BÀI 3 cấp số NHÂN

BÀI CẤP SỐ NHÂN MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm vững khái niệm cấp số nhân - Nắm tính chất số hạng liên tiếp cấp số nhân - Nắm công thức tổng quát, công thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân Kĩ năng: - Nhận biết cấp số nhân dựa vào định nghĩa - Tìm yếu tố lại biết yếu tố: số hạng đầu, số hạng thứ k , tổng n Số hạng đầu tiên, công bội, Số số hạng cấp số nhân - Áp dụng tính chất cấp số nhân vào tốn giải phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức - Ứng dụng vào toán thực tế I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cấp số nhân dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q Số q gọi công bội cấp số nhân Nếu (un ) cấp số nhân với công bội q , ta có cơng thức truy hồi un1  un q vóri n  * Đặc biệt: • Khi q  0, , cấp số nhân có dạng u1,0,0,,0, • Khi q  1, , cấp số nhân có dạng u, u, u,, , 4, • Khi u1  0, với q , cấp số nhân có dạng 0,0,0,,0, Bài Cấp số nhân * k phụ thuộc vào n (un ) khơng cấp số nhân Để chứng minh dãy (un ) cấp số nhân, ta cần ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn u3 u2  u2 u1 Để chứng minh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân, ta chứng minh ac  b b  ac ►Ví dụ mẫu Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân a) un  (4)2n1 b) un  (7)n 53n1 Hướng dẫn giải u (4)2 n3  (4)2  16 số không đổi nên (un ) cấp số nhân với công bội q  16 a) Ta có n 1  un (4)2 n1 un1 (7)n1  53( n1)1   7.53  875 không đổi nên (un ) cấp số nhân với công bội b) Ta có n 3n 1 un (7)  q  875 Ví dụ Xét dãy số sau, dãy số cấp số nhân? Tìm cơng bội cấp số nhân u1  u   b)  a)  un 1  un un1  u n  Hướng dẫn giải Trang a) Ta có un 1 un u u  n  n 1  un 1  un 1 , n  un un 1 u1  u3  u5    u2 n 1  (1) Do có  u2  u4  u6    u2 n   (2) Theo đề có u1   u2   (3) u1 Từ (1), (2), (3) suy u1  u2  u3  u4  u5  u2n  u2n1 Do (un ) cấp số nhân với công bội q  b) Ta có u2  u12  4, u3  u22  16, u4  u32  256 Suy u2 u u u 256     16   u1 u3 16 u1 u3 Do (un ) khơng cấp số nhân Ví dụ Cho (un ) cấp số nhân có cơng bội q  0; u1  Chứng minh dãy   với  un  u2n cấp số nhân Hướng dẫn giải v un  u2 n u  q n1  u  q n1  n 2 n 3  q3 nên   cấp số nhân với cơng bội q3 Ta có n  1 un 1  u2( n 1) u1  q  u1  q u1  , n  Chứng minh Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định  un 1  4un  dãy số   xác định  un  3, n  cấp số nhân Hãy xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân Hướng dẫn giải Ta có  un  (1)  vn1  un1  (2) Theo đề un1  4un   un1    un  3 (3) Thay (1) (2) vào (3) ta vn1  4vn , n   vn1  (không đổi) Suy   cấp số nhân với công bội q  số hạng đầu v1  u1   ►Bài tập tự luyện dạng Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân?  u1  u1  A  B un  nun C  u   u n  n  u  u n  n 1 Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? 1 A un  n  B un  n  C un  n  3 Câu Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? u1  A  un1  un B un1  un u1  C  un 1  6un D un1  un1  D un  n  D un1  2un  Trang Câu Dãy số sau cấp số nhân? A un  n  B un  n2  C un  32n D un  n2 1 Câu Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? 1 1 A un  n  B un  n  C un  2n  D un  n  3 Câu Dãy số dãy số sau vừa cấp số cộng, vừa cấp số nhân? A 1;  1;  1;  1;  1; B 1;0;0;0;0; C 3; 2; 1;0;  1; D 1;1;1;1;1; Câu Cho cấp số nhân có u1  công bội q  Trong nhận xét sau, nhận xét đúng? A un  với n B un  với n lẻ un  với n chẵn C un  với n D un  với n chẵn un  với n lẻ 1 1 , , , bốn số hạng đầu dãy số sau đây? 32 1 un  A B un  2n 2n  Câu Dãy số không cấp số nhân? 1 1 1 A 1;  ;  ;  B  ;  ;  ;1 25 125 1 C 2;2 2;4 2; D 1; ; ; 27 Câu 10 Trong dãy số sau, dãy cấp số nhân? u1  2n   n A un  1 B  C un  un 1  un Câu Hỏi C un  1 D un  n n D un  n 1 n 1 Câu 11 Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân?  u1  A  u  u n  n 1  u   B  u   2.u n  n 1 C un  n2 1  u  1; u2  D  u  u u  n 1 n  n1 Câu 12 Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? 