Ctst chương 2 dãy số cấp số cộng cấp số nhân

CHƯƠNG II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Trong chương tìm hiểu khái niệm dãy số tính chất dãy số Chúng ta tìm hiểu hai loại dãy số đặc biệt quan trọng cấp số cộng cấp số nhân ứng dụng dãy số giải toán hoạt động thực tiễn Trong hình trên, độ dài cạnh hình vng theo thứ tự từ nhỏ đến lớn 1;1; 2;3;5;8;13; Dãy số chứa đụng điều kì diệu khoa học nghệ thuật? Học song chương này, bạn có thể: - Nhận biết khài niệm, tính chất cách xác định dãy số - Nhận biết cấp số cộng cấp số nhân Giải thích cơng thức xác định số hạng tổng qt cấp số cộng cấp số nhân - Tính tổng n số hạng cấp số cộng cấp số nhân - Giải số vấn đề thực tiễn gắn với dãy số TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang BÀI DÃY SỐ Từ khóa: Dãy số (hữu hạn, vơ hạn); Số hạng đầu; Số hạng thứ n (số hạng tổng quát); Dãy số tăng; Dãy số giảm; Dãy số bị chặn; Cơng thức tính số hạng thứ n dãy số Gọi u1 ; u2 ; u3 ; ; un diện tích hình vng có độ dài cạnh 1; 2;3; ; n u Tính u4 Dãy số gì? Cho hàm số u : *   n  u  n  n u  1 ; u   ; u  50  ; u  100  Tính Trong thực tiễn, thường có nhu cầu đánh số thứ tự loạt giá trị số cần phải xử lí, từ đưa đến khái niệm dãy số: * Hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương  gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số), nghĩa u : *   n  u  n  n Dãy số kí hiệu  un  Dạng khai triển dãy số  un  u1 ; u2 ; u3 ; ; un ; Chú ý: u u  1 u u  n  a) gọi số hạng đầu, n gọi số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) dãy số u  b) Nếu un c với n , ta nói n dãy số khơng đổi Ví dụ Hàm số có dãy số hay khơng? Nếu có, tìm số hạng thứ nhất, thứ hai, thứ ba số hạng tổng quát dãy số Lời giải Hàm số * xác định tập hợp số nguyên dương  nên dãy số Ta có: u1 1; u2 4; u3 9 un n Cho hàm số: v :{1; 2;3;4;5}   n  v(n) 2n Tính v (1), v (2), v(3), v(4), v(5) Hàm số xác định tập hợp gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển dãy số , số hạng đầu số hạng cuối TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Ví dụ Dãy gồm 10 số tự nhiên lẻ có phải dãy số hữu hạn khơng? Nếu có, tìm số hạng đầu số hạng cuối dãy số Lời giải Đây dãy số hữu hạn Ta có số hạng đầu u1 1 số hạng cuối u10 19 Cho dãy số: u : *   n  un n3 a) Hãy cho biết dãy số hữu hạn hay vô hạn b) Viết năm số hạng dãy số cho Cho hình trịn theo thứ tự có bán kính 1; 2;3;4;5 a) Viết dãy số diện tích hình trịn b) Tìm số hạng đầu số hạng cuối dãy số Cách xác định dãy số  a  ,  bn  ,  cn  ,  dn  xác định sau Cho dãy số n • bn 2n • a1 0; a2 1; a3 2; a4 3; a5 4 c1 1  • cn cn  (n 2) • d n chu vi đường trịn có bán kính n Tìm bốn số hạng dãy số Thơng thường dãy số cho cách sau: Cảch 1: Liệt kê số hạng (với dãy số hữu hạn) Cách 2: Cho công thức số hạng tổng quát Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa Cho số hạng thứ (hoặc vài số hạng đầu tiên); Cho cơng thức tính theo (hoặc theo vài số hạng đứng trước nó) Cách 4: Cho cách mô tả (Ở công thức trên, ta giả sử biểu thức xuất có nghĩa) Trong ,  an  hạng tổng quát, dãy số có số hạng cho cách liệt kê,  cn  cho hệ thức truy hồi TÀI LIỆU TOÁN THPT  dn   bn  cho công thức số cho cách mô tả Trang Ví dụ Cho dãy số với a) Tìm ba số hạng b) Tính Lời giải u1 0; u2  ; u3   10 a) Ba số hạng là: 50  49 99  98 49 u50   ; u99    50  151 99  298 149 b) Ta có: Ví dụ Cho dãy số xác định bởi: Tinh a So sánh b So sánh Lời giải Ta có: u3 u2  u1 1  2; u4 u3  u2 2  3; u5 u4  u3 3  5 Vậy u5 5 Cho dãy số  un  xác định bởi: u1 3  un1 2un (n 1) a) Chứng minh u2 2.3; u3 2 ,3; u4 2 u  b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt dãy số n Một chồng cột gỗ xếp thành lớp, hai lớp liên tiếp cột gỗ (Hình 1) Gọi un số cột gỗ nằm lớp thứ n tính từ xuống cho biết lớp có 14 cột gỗ Hãy xác định dãy số  un  hai cách: a) Viết công thức số hạng tổng quát un b) Viết hệ thức truy hồi Dãy số tăng, dãy số giảm Cho hai dãy số  an   bn  xác định sau: an 3n  1; bn  5n * a) So sánh an an1 , n   * b) So sanhh bn bn1 , n   Cho dãy số Dãy số gọi dãy số tăng Dãy số gọi dãy số giảm TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Ví dụ Xét tính tăng, giảm dãy số sau: a) với b) với , c) với Lời giải a) Ta có: an1  1  an , n  * a  n 1 n Vậy n dãy số giảm 2 * b  b) Ta có: bn1 (n  1)  n bn , n   Vậy n dãy số tăng c  c) Ta có: c1  2; c2 4; c3  , suy c1  c2 , c2  c3 Vậy n không dãy số tăng, không dãy số giảm Ví dụ Xét tính tăng, giảm dãy số sau: a) với ; b) với Lời giải a) Ta nhận thấy số hạng dãy  an  số dương Ta lập tỉ số hai số hạng liên tiếp n 1 an1 n  ( n  1)(n  1) n  2n  1    1   1, n  * n an n(n  2) n  2n n  2n n  dãy: * a  Suy an1  an , n   Vậy n dãy số tăng bn1  bn  n   (n  1)    n  n   n  n  n  n  2n  0, n  * b) Ta có * b  Suy bn1  bn , n   Vậy n dãy số giảm Xét tính tăng, giảm dãy số sau: 2n  n2 u  x  n n u x     n 1 ; 4n ; a) n với b) n với c)  tn  n với tn ( 1) n Một chồng cột gỗ xếp thành lớp, hai lớp liên tiếp cột gỗ (Hình 2) u 25 số cột gỗ có hàng chồng a) Gọi u cột gỗ, n số cột gỗ có hàng thứ n tính từ lên Xét tính tăng, giảm dãy số b) Gọi v1 14 số cột gỗ có hàng chồng cột TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang v gỗ, n số cột gỗ có hàng thứ n tính từ xuống Xét tính tăng, giảm dãy số Dãy số bị chặn u  Cho dãy số n   với un  n So sánh số hạng dãy số với  un  gọi dãy số bị chặn tồn số M cho Dãy số un M , n  *  un  gọi dãy số bị chặn tồn số m cho Dãy số un m, n  * Dãy số  un  gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, * nghĩa tồn số M cho m un M , n   un  n un   Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số với  Giải 1  , n  * n u  2 Ta có: Vậy n bị chặn un  n  0, n  * u  Vậy n bị chặn un  Ta thấy dãy số  un  bị chặn bị chặn suy dãy số  un  bị chặn Xét tính bị chặn dãy số sau: a)  an  b)  bn  với với an cos bn  TÀI LIỆU TOÁN THPT  n n n 1 Trang BÀI TẬP u1 1  un  u   n 1 n    u u , u u n Tìm dự đốn cơng thức số hạng tổng quát n dãy số:  1 un     1.2 2.3 n  n  1 u  u ,u ,u Cho dãy số n với Tìm dự đốn cơng thức số hạng u tổng quát n y  Xét tính tăng giảm dãy số n với yn  n   Xét tính bị chặn dãy số sau: n n an sin  cos an   ; a) với b)  un  với un  u  Cho dãy số n Cho dãy số a)  un   un  n 6n  