy số u10 ; u20 ; u30  u100 , n  theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 30 D Dãy số u10 ; u20 ; u30  u, u10n , n  theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai 15 Câu 10 Cho cấp số cộng (un ) có công sai d Gọi Sn , tổng d số hạng Hãy hệ thức sai hệ thức sau A u3  u8  u5  u6 B u5  u9  2u7 C u4 u9  u62 D S3  S5  2S4  d u1  2u5  Câu 11 Cho cấp số công (un ), biết  Số hạng đầu u1 , công sai d  S4  14 A u1  8; d  3 B u1  8; d  C u1  8; d  3 D u1  8; d  u1  u5  u3  10 Câu 12 Số hạng đầu u1 , công sai d cấp số cộng (un ), có   u1  u6  A u1  33; d  12 B u1  36; d  13 C u1  35; d  13 D u1  34; d  13 Câu 13 Cấp số cộng (un ) có S6 =18, S10 =110 tổng 20 số hạng A 620 B 280 C 360 D 153 Câu 14 Cho cấp số cộng un  5n  Biết Sn  16040, số số hạng cấp số cộng A 79 B 3024 C 80 D 100 Câu 15 Chọn khẳng định khẳng định sau Nếu số a, b, c khác lập thành cấp số cộng A Nghịch đảo chúng lập thành cấp số cộng B Bình phương chúng lập thành cấp số cộng C c, b, a theo thứ tự lập thành cấp số cộng D Tất khẳng định sai Câu 16 Cho cấp số cộng có S10  85, S15  240 , S20 A 325 B 170 C 395 D 470 Câu 17 Tổng tất số tự nhiên chẵn nhỏ 555 A 77145 B 77284 C 76450 D 77006 1 Câu 18 Cho cấp số cộng có u1  , d   Chọn khẳng định khẳng định sau đây? 4 5 A S5  B S5  C S5   D S5   5 Câu 19 Cho cấp số cộng (un ) với u1  2, d  3 Kết sau đúng? A u3  1; B u3  7; C u4  7; D u6  Trang Câu 20 Cho cấp số cộng có u2  u22  60 Tổng 23 số hạng đầu A 690 B 680 C 600 D 500 Câu 21 Công sai d cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu u1  10 số hạng cuối u21  50 A d  B d  C d  Câu 22 Tổng 10 số hạng đầu cấp số cộng có u1  8, u10  62 A S10  175 B S10  350 D d  2 C S10  700 D S10  1400 Câu 23 Cho cấp số cộng có u1  1, d  2, Sn  483 Số số hạng cấp số cộng A n  20 B n  21 C n  22 D n  23 Câu 24 Cho cấp số cộng có tổng số hạng 22, tổng bình phương chúng 166 Bốn số hạng cấp số cộng A 1; 4;7;10 B 1; 4;5;10 C 2;3;5;10 D 2;3; 4;5 u2  u5  42 Câu 25 Cho cấp số cộng (un ) thỏa mãn  Tổng 346 số hàng đầu u3  u10  66 A 242546 B 242000 C 241000 D 240000 Câu 26 Cho cấp số cộng (un ) có u5  18 4S  S2n Số hạng u1 , công sai d cấp số cộng A u1  2; d  B u1  2; d  C u1  2; d  D u1  3; d  Câu 27 Cho cấp số cộng gồm số hạng 1, a, 7, b Giá trị a, b A a  3; b  11 B a  2; b  C a  4; b  12 D a  7; b  1 Câu 28 Cho dãy số (un ) có tổng n số hạng Sn  2n2  3n Khi A (an ) cấp số cộng với công sai B (an ) cấp số cộng với công sai C (an ) cấp số cộng với công sai D (an ) cấp số cộng với công sai Câu 29 Cho cấp số cộng (un ) với số hạng đầu u1  6 công sai d  Tổng 14 số hạng cấp số cộng A 280 B 308 C 644 Câu 30 Cho cấp số cộng (un ) gồm số hạng 2, a,6, b Tích a.b A 12 B 32 C 40 Câu 31 Cho cấp số cộng có tổng n số hạng đầu Sn  3n2  4n, n  số cộng A u10  55 B u10  67 C u10  61 D 46 * D 22 Giá trị số hạng thứ 10 cấp D u10  59 Câu 32 Thêm số xen hai số 24 ta cấp số cộng có số hạng Khi tổng số hạng A 110 B 107 C 106 D 108 Câu 33 Thêm số xen hai số 25 ta cấp số cộng có số hạng Số hạng thứ 50 A 169 B 169 C 171 D 171 Câu 34 Cho cấp số cộng (un ) có u1  tổng 100 số hạng đầu 24850 Giá trị biểu thức S  1   u1u2 u2u3 u49u50 Trang 10 B S  246 23 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT A S  D S  C S  123 49 246 1-B 2-A 3-D 4-C 5-A 6-D 7-A 8-B 9-C 10-C 11-A 12-B 13-A 14-C 15-C 16-C 17-D 18-C 19-C 20-A 21-C 22-B 23-D 24-A 25-A 26-A 27-A 28-A 29-A 30-B 31-C 32-D 33-C 34-D 35-A Câu Ta có u2  ; u3  suy d  3 Từ u1   (3)  10 Câu Ta có un  u1   n 1 d  u8  u1  7d  15  7.(2)  Câu n  2u1   n  1 d   n  23  2.483  n     n  1   n  2n  483    Ta có Sn    n  21 Do n  Câu * nên n  23 u1  2  u1  2; d  Suy un  2   n  1  3n  Ta có s  un 1  un  Từ 70  3n   n  25 Câu 50 Ta có S50   2u1  49d   5150  d  Số hạng tổng quát cấp số cộng un  u1   n  1 d   4n Câu Ta có u1  suy Sn  n   2n  3  n2  4n Câu u  3 un  n     d  u2  u1  u2  1 Câu u15  u3  u1  14d   u1  2d   12d  48  46 loại A; u29  u22  u1  28d  u1  21d   7d  28 chọn B; u17  u13  u1  16d  u1  12d   4d  16  18 loại C u1000  u100  900d  350 loại D Câu Gọi  an  cấp số cộng theo thứ tự u10 ; u20 ; u30 ;; u10n , n  1, lúc ta có Trang 11 a1  u10  u1  9d  d '  a2  a1  10d  30  a2  u20  u1  19d Câu 10 Ta có u4 u9   u1  3d u1  8d   u12  24d  11u1d u62   u1  5d   u12  25d  10u1d Suy u4 u9  u62 Câu 11  u   u1  4d   3u1  8d  u  u  2u5   Ta có     2 u  d  14 S  14 u  d  d           Câu 13  3  2u1  5d   18 2u  5d  u  7 S  18  Ta có :     S  110 u  d  110 u  d  22 d     10  1     Từ mà S20  10  2u1  19d   10   7   19.4  620 Câu 14 Ta có cấp số cộng: un  5n  nên u1  3, u2  8, d  n n  2u1   n  1 d   16040   2.3  (n  1).5  16040 2  n  80  5n  n  32080     n  80  n   401 ( loai )  Sn  16040  Câu 15 Không tổng quát giả sử a  b  c  c  b  b  a  d với d công sai 1 1 d 1 d     Khi    nên loại A a b a a  d a  a  d  b c  a  d  a  2d  b  a  2ad  d    c  b2  2ad  3d  nên loại B Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng với cơng sai d c, b, a lập thành cấp số cộng với công sai  d Câu 16  S10  S1  9d  85  S  194   S20  S1  19d  395   S15  S1  14d  240 d  31 Câu 17 Theo giả thiết   552  554  278.554  77006 Câu 18  1 Theo giá thiết S5  5u1  10d   10      4  4 Câu 19 Ta có u4  u1  3d   3.(3)  7, u6  u1  5d   5.