1 B un   n  C un   n D un  n3  1 3 Câu 13 Cho dãy số (un ) cấp số nhân với un  0, n  Dãy số sau cấp Số A un  n nhân? A u1; u3 ; u5 ; B 3u1; 3u3 ;3u5 ; C 1 ; ; ; u1 u2 u3 D u1 1; u2 1; u3 1; Câu 14 Cho dãy số (un ) xác định u1  2; un  2un1  3n 1 Công thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức có dạng a  2n  bn  c, với a, b, c số nguyên với n  2; n  tổng a  b  c có giá trị 4 A B C 3 D Câu 15 Cho dãy số (un ) có số hạng đầu 5,10,15, 20, 25, Số hạng tổng quát dãy A un  5(n 1) B un  5n C un   n D un  5n 1 Trang Khi HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-B 3-C 4-C 11-B 12-B 13-D 14-C 5-B 6-D 7-B 8-C 9-B 10-B 15-B Câu 1: u1  u  n 1  5   un  cấp số nhân có số hạng đầu u1  cơng bội q  5 Ta có  un un 1  5un Câu 1 Xét un  n 2  un 1  n 1 3 u 1 Ta có n1  n1 : n2  , n  * un 3 Vậy  un  cấp số nhân có cơng bội q  Câu u Xét n1  nên  un  cấp số nhân có cơng bội q  un Câu un 32 n  n2  32  nên un  32n cấp số nhân có cơng bội q  Vì un 1 Câu n2 un 1   nên un  n  cấp số nhân có cơng bội q  Vì 5 un 1 n 3 Câu Dãy số 1; 1; 1; 1; 1; vừa cấp số cộng công sai 0, số hạng đầu vừa cấp số nhân số hạng đầu 1, cơng bội Câu Vì u1  0; q   u2  u1.q  0; u3  u1.q2  Hay u2n  u1.q2n1  0; u2n1  u1.q2n  Câu 1 Xét cấp số nhân  un  với u1  , q  2 1 Ta có un  u1.q n 1    2 Câu n 1  2n 1 1  1 Dãy  ;  ;  ;1 có      nên không cấp số nhân 4  2 Câu 10 Trang u1  un 1 1  Dãy số   cấp số nhân với u1  2, q   un 3 un 1  un   u u1  Câu 11 Dãy số  có n1   nên cấp số nhân với công bội q   2 un u    u n  n 1 Câu 12 Ta có un   Suy un   n 2 n 2  un       :  un 1  3n 2   3n 3  cấp số nhân với công bội q  Câu 13 Dãy u1; u3; u5; cấp số nhân công bội q2 Dãy 3u1; 3u2 ; 3u3; cấp số nhân công bội 3q Dãy 1 1 ; ; ; cấp số nhân công bội u1 u2 u3 q Dãy u1  1, u2  1; u3  1; cấp số nhân Câu 14 Ta có un  2un1  3n   un  3n   un1  3(n  1)  5 với n  2; n  Đặt =un +3n+5 , ta có =2vn1 với n  2; n  Như (vn ) cấp số nhân với công bội q  v1  10 Do  10.2n1  5.2n Suy un  3n   5.2n hay un  5.2n  3n  với n  2; n  Vậy a = 5, b = -3, c= -5 nên a+b+c=5+(-3)+(-5)=-3 Câu 15 Ta có u1  5; u2  10  5.2; u3  15  5.3; un  5.n Dạng Xác định số hạng đầu, số hạng thứ k, công bội, tổng n số hạng cấp số nhân ► Phương pháp giải Dựa vào giả thuyết, ta lập hệ phương trình chứa cơng bội q số hạng đầu u1 Giải hệ phương trình tìm q u1 Nếu cấp số nhân (un ) có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un , xác định công thức un  u1  qn1 (n  2) q   Sn  nu1  Tổng n số hạng  u1 1  q n  S  q   n 1 q  ►Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân, biết Trang u  b)   S3  43 u  u  51 a)  u2  u6  102 Hướng dẫn giải    u1  u5  51 u1  u1q  51 u1 1  q   51 (*)   a) Ta có  u2  u6  102 u1q  u1q  102 u1q 1  q   102(**) Chia ( * *) cho (*) ta u1q 1  q  u1 1  q   102 51 51 51    q 17 Vậy u1  q   q   u1  Lưu ý: - Sử dụng công thức uk  u1  qk 1 đưa hệ phương trình hệ phương trình hai ẩn q u1  u1q  u2   u1q  6(*) b)     q3  u1 1  q  q   43 (**)  S3  43 u1  q  43    u1q Chia (*) cho (**) ta  u1 1  q  q  43 q   43q  1  q  q   6q  37q     q   2 • Với q   u1  • Với q   u1  36  q  q  Vậy   u1  u1  36 Lưu ý: - Sử dụng công thức uk  u1  qk 1 Sn  u1   qn , q  đưa hệ phương trình hệ phương trình hai ẩn 1 q q u1 u2  u4  10 Ví dụ Cho cấp số nhân (un ) có cơng bội nguyên số hạng thỏa mãn  u1  u2  u5  21 a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân b) Tổng số hạng 1365? c) Số 