Bài 2 3 cấp số nhân cd lời giải

BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA Cấp số nhân dãy số, kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng u un  1.q  n 2  đứng trước với số khơng đổi q , tức là: n Số q gọi công bội cấp số nhân u Nếu  n  cấp số nhân với công bội q un 0 với n 1 với số tự nhiên n 2 , ta có: un q un  Chú ý: Khi q 1 cấp số nhân dãy số không đổi II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số nhân cơng thức:  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định un u1 q n   n 2  III TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q 1 u1  q n Sn  1 q Đặt Sn u1  u2  u3  un Khi đó: Chú ý: Nếu q 1 S n nu1 Cho cấp số nhân   B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Chứng dãy số cấp số nhân Phương pháp  Xác định cấp số nhân xác định số hạng đầu u1 công bội q  Từ giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số u1 q giải hệ Các ví dụ rèn luyện kĩ u Ví dụ 1: Cho dãy số ( n ) ìï u1 = ï í ïu = 4un + 9, ( n ³ 1) xác định ïỵ n+1 v a) Chứng minh dãy số ( n ) với = un + , n ³ cấp số nhân u b) Tìm công thức tổng quát dãy số ( n ) Lời giải a) Ta có = un + , suy vn+1 = un+1 + = ( 4un + 9) + vn+1 Do = ( 4un + 9) + un + v Vậy ( n ) cấp số nhân với số hạng đầu v1 = u1 + = + = công bội q = = ( un + 3) un + =4 b) Do ( ) cấp số nhân với ìï v1 = ïí ïï q = ỵ n- n- nên số hạng tổng quát = v1 q = 5.4 n- u Suy công thức tổng quát dãy số ( n ) un = - = 5.4 - Ví dụ 2: Xét dãy số số sau, dãy số cấp số nhân, (nếu có) tìm cơng bối cấp số nhân đó: u ( 3) n 1 u ( 1) n 53 n2 a) n b) n u1 3  u1 2  un 1    u un un c)  n 1 d)  Lời giải n 3 un 1 (  3)  ( 3) 9 n 1 u u (  3) a) Ta có n (khơng đổi) Kết luận  n  cấp số nhân với công bội q 9 un 1 ( 1) n 1.53( n 1) 2   1.53  125 n 3n 2 u ( 1) b) Ta có un (không đổi) Kết luận  n  cấp số nhân với công bội q  125 u2 u4 256  2  16 u  u  u  u  16 u  u  256 u u 16 c) Ta có , , , suy 2 2 u2 u4  u1 u3 Do  un  khơng cấp số nhân un 1 u u  n  n   un 1 un  , n 2 un un un  d) Do có: u1 u3 u5  u2 n 1 (1)  Và u2 u4 u6  u2 n  (2) u1 3  u2  3 u1 Theo đề có (3) u Từ (1), (2),(3) suy u1 u2 u3 u4 u5  u2 n u2 n 1 Kết luận  n  cấp số nhân với công bội q 1 u1 2 , n 1  un 1 4un  u v Ví dụ 3: Cho dãy số  n  xác định Chứng minh dãy số  n  xác định un  3, n 1 cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu cơng bội cấp số nhân Lời giải Vì có un  (1)  1 un 1  (2) Theo đề un 1 4un   un 1  4  un  3 (3) 1 4 v v n Thay (1) (2) vào (3) được: (không đổi) Kết luận  n  cấp số nhân với công bội q 4 số hạng đầu v1 u1  5 1 4vn , n 1  Ví dụ 4: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân x  y Tìm x, y Lời giải Ta có: x y 9  y  Thay vào x x4  y  x4   y 3 3 Kết luận  x5   x5  x      x  x    y 3 Dạng Xác định số hạng cấp số nhân, tổng cấp số nhân Phương pháp Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1 , giải hệ phương trình tìm q u1 Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: uk u1.q k  S n u1 Để tính tổng n số hạng, ta sử dụng công thức: u1 u2 u3  un , S n nu1  qn , q 1 1 q Nếu q 1 Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u1  u5 51 u1  u2  u3 135 u2 6    u  u 102 u  u  u 40 S 43 a)  b)  c)  Lời giải a) u1  u1q 51 u1  u5 51    u2  u6 102 u1q  u1q 102 Lấy  **  *  u1q   q  u1   q   u1  q 51  *  u1q  q 102  **     102 51 51  51  q 2  u1 1  q 17 3 Kết luận có cơng bội q 2 số hạng u1 3 Kết luận: u1 3 q 2 u1  u2  u3 135 u1  u1q  u1q 135   u4  u5  u6 40  u1.q  u1q  u1q 40 b) u1  q  q 135  *   u1q  q  q 40  **    Lấy  **  *   u1q   q  q  u1   q  q  40  135  q   q  27 135 1215  u1   1 q  q 19 q Kết luận có cơng bội c) u2 6    S3 43 1215 u1  số hạng 19 u1q 6   u1  u2  u3 43 u1q 6  u1  u1q  u1q 43 u1q 6  *  *  u1q   2  ** u1   q  q  43 u1   q  q  43  ** Lấy   43q 6  q  q   6q  37q  0  q 6  q  q   u1 36 Với q 6  u1 1 Với Kết luận q 6  u1 1  q   u1 36 u1  u5 51  u2  u6 102 u Ví dụ 2: Cho CSN  n  có số hạng thỏa: a) Tìm số hạng đầu công bội CSN b) Hỏi tổng số hạng 3069? c) Số 12288 số hạng thứ mấy? Lời giải a) Ta có u1  u5 51   u2  u6 102 u1  u1q 51   u1q  u1q 102 u1 (1  q ) 51 (*)  u1q (1  q ) 102 (**) u q(1  q ) 102 (**)    q 2  u1 3 (*) u (1  q ) 51 Lấy n n 1 q 1 S n 3069  u1 3069  3069  n 1024  n 10 1 q 1 b) Có Kết luận tổng 10 số hạng 3069 u 12288  u1.q k  12288  3.2k  12288  k  4096 212 c).Có k  k  12  k 13 Kết luận số 12288 số hạng thứ 13 Ví dụ 3: Cho cấp số nhân  un  Tìm u1 q, biết rằng: 35  u  u  u   u1u5 25 u  i 1, ,5    i 1)  2) u1  u3  u5 65  u1  u7 325 3) u2  u4  u6  42  u3  u5 20 u1  u2  u3  u4 15  u  u2  u3  u4 85 5)  4) u1  u6 165; u3  u4 60 6) u1  u2  u3 13  u4  u5  u6 351 8u2  5u5 0  u  u33 189 7)  8) u1u2u3 1728  u1  u2  u3 63 u1  u3 3  u  u32 5 9)  u1  u2  u3 7  u  u2  u32 21 10)  Lời giải 35  u2  u3  u4   35  u1u5 25 u1.q  u1.q  u1.q   u  i 1,,,5      i u1.u1.q 25    1)      u1.q  52  u1.q 5  u1   1 q thay vào (1) được: 35 q  q  q      q  q  79  2q  5q  0  q 2   q Với q 2  u1  q   u1 20 Với q 2) u  u q  u1q 65 u1  u3  u5 65   1   u1  u1q 325   u  u  325  Lấy:  2   q6  1  q  q 4  u1   q  q  65  1   2 u1   q  325  q2    q2  q4   325   5 vi 1+q 1   q  65 1 q  q     q 5  q 4  q 2 65 65 q   u1  5 q 2  u1  5         1  Với Với 3) u2  u4  u6  42   u3  u5 20 Lấy:  1   q  q q  1 q2   2 u1.q  u1.q  u1.q  42   u1.q  u1.q 20  u1.q   q  q   42  1    2 u1.q   q  20 21  10  10q  10q  21q  21q 10  10q  21q  10q  21q  10 0  10q  21q  10    1   10  q    21    10 0 q    q 21 10  10 q q2    1 t q   t  q    q  t  t 2 q q q  Đặt: Điều kiện    10  t    21t 10 0  10t  21t  10 0  t=  t  Với 5  q    2q  5q  0  q   q  2 q 2 q   Nếu  Nếu  t (loại) 20 20  u1   64 4 q q  1  1        2  2 q   u1  20 20  1 q q  24 4) u1  u6 165; u3  u4 60 u1  u1q 165    u1q  u1q 60  u1   q  165  1   u1q   q  60   Lấy  1   2   q    q  q  q3  q  11  q5 11    q2   q  q2   q     q  q  q3  q  11q  4q  4q  7q  4q  0  q 4 q q 4q     0  q2 q q q q    q2    q    1  q    0 q     1 t q   t  q    q  t  t 2 q q q  Đặt: Điều kiện:     t    4t  0  4t  4t  15 0  t   t  2 (loại) 5 t   q    2q  5q  0  q 2  q = q 2 Với 165 165 q   u1   160 2 1 q 165 165 1  q 2  u1   5 1    q 12  25  2  với  với u1  u2  u3  u4 15 