n2 ; 2n  n  Chứng minh  un  dãy số tăng bị chặn với na  un  n  Tìm giá trị a để: với un  dãy số tăng;  un  dãy số giảm b) Trên lưới ô vuông, ô cạnh đơn vị, người ta vẽ hình vng tơ màu khác Hình Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh hình vng từ nhỏ đến lớn Có nhận xét dãy số trên? TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Bạn có biết? DÃY SỐ FIBONACCI Fibonacci (Phi – bơ – na – xi) (cịn có tên Leonardo Fibonacci) nhà toán học tiếng người Ý Trong sách Liber Abaci, năm 1202, ơng có viết tốn sau: “Một đơi thỏ (gồm thỏ đực thỏ cái) tháng đẻ đôi thỏ (cũng gồm thỏ đực thỏ cái); đôi thỏ con, tròn hai tháng tuổi, lại tháng đẻ đơi thỏ con, q trình sinh nở tiếp diễn Hỏi sau năm có tất đôi thỏ, đầu năm (tháng 1) có đơi thỏ sơ sinh?” (Nguồn: https://www.britannica.com/science/Fibonaccinumber) Rõ ràng tháng 1, tháng 2, có đôi thỏ Sang tháng 3, đôi thỏ đẻ đơi thỏ con, tháng có đơi thỏ Sau tháng 4, có đơi thỏ ban đầu sinh nên tháng có đơi thỏ Sang tháng 5, hai đơi thỏ gồm đôi thỏ ban đầu đôi thỏ sinh tháng sinh nên tháng có đơi thỏ;… Khái qt, kí hiệu Fn số đơi thỏ có tháng thứ n , với n 3 , ta có: Fn Fn   số đôi thỏ sinh tháng thứ n  n  1 chưa thể sinh tháng thứ n đôi thỏ Do đôi thỏ sinh tháng thứ  n   sinh đôi thỏ con, nên số đôi thỏ sinh tháng thứ có tháng thứ n Fn  (số đơi thỏ có tháng thứ  n   ) Như vậy: Fn Fn   Fn  Việc giải toán Fibonacci dẫn đến việc khảo sát dãy số:  F1 1   F2 1  F F  F n n  n  n 3 Dãy số sau nhà toán học Pháp Edouard Lucas gọi dãy số Fibonacci Áp dụng quy luật dãy số trên, ta tính số đơi thỏ sau moojt năm TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài Cấp số cộng Từ khóa : Cấp số cộng ; Số hạng đầu ; Công sai ; Tổng n số hạng Một rạp hát có 20 hàng ghế Tính từ sân khấu, số lượng ghế hàng tăng dần hình minh họa Bạn đếm nêu nhận xét số ghế năm hàng Làm để biết số ghế hàng tính tổng số ghế có rạp hát ? Cấp số cộng Tìm điểm giống dãy số sau: a) 2;5;8;11;14 (xem Hình 1) b) 2; 4;6;8 c) 5;10;15; 20; 25 d)  5;  2;1; 4;7;10 Cấp số cộng dãy số (vô hạn hữu hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tổng số hạng đứng trước với số d không đổi, nghĩa : un 1 un  d với n   * Số d gọi công sai cấp số cộng Ví dụ Tìm cấp số cộng dãy số sau: a) 5;10;15; 20; 25;30 b) 1; 2; 4;8 c) 7; 7;7;7; Giải a) Dãy số: 5;10;15; 20; 25;30 cấp số cộng với công sai d 5 u  u u3  u2 nên cấp số cộng b) Dãy số: 1; 2; 4;8 có c) Dãy số: 7;7;7;7; cấp số cộng với công sai d 0 u Ví dụ Cho cấp số cộng: 3; 6;9;12; Tìm số hạng đầu, cơng sai Giải u1 3 ; công sai d 3 u 12 nên u5 u4  d 12  15 Ta có Cấp số cộng cho có số hạng đầu TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Ví dụ Chứng minh dãy số sau cấp số cộng Xác định số hạng đầu cơng sai cấp số cộng a) Dãy số  un  a) Ta có: u1 2.1  3 , với un 2n  un 1 2  n  1   2n  1  un  2,   * Vậy dãy số b) Ta có:  un  b) Dãy số Giải   với  3n  cấp số cộng với số hạng đầu u1 3 công sai d 2 v1  3.1  2 , 1   n  1    3n    vn     ,   *   v 2 công sai d  cấp số cộng với số hạng đầu Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng Tính b