4096 số hạng thứ cấp số nhân? Hướng dẫn giải u  q  u q3  10 u1  q  q3   10  q  q 21      a) Ta có   4 q  q 10 u  u  q  u  q   21 u  q  q   21   1   Trang    1  10q  21q3  10q  21q  10   10  q    21 q    10  q  q   1 Đặt q   t  t   q  Ta có phương trình q q  5 t  2 10  t    21t  10   10t  21t  10    t    q  2 5  Với t    q     2q  5q     q   q  Mà q nguyên nên q  2 2  q    5q  2q   (vô nghiệm) q 10 Ta có q  2  u1   1 q  q3  Với t  Vậy q =-2 ; u1 =-1 b) Ta có Sn  1365  u1   qn  1365 1 q  (2)n  (1)   1365  2n  4096  n  12 1 Vậy tổng 12 số hạng 1365 c) Ta có uk  4096  u1  qk 1  4096  (1)  (2)k 1  4096  2k 1  4096  2k 1  212  k   12  k  13 Vậy số 4096 số hạng thứ 13 cấp số nhân Lưu ý: - Sử dụng công thức uk  u1  qk 1 đưa hệ phương trình hai ẩn q u1 Ví dụ Tính tổng sau 1 1 a) Sn      n 2 2 2 1 1  1   b) Sn            3n  n  3  9    Hướng dẫn giải 1 1 a) Ta có dãy số ; ; ; ; n cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  công 2 2 2 bội q   2 Trang n 1 1   n 1 q 1      1 n Do Sn  u1  1 q 1 2 2 1 1  1   b) Sn            3n  n  3  9    1  32    34     32 n   n 3 1  32 n     3    32  34    222 32 n  n soá 2 Dãy số 32 ;34 ;;32n cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  32 cơng bội q  Do S1  u1  34  32  qn  9n n  9    1 1 q 1 1 cấp số nhân với n số hạng, số hạng đầu u1  công bội q  2n 1 n n 1 q 1  9n     1    Do S2  u1   q   9n  8.9n Dãy số 1 ; ; 32 34 9n  1 9n 1  1  n 9n   2n   2n Vậy Sn    1  8.9n 8.9n Ví dụ Tính tổng sau a) Sn   11  111   1111 b) Sn   66  666  n soá  666 6 n soá Hướng dẫn giải a) Ta có Sn   11  111   111.1  (9  99  999  n soá  9999) n soá  (10  1)  102  1  103  1   10n  1   10  102  103   10n   (1    1)] n soá 1 10 1  10     10  Vậy Sn  n   n  10   9n  10 81 10n1  9(n  1)  81 b) Sn   66  666   n 1  666 6  (9  99  999  n soá 2 (10  1)  (100  1)  (1000  1)  3  999 9) n soá  10 n  1  Trang  10  102  103  3  10n  n    10n   20 n 2n  n   10  1  10  3 10   27 20 n 2n 10  1   27 ►Bài tập tự luyện dạng Vậy Sn  Câu Cho cấp số nhân với u1  A  1 ; u7  32 Công bội cấp số nhân B 4 C 2 D 1 Câu Cấp số nhân (un ) có un   n Số hạng công bội cấp số nhân 6 6 A u1  , q  B u1  , q  2 C u1  , q  D u1  , q  5 5 1 Câu Cho cấp số nhân có u1  1; q  Số 103 số hạng thứ cấp số nhân? 10 10 A Số hạng thứ 103 B Số hạng thứ 104 C Số hạng thứ 105 D Số hạng thứ 106 Câu Cho khẳng định sau Tồn cấp số nhân (un ) có u5  u75  Nếu số thực a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng có cơng sai khác số a2 , b2 , c2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Nếu số thực a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân số a2 , b2 , c2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Số khẳng định A B C D Câu Cho cấp số nhân có u1 =-1, u6 =0,00001 Khi cơng bội q số hạng tổng quát un , 1 1 , un  n 1 B q  , un  10n 1 10 10 10 1 1 (1)n q  , u  C D q  , un  n1 n 10 10n 1 10 10 Câu Cho cấp số nhân 2; 4; 8; Tổng n số hạng cấp số nhân A q  A 2 1  (2) n   (2) B 2 1  (2) n  1 C 2 1  (2) n   (2) D 2 1  (2) n  1 Câu Cho cấp số nhân biết u1 =1; q=2 Số hạng thứ 11 A 20 B 1024 C 22 Câu Nếu cấp số nhân (un ) có u1 =3 cơng bội q = giá trị u A 36 B 37 C 21 D 2008 D 38 Câu Cấp số nhân (un ) có un   n Số hạng công bội q 6 A u1  , q  B u1  , q  2 C u1  , q  D q  4, u1   5 16 Câu 10 Cho cấp số nhân có u2  ; u5  16 Công bội số hạng cấp số nhân Trang 1 1 1 A q  ; u1  B q   , u1   C q  4, u1  D q  4, u1   2 2 16 16 Câu 11 Cho cấp số nhân với u1 =3; q =-2 Số 192 số hạng thứ cấp số nhân? A u7 B u6 C u8 D Không thuộc cấp số nhân Câu 12 Tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân có u1 = 4, u10 = 2048 A S10  8184 C S10  12276 B S10  4092 D S10  6138 Câu 