Kntt chương 2 dãy số csc csn

CHƯƠNG II DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Chương giới thiệu khái niệm dãy số (hữu hạn vô hạn), loại hàm số mà biến số số nguyên dương, trình bày cách hệ thống hai dãy số đặc biệt, có nhiều ứng dụng thực tiễn cấp số cộng cấp số nhân Bài 5: DÃY SỐ Ta có THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG * Dãy số * Nhận biết dãy số hữu hạn, dãy số vô hạn * Dãy số tăng * Thể cách cho dãy số liệt kê số hạng; công thức tổng * Dáy số giảm quát; hệ thức truy hồi; cách mô tả * Dáy số bị chặn * Nhận biết tính chất tăng, giảm, bị chặn dãy số trường hợp đơn giản Năm 2020, số dân thành phố trực thuộc tỉnh khoảng 500 nghìn người Người ta ước tính số dân thành phố tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% năm Khi số dân Pn (nghìn người) thành phố sau n năm ; kể từ năm 2020, tính công thức Pn 500   0, 02  n Hỏi tăng trưởng theo quy luật vào năm 2030, số dân thành phố khoảng nghìn người ? ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ HĐ1 Nhận biết dãy số vô hạn Viết năm số phương đầu theo thứ tự tăng dần Từ đó, dự đốn cơng thức tính số phương thứ n Từ công thức nhận được, ta có quy tắc để viết dãy gồm tất số phương TÀI LIỆU TỐN THPT Trang * * Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương  gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số), kí hiệu u u  n  u  n u u  n  u  u  * Ta thường viết un thay cho kí hiệu dãy số n , dãy số n viết dạng khai triển u1 , u2 , u3 ,…, un ,… Số u1 gọi số hạng đầu, un số hạng thứ n gọi số hạng tổng quát dãy số * u  Chú ý Nếu n   , un c n gọi dãy số khơng đổi Ví dụ Xác định số hạng đầu số hạng tổng quát dãy số sau: HĐ a) Dãy số  un  b) Dãy số   số nguyên dương chia hết cho : 5,10,15, 20, Lời giải a) Dãy số  un  có số hạng đầu u1 1 có số hạng tổng quát un 2n  số tự nhiên lẻ: v  b) Dãy số n có số hạng đầu v1 5 có số hạng tổng quát 5n Nhận biết dãy số hữu hạn a) Liệt kê tất số phương nhỏ 50 xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn b) Viết công thức số hạng un số tìm câu a) nêu rõ điều kiện n * M  1; 2;3; ; m  Mỗi hàm số u xác định tập với m   gọi dãy số hữu hạn  Dạng khai triển dãy số hữu hạn u1 , u2 , , um Số u1 gọi số hạng đầu, số um gọi số hạng cuối Ví dụ Xét dãy số hữu hạn gồm số tự nhiên lẻ nhỏ 20 , xếp theo thứ tự từ bé đến lớn a) Liệt kê tất số hạng dãy số hữu hạn b) Tìm số hạng đầu số hạng cuối dãy số Lời giải a) Các số hạng dãy số là: 1,3,5, 7,9,11,13,15,17,19 b) Số hạng đầu dãy số số hạng cuối dãy số 19 Luyện tập a) Xét dãy số gồm tất số tự nhiên chia cho dư theo thứ tự tăng dần Xác định số hạng tổng quát dãy số b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu dãy số câu a Xác định số hạng đầu số hạng cuối dãy số hữu hạn CÁC CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ HĐ Nhận biết cách cho dãy số Xét dãy số  un  TÀI LIỆU TOÁN THPT gồm tất số nguyên dương chia hết cho : 5,10,15, 20, 25,30, Trang a) Viết công thức số hạng tổng quát un dãy số b) Xác định số hạng đầu viết cơng thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n  dãy số Công thức thu gọi hệ số truy hồi Hãy để ý đến hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số Một dãy số cho bằng:  Liệt kê số hạng (Chỉ dùng cho dãy hữu hạn có số hạng);  Cơng thức số hạng