theo a c Giải a c b Gọi d cơng sai cấp số cộng, ta có d b  c c  b Do Vậy dãy số u  Nhận xét: Nếu n cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai, số hạng(trừ số hạng cuối cấp số cộng hữu hạn) trung bình cộng hai số hạng đứng kề dãy, tức là: u u uk  k  k 1  k 2  Chứng minh mối dãy số sau cấp số cộng Xác định công sai cấp số cộng a) 3; 7;11;15;19; 23 b) Dãy số  un  với un 9n  c) Dãy số   với an  b , a b số Số đo ba góc tam giác vng lập thành cấp số cộng Tìm số đo ba góc Mặt cắt tổ ong có hình lưới tạo hình lục giác Từ đầu tiên, bước thứ nhất, ong thợ tạo vịng gồm lục giác; bước thứ hai, ong thợ tạo vịng có 12 ô bao quanh vòng ; bước thứ ba, ong thợ tạo 18 bao quanh vịng ; tiếp tục(Hình 2) Số vịng theo thứ tự có tạo thành cấp số cộng khơng? Nếu có, tìm cơng sai cấp số cộng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10 Số hạng tổng quát cấp số cộng u u Cho cấp số cộng  n  Hãy cho biết hiệu số sau gấp lần công sai  n  : u2  u1 ; u3  u1; u4  u1 ; ; un  u1 Định lí u u u Nếu cấp số cộng  n  có số hạng đầu cơng sai d số hạng tổng qt n u u1   n  1 d , n 2 xác định công thức: n Ví dụ Tìm số hạng tổng qt un cấp số cộng có số hạng đầu u1 3 công sai d 9 Giải un u1   n  1 d 3   n  1 9n  Ta có Vậy số hạng tổng quát cấp số cộng un 9n  Tìm số hạng tổng quát cấp số cộng sau: a) Cấp số cộng  an  có a1 5 d  b) Cấp số cộng  bn  có b1 2 b10 20 c c 80 c6 40 Tìm số hạng tổng cấp số cộng  n  có Tổng n số hạng cấp số cộng Cho cấp số cộng a) Tính tổng b) Chứng tỏ Định lí Giả sử  un   un  có cơng sai d u1  un ; u2  un  ; u3  un  ; ; uk  un  k 1 theo u1 , n d  u1  u2   un  n  u1  un  cấp số cộng có cơng sai d Đặt Sn u1  u2  un , TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 11 Sn  hay Sn  n  u1  un  n  2u1  (n  1) d  Ví dụ a) Tính tổng 100 số nguyên dương b) Cho cấp số cộng  un  có u4  u6 20 Tính tổng số hạng cấp số cộng c) Cho cấp số cộng   có S3  S5  15 Tính S50 Lời giải a) Ta xếp 100 số nguyên dương thành cấp số cộng có u1 1 , u100 100 100(1  100) S100  50.101 5050 Suy b) Ta có c) Ta có: S5  u4  u6  u1  3d    u1  5d  2u1  8d 20 S3   2v1  2d   2v1  4d  2  Suy , suy v1  d  ;  15, suy v1  2d  S9   2u1  8d   9.20 90 (1) (2)  v1  d   v  2d  Từ (1) (2) ta hệ phương trình  Giải hệ phương trình ta v1 1 d  Do S50  50  2v1  49d   50 [2 1  49 ( 2)]  2400 a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn b) Cho cấp số cộng  un  có u3  u28 100 Tính tổng 30 số hạng cấp số cộng c) Cho cấp số cộng   có S6 18 S10 110 Tính S 20 Một rạp hát có 20 hàng ghế xếp theo hình quạt Hàng thứ có 17 ghế, hàng thứ hai có 20 ghế, hàng thứ ba có 23 ghế, tiếp tục hàng cuối (Hình ) a) Tính số ghế có hàng cuối b) Tính tổng số ghế có rạp TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 12 Hình TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 13 BÀI TẬP Chứng minh dãy số hữu hạn sau cấp số cộng: 1;  3;  7;  11;  15 Cho un  un  cấp số cộng với số hạng đầu Cho cấp số cộng a) Tìm u12  un  u1 4 công sai d  10 Viết công thức số hạng tổng qt có số hạng đầu u1  cơng sai d 2 b) Số 195 số hạng thứ cấp số cộng đó? Trong dãy