13 Cho cấp số nhân với u1 =4, q =-4 Ba số cấp số nhân A 16;64;  256 B 16;  64;  256 D 16;64; 256 C 16;64; 256 1 n 1  Câu 14 Cho dãy số xác định u1  1, un1   2un  ; n  3 n  3n   * Khi u2018 22016 22018 B  u   2018 2017 2017 2019 2019 22017 22017 C u2018  2018  D u2018  2018  2019 2019 Câu 15 Cho S   3.2  3.22  3.2n Khẳng định sau với n nguyên dương? A u2018  A S   2n  1 B S   2n1  1 C S   2n1  1 D S   2n1  1 Câu 16 Cho cấp số nhân biết u1 =3, q=2 Tổng 10 số hạng cấp số nhân A 1  29  B 1  210  C 3  29  1 D  210  1 Câu 17 Cho cấp số nhân (un ), biết u2017 =1, u2020 =1000 Tổng 10 số hạng cấp số nhân 1010  910  B 9.102016 8.92016 Câu 18 Tổng   22  23  2100 A C  1010 9.102016 D 1010  9.102019 A  2100 B 2100  C  2101 Câu 19 Cấp số nhân 5;10;;1280 có số hạng? D 2101  A B Câu 20 Số hạng thứ cấp số nhân 2;6; D 10 C A 48 B 486 C 81 Câu 21 Cho cấp số nhân có u1 =1, q =3 Số hạng thứ cấp số nhân A 19683 C 2187   Câu 22 Dãy số có số hạng tổng quát un     3 A B D 162 D 729 2n cấp số nhân có cơng bội q C D C D n Câu 23 Tổng 1 1      16 4 B A Trang 10  u1  q10 Với q = S10  • Trường hợp 1 q   1 1    31( 1 2  1)   q   u u1  2  q2       u1 u3  q       (loại q > 1)    Câu 37   n    n  1      1      3    3n        Sn  n1   1 3n  1 3 Vậy u1  2; q   u5  u1  q4  3 Câu 38 n Ta có u6  0.00001  u1  q5  0.00001  1.q5  0.00001  q   Mặt khác un  u1  q n 1  1  1     10  n 1 10 (1)n  n1 10 Câu 39 Theo đề ta có un1  u n 1 1u  un  n1  n 3n n 1 n 2 10 u u 1 1 u 1 1 1 Mà u1  nên      ;        ;; 10    3  3 3 3  3 10   u  1 Do dãy  n  cấp số nhân có số hạng đầu u1  , công bội q  3  n u10 310  59048 29524 u2 u3    Khi S  u1    10 2.310 59049 2.310 Câu 40 u 1 1 Từ  16384   16384  q7     q  u11 q 4  u1  16  u1  24 (thỏa mãn) 536870912 Vậy un =24 tương ứng n  Ta có u17  u1  q16  16 1 Số hạng thứ 17 cấp số nhân u17  24     536870912 4 Dạng Dựa vào tính chất cấp số nhân, chứng minh đẳng thức, giải phương trình ứng dụng tốn thực tế ► Phương pháp giải Trang 17 Áp dụng tính chất: Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ac  b | b | ac Nếu cấp số nhân  un  có số hạng đầu u1 cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức un  u1  qn1 (n  2) Tổng n số hạng  Sn  nu1  u1 1  q n    Sn   q  q  q  ► Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm x, y biết số 5x  y; x  y; x  y eo thứ tự lập thành cấp số cộng số ( y 1)2 ; xy 1;( x 1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hướng dẫn giải Ba số x  y; x  y; x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 2(2 x  y )  (5 x  y )  ( x  y)  y  x  Ba số ( y 1)2 : xy 1;( x 1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ( xy 1)2  ( y 1)2 ( x 1)2  ( xy 1)2  ( xy  x  y 1)2 Trường hợp xy   xy  x  y   x  y   Từ (*) (**) suy x  10 ;y 3 Trường hợp xy    xy  x  y   2xy  x  y    x  0; y  Từ (*) (***) suy x  x    x   ; y   5 10   3   10   Vậy cặp số  x; y  cần tìm ( x; y)    ;   : (0;0;);  ;    3   10  Ví dụ Cho a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân Chứng minh a) (ab  bc  ca)3  abc(a  b  c)3 b)  a  b2  b2  c   (ab  bc)2 c) (a  b  c)(a  b  c)  a2  b2  c2 Hướng dẫn giải Vì a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên b  ac a) Ta có abc(a  b  c)3  b3 (a  b  c)3   ab  b  bc   (ab  bc  ca )3 (điều phải chứng minh) b) Ta có  a  b2  b2  c2   a 2b2  a 2c  b4  b2c  a 2b2  2b4  b2c  a2b2  2ab  bc  b2c2  (ab  bc)2 (điều phải chứng minh) c) Ta có (a  b  c)(a  b  c)  [(a  c)  b][(a  c)  b]  (a  c)2  b2  a  2ac  c  b2  a  2b2  c  b2  a  b2  c (điều phải chứng minh) Ví dụ Số đo bốn góc tứ giác lập thành cấp số nhân góc cuối gấp lần góc thứ hai Tìm số đo góc thứ Hướng dẫn giải Trang 18 Gọi A, B, C, D theo thứ tự bốn đỉnh