tổng quát;  Phương pháp mô tả;  Phương pháp truy hồi Ví dụ Tìm năm số hạng đầu số hạng thứ 100 dãy số cho công thức sau:   1  un n b) Lời giải a) Năm số hạng đầu dãy số là: 2, 4, 6,8,10 Số hạng thứ 100 dãy số u100 2.100 200 a) un 2n; n 1 1  1; ;  ; ;  b) Năm số hạng đầu dãy số là: u100   1  100  100 100 Số hạng thứ 100 dãy số Ví dụ Xét dãy số gồm tất số nguyên tố theo thứ tự tăng dần Viết năm số hạng đầu dãy số Số nguyên tố số tự nhiên lớn mà có hai ước số Lời giải Năm số hạng đầu dãy số là: 2,3,5, 7,11 Chú ý Dãy số gồm tất số nguyên tố Ví dụ cho phương pháp mô tả (số hạng thứ n số nguyên tố thứ n ) Cho đến người ta chưa biết có hay khơng cơng thức tính TÀI LIỆU TỐN THPT Trang số nguyên tố thứ n (với n bất kỳ), hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vài số nguyên tố đứng trước Ví dụ Cho dãy số xác định hệ thức truy hồi: u1 1, un 3un   với n 2 Viết ba số hạng đầu dãy số Hệ thức truy hồi hệ thức biểu thị số hạng thứ n dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước Lời giải Ta có: u1 1, u2 3u1  3.1  5, u3 3.u2  3.5  17 Ví dụ Giải tốn tình mở đầu Lời giải Ở ta có n 2030  2020 10 Vậy số dân thành phố vào năm 2030 10 P10 500  1, 02  609 (nghìn người) Luyện tập a) Viết năm số hạng đầu dãy số  un  với số hạng tổng quát un n ! b) Viết năm số hạng đầu dãy số Fibonacci  Fn  cho hệ thức truy hồi  F1 1, F2 1   Fn Fn   Fn  n 3 Chú ý: Để có hình ảnh trực quan dãy số, ta thường biểu diễn số hạng trục số u  Chẳng hạn, xét dãy số n u2  HĐ4 với un   1  n n Năm số hạng đầu dãy số u1  2, 1 1 u3  u4  u5  4, 8, 16 , 32 biểu diễn trục số sau: DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm a) Xét dãy số  un  b) Xét dãy số    Dãy số TÀI LIỆU TOÁN THPT  un  với un 3n  Tính un 1 so sánh với un  n Tính 1 so sánh với với * gọi dãy số tăng ta có un 1  un với n   Trang  Dãy số  un  * gọi dãy số giảm ta có un 1  un với n   Ví dụ Xét tính tăng, giảm dãy số  un  , với un  2n  Lời giải Ta có un 1  un    n  1  5    2n     2n    2n    , tức un 1  un , n  * Vậy  un  dãy số giảm un  u  n 1 Xét tính tăng, giảm dãy số n , với Luyện tập HĐ5 Nhận biết dãy bị chặn n 1 un  , n  * un   n Cho dãy số với a) So sánh un b) So sánh un  Dãy số  un  * gọi bị chặn tồn số M cho un M , n    Dãy số  un  * gọi bị chặn tồn số m cho un m, n    Dãy số  un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn * số m , M cho m un M , n   Ví dụ Xét tính bị chặn dãy số Dãy số  un  Dãy số  un  Vậy dãy số  un  với un  n n Lời giải n 1 un  1   1, n  * n n bị chặn n un  0, n  * n bị chặn  un  bị chặn Luyện tập 4: Xét tính bị chặn dãy số  un  với un 2n  với un 2n  Anh thah vừa tuyển dụng vào công ty u Vận dụng : Xét tính bị chặn dãy số  n  công nghệ, cam kết lương năm đầu 200 triệu đồng lương năm tăng thêm 25 triệu đồng.Gọi sn ( triệu đồng ) lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty Khi ta có: s1 200, sn sn   25  n 2  a) Tính lương anh Thanh vào năm thứ làm việc cho công ty s b) Chứng minh  n  dãy số tăng Giải thích ý nghĩa thực tế kết BÀI TẬP TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 2.1 Viết năm số hạng đầu số hạng thứ 100 dãy số bởi:  un  có số hạng tổng quát cho n n a) un 3n  2; b) un 3.2 ; u u 1, un n.un  ,  n 2  2.2 Dãy số  n  cho hệ thức truy hồi : a) Viết số hạng dãy số b) Dự đốn cơng