(3)  13 Câu 20 u2  u22  60  2u1  22d  60  S23  23 23.60  690  2u1  22d   2 Câu 21 Trang 12  u  10 u  10 u  10 Ta có :     u21  50 u1  20d  50 d  Câu 22  u  u  u  Ta có    u10  62 u1  9d  62 d   Suy S10   2u1  9d   5(2.8  9.6)  350 Câu 23 n n 2u1   n  1 d   483    1   n  1   483  2  n  23  n2  2n  483     n  23  n  21 (loai) Câu 24 Sn  483   4u  6d  22 u1  10 u1  u1  u2  u3  u4  22   12    2 2  d  3 u1  u2  u3  u4  166 4u1  12u1d  14d  166 d   Câu 25 u2  u5  42 2u  5d  42 u  11 346     S346   2.11  345.4  242546  u  u  66 u  11 d  66 d    10   Câu 26 Ta có u5  18  u1  4d  18 1 n  n  1 d   2n  2n  1 d   4Sn  S2 n   nu1     2nu1   2      4u1  2nd  2d  2u1  2nd  d  2u1  d   2 Từ 1  2 suy u1  2; d  Câu 28 Ta có số hạng thứ n dãy an  Sn  Sn1  2n2  3n  2(n 1)2  3(n 1)  4n  Suy an1  4n  Khi an1  an    an  cấp số cộng với cơng sai Câu 29 Ta có S14  n  2u1   n  1 d   280 2 Câu 30 Ta có a    a  a  4;6  a  b   b   a.b  32 Câu 31 Từ giả thiết ta có S1  u1  3.12  4.1  n 8  6n  n   6n  1   un  6n   u10  61 2 Cách khác un  Sn  Sn1  u10  S10  S9  3.102  4.10   3.92  4.9   61 Ta có Sn  3n2  4n  Câu 32 Trang 13 Xen hai số 24 thêm số để cấp số cộng có số hạng S8  u1  u8   (3  24)8  108 2 Câu 33 Ta có d   25  4 Do u50  u1  49d  25  49.4  171 Câu 34 Gọi d công sai cấp số cho Ta có S100  50  2u1  99d   24850  d   5S  497  2u1 5 99 5   u1u2 u2u3 u49u50  u u u2  u1 u3  u2   50 49 u1u2 u2u3 u49u50  1 1 1 1        u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50  1 1 245 49     S u1 u50 u1 u1  49d 246 246 Câu 35  u  4d   u1  2d    u1  d   21 3u1  9d  21 u1  u  3u3  u2  21  Ta có     u  u   34 u  d  u  d   34 u  12 d   34 d         1     30 S  u4  u5  u30  S30  S3  (2.2  29.(3))   2.2  2.3  1242 2 Dạng 3: Dựa vào tính chất cấp số cộng: chứng minh đẳng thức, giải phương trình tốn thực tế ►Phương pháp giải Nếu (un ) cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng (trừ số hạng cuối cấp số uk 1  uk 1 Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a  c  2b cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức uk  ►Ví dụ mẫu Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng, chứng minh a) a2  2bc  c2  2ab b) a2  8bc  (2b  c)2 Hướng dẫn giải Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng nên a  c  2b  a  2b  c a) Ta có a2  2ab  (2b  c)2  2(2b  c)  b  4b2  4bc  c2  4b2  2bc  c  2bc Vậy a  2ab  c  2bc  a  2bc  c  2ab b) Ta có a2  8bc  (2b  c)2  8bc  4b2  4bc  c2  8bc  4b2  4bc  c2  (2b  c)2 Ví dụ Một tam giác vng có chu vi 3a; ba cạnh lập thành cấp số cộng Tính độ dài ba cạnh tam giác theo a Trang 14 Hướng dẫn giải Gọi x, y, z theo thứ tự độ dài ba cạnh tam giác ( x  y  z ) Chu vi tam giác x  y  z  3a (1) Theo tính chất cấp số cộng, ta có x  z  y (2) Tam giác cho vuông nên x2  y2  z (3) Thay (2) vào (1), ta y  3a  y  a Thay y  a vào (2), ta x  z  2a  x  2a  z Thay x  2a  z y  a vào (3), ta 5a 3a x 4 3a 5a , a, Vậy độ dài ba cạnh tam giác 4 (2a  z )  a  z  5a  4az   z  Ví dụ Cho a2 , b2 , c2 lập thành cấp số cộng có cơng sai khác Chứng minh lập thành 1 ; ; cấp số cộng bc ca ab Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có a  c  2b2 1   Ta phải chứng minh bc ab ca Ta có a  c  