BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng u un 1.q n 2 đứng trước với số khơng đổi q , tức là: n Số q gọi công bội cấp số nhân u Nếu n cấp số nhân với công bội q un 0 với n 1 với số tự nhiên n 2 , ta có: un q un Chú ý: Khi q 1 cấp số nhân dãy số không đổi II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số nhân cơng thức: un có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định un u1 q n n 2 III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN un có số hạng đầu u1 cơng bội q 1 u1 q n Sn 1 q Đặt Sn u1 u2 u3 un Khi đó: Chú ý: Nếu q 1 S n nu1 Cho cấp số nhân B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Chứng dãy số cấp số nhân Phương pháp Xác định cấp số nhân xác định số hạng đầu u1 công bội q Từ giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 q giải hệ Các ví dụ rèn luyện kĩ u Ví dụ 1: Cho dãy số ( n ) ìï u1 = ï í ïu = 4un + 9, ( n ³ 1) xác định ïỵ n+1 v a) Chứng minh dãy số ( n ) với = un + , n ³ cấp số nhân u b) Tìm công thức tổng quát dãy số ( n ) Lời giải a) Ta có = un + , suy vn+1 = un+1 + = ( 4un + 9) + vn+1 Do = ( 4un + 9) + un + v Vậy ( n ) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 + = + = công bội q = = ( un + 3) un + =4 b) Do ( ) cấp số nhân với ìï v1 = ïí ïï q = ỵ n- n- nên số hạng tổng quát = v1 q = 5.4 n- u Suy công thức tổng quát dãy số ( n ) un = - = 5.4 - Ví dụ 2: Xét dãy số số sau, dãy số cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối cấp số nhân đó: u ( 3) n 1 u ( 1) n 53 n2 a) n b) n u1 3 u1 2 un 1 u un un c) n 1 d) Lời giải n 3 un 1 ( 3) ( 3) 9 n 1 u u ( 3) a) Ta có n (khơng đổi) Kết luận n cấp số nhân với công bội q 9 un 1 ( 1) n 1.53( n 1) 2 1.53 125 n 3n 2 u ( 1) b) Ta có un (không đổi) Kết luận n cấp số nhân với công bội q 125 u2 u4 256 2 16 u u u u 16 u u 256 u u 16 c) Ta có , , , suy 2 2 u2 u4 u1 u3 Do un khơng cấp số nhân un 1 u u n n un 1 un , n 2 un un un d) Do có: u1 u3 u5 u2 n 1 (1) Và u2 u4 u6 u2 n (2) u1 3 u2 3 u1 Theo đề có (3) u Từ (1), (2),(3) suy u1 u2 u3 u4 u5 u2 n u2 n 1 Kết luận n cấp số nhân với công bội q 1 u1 2 , n 1 un 1 4un u v Ví dụ 3: Cho dãy số n xác định Chứng minh dãy số n xác định un 3, n 1 cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu cơng bội cấp số nhân Lời giải Vì có un (1) 1 un 1 (2) Theo đề un 1 4un un 1 4 un 3 (3) 1 4 v v n Thay (1) (2) vào (3) được: (không đổi) Kết luận n cấp số nhân với công bội q 4 số hạng đầu v1 u1 5 1 4vn , n 1 Ví dụ 4: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x y Tìm x, y Lời giải Ta có: x y 9 y Thay vào x x4 y x4 y 3 3 Kết luận x5 x5 x x x y 