u1  u1q  u1q  u1q 15    2 2 u  u2  u32  u4 85 u1  u1 q  u1 q  u1q 85 5)  u   q  q  q  152 u1   q  q  q  15     2 2 u1   q  q  q  85 u1   q  q  q  85  1 Lấy   1 q  q   q3   q2  q  q6  1  2 2 45     q   q   q    45  17   q   q   q  17 2    q    q2     45   q    q  45   2q  q    q  45      q     q  17   q 17  1 q4 17  17   q  2q  2q  q  q  45   q   28q  34q  34q  34q  28 0  28q 34q 34q 34q 28     0 q2 q2 q2 q q (vì dễ dàng thấy q 0 )  28q  34q  34    34  1  28 0  14  q    17  q    17 0 q q  q    1 t q   t  q    q  t  t 2 q q q  Đặt Điều kiện:      14  t    17t  17 0  14t  17t  45 0 t  t  (loại) 5 t   q    2q  5q  0  q 2  q = q 2 Với 15 q   u1  8  q  q  q3  với q 2  u1 1  với 6) u1  u2  u3 13   u4  u5  u6 351 Lấy 7)    q3 27    8u2  5u5 0  3 u1  u3 189 u1   q  q  13     u1q   q  q  351   13 13 q 3  u1   1 1 q  q 1   1    3   q 8 5 5q  q    5  5 8u1q  5u1q 0    u  q 189  u  189 125  u 5  1   3  1 u  u q  189       q6 8) u1u2u3 1728  u1  u2  u3 63  1 u1.u1.q.u1.q 1728      u  u q  u q   1 12  u1  q    12    q  q  63  q  u1q  123   u  q  q  63    12  u1  q   12q  51q  12 0  u  q  3 u1  u3 3       2 u  q     u  u3 5  9)    Lấy   2 1 q   1 q  u1q 12  u1   q  q  63  q 4  u1 3    q   u1 48 2  u1   q  9    u1   q  5   Đặt: t q , t 0    t  9   t   4t  10t  0  t 2  t = Với t 2  q  2 3  q   u1  1  q   u1  1 1 q  q2 t   q  2 Với q  3  u1  2  q   u1  2 2 1 q  q2 u1  u2  u3 7   2 u  u  u  21  10)  u1   q  q  7    2 u1   q  q  21 2 1 q  q  1 q  q  u1  u1q  u1q 7  2 2 u1   u1q    u1q  21 2  u1   q  q  49      2 u1   q  q  21    Lấy   được: 49  21  q  q  2q  2q  2q  49   q  q  21  21  2q  3q  2q  q  49   q  q   28q  42q  14q  42q  28 0  28q 42q 14q 42q 28 42 28     0  28q  42q  14   0 2 q q q q q q q2    1  28  q    42  q    14 0 q  q    2  1 t q   t  q    q  t  t 2 q q q  Đặt: Điều kiện:    28  t    42t  14 0  28t  42t  70 0  t   t  (loại) 5 t   q    2q  5q  0  q 2  q = q 2 Với 7 q 2  u1  1 q   u1  4 1 q  q  q  q2   Ví dụ 3: Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân, biết: u1  u3  u5 65 u4  u2 72   u  u 144 u1  u7 325 a)  b)  u1  u2  u3 14  u1.u2 u3 64 d)  e) u1  u2  u3 21  1 1  u  u  u 12  c) u3  u5 90  u2  u6 240 u1  u2  u3  u4 30  u  u22  u32  u42 340 f)  Lời giải a) u4  u2 72   u5  u3 144 u1q  q  1 72 (1)   2 u1q  q  1 144 (2) u1q  u1q 72   u1q  u1q 144 Lấy (2):(1) được: q 2 , thay q 2 vào (1) u1 12 c) u3  u5 90   u2  u6 240 Lấy u1q  u1q 90   u1q  u1q 240 u1q   q  90 (1)   u1q   q  240 (2) u1q   q  240  q2    q2   (2)  q2       (1) q u1q   q  90 q 1  q2   3q  8q  0  q   q  3 Với q thay vào (1) u1 729 Với q  thay vào (1) u1 1 d) u1  u2  u3 14   u u u  64  (2)  u1q 4  u1  u1  u1q  u1q 14   u1u1qu1q 64 u1   q  q  14   u1q  64 (1) (2) 4  q  q  14  q , thay vào (1) q  2q  5q  0  q 2  q  q   u1 8 Với q 2  u1 2 Với e) u1  u2  u3 21   1 1  u  u  u 12  (1)   q  q  Với u1  u1  u1q  u1q 21  1  1  u  u q  u q 12  1 u1   q  q  21 (1)   q  q 1  (2)  12  u1q 21 21     u1q  36  u1q 6 u1 , thay vào (2): u1 u1q 12 6 1  q  q  21  2q  5q  0  q 2  q   q thay vào (1): q Nếu q 2  u1 3 Nếu q   u1 12