thức số hạng tổng quát un 2.3.Xét tính tăng, giảm dãy số a) un 2n  1;  un   1 un     n c) biết : b) un  3n  c) un   1  n 2n u 2.4.Xét tính tăng, giảm dãy số  n  biết : n 1 n u  ; n u   n2 n2 a) un n  1; b) c) un sin n; d) n   2.5 Viết số hạng tổng quát dãy số tăng gồm tất số nguyên dương mà số hạng : a) Đều chia hết cho 3; b) Khi chia cho dư 2.6 Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn tháng với lãi suất 6% năm theo hình thức lãi kép Số tiền ( triệu đồng ) ông An thu sau n tháng cho công thức n  0, 06  An 100    12   a) Tính số tiền ông An nhận sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai b) Tìm số tiền ơng An nhận sau năm 2.7 Chị Hương vay trả góp khoản tiền 100 triệu đồng đồng ý trả dần triệu đồng A n   tháng với lãi suất 0,8% số tiền lại tháng Gọi n  số tiền nợ ( triệu đồng ) chị Hương sau n tháng a) Tìm A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 để tính số tiền nợ chị Hương sau tháng b) Dự đoán hệ thức truy hồi dãy số Em có biết ? Dãy số Fibonacci TÀI LIỆU TỐN THPT  An  Trang Fibonacci nhà toán học tiếng người Italia Trong sách Liber Abaci ( Sách tính) ơng, viết năm 1202, có tốn sau: '' Một đơi thỏ ( gồm thỏ đực thỏ ) tháng đẻ đôi thỏ con( gồm thỏ đực thỏ ); đôi thỏ con, tròn tháng tuổi, sau tháng đẻ đơi thỏ con, q trình sinh nở tiếp diễn Hỏi sau n tháng có đơi thỏ, đầu năm ( tháng Giêng ) có đôi thỏ sơ sinh? '' Việc giải tốn nói dẫn đến việc nghiên cứu dãy số  Fn  cho hệ thức truy hồi  F1 1, F2 1   Fn Fn  Fn  n 3 Dãy số gọi dãy số Fibonacci số hạng gọi số Fibonacci Người ta chứng minh số hạng tổng quát dãy Fibonacci cho n n   1   1   Fn                Dãy số Fibonacci có nhiều tính chất đẹp, chẳng hạn: 1) 2) F Fn  Fn 1    1 n với n 2 ; F1  F3  F5   F2 n  F2 n với n 1; 2 3) Fn  Fn 1 F2 n1 với n 1 Dãy số Fibonacci liên quan mật thiết vơi snhieeuf vấn đề Toán học, Vật lí, Hội họa, Âm nhạc Các số Fibonacci xuất khắp nơi thiên nhiên Hầu hết bơng hoa có số cánh số : F4 , F5 , F6 , F7 , F8 , F9 , F10 , F11 Chẳng hạn, hoa loa kèn có cánh , hoa mao lương vàng có cánh, hoa cải rơ thường có cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34 55 89 cánh TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang BÀI CẤP SỐ CỘNG THUẬT NGỮ  Cấp số cộng  Công sai  Số hạng tổng quát  Tổng n số hạng KIẾN THỨC KỸ NĂNG Nhận biết dãy số cấp số cộng Giải thích cơng thức xác định số hạng tổng qt cấp số cộng Tính tổng n số hạng cấp số cộng Giải vấn đề thực tiễn gắn với cấp số cộng Một nhà hát có 25 hàng ghế với 16 ghế hàng thứ nhất, 18 ghế hàng thứ hai, 20 ghế hàng thứ ba tiếp tục theo quy luật đó, tức hàng sau nhiều hàng liền trước ghế Tính tổng số ghế nhà hát ĐỊNH NGHĨA HĐ1 Nhận biết cấp số cộng u Cho dãy số  n  gồm tất số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần a) Viết năm số hạng dãy số b) Dự đốn cơng thức biểu diễn số hạng thứ un theo số hạng un   Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn hay vô hạn ), kể từ số hạng thứ hai trở đi, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng  Cấp số cộng  un  với công sai d cho hệ thức truy hồi un un   d  n 2  Dãy số không đổi a , a , a , có phải cấp số cộng khơng? u Ví dụ 1: Cho cấp số cộng  n  có số hạng đầu u1 2 cơng sai d 3 Hãy viết năm số hạng cấp số cộng Giải Năm số hạng đầu cấp