3 Dạng Xác định số hạng cấp số nhân, tổng cấp số nhân Phương pháp Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1 , giải hệ phương trình tìm q u1 Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: uk u1.q k S n u1 Để tính tổng n số hạng, ta sử dụng công thức: u1 u2 u3 un , S n nu1 qn , q 1 1 q Nếu q 1 Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u1 u5 51 u1 u2 u3 135 u2 6 u u 102 u u u 40 S 43 a) b) c) Lời giải a) u1 u1q 51 u1 u5 51 u2 u6 102 u1q u1q 102 Lấy ** * u1q q u1 q u1 q 51 * u1q q 102 ** 102 51 51 51 q 2 u1 1 q 17 3 Kết luận có cơng bội q 2 số hạng u1 3 Kết luận: u1 3 q 2 u1 u2 u3 135 u1 u1q u1q 135 u4 u5 u6 40 u1.q u1q u1q 40 b) u1 q q 135 * u1q q q 40 ** Lấy ** * u1q q q u1 q q 40 135 q q 27 135 1215 u1 1 q q 19 q Kết luận có cơng bội c) u2 6 S3 43 1215 u1 số hạng 19 u1q 6 u1 u2 u3 43 u1q 6 u1 u1q u1q 43 u1q 6 * * u1q 2 ** u1 q q 43 u1 q q 43 ** Lấy 43q 6 q q 6q 37q 0 q 6 q q u1 36 Với q 6 u1 1 Với Kết luận q 6 u1 1 q u1 36 u1 u5 51 u2 u6 102 u Ví dụ 2: Cho CSN n có số hạng thỏa: a) Tìm số hạng đầu công bội CSN b) Hỏi tổng số hạng 3069? c) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải a) Ta có u1 u5 51 u2 u6 102 u1 u1q 51 u1q u1q 102 u1 (1 q ) 51 (*) u1q (1 q ) 102 (**) u q(1 q ) 102 (**) q 2 u1 3 (*) u (1 q ) 51 Lấy n n 1 q 1 S n 3069 u1 3069 3069 n 1024 n 10 1 q 1 b) Có Kết luận tổng 10 số hạng 3069 u 12288 u1.q k 12288 3.2k 12288 k 4096 212 c).Có k k 12 k 13 Kết luận số 12288 số hạng thứ 13 Ví dụ 3: Cho cấp số nhân un Tìm u1 q, biết rằng: 35 u u u u1u5 25 u i 1, ,5 i 1) 2) u1 u3 u5 65 u1 u7 325 3) u2 u4 u6 42 u3 u5 20 u1 u2 u3 u4 15 u u2 u3 u4 85 5) 4) u1 u6 165; u3 u4 60 6) u1 u2 u3 13 u4 u5 u6 351 8u2 5u5 0 u u33 189 7) 8) u1u2u3 1728 u1 u2 u3 63 u1 u3 3 u u32 5 9) u1 u2 u3 7 u u2 u32 21 10) Lời giải 35 u2 u3 u4 35 u1u5 25 u1.q u1.q u1.q u i 1,,,5 i u1.u1.q 25 1) u1.q 52 u1.q 5 u1 1 q thay vào (1) được: 35 q q q q q 79 2q 5q 0 q 2 q Với q 2 u1 q u1 20 Với q 2) u u q u1q 65 u1 u3 u5 65 1 u1 u1q 325 u u 325 Lấy: 2 q6 1 q q 4 u1 q q 65 1 2 u1 q 325 q2 q2 q4 325 5 vi 1+q 1 q 65 1 q q q 5 q 4 q 2 65 65 q u1 5 q 2 u1 5 1 Với Với 3) u2 u4 u6 42 u3 u5 20 Lấy: 1 q q q 1 q2 2 u1.q u1.q u1.q 42 u1.q u1.q 20 u1.q q q 42 1 2 u1.q q 20 21 10 10q 10q 21q 21q 10 10q 21q 10q 21q 10 0 10q 21q 10 1 10 q 21 10 0 q q 21 10 10 q q2 1 t q t q q t t 2 q q q Đặt: Điều kiện 10 t 21t 10 0 10t 21t 10 0 t= t Với 5 q 2q 5q 0 q q 2 q 2 q Nếu Nếu t (loại) 20 20 u1 64 4 q q 1 1 2 2 q u1 20 20 1 q q 24 4) u1 u6 165; u3 u4 60 u1 u1q 165 u1q u1q 60 u1 q 165 1 u1q q 60 Lấy 1 2 q q q q3 q 11 q5 11 q2 q q2 