số sau đây, dãy số cấp số cộng? Tìm số hạng đầu cơng sai n  5n u   u  n n n a) un 3  4n b) c) un 5 d) Tìm số hạng đầu cơng sai cấp số cộng u3  u1 20  u2  u5 54  un  , biết: u2  u3 0  u2  u5 80 u5  u2 3  u8 , u3 24 a) ; b) ; c) Một người muốn mua gỗ đủ để cắt làm ngang thang Biết chiều dài ngang thang (từ bậc cùng) 45 cm, 43 cm , 41cm, ,31cm a) Cái thang có bậc? b) Tính chiều dài gỗ mà người cần mua, giả sử chiều dài mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) không đáng kể Hình Khi vận động viên nhảy dù nhảy khỏi máy bay, giả sử quãng đường người rơi tự (tính theo feet) giây liên thứ tự trước bung dù là: 16; 48;80;112;144; (các quãng đường tạo thành cấp số cộng) a) Tính cơng sai cấp số cộng b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự người 10 giây Hình Ở lồi thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao hai gene không alen A B quy định theo kiểu tương tác cộng gộp Trong kiểu gene thêm alen trội A hay B chiều cao TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 14 tăng thêm cm Khi trưởng thành, thấp loài với kiểu gene aabb có chiều cao 100 cm Hỏi cao với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu? TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 15 Bài Cấp số nhân Từ khoá: Cấp số nhân; Công bội; Tổng n số hạng đẩu tiên Cấp số nhân a) Tính thương hai số hạng liên tiếp dãy số: ; ; ; 16 ; 32 ; 64 b) Tìm điểm giống dãy số sau i) ; ; 12 ; 24 ; 48 1 1 1; ; ; ; ii) 16 iii) 2;  6;18;  54;162;  486 Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vô hạn) mà đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số q khơng đổi, nghĩa là: un 1 un q với n  ¥ * Số q gọi công bội cấp số nhân Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân sau: a) 3; 6; 12; 24; 48;; b) 1;  1 1 ; ;  ; ; 16 c) 9; 9; 9; 9; 9; a) Dãy số: 3;6;12; 24; 48; cấp số nhân với u1 3 công bội q 2 1 1 1;  ; ;  ; ; q  16 b) Dãy số: cấp số nhân với u1 1 công bội c) Dãy số: 9;9;9;9;9, cấp số nhân với u1 9 công bội q 1 Ví dụ Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 16 a) 1; 11; 121; 12321; 1234321 b) 1; -1; 1; -1; c) 4; 8; 12; 16 Lời giải a) 1; 11; 121; 12321; 1234321 cấp số nhân với số hạng đầu u1 1 công bội q 11 b) Dãy số: 1;  1;1;  1;1 cấp số nhân với số hạng đầu u1 1 công bội q  u2 u3  u u2 nên không cấp số nhân c) Dãy số: 4; 8;12;16 có Ví dụ Cho cấp số nhân: 1; 10; 100; 1000; 10000 Biểu diễn số hạng 10 100 theo hai số hạng kề Lời giải 2 Ta có: 10 1.100;100 10.1000  un  cấp số nhân un un  , un 1 với n 2 Thực hành Cho ba số tự nhiên m, n, p theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh ba số 2m , n , p theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chú ý: Dãy số Vận dụng Một quốc gia có dân sổ năm 2011 P triệu người Trong 10 năm tiếp theo, năm dân số tăng a% Chứng minh dân số năm từ năm 2011 đến năm 2021 quốc gia tạo thành cấp số nhân Tìm cơng bội cấp số nhân Vận dụng Tần số ba phím liên tiếp Sol, La, Si đàn organ tạo thành cấp số nhân Biết tần số hai phím Sol Sì 415 Hz 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đơ_(nốt nhạc)) Hình