b2  b2  a  b2  b2  c  a b bc  bc ab a b bc (a  c)  (b  c) (a  b)  (c  a)     (b  c)(c  a) (a  b)(c  a) (b  c)(c  a) (a  b)(c  a) ac bc a b ca     (a  c)(c  a) (b  c)(c  a) (a  b)(c  a) (a  b)(c  a) 1 1 1        (điều phải chứng minh) bc ca ca a b a b bc ca Chú ý: 1   Ta chứng minh ab bc ca A B C Ví dụ Cho tam giác ABC có tan , tan , tan theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh 2 cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng q=-2 ; u_{1}=-1  (a  b)(a  b)  (b  c)(b  c)  Hướng dẫn giải A C B sin sin sin A C B   2 Ta có tan  tan  tan  A C B 2 cos cos cos 2 A C C A B sin  cos  sin  cos sin 2 2  2  A C B cos  cos cos 2 Trang 15 A C B B B sin    sin cos sin  2 2  2   2 A C B A C B cos  cos cos cos  cos cos 2 2 2 B A C B  cos   cos  cos  sin 2 2  cos B   A  C  B  A  C   cos    cos     sin 2       cos B AC B B B   cos  sin  sin  sin 2 2  cos B AC AC B   cos  cos  sin 2 2  cos B 1  cos B   [cos(C )  cos A]  2   cos B  cos C  cos A   cos B  cos A  cos C  2cos B Chú ý: Ta chứng minh cos A  cos C  2cos B  cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng  Ví dụ Cho số dương a, b, c theo thứ tự lập cấp số cộng Chứng minh 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ; ; b c c a a b Hướng dẫn giải Vì a, b, c lập thành cấp số cộng nên a  c  2b Ta cần chứng minh 1   b c a b c a Ta có a  c  2b  a  b  b  c  ( a  b )( a  b )  ( b  c )( b  c )   a b b c a b b c    b c a b ( b  c )( c  a ) ( a  b )( c  a ) ( a  c)  ( b  c) ( b  a)  ( c  a)  ( b  c )( c  a ) ( a  b )( c  a ) 1 1 1       b c c a c a a b b c a b c a 1 theo thứ tự lập thành cấp số cộng  ; ; b c c a a b Chú ý: 1 Ta chứng minh   b c a b c a  Ví dụ Tìm giá trị m để phương trình x  x  3 ( x  2m)  có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng có công sai lớn Hướng dẫn giải Trang 16 x  Ta có  x  x  3 ( x  2m)    x  3   x  2m Ba nghiệm lập thành cấp số cộng có cơng sai lớn nên có trường hợp Trường hợp 1: Ba nghiệm thứ tự 3; 2m;1 Suy d  2; m   (thỏa mãn) Trường hợp 2: Ba nghiệm thứ tự 3; 2m;1 Suy d  2; m   (loại) Trường hợp 3: Ba nghiệm thứ tự 2m; -3; Suy d  4; m   (thỏa mãn)  5 Vậy giá trị m cần tìm m   ;   2 Ví dụ Tìm m để phương trình x4  20x2  (m 1)2  có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Hướng dẫn giải Đặt t  x2 , t  Phương trình trở thành t  20t  (m 1)2  (1) Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm dương t1, t2 phân biệt   t1  t2    m2  2m  99   9  m  11    S   20   (*) m  P  (m  1)    Bốm mghiệm phương trình lập thành cấp số cộng  t2 ,  t1 , t1 , t2  t2  t1  2 t1  t1  t2  t2  9t1 Ta có   t1  t2  t1 t2  9t1 t1    Theo Định lí Vi-ét, ta có t1  t2  20  t2  18 2 t t  (m  1)  (m  1)  36 12 Suy m  m  5 (thỏa mãn (*)) Vậy giá trị m cần tìm m  {5;7} Ví dụ Chứng minh rằng: Nếu phương trình x3  ax  bx  c  