số cộng là: u1 2, u2 u1  d 2  5, u3 u2  d 5  8, TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang u4 u3  d 8  11, u5 u4  d 11  14 u  u  Ví dụ Cho dãy số n với un 5n  Chứng minh n cấp số Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d Giải Ta có un  un   5n  1    n  1  1 5 , với n 2 Do  un  cấp số cộng có số hạng đầu u1 5 1  4 công sai d 5 u  u  Luyện tập Cho dãy số n với un  2n  Chứng minh n cấp số cộng Xác định số hạng đầu công sai cấp số cộng SỐ HẠNG TỔNG QUÁT HĐ2 Công thức số hạng tổng quát cấp số cộng  un  với số hạng đầu u1 công sai d a) Tính số hạng u2 , u3 , u4 , u5 theo u1 d b) Dự đốn cơng thức tính số hạng tổng qt un theo u1 d Cho cấp số cộng u  Nếu cấp số cộng n có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định theo cơng thức un u1   n  1 d u  Ví dụ Tìm năm số hạng đầu số hạng thứ 100 cấp số cộng n : 10, 5, Giải Cấp số cộng có số hạng đầu u1 10 công sai d  Do năm số hạng đầu là: 10,5, 0,  5,  10 Số hạng thứ 100 u100 u1   100  1 d 10  99     485 u  Ví dụ Số hạng thứ 10 cấp số cộng n 48 số hạng thứ 18 88 Tìm số hạng thứ 100 cấp số cộng Giải Giả sử u1 số hạng đầu d cơng sai cấp số cộng Ta có: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang u10 u1  9d 48, u18 u1  17d 88 Giải hệ ta u1 3 d 5 Vậy số hạng thứ 100 cấp số cộng u100 u1  99d 3  99 5 498 u  u  Luyện tập Cho dãy số n với un 4n  Chứng minh n cấp số cộng Xác định số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng Từ viết số hạng tổng quát un dươi dạng un u1   n  1 d TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG HĐ3 u  Xây dựng cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng Cho cấp số cộng n với số hạng đầu u1 công sai d Để tính tổng n số hạng đầu S n u1  u2  un   un , Hãy thực yêu cầu sau: a) Biểu diễn số hạng tổng S n theo số hạng đầu u1 công sai d b) Viết Sn theo thứ tự ngược lại: Sn un  un   u2  u1 sử dụng kết phần a) để biểu diễn mổi số hạng tổng theo u1 d c) Cộng vế hai đẳng thức nhận a) , b), để tính Sn theo u1 d Cho cấp số cộng  un  với công sai d Đặt S n u1  u2  un Khi n S n   2u1   n  1 d  Chú ý Sử dụng công thức un u1   n  1 d Sn  Ví dụ , ta viết tổng Sn dạng n  u1  un  Giải tốn tình mở đầu Giải Số ghế hàng nhà hát lập thành cấp số cộng, gồm 25 số hạng, với số hạng đầu u1 16 công sai d 2 Tổng số hạng 25 25  2u1   25  1 d    16  24 2 1000 2 Vậy nhà hát có tổng cộng 1000 ghế Ví dụ Cần lấy tổng số hạng đầu cấp số cộng 2,5,8, để kết 345 ? S 25 u1  u2  u25  Giải Cấp số cộng có số hạng đầu u1 2 công sai d 3 Gọi n số số hạng đầu cấp số cộng cần lấy tổng, ta có TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 10 n n n 345 S n   2u1   n  1 d   [2 2   n  1 3]   3n  1 2 230 15 (loại) n 15 Do 3n  n  690 0 Giải phương trình bậc hai ta Vậy phải lấy tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng cho để tổng 345 Vận dụng Anh Nam nhận vào làm việc công ty công nghệ với mức lương khởi điểm 100 triệu đồng năm Công ty tăng thêm lương cho anh Nam năm 20 triệu đồng Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận sau 10 năm làm việc cho cơng ty Góc cơng nghệ Kí hiệu tổng  cách tính tổng máy tính cầm tay n  Cho dãy số  un  Tổng n số hạng đầu dãy số này: S n u1  u2  un kí hiệu ngắn n S n  uk k 1 gọn sau: (kí hiệu  đọc xích ma) Ta sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng n số hạng liên tiếp dãy số biết công thức số hạng tổng quát  un  có số hạng tổng quát un 3n  Để tính tổng 35 số hạng đầu 1 dãy số đó, ta dùng máy tính cầm tay, nhấn phím: SHIFT  x,SIFT x Khi hình hình bên, lưu ý giao diện máy tính mặc định x , hiểu n công thức số hạng tổng quát Chẳng hạn, cho dãy số Tiếp theo ta nhập công thức số hạng tổng quát vào ngoặc () , nhấn  để nhập giá trị x (ở ), sau nhấn  để nhập giá trị cuối x (trường hợp 35 ), cuối nhấn phím  Khi đó, hình hiển thị kết cần tính hình bên BÀI TẬP 2.8 Xác định cơng sai, số hạng thứ , số hạng tổng quát số hạng thứ 100 cấp số cộng sau: a) 4,9,14,19, ; b) 1,  1,  3,  5,  2.9 Viết năm số hạng đầu dãy số  un  sau xét xem có phải cấp số cộng khơng Nếu dãy số cấp số cộng, tìm cơng sai d viết số hạng tổng quát u u1   n  1 d dạng n a) un 3  5n ; b) un 6n  ; TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 11 c) u1 2, un un   n ; d) u1 2, un un   2.10 Một cấp số cộng có số hạng thứ 18 số hạng thứ 12 32 Tìm số hạng thứ 50 cấp số cộng 2.11 Một cấp số cộng có số hạng đầu công sai Hỏi phải lấy tổng số hạng đầu cấp số cộng để có tổng 2700 ? 2.12 Giá xe ô tô lúc mua 680 triệu đồng Cứ sau năm sử dụng, giá xe tơ giảm 55 triệu đồng Tính giá cịn lại xe sau năm sử dụng 2.13 Một kiến trúc sư thiết kế hội trường với 15 ghế ngồi hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi hàng thứ hai, 21 ghế ngồi hàng thứ ba, (số ghế hàng sau nhiều ghế so với số ghế hàng liền trước nó) Nếu muốn hội trường có sức chứa 870 ghế ngồi kiến trúc sư phải thiết kế tối thiểu hàng ghế? 2.14 Vào năm 2020, dân số thành phố khoảng 1,2 triệu người Giả sử năm, dân số thành phố tăng thêm khoảng 30 nghìn người Hãy ước tính dân số thành phố vào năm 2030 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 12 Bài 7: CẤP SỐ NHÂN Lời giải: THUẬT NGỮ  Cấp số nhân  Công bội  Số hạng tổng quát  Tổng n số hạng đầu KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  Nhận biết dãy số cấp số nhân  Giải thích cơng thức xác định số hạng tổng quát cấp số nhân  Tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân  Giải số vấn đề thực tiễn gắn với cấp số nhân để giải số toán liên quan đến thực tiễn Một công ty tuyển chuyên gia công nghệ thông tin với mức lương năm đầu 240 triệu đồng cam kết tăng thêm 5% lương năm so với năm liền trước Tính tổng số lương mà chun gia nhận sau làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng) Định nghĩa HĐ1 Nhận biết cấp số nhân n u Cho dãy số  n  với un 3 2 a) Viết năm số hạng đầu dãy số b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ un un  Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Cấp số nhân  un  với công bội q cho hệ thức truy hồi un un  1.q với n 2 ? Dãy số khơng đổi a, a, a,  có phải cấp số nhân khơng? Ví dụ 1:Cho cấp số nhân có số hạng đầu u1 5 cơng bội q  Viết năm số hạng đầu cấp số nhân Lời giải: Năm số hạng đầu cấp số nhân là: u1 5, u2 u1.q 5     10, u3 u2 q   10     20 u4 u3 q 20     40, u5 u4 q   40     80 3n  Chứng minh dãy số cấp số nhân Xác định số với hạng đầu cơng bội  un  u Ví dụ 2: Cho dãy số  n  TÀI LIỆU TOÁN THPT un  Để chứng minh dãy số gồm Trang số khác cấp số nhân, hãy13 Lời giải: Với n 2 , ta có un 3n   n   un  3 un  un tức với n 2 u Vậy  n  cấp số nhân với