Đại 11 chương 3 dãy số cấp số cộng cấp số nhân

Chương 3: DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN §1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A CÁC DẠNG TOÁN Dạng Một số toán số học Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán chứng minh tính chia hết biểu thức dạng đa thức lũy thừa ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh mệnh đề sau: • un = n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3, ∀n ∈ N∗ b) = 32n+1 + 2n+2 chia hết cho 7, ∀n ∈ N∗ Ví dụ Chứng minh mệnh đề sau: • 4n + 15n − chia hết cho 9, với số tự nhiên n b) 42n − 32n − chia hết cho 84, với n ∈ N∗ Dạng Chứng minh đẳng thức ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh với n ∈ N∗ ta có đẳng thức + + + · · · + 3n − = n(3n + 1) Ví dụ Chứng minh với n ≥ nguyên dương thì: 1 2n − + + ··· + n = 2n HDedu - Page Ví dụ Chứng minh với n nguyên dương thì: 13 + 23 + · · · + n3 = (1 + + · · · + n)2 Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n ≥ ta có an − bn = (a − b) an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 Dạng Chứng minh bất đẳng thức ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n > ta có 1 13 + + + > n+1 n+2 2n 24 (1) Ví dụ Chứng minh với số nguyên dương n ta có 2n − 1 ≤√ 2n 3n + (1) Ví dụ Xét a, b không âm Chứng minh với số nguyên dương n ta có Å cácãsố an + b n a+b n ≥ (1) 2 HDedu - Page Dạng Phương pháp quy nạp số tốn khác tốn tổng hợp Các tốn sử dụng phương pháp quy nạp phong phú đa dạng có nhiều tốn khó Một dấu hiệu để sử dụng phương pháp quy nạp đề tốn có liên quan đến tập số tự nhiên, tập số nguyên ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh túi có số tiền ngun (nghìn) khơng 8000 đồng ln ln tiêu hết cách mua vé xổ số loại 5000 đồng 3000 đồng Ví dụ Với n = 1, 2, , kí hiệu n! = 1.2 n (đọc n giai thừa) Chứng minh với n số nguyên dương (4n)! chia hết cho 24n x Ví dụ Cho hàm số f (x) = √ Kí hiệu: + x2 f1 (x) = f (x), f2 (x) = f (f1 (x)) , , fn (x) = f (fn−1 (x)) Chứng minh fn (x) = √ x + nx2 Ví dụ Chứng minh tổng góc đa giác lồi n cạnh (n ∈ N, n ≥ 3) Sn = (n − 2).180◦ (1) HDedu - Page §2 DÃY SỐ A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N∗ −→ R n −→ u(n) Ví dụ Một số ví dụ dãy số: a) 1, 2, 3, 4, (dãy số nguyên dương) b) 2, 4, 6, 8, (dãy số nguyên dương chẵn) c) 0, 1, 4, 9, 16, 25, (dãy số bình phương số tự nhiên) d) 10, 10, 10, 10, e) 1, −1, 1, −1, 1, −1, SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ • Các số dãy gọi số hạng • Số hạng ký hiệu u1 , số hạng thứ u2 , thứ u3 , (các ký hiệu thay đổi) • Một dãy số có dạng tổng quát u1 , u2 , u3 , u4 , SỐ HẠNG TỔNG QUÁT • Số hạng thứ n (bất kỳ) dãy un gọi số hạng tổng quát • Số hạng tổng quát cho ta cơng thức để tính số hạng dãy cách thay n thứ tự số hạng cần tính Ví dụ a) Dãy 1, 2, 3, 4, có un = n b) Dãy 2, 4, 6, 8, có un = 2n c) Dãy 0, 1, 4, 9, 16, 25, có un = (n − 1)2 d) Dãy 10, 10, 10, 10, có un = 10 e) Dãy 1, −1, 1, −1, 1, −1, có un = (−1)n+1 f) Dãy −2, +4, −8, +16, có un = (−1)n 2n HDedu - Page ! a) Một dãy số có vơ số số hạng hữu hạn số hạng b) Cần lưu ý