có ba nghiệm lập thành cấp số cộng 9ab  2a3  27c Hướng dẫn giải Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số cộng Suy x1 + x3  2x2 (1) Mặt khác x3  ax2  bx  c   x  x1  x  x2  x  x3   x3   x1  x2  x3  x2   x1x2  x2 x3  x3 x1  x  x1x2 x3 Suy x1 + x2 + x3  a (2) a Từ (1) (2), suy 3x2  a hay x  a Phương trình cho có nghiệm x  , tức 3 a a a    a   b   c  3 3 3 Trang 17 2a3 ba   c   9ab  2a3  27c (điều phải chứng minh) 27 Ví dụ Cho x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  biểu thức P  3xy  y Hướng dẫn giải Ta có x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x2  y2  Đặt x  sin  , y  cos  Ta có P  3xy  y  sin   cos   cos2    cos 2 sin 2  2  2P 1  3sin 2  cos 2 Phương trình 2P 1  3sin 2  cos2 theo biến  có nghiệm Vậy max P  Đẳng thức 3sin 2  cos2  2     sin  2        k (k  Z ) 6  Min P   Đẳng thức 3sin 2  cos2  2     sin  2    1      k (k  ) 6  ►Bài tập tự luyện dạng Câu Cho tổng   11  16  x  970 Giá trị x A 96 B 69 C 97 Câu Biết ( x  1)  ( x  4)  ( x  7)  ( x  28)  155 Giá trị x A x  B x  1 C x  2 Câu Với giá trị x 1 3x; x  5;1  x lập thành cấp số cộng? D D x  3 A x  B x  1 C x   D x  Câu Chu vi đa giác 158 cm, số đo cạnh lập thành cấp số cộng với công sai d  cm Biết canh lớn 44 cm Số cạnh đa giác A B C D Câu Phương trình x  10 x  m  có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Khi m thuộc khoảng sau đây? A m  (0;5) B m  (5;15) C m (25;0) D m  (15; 25) Bài Cấp số cộng Câu Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Cˆ  Aˆ Số đo góc A, B, C A 100 ,1200 ,500 B 150 ,1050 ,600 C 50 ,600 ,250 D 200 ,600 ,1000 Câu Một công ty thực việc trả lương cho kĩ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 15 triệu đồng/quý kể từ quý làm việc thứ hai mức lương tăng thêm 1,5 triệu đồng quý Tổng số tiền lương kĩ sư nhận sau năm làm việc cho công ty A 495 triệu đồng B 279 triệu đồng C 384 triệu đồng D 558 triệu đồng Trang 18 Câu Cho tam giác vuông có độ dài ba cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d  Bán kính đường trịn ngoại tiếp R tam giác A R  B R  C R  1 D R  Câu Độ dài ba cạnh tam giác vuông lập thành cấp số cộng Nếu cạnh trung bình công sai cấp số cộng A 7,5 B 4,5 C 0,5 D 1,5 Câu 10 Giá trị a , b để phương trình x3  ax  b  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A b  0, a  B b  0, a  C b  0, a  D b  0, a  Câu 11 Một em học sinh dùng que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật thể hình Số que diêm để xếp thành hình tháp 10 tầng A 69 que B 39 que C 420 que D 210 que 2 Câu 12 Tam giác ABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chọn khẳng định khẳng định sau A tan2 A, tan2 B, tan C theo thứ tự lập thành cấp số cộng B cot A,cot B,cot C theo thứ tự lập thành cấp số cộng C cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng D sin2 A,sin2 B,sin2 C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 13 Số đo góc tứ giác lồi lập thành cấp số cộng góc lớn gấp lần góc nhỏ Số đo góc nhỏ A 250 B 300 C 450 D 350 Câu 14 Người ta trồng 3240 theo hình tam giác sau: hàng thứ trồng cây, kể từ hàng thứ hai trở số trồng hàng nhiều so với hàng liền trước Hỏi có tất hàng cây? A 81 B 82 C 80 D 79 Câu 15 Chu vi đa giác 158 cm, cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với công sai d  cm Biết cạnh lớn có độ dài 44 cm, độ dài cạnh nhỏ đa giác A 32 cm B 33 cm C 38 cm D 35 cm Câu 16 Giá trị n để Ca , Cn , Cn theo thứ tự lập thành cấp số cộng A n  B n  C n  D n  Câu 17 Giá trị x để 2; x  1;5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng A x   B x   C x  D x  Câu 18 Cho A, B, C, D bốn số thực dương lập thành cấp số cộng Giá trị biểu thức D  A2 C  B2 Trang 19 A B C D 1 Câu 19 Cho x1 , x2 nghiệm phương trình x  3x  a  y1 , y2 nghiệm phương trình x  11x  b  theo thứ tự lập thành cấp số cộng tích ab có giá trị 585 585 A ab  1 B ab   C ab  D ab  54 8 Câu 20 Tìm m để phương trình x3  (2m 1) x2  9x  có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số a a , với a, b  , phân số tối giản Giá trị biểu thức P  a  b2 b b A P  13 B P  20 C P  D P  10 Câu 21 Cho tam giác A1BC 1 , có độ dài cạnh Trung điểm cạnh tam giác A1BC 1 tạo cộng, ta m  thành tam giác A2 B2C2 , trung điểm cạnh tam giác A2 B2C2 tạo thành tam giác A3 B3C3 , Gọi M , N , P chu vi tam giác A1BC 1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , Giá trị biểu thức P  P1  P2  P3  A P  B P  24 C P  D P  18 Câu 22 Cửa hàng xếp 1089 hộp sơn theo số lượng 1; 3; 5; (hộp) từ xuống (số hộp sơn hàng xếp từ xuống số lẻ liên tiếp hình bên dưới) Hàng cuối có hộp sơn? A 63 B 65 C 67 D 69 Câu 23 Một đội công nhân trồng xanh từ kilômet số đến kilômet số Cứ 20m trồng Hỏi có trồng? A 100 B 200 C 101 D 69 Câu 24 An từ thành phố quê thăm ông bà quãng đường 54km Biết An 15km sau An trước 1km Thời gian An từ nhà quê A 27 B C D 15 Câu 25 Ngày thứ cửa hàng bán 10 cốc nước mía, ngày sau bán nhiều ngày hơm trước cốc nước mía Hỏi ngày thứ 10 cửa hàng bán cốc nước mía? A 15 cốc B 17 cốc C 19 cốc D 21 cốc Câu 26 Một nhóm gồm 3003 người xếp thành hình tam giác sau: hàng thứ có người, hàng thứ hai có người, hàng thứ ba có người, Hỏi có hàng? A 75 B 76 C 77 D 78 Câu 27 Tổng tất giá trị m để phương trình x4  2(m 1) x2  2m 1  có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng 40 40 32 32 A  B C  D 9 9 Trang 20 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A 2-A 3-D 4-D 5-B 6-D 7-B 8-D 9-D 10-C 18-C 19-B 20-C 11-D 12-D 13-B 14-C 15-D 16-D 17-C 21-B 22-B 23-D 24-B 25-D 26-C 27-D Câu Giả sử x  un Khi cấp số cộng có cơng sai d  2u1   n  1 d   n  1 n  n  970 2  n  20  5n  3n  1940    Ta có x  u20  u1 19d  