tứ giác thỏa mãn đề ˆ ; Cˆ  Aq ˆ 2; D ˆ ˆ  Aq Theo ta có Bˆ  Aq ˆ  Aq ˆ  q2   q  3 ˆ  9Bˆ  Aq Mặt khác D Với q  3  B  3 A  (loại) Với q  ta có Aˆ  Bˆ  Cˆ  Dˆ  3600  Aˆ  Aˆ  Aˆ  27 Aˆ  3600  Aˆ  90 b số nguyên a abc  b  Tìm a Các số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hướng dẫn giải Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên b  a  q; c  a  q2 Ví dụ Cho a, b, c số nguyên dương thỏa mãn b số nguyên mà a , b số nguyên dương nên q số nguyên dương a abc  b   a  aq  aq  3aq   a(q  1)  Ta có Vì a, q ngun dương nên ta có bảng sau Vì Vậy a = Ví dụ Tìm m để phương trình x3  (3m  1) x2  (5m  4) x   1 có nghiệm lập thành cấp số nhân Hướng dẫn giải Giả sử x1, x2 , x3 ba ngiệm phương trình (1)   x  x1  x  x2  x  x3    x3   x1  x2  x3  x   x1 x2  x2 x3  x3 x1  x  x1 x2 x3  Suy x1x2 x3  Lại có ba nghiệm x1, x2 , x3 lập thành cấp số nhân nên x22  x1x3  x23  x1x2 x3   x2  2 Mà x2 nghiệm phương trình (1) nên 23  (3m 1)  22  (5m  4)     m  x  Thử lại với m = phương trình (1) trở thành x3  x  14 x     x  (thỏa mãn)  x  Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho số dương có tổng 65 lập thành cấp số nhân tăng Nếu bớt đơn vị số hạng thứ 19 đơn vị số hạng thứ ba ta cấp số cộng Tim số Hướng dẫn giải Gọi u1, u2 , u3 , theo thứ tự lập thành cấp số nhân Theo đề u1  t, u2 ; u3 19 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Trang 19  u  u  u  65 u  u  u  65 Ta có    u1  2u2  u3  20 u1   u3  19  2u2 u  u  q  u  q  65 u1 1  q  q   65 1  1    2 u1  2u1  q  u1  q  20 u1 1  2q  q   20(2) Chia vế với vế (1) cho (2), ta  q  q 65 13    2q  q 20 q   1  q  q   13 1  2q  q   9q  30q     q   2 Vì u1, u2 , u3 , theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên q   u1  Vậy số cần tìm 5; 15; 45 Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q Tìm q Hướng dẫn giải Vì tam giác ABC vng A nên BC  AB  AC Theo giả thiết ta có ba cạnh CA, AB, BC theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q nên BC  q2 , AC AB  q  AC Do BC2  AB2  AC2  q4  AC  q2  AC  AC  q4  q2 1   1 q   q   q   q       2  1 q   22 Ví dụ Cho hình vng C1 có cạnh 1, C2 hình vng có đỉnh trung điểm cạnh Vì q  nên q  hình vng C1 Tương tự, gọi C3 hình vng có định trung điểm cạnh hình vng C2 Tiếp tục ta dãy hình vng C1, C2 , C3 ,, Cn , Tính tổng diện tích 10 hình vng dãy Hướng dẫn giải Diện tích hình vng C1 Độ dài đường chéo hình vng C1 Hình vng C2 có cạnh đường chéo hình vng C1 Trang 20  2  Diện tích hình vng C2     Hình vng C3 có cạnh đường chéo hình vng C2  2  Diện tích hình vng C2     Hình vng Cn có cạnh đường chéo hình vng Cn1 2( n 1)  2  Diện tích hình vng Cn     Do đó, dãy diện tích hình vuông C1, C2 , C3 ,, Cn , lập thành cấp số nhân  2 q10  1023 với số hạng đầu u1  1, q     S  u    10 2 q  512   Ví dụ Để tiết kiệm lượng, công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho người dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc từ số thứ đến số thứ 10, bậc từ số thứ 11 đến số 20, bậc từ số thứ 21 đến số thứ 30, Bậc có giá 1500 đồng/1 số, giá số bậc thứ n + tăng so với giá số bậc thứ n 2,5% Gia đình ơng An sử dụng hết 345 số tháng 1, hỏi tháng ơng An phải đóng tiền? Hướng dẫn giải Gọi u1 số tiền phải trả cho 10 số điện Suy u1  10.1500  15000 (đồng) u2 số tiền phải trả cho số điện từ 11 đến 20 Suy u2  u1 1  0,025 …………………………………………………… u34 số tiền phải trả cho số điện từ 331 đến 340 Suy u34  u1 (1  0,025)33 Số tiền phải trả cho 340 số điện  (1  0,025)34  (1  0,025)34  S1  15000   789193, 28  (1  0,025)  (1  0,025) Số tiền ông An phải trả cho số điện từ 341 đến 345 S2  5.1500(1  0,025)34  17364,92 S1  u1  Vậy tháng gia đình ơng An phải trả số tiền S  S1  S2  