phân biệt hai khái niệm: dãy số số hạng tổng quát dãy số, ký hiệu dãy số “có dấu ngoặc” ký hiệu số hạng tổng qt “khơng có dấu ngoặc” Ví dụ (un ) dãy số có số hạng tổng quát un CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ Có ba cách cho (cách xác định) dãy số: • Cách 1: Liệt kê vài số hạng đầu: u1 , u2 , u3 , u4 , • Cách 2: Cho quy tắc tính un , dãy ký hiệu (un ) • Cách 3: Cho kiểu “truy hồi”: Cho vài số hạng đầu hệ thức un số hạng đứng trước hay sau Ví dụ a) Dãy số nguyên dương xác định: • Cách 1: 1, 2, 3, 4, • Cách 2: Cho dãy (un ) có un = n • Cách 3: Cho dãy (un ) có un = un = un−1 + Cách ghi khác: Cho dãy (un ) u1 = xác định công thức truy hồi: un = un−1 + 1, ∀n ≥ b) Dãy số nguyên dương chẵn cho bởi: • Cách 1: 2, 4, 6, 8, • Cách 2: Cho dãy (un ) có un = 2n • Cách 3: Cho dãy (un ) có u1 = un = un−1 + Cách ghi khác: Cho dãy (un ) u1 = xác định công thức truy hồi: un = un−1 + 2, ∀n ≥ TÍNH TĂNG GIẢM CỦA DÃY SỐ Định nghĩa Dãy số (un ) gọi dãy số tăng với n ∈ N∗ ta có un < un+1 Dãy số (un ) gọi dãy số giảm với n ∈ N∗ ta có un > un+1 DÃY SỐ BỊ CHẶN Định nghĩa HDedu - Page • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ • Dãy số (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số M, m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ B CÁC DẠNG TỐN Dạng Dự đốn cơng thức chứng minh quy nạp công thức tổng quát dãy số Phương pháp: • Tìm vài số hạng đầu (u1 , u2 , u3 , u4 ) • Từ giá trị u1 , u2 , u3 , u4 dự đốn cơng thức tính un • Chứng minh un ∀n ≥ phương pháp quy nạp ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định un = n2 + 3n + n+1 a) Viết năm số hạng đầu dãy b) Dãy số có số hạng nhận giá trị nguyên Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 = un = 2un−1 + ∀n ≥ a) Viết năm số hạng đầu dãy b) Chứng minh un = 2n+1 − 3; Ví dụ Cho dãy số   u1 = Tìm cơng thức tổng qt dãy số u (n + 4)  un+1 = n ,n ≥ n+3 HDedu - Page Ví dụ Cho dãy số (un ) với u1 = un+1 = un + (−1)2n dãy chứng minh phương pháp quy nạp Tìm cơng thức số hạng tổng qt un Ví dụ Cho dãy số (un ) biết: u1 = 10, un+1 = 2un a) Tính u2 , u3 , u4 , u5 b) Dùng quy nạp để chứng minh un = 10.2n−1 , ∀n ≥ Ví dụ Cho dãy số (un ) có u1 = un+1 = un + với n ≥ a) Tìm số hạng đầu dãy số b) Dự đốn cơng thức chứng minh quy nạp công thức tổng quát dãy số Ví dụ Cho dãy số (un ), xác định un = 2n + với n ≥ 3n a) Viết số hạng dãy b) Chứng minh un ≤ 1, ∀n ≥ Ví dụ Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định sau: u1 = 3, v1 = un+1 = u2n + 2vn2 vn+1 = 2un với n ≥ Ä√ ä2n √ a) Chứng minh: u2n − 2vn2 = un − 2vn = 2−1 với ∀n ≥ b) Tìm công thức tổng quát hai dãy (un ) (vn ) HDedu - Page Dạng Xét tăng giảm dãy số a) Phương pháp 1: Xét dấu hiệu số un+1 − un • Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ N∗ (un ) dãy số tăng • Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ N∗ (un ) dãy số giảm un+1 b) Phương pháp 2: Nếu un > 0, ∀n ∈ N∗ ta so sánh thương với un un+1 • Nếu > (un ) dãy số tăng un un+1 • Nếu < (un ) dãy số giảm un un+1 Nếu un < 0, ∀n ∈ N∗ ta so sánh thương với un un+1 < (un ) dãy số tăng un