số hạng đầu u1  1 1 q 3 công bội n u Luyện tập 1: Cho dãy số  n  với un 2 5 Chứng minh dãy số cấp số nhân Xác định số hạng đầu cơng bội SỐ HẠNG TỔNG QUÁT HĐ2 Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân  un  với số hạng đầu u1 cơng bội q a) Tính số hạng u2 , u3 , u4 , u5 theo u1 q b) Dự đốn cơng thức tính số hạng thứ n theo u1 q Cho cấp số nhân Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng qt un xác định cơng thức un u1q n  voi n 2 Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu số hạng thứ 100 cấp số nhân: 8,  4,  Lời giải: 4 q   u  8 Cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội Do năm số hạng đầu là: 8,  4, 2,  1, 99  1 u100 u1 q 8     96  2 Số hạng thứ 100 là: Ví dụ 4: Cho cấp số nhân gồm số hạng dương Biết số hạng thứ 10 1536 số hạng thứ 12 6144 Tìm số hạng thứ 20 cấp số nhân Lời giải: Giả sử u1 số hạng đầu q cơng bội cấp số nhân cho Ta có: 99 u10 u1.q 1536  11 u12 u1.q 6144 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 14 Từ suy q 4 , tức q 2 q  Với q 2 , ta tính u1 3 Với q  ta tính u1  (trường hợp loại u1  theo giả thiết) Do u1 3 q 2 19 19 Vậy số hạng thứ 20 cấp số nhân cho u20 u1.q 3.2 1572864 Luyện tập 2: Trong lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5000 vi khuẩn số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% Hỏi sau số lượng vi khuẩn bao nhiêu? TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN HĐ3 Xây dựng cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân u Cho cấp số nhân  n  với số hạng đầu u1 a công bội q 1 Để tỉnh tổng n số hạng đầu S n u1  u2  un   un Thực yêu cầu sau: a) Biểu diễn số hạng tổng theo u1 q để biểu thức tính tổng Sn chứa u1 q b) Từ kết phần a , nhân hai vế với q để biểu thức tính tích q S n chứa u1 q c) Trừ vế hai đẳng thức nhận a b giản ước số hạng đồng dạng để tính (1  q ) S n theo u1 q Từ suy cơng thức tính Sn u Cho cấp số nhân  n  với công bội q 1 Đặt S n u1  u2  un Khi Sn  u1   q n  1 q ? Nếu cấp số nhân có cơng bội q 1 tổng n số hạng đầu Sn bao nhiêu? Ví dụ 5:Giải tốn tình mở đầu Lời giải: Lương năm (triệu đồng) chuyên gia lập thành cấp số nhân, với số hạng đầu u1 240 công bội q 1, 05 Tổng số lương chuyên gia sau 10 năm tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân S10  u1   q10  1 q  240 1  (1, 05)10   1, 05 3019 Vậy tổng số lương( làm tròn đến triệu đồng) chuyên gia sau 10 năm 3019 triệu đồng hay 3, 019 tỉ đồng Ví dụ 6: Cần lấy tổng số hạng đầu cấp số nhân 2, 6,18, để kết 728 ? Lời giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 15 Cấp số nhân có số hạng đầu u1 2 cơng bội q 3 Gọi n số số hạng đầu cần lấy Ta có 728 S n u1  u2  un  u1   q n  1 q    3n  1 3n  n Từ ta 729 3 Suy n 6 Vậy phải lấy số hạng đầu cấp số nhân cho để tổng 728 Vận dụng Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc thời hạn ba năm đưa hai phương án lựa chọn lương sau: - Phương án 1: Lương tháng khởi điểm triệu đồng sau quý, lương tháng tăng thêm 500 nghìn đồng - Phương án 2: Lương tháng khởi điểm triệu đồng sau quý, lương tháng tăng thêm 5% Với phương án tổng lương nhận sau ba năm làm việc người công nhân lớn hơn? BÀI TẬP 2.15 Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát số hạng thứ 100 cấp số nhân sau: a) 1, 4,16, ; 1 2,  , ,  b) u 2.16 Viết năm số hạng đầu dẵy số  n  sau xem có phải cấp số nhân khơng Nếu cấp số nhân, hăy tìm cơng bội q viết công thức số hạng tổng quát n dạng un u1 q a) un 5n n b) un 5 c) u1 1, un nun d) u1 1, un 5un  2.17 Một cấp số nhân có số hạng thứ bẳng 96 số hạng thứ 12 Tìm số hạng thứ 50 cấp số nhân 2.18 Một cấp số nhân có số hạng đầu công bội Hỏi phải lấy tổng số hạng đầu cấp số nhân để có tổng 5515 ? 