806558 (đồng) Ví dụ 10 Từ độ cao 55,8m tháp nghiêng Pisa nước Italia, người ta thả bóng cao su chạm xuống đất Giả sử lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao độ cao mà bóng đạt trước 10 Tính tổng độ dài hành trình bóng thả từ lúc ban đầu nằm yên mặt đất Hướng dẫn giải Gọi hn độ dài đường bóng lần rơi xuống thứ n  n  Gọi ln độ dài đường bóng lần nảy lên thứ n  n  * *   Trang 21 Theo ta có h1  55,8, l1   55,8  5,58 dãy số  hn    ln  cấp số nhân lùi vô hạn với 10 10 Suy tổng độ dài đường bóng l h l 10 S     h1  l1   68, 2(m) 1 1 1 10 10 - Bài tập tự luyện dạng Câu Ba số x,3x  3,5 x  theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số nhân Biết x  1 , số công bội q  hạng cấp số nhân 250 250 A  B 3 Câu Cho cấp số nhân 4; x; 9 giá trị x 5 A C 250 D 250 B 6,5 C 6 D 36 Câu Cho cấp số nhân có bốn số hạng –2; x; 18; y Hãy chọn kết A x  6; y  54 B x  6; x  54 C x  6; x  54 D x  10; x  26 Câu Giá trị x để số x  1; x  theo thứ tự lập thành cấp số nhân D x  1 Câu Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác đồng thời số x, y;3 z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với công sai khác Giá trị q A x   B x   C x   1 B q  C q   D q  3 Câu Nếu ba số x  a; x  b; x  c theo thứ tự lập thành cấp số nhân giá trị x tính theo a, b, c A q  A x  a  bc 2a  b  c Câu Cho cấp số nhân B x  c2  ab a  b  2c C x  b2  ac a  2b  c D x  a  b2  c abc 1 1 , x, Giá trị x 125 1 B  C  25 D 5 Câu Với giá trị x số x  2; x  1;3  x lập thành cấp số nhân? A 1 B C 3 D Khơng có giá trị Câu Bốn số a, b, c, d theo thứ tự lập thành cấp số cộng bốn số a  1, b  1, c 3,  theo thứ tự A  lập thành cấp số nhân Tổng a  d A B C 10 D 12 Câu 10 Có cấp số nhân gồm bốn phần tử mà tổng chúng 45 số hạng thứ tư bốn lần số hạng thứ 2? A B C D Câu 11 Trong cấp số nhân có số hạng dương, hiệu số hạng thứ năm thứ tư 576, hiệu số hạng thứ hai số hạng đầu Tổng số hạng cấp số nhân A 768 B 1024 C 1023 D 1061 Câu 12 Ba số  x;3; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số 1, x, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Biết x  , tích x y Trang 22 A B 27 C 8 D x  y  z  a   Câu 13 Cho số x0 ; y0 ; z0 nghiệm hệ phương trình 2 x  y  z  2a  Các giá trị dương 3x  y  3z   2a  a để x0 ; y0 ; z0 lập thành cấp số nhân A a  B a  C a  D a = Câu 14 Tất giá trị thực tham số m để phương trình x3  3mx2  (m 1) x   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân 5 5 A m   B m   C m  D m  3 1 1 1 1 Câu 15 Ba số a, b, c theo thứ tự số hạng thứ nhất, Số hạng thứ hai số hạng thứ ba cấp số nhân, đồng thời số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai số hạng thứ tư cấp số cộng có cơng sai 10 Giá trị a 10 10 A a  B a  C a  10 D a   3 sin   , cos  , tan  tang theo thứ tự lập thành cấp số nhân, với     Khi Câu 16 Cho ba số giá trị cos2a A B Câu 17 Cho hình vng  C1  3 C  D  2 có cạnh a Người ta chia cạnh hình vng thành bốn phần nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng  C2  hình vẽ Từ hình vng  C2  lại tiếp tục làm ta nhận dãy hình vng C1,C2 ,C3 ,,Cn Gọi S diện tích hình vng Ci (i {1,2,3,}) Đặt T  S1  S2  S3  Sn  Biết T  32 Giá trị a C a  D a  2 Câu 18 Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích đáy tháp 12288 m2 , diện tích mặt A 8m B 6m C 12m D 10m A a  B a  Trang 23 Câu 19 Một khu rừng có trữ lượng gỗ 6.105  m3  Biết tốc độ sinh trưởng rừng 4,5% năm Hỏi sau 10 năm, khu rừng có mỏ gỗ (làm tròn đến hàng đơn vị)? A 931782m3 B 931781m3 C 891657m3 D 891658m3 Câu 20 Bạn An thả bóng cao su từ độ cao 10m theo phương thẳng đứng Mỗi chạm đất lại nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao độ cao trước Tổng quãng đường bỏng đến bóng dừng A 40m B 