Tính tần số phím La (làm trịn đến hàng đơn vị) Số hạng tổng quát cấp số nhân Cho cấp số nhân Định lí  un  có cơng bội q Tính u2 , u3 , u4 u10 theo u1 q u  Nếu cấp số nhân n có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định cơng thức: un u1 q n  , n 2 Ví dụ Cho cấp số nhân có số hạng, số hạng đầu 4374 , số hạng cuối Tìm cơng bội cấp số nhân Lời giải Ta có u1 4374 u8 2 Gọi q công bội cấp số nhân này, ta có u 1  1 u8 u1 q , suy q      , dó q  u1 4374 2187   TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 17 Thực hành Viết công thức số hạng tổng quát un theo số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân sau: a) 5;10; 20; 40;80; b) 1; 1 1 ; ; ; ; 10 100 1000 10000 Vận dụng Chu kì bán rã ngun tố phóng xạ poloni 210 138 ngày, nghĩa sau 138 ngày, khối lượng ngun tố chi cịn nửa (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/ Poloni-210) Tính khối lượng cịn lại 20 gam poloni 210 sau a) 690 ngày; b) 7314 ngày (khoảng 20 năm) Tổng n số hạng cấp số nhân Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q Đặt S n u1  u2  un  u  u  un   q un ; a) So sánh q Sn n b) So sánh u1  q Sn S n  u1 q Định lý Giả sử Sn  Chú ý:  un  cấp số nhân có cơng bội q 1 Đặt S n u1  u2  un ,  u1  q n  1 q Chú ý: Khi q 1 S n n.u1 Ví dụ Tính tổng 10 số hạng cấp số nhân Lời giải Áp dụng công thức Sn   u1  q n 1 q   un   có số hạng đầu u1 1 công bội q 2  1  210 S10  210  1023 1 , ta có u  Tính tổng n số hạng cấp số nhân n trường hợp sau: a) u1 10 ; q 0,1; n 5 b) u1 10; u2  20; n 5 Trong toán đầu học, tính tống độ cao bóng sau 10 lần rơi TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 18 BÀI TẬP Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? n a) un 3(  2) n 1 n b) un ( 1) 7 ; c) un 1  un 1 2un  Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân a)  un  , biết: u5  u1 15  u4  u2 6 u1  u3  u5 65  u1  u7 325 b) a) Số đo bốn góc tứ giác lập thành cấp số nhân Tìm số đo bốn góc biết số đo góc lớn gấp lần số đo góc nhỏ b) Viết sáu số xen giũ̃ a số -2 256 để cấp số nhân có tám số hạng Nếu viết tiếp số hạng thứ 15 bao nhiêu? 2 , , Ba số b  a b b  c theo thứ tụ lập thành cấp số cộng Chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân 1 S n 9  99  999   99  S n 1     n n so 3 Tính tổng saua) b) Một loại vi khuẩn ni cấy phịng thí nghiệm, phủt số lượng lại tăng lên gấp đôi số lượng có Từ vi khuẩn ban đầu, tính tổng số vi khuẩn có ống nghiệm sau 20 phút Giả sử thành phố có số dân năm 2022 khoảng 2,1 triệu người tốc độ gia tăng dân số trung bình năm 0,75% a) Dự đốn dân số thành phố vào năm 2032 b) Nếu tốc độ gia tăng dân số giữ ngun ước tính vào năm dân số thành phố tang gấp đơi so với năm 2022 ? Trong trị chơi mạo hiểm nhảy bungee, lần nhảy, người chơi se dây an tồn có tính đàn hồi nảy ngược lên 60% chiều sâu cú nhảy Một người chơi bungge thực cú nhảy có độ cao nảy ngược lên 9m a) Tính độ cao nảy ngược lên người lần nảy thứ ba b) Tính tổng độ cao nảy ngược lên người lần đầu TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 19 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 20