2.19 Một công ty xây dựng mua máy ủi với giá tỉ đồng Cứ sau năm sử dụng giá trị máy ủi lại giảm 20% so với giá trị năm liền trước Tìm giá trị cịn lại máy ủi sau năm sử dụng 2.20 Vào năm 2020 , dân số quốc gia khoảng 97 triệu người tốc độ tăng trưởng dân số 0, 91% Nếu tốc độ tăng trường dân số giữ nguyên năm, hăy ước tính dân số quốc gia vào năm 2030 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 16 2.21 Một loại thuốc dùng ngày lần Lúc đầu nồng độ thuốc máu bệnh nhân tăng nhanh, liều có tác dụng liều trước Lượng thuốc máu ngày thứ 50mg ngày sau giảm nửa so với ngày kế trước Tính tổng lượng thuốc (tính mg ) máu bệnh nhân sau dùng thuốc 10 ngày liên tiếp TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 17 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II A-TRẮC NGHIỆM 2.22 Khẳng định sau sai? A Một dãy số tăng thi bị chặn B Một dăy số giảm bị chặn C Một dãy số bị chặn phải tăng giảm D Một dãy số khơng đổi bị chặn 2.23 Cho dãy số 1 1, , , ,  (số hạng sau nửa số hạng liền trước nó) Cơng thức tổng quát dãy số cho n 1 un    2 A B un  2n C 1 un    2 D 2.24 Cho dãy số  un  un  (  1) n 2n n với un 3n  Khẳng định sau đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng với công sai d 3 B Dãy số  un  cấp số cộng với công sai d 6 C Dãy số  un  cấp số nhân với công bội q 3 u D Dãy số  n  cấp số nhân với công bội q 6 2.25 Trong dăy số cho công thức truy hồi sau, dãy số cấp số nhân? A u1  1, un 1 un B u1  1, un 1 2un C u1  1, un 1 un  D u1  1, un 1 un  2.26 Tổng 100 số hạng đầu dãy số 100 A 199 B   un  với un 2n  C 10000 D 9999 B - TỰ LUẬN 2.27 Từ đến 12 trưa, chuông đồng hồ lắc đánh tiếng, biết chì đánh chng báo số tiếng chuông số giờ? 2.28 Tế bào E.Coli điều kiện ni cấy thích hợp 20 phút lại phân đôi lần Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu phân chia thành tế bào? 2.29 Chứng minh rằng: u a) Trong cấp số cộng  n  , số hạng (trừ số hạng đầu số hạng cuối, có) trung bình cộng hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa u u uk  k  k 1 voi k 2 b) Trong cấp số nhân, bình phương số hạng( trừ số hạng đầu số hạng cuối, có) tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 18 uk2 uk  uk 1 voi k 2 2.30 Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng có tổng 21 ,và cộng thêm số 2;3;9 vào ba số ba số lập thành cấp số nhân 2.31 Mặt sàn tầng (tầng trệt) nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai gồm 25 bậc, bậc cao 16 cm a) Viết công thức để tìm độ cao bậc cầu thang thứ n so với mặt sân b) Tính độ cao sàn tầng hai so với mặt sân 2.32 Một hình vng màu vàng có cạnh đơn vị dài chia thành chín hình vng nhỏ hình vng tơ màu xanh Hình 2.1 Mỗi hình vng màu vàng nhỏ lại chia thành chín hình vng con, hình vng lại tơ màu xanh Nếu q trình tiếp tục lặp lại năm lần, tổng diện tích hình vng tơ màu xanh bao nhiêu? Hình 2.1 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 19