q q q q3 q 11q 4q 4q 7q 4q 0 q 4 q q 4q 0 q2 q q q q q2 q 1 q 0 q 1 t q t q q t t 2 q q q Đặt: Điều kiện: t 4t 0 4t 4t 15 0 t t 2 (loại) 5 t q 2q 5q 0 q 2 q = q 2 Với 165 165 q u1 160 2 1 q 165 165 1 q 2 u1 5 1 q 12 25 2 với với u1 u2 u3 u4 15 u1 u1q u1q u1q 15 2 2 u u2 u32 u4 85 u1 u1 q u1 q u1q 85 5) u q q q 152 u1 q q q 15 2 2 u1 q q q 85 u1 q q q 85 1 Lấy 1 q q q3 q2 q q6 1 2 2 45 q q q 45 17 q q q 17 2 q q2 45 q q 45 2q q q 45 q q 17 q 17 1 q4 17 17 q 2q 2q q q 45 q 28q 34q 34q 34q 28 0 28q 34q 34q 34q 28 0 q2 q2 q2 q q (vì dễ dàng thấy q 0 ) 28q 34q 34 34 1 28 0 14 q 17 q 17 0 q q q 1 t q t q q t t 2 q q q Đặt Điều kiện: 14 t 17t 17 0 14t 17t 45 0 t t (loại) 5 t q 2q 5q 0 q 2 q = q 2 Với 15 q u1 8 q q q3 với q 2 u1 1 với 6) u1 u2 u3 13 u4 u5 u6 351 Lấy 7) q3 27 8u2 5u5 0 3 u1 u3 189 u1 q q 13 u1q q q 351 13 13 q 3 u1 1 1 q q 1 1 3 q 8 5 5q q 5 5 8u1q 5u1q 0 u q 189 u 189 125 u 5 1 3 1 u u q 189 q6 8) u1u2u3 1728 u1 u2 u3 63 1 u1.u1.q.u1.q 1728 u u q u q 1 12 u1 q 12 q q 63 q u1q 123 u q q 63 12 u1 q 12q 51q 12 0 u q 3 u1 u3 3 2 u q u u3 5 9) Lấy 2 1 q 1 q u1q 12 u1 q q 63 q 4 u1 3 q u1 48 2 u1 q 9 u1 q 5 Đặt: t q , t 0 t 9 t 4t 10t 0 t 2 t = Với t 2 q 2 3 q u1 1 q u1 1 1 q q2 t q 2 Với q 3 u1 2 q u1 2 2 1 q q2 u1 u2 u3 7 2 u u u 21 10) u1 q q 7 2 u1 q q 21 2 1 q q 1 q q u1 u1q u1q 7 2 2 u1 u1q u1q 21 2 u1 q q 49 2 u1 q q 21 Lấy được: 49 21 q q 2q 2q 2q 49 q q 21 21 2q 3q 2q q 49 q q 28q 42q 14q 42q 28 0 28q 42q 14q 42q 28 42 28 0 28q 42q 14 0 2 q q q q q q q2 1 28 q 42 q 14 0 q q 2 1 t q t q q t t 2 q q q Đặt: Điều kiện: 28 t 42t 14 0 28t 42t 70 0 t t (loại) 5 t q 2q 5q 0 q 2 q = q 2 Với 7 q 2 u1 1 q u1 4 1 q q q q2 Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u1 u3 u5 65 u4 u2 72 u u 144 u1 u7 325 a) b) u1 u2 u3 14 u1.u2 u3 64 d) e) u1 u2 u3 21 1 1 u u u 12 c) u3 u5 90 u2 u6 240 u1 u2 u3 u4 30 u u22 u32 u42 340 f) Lời giải a) u4 u2 72 u5 u3 144 u1q q 1 72 (1) 2 u1q q 1 144 (2) u1q u1q 72 u1q u1q 144 Lấy (2):(1) được: q 2 , thay q 2 vào (1) u1 12 c) u3 u5 90 u2 u6 240 Lấy u1q u1q 90 u1q u1q 240 u1q q 90 (1) u1q q 240 (2) u1q q 240 q2 q2 (2) q2 (1) q u1q q 90 q 1 q2 3q 8q 0 q q 3 Với q thay vào (1) u1 729 Với q thay vào (1) u1 1 d) u1 u2 u3 14 u u u 64 (2) u1q 4 u1 u1 u1q u1q 14 u1u1qu1q 64 u1 q q 14 u1q 64 (1) (2) 4 q q 14 q , thay vào (1) q 2q 5q 0 q 2 q q u1 8 Với q 2 u1 2 Với e) u1 u2 u3 21 1 1 u u u 12 (1) q q Với u1 u1 u1q u1q 21 1 1 u u q u q 12 1 u1 q q 21 (1) q q 1 (2) 12 u1q 21 21 u1q 36 u1q 6 u1 , thay vào (2): u1 u1q 12 6 1 q q 21 2q 5q 0 q 2 q q thay vào (1): q Nếu q 2 u1 3 Nếu q u1 12