70m C 50m D 80m Câu 21 Cho ba số thực dương a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân đồng thời thỏa mãn điều 1 a 2b c  Giá trị biểu thức P    3 a b c a b c 1 D P  Câu 22 Cho tam giác ABC cân đỉnh A, biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH cạnh bên AB theo A P  B P  C P  thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị q 2 2 2 1 1 B C D 2 2 Câu 23 Cho bốn số a, b, c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết tổng ba số A 148 , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp sốcộng Giá trị biểu thức T  a  b  c  101 100 100 101 A T  B T  C T   D T   27 27 27 27 Câu 24 Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3  cho A1BC 1 hạng đầu tam giác cạnh với số nguyên dương n  , tam giác An BnCn tam giác trung bình tam giác An1Bn1Cn1 Với số nguyên dương n, kí hiệu Sn tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Giá trị tổng S  S1  S2  Sn 15 9 B S  4 C S  D S  5 Câu 25 Cho hình vng ABCD có cạnh a có diện tích S Nối trung điểm A1, B1, C1, D1 theo thứ A S  tự cạnh AB, BC, CD, DA ta hình vng thứ hai có diện tích S2 Tiếp tục làm thế, ta hình vng thứ ba A2 , B2 , C2 , D2 có diện tích S3 tiếp tục làm thế, ta tính hình vng có diện tích S4 , S5 ,, S100 (tham khảo hình vẽ bên) Trang 24 Giá trị tổng S  S1  S2  S3  S100 A S  a  2100  1 B S  2100 a  2100  1 299 a  299  1 a2 C S  100 D S  299 Câu 26 Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn  un  có u1  u1, u3 , u4 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số cộng 1 1 D 1 Câu 27 Với giá trị tham số m phương trình x3  mx  x   có ba nghiệm thực lập thành cấp sổ nhân? A m = B m  3 C m  D m  4 Câu 28 Các giá trị m để phương trình x  2x  (m 1) x  2(m 1)  có ba nghiệm lập thành cấp số nhân A m=-3,m=-3,m=-4 B m  1, m  13, m  4 C m = 1, m = 3, m = D Khơng có giá trị m A B C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT B C C C A C B D B 10 C 11 C 12 C 13 C 14 B 15 C 16 D 17 A 18 B 19 A 20 B 21 D 22 C 23 C 24 B 25 B 26 B 27 B 28.D Câu Ba số 2x; 3x+3; 5x+5 theo thứ tự ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên  x  1 x(5 x  5)  (3 x  3)2  x  x      x  9( x  1) x  Với x =9 , suy q  3.9  30   2.9 18 250 Số hạng cấp số nhân (5.9  5)   3 Trang 25 Câu Ta có x2  (4)(9)  36  x  6 Câu   x     x  (2)(18)  36  x  6   y  54  Ta có    x  6 xy  (  18)  324      y  54  Câu Ta có x  x   3x   x   Câu , Vì x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác nên y  x  q; z  x  q2 (1) Các số x ,2 y,3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên x+3z = 4y (2) q  Thay (1) vào (2) x  xq  xq  x 3q  4q    3q  4q     q     Vì q  nên q  Câu Để ba số x+a; x+b; x+c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ( x  b)2  ( x  a)(x  c)  x  2bx  b2  x  (a  c)x  ac  (2b  a  c) x  ac  b2  x  Câu b2  ac a  2b  c 1 1 1 cấp số nhân x   x ; x; 125 25 125 Câu số x-2; x+1; 3-x cấp số nhân ( x  1)2  ( x  2)(3  x)  x  x    x  x   x  3x   (vơ nghiệm) Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn đề Câu Gọi m cơng sai cấp số cộng Khi b = a+m, c= a+2m, d = a+3m (a  1)(c  3)  (b  1)2  Do a+1, b+1, c+3, d+9 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên   (b  1)(d  9)  (c  3)  a  2 a   m   m  Thay b = a+m, c= a+2 m, d = a+3 m vào hệ rút gọn ta  4a  m m  2   Thử lại ta thấy có trường hợp a=1, m =2 thỏa mãn Vậy a+d =2a+3m =8 Câu 10 Trang 26   q4   q  0; u1  45  45  u1  q 1 S4  45   Ta có     q  2; u1  u4  4u2 u  q3  4u  q   q   q  2; u1  9     q     Câu 11  q4  q3 576 u5  u4  576  u1  q  u1  q  576    q3  64  q   u1    q 1 u1  q  u1  u2  u1    Vậy tổng số hạng đầu S5  u1 q5   1023 q 1 Câu 12 Ba số -x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên -x+y = (1) Ba số 1, x, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên x2  y (2)  x  2  x  y  8 Từ (1), (2) x < suy  y  Câu 13 Giải hệ phương trình ta x0  a3 5a  ; y0  2; z0  6 Để x0 , y0 , z0 theo thứ tự lập thành cấp số nhân x0  z0  y02 a  a  5a      5a  24a  117     a   39 6  Do a  nên a  Câu 14 Giả sử phương trình cho có ba nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 Khi x1 x2 x3  Mà x1.x3  x22 nên x2  Do ta có m    3m  m   Thử lại với m   Vậy m   33  3 1 3 1 thấy thỏa mãn Câu 15 Theo đề ta có a  u1; b  u2  u1  10; c  u4  u1  30 Theo tính chất cấp số nhân, ta có b2  a  c   u1  10   u1  u1  30   u1  10  a  10 Câu 16 Theo giả thiết ta có  sin  (sin  )2  tan   (cos )2   (cos )2 6.cos  (sin  )2  (cos )2   (cos )3  (cos  )2    cos   6.cos Trang 27 Từ cos2  2(cos )2    Câu 17 Cạnh hình vuông  C2  2 3  1  a 10 laø a2   a    a   4  4  5 Do diện tích S2  a2  S1 8 Cạnh hình vng  C3  2  10  a 10 3  1  laø a3   a2    a2    a    4  4     5 Do diện tích S3    a2  S2 8 Lý luận tương tự ta có S1; S2 ; S3;; Sn  tạo thành dãy cấp số nhân lùi vơ hạn có u1 =S1 công bội q= Vậy T  S1 8a2 32    a2   a  2( a  0) 1 q 3 Câu 18 Ta nhận thấy diện tích mặt tầng lập thành cấp số nhân với công bội q= Số hạng đầu u1 =12288 Khi mặt tầng 11 ứng với u12 11 1 Do u12  u1  q  12288     2 Câu 19 11 Đặt u0 =6.105 r = 4,5 \%= 0,045 Gọi un trữ lượng gỗ khu rừng sau năm thứ n Khi ta có un1  un (1  r), n  Suy (un ) cấp số nhân với số hạng đầu u0 , công bội q =1  r Do số hạng tổng quát cấp số nhân (un ) un  u0 (1  r)n     Sau 10 năm, khu rừng có u10  u0  q10  6.105  (1  0,045)10  931781,653 m  931782 m gỗ Câu 20 Các quãng đường bóng xuống tạo thành cấp số nhân lùi vơ hạn có u1  10 q  u 10 Tổng quãng đường bóng xuống S    40 1 q 1 Tổng quãng đường bóng (cả lên xuống) đến bóng dừng 2S-10 =80 -10 = 70(m) Câu 21 Ta có a2 b2 c a3  b3  c a b c     2 2 2 3 2 a b c abc bc ca ab Mặt khác a, b, c ba số hạng liên tiếp cấp số nhân nên ac  b2 Trang 28 a b c a b c 1 1  2  2  2       P bc ca ab ac b a c a b c Câu 22 Do Đặt BC= a; AB= AC= b; AH = h Theo giả thiết ta có a, h, b lập thành cấp số nhân, suy h2  ab Mặt khác, tam giác ABC cân đỉnh A nên h2  ma2  Do b2  b2 a2  b2  b2 a   ab  a2  4ab  4b2   a  (2  2)b Lại có b  q2 a nên q2  b 2 2 1    a 2 2 Câu 23  ac  b2 (1)  Ta có bd  c (2)  148 a  b  c  (3)  Cấp số cộng có u1 =a, u4 = b, u8 =c Gọi x công sai cấp số cộng Vì cấp số nhân có cơng bội khác nên x  b  a  3x (4) Ta có  c  a  x Từ (1) (4) suy a(a  7x)  (a  3x)2  ax  9x  Do x  nên a  x Từ (3) (4), suy 3a  10 x  148  16 b   a  64   Do   c  x     256   d  27  Vậy T  a  b  c  d  100 27 Câu 24 Vì dãy tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , tam giác nên bán kính đường trịn ngoại tiếp Với n  tam giác A1B1C1 , có cạnh nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 có bán tam giác cạnh nhân kính  3 R1    S1          Trang 29 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A2 B2C2 có bán Với n  tam giác A2 B2C2 , có cạnh  3  S2      kính R2         nên đường trịn ngoại tiếp tam giác A3 B3C3 có bán Với n  tam giác A3 B3C3 có cạnh  3  S2      kính R2         1 Như tam giác An BnCn có cạnh   2 1 kính Rn     2 n 1 n1 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn , có bán   n1     Sn         2 3    Khi ta dãy S1; S2 ; S3;; Sn  cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1  S1  3 cơng bội q  Do tổng S  S1  S2  Sn   u1  4 1 q Câu 25 1 Ta có S1  a2 ; S2  a2 ; S3  a2  Do S1, S2 , S3 ,, S100 cấp số nhân với số hạng đầu u1  S1  a2 công bội q  Suy S  S1  S2  S3  S100   100  qn a   S1   1 q 290 Câu 26 (un ) cấp số nhân lùi vơ hạn có cơng bội q , suy |q|