119.5  96  n   97  Câu Ta có  x  1   x  4   x     x  28  155 Do   11  x  Do x   x  28 10  155  x  29  31  x  Câu Để số 1 3x; x2  5;1  x lập thành cấp số cộng  x  5  1  3x   1  x   x  x   (phương trình vơ nghiệm)  khơng tìm x thỏa u cầu Câu Ta có 158  44  41  38  35 nên đa giác có cạnh Câu x4 10x2  m  1 Đặt t  x2 , t  0, phương trình 1 trở thành t 10t  m   2 Phương trình 1 có nghiệm số hạng liên tiếp cấp số cộng phương trình  2 có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t2  9t1 * ,  t2  t1   '  25  m     m  25 Điều kiện phương trình  2 có nghiệm dượng phân biệt  P  m  S  10    t  t  10 Theo định lí Vi-ét   t2 t1  m ** *** Từ * ** suy t1  1, t2  vào *** ta m  (nhận) Trang 21 Câu ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số cộng  A  C  2B  A  B  C  1800  A  200   Ta có  A  C  B   B  600   C  1000 C  A  Câu Gọi un (triệu đồng)  n * mức lương kĩ sư quý làm việc thứ n Ta có u1  15; d  1,5 Đến quý thứ 12 mức lương kĩ sư u12  u1 11d  31,5 (triệu đồng) Vậy tổng số tiền nhận kĩ sư sau năm 12(15  31,5) S12  u1  u2  u12   279 (triệu đồng) Câu Gọi độ dài cạnh tam giác cần tìm a, a  2, a   a  0 a  Theo ra, ta có a  (a  2)2  (a  4)2  a  4a  12     a  2 Suy độ dài cạnh huyền 6+ =10 Vậy R  Câu 36 Theo giả thiết (6  d )  62  (6  d )  36  12d  12d  d   24 Câu 10 Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Suy 2x2  x1  x3 Mặt khác  x  x1  x  x2  x  x3    x3   x1  x2  x3  x   x1x2  x2 x3  x3 x1  x  x1x2 x3  Đồng với phương trình x3  ax  b  Suy x1  x2  x3   x2  Thay x2  vào phương trình cho, ta b  x  Phương trình cho trở thành x3  ax     x  a  1 Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  a  Vậy b  0, a  Câu 11 Ta có số que diêm để xếp tầng đế tháp cấp số cộng với u13 ; d  Suy số que diêm để xếp tầng đế tháp 10 tầng u10  u1  9d  39 Từ số que diêm để xếp hình tháp 10 tầng S10  u1  u2  u10  10   39  210 que Câu 12 Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có a  R sin A, b  2R sin B, c  2R sin C Theo giả thiết a2 , b2 , c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a  c  2b2 Trang 22  R sin A  R sin C  2.4 R sin B  sin A  sin C  2.sin B Vậy sin2 A,sin2 B,sin2 C theo thứ tự lập thành cấp số cộng Câu 13 Gọi góc nhỏ x, ta có bốn góc x, x  d , x  2d , x  3d (với d công sai)  x  ( x  d )  ( x  2d )  ( x  3d )  3600 Ta có   x  3d  x Giải hệ ta tìm x  300 Câu 14 Giả sử trồng n hàng  n  1, n   Số hàng lập thành cấp số cộng có u1  cơng sai d  Theo giả thiết Sn  3240   n  80 n  2u1   n  1 d   3240  n  n  1  6480  n  n  6480     n  81 Kết hợp với điều kiện, ta n  80 Vậy có tất 80 hàng Câu 15 Giả sử đa giác có n cạnh; độ dài cạnh thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d  cm u1; u2 ;; un Từ giả thiết ta có  un  44 u  47  3n u  35 un  44  u1  3n  47    u1  un  n   12   n u  44  316 S  158 n  91 n  316  n     158     n     Câu 16 Ta có Cn1  Cn3  2Cn2 (n  3)  n  n! n! n!    n2  9n  14     n   n  3  n  1! 3!  n  3! 2!  n  ! n  Câu 17 Ta có 2; x  1;5 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x   (2)   (2 x  1)  x  Câu 18 Ta có B  A  d , C  A  2d , D  A  3d A  3d   A2  D2  A2 Ad  9d    Khi C  B  A  2d 2   A  d 2 Ad  3d 2 Câu 19 Phương trình x  3x  a  (có nghiệm a  )  y1  y2  11 Theo định lí Vi-ét, ta có   y1  y2  b Trang 23 Phương trình x  11x  b  (có nghiệm b  121 )  y  y  11 Theo định lí Vi-ét, ta có   y1 y2  b Theo x1, x2 , y1, y2 , theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai d nên  2 x1  d   x1    2 x1  5d  11 d   13 585 Suy a.b     2 2 Câu 20 x  Ta x3   2m  1 x  x  1   x  m  x        Phương trình  2 ln có hai nghiệm trải dấu x1 , x2 ac  1.(9)  9  Do phương trình 1 ln có ba nghiệm phân biệt x1   x2 Để ba nghiệm lập thành cấp số cộng x1  x2  2.0  2m    m   Vậy P  Câu 21 1 1 1 P1 ; P3  P2  P1 ; P4  P3  P1 ; Pn  n 1 P1 2 P 1 Vậy P  P1  P2  P3   P1  P1  P1  P1    P1  24 1 Câu 22 Giả sử 1089 xếp thành n hàng Từ giả thiết ta có sổ hộp sơn hàng số hạng cấp số Ta có P2  cộng  un  với số hạng đầu un  cơng sai d  Do Sn  1089  n  n  n 1  1089  n  33 Vậy số hộp sơn hàng cuối u33   32.2  65 (hộp sơn) Câu 23 Khoảng cách từ đến mốc ki-lô-mét tạo thành cấp số cộng có cơng sai d  20 m Ta có un  u1  (n 1)d  6000  (n 1) 20 Cây cuối vị trí ki-lơ-mét nên ta có 8000  6000  (n  1)20  n  101 Trang 24 Câu 24 Quãng đường An cấp số cộng Ta có Sn  n  n n  2u1   n  1 d   54  30   n  1  1  n  31n  108    2  n  27 Với n  27 u27  u1  (27 1)d  11 nên vô lý Vây An từ nhà quê hết Câu 25 Số cốc nước bán ngày lập thành cấp số cộng với công sai d  Số cốc nước bán ngày thứ 10 u10  u1  9d  10  9.1  19 Câu 26 Gọi n số hàng cần tìm, ta có n  n  1  n  77    n  3003   3003    n  77  n  78 Câu 27 Đặt t  x2 , t  0, ta thu phương trình t   m  1 t  2m    2 Điều kiện để phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt phương trình  2 có hai nghiệm dương t1 , t2  t1  t2  m   hay  m   Khi bốn nghiệm  t2 ,  t1 , t1 , t2 Điều kiện để bốn nghiệm lập thành cấp số cộng t2  t1  t1 hay t2  9t1 Kết hợp định lí Vi-ét tìm m  4, m   32 Từ tổng giá trị m Trang 25 ... = 2n -5 Hướng dẫn giải a) Dãy số (un ) với un =20 20n -20 21 Ta có un1 -un =20 20(n +1) -20 21- (20 20n -20 21) =20 20 Vậy (un ) cấp số cộng với công sai d = 20 20 b) Dãy số (un ) với un = 20 20n -20 21... Câu 23 Cho cấp số cộng có u1  1, d  2, Sn  483 Số số hạng cấp số cộng A n  20 B n  21 C n  22 D n  23 Câu 24 Cho cấp số cộng có tổng số hạng 22 , tổng bình phương chúng 166 Bốn số hạng cấp. ..  2 3 d d 9d d 24  5 d 5 d   5   24 25  25   2   2? ?? 4 d2 Đặt  t; t  ta 10 10 25 2( 25  t )  2( 25  9t )     25  9t 25  t 24 (25  9t ) (25  t ) 24 100  20 t    24 (20