un+1 • Nếu > (un ) dãy số giảm un c) Phương pháp 3: Nếu dãy số (un ) cho hệ thức truy hồi thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1 > un , ∀n ∈ N∗ (hoặc un+1 < un ∀n ∈ N∗ ) • Nếu ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số sau (un ) với un = 2n + n+1 Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với un = 4n − 4n + Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với un = n 3n Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với   u1 = 3un +  , n ∈ N∗ un+1 = un + Ví dụ Xét tăng giảm dãy số (un ) với un = (−1)n Ví dụ Xét tính tăng giảm dãy số (un ) với un = √ √ n − n + HDedu - Page Dạng Xét tính bị chặn dãy số • Để chứng minh dãy số (un ) bị chặn M , ta chứng minh un ≤ M, ∀n ∈ N∗ • Để chứng minh dãy số (un ) bị chặn m, ta chứng minh un ≥ m, ∀n ∈ N∗ • Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh bị chặn bị chặn • Nếu dãy số (un ) tăng bị chặn u1 • Nếu dãy số (un ) giảm bị chặn u1 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) với un = 3n bị chặn n2 + Ví dụ Chứng minh dãy số (un ) xác đinh un = 8n + dãy số bị chặn 3n + Ví dụ Trong dãy số (un ) sau, dãy số bị chặn trên, bị chặn bị chặn? a) un = 3n2 − 1 b) un = n(n + 1) c) un = sin n + cos n − n2 d) un = n e) un = (−2)n Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = un + 4, ∀n ≥ a) Chứng minh dãy (un ) bị chặn số b) Chứng minh dãy (un ) tăng, từ suy dãy (un ) bị chặn Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định u1 = un+1 = (un ) bị chặn số bị chặn số un + , ∀n ≥ Chứng minh dãy un + HDedu - Page §3 CẤP SỐ CỘNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng un+1 = un + d với n ∈ N∗ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG Định lí Cho cấp số cộng (un ) Khi uk = uk−1 + uk+1 , ∀k ≥ 2 Hệ Nếu (un ) cấp số cộng m, n, k, t thỏa m + n = k + t um + un = uk + ut Để chứng minh dãy số (un ) cấp số cộng ta chứng minh un+1 = un + d với n ∈ N∗ un+1 − un = d với d số không đổi ! Đặc biệt: Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta chứng minh b − a = c − b SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí Nếu cấp số cộng (un ) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng qt un xác định công thức: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Định lí Cho cấp số cộng (un ) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + · · · + un Khi Sn = n(u1 + un ) (3.3) Vì un = u1 + (n − 1)d nên cơng thức (3.3) viết ! Sn = nu1 + n(n − 1) d (3.4) HDedu - Page 10    x − 2x − x+1 Ví dụ Tìm tham số m để hàm số f (x) =  m2 + 5m x0 = −1 x = −1 , liên tục điểm x = −1 Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm • Để chứng minh phương trình f (x) = có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f (x) liên tục D có hai số a, b ∈ D cho f (a).f (b) < • Để chứng minh phương trình f (x) = có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y = f (x) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ; ai+1 ) (i = 1, 2, , k) nằm D cho f (ai ).f (ai+1 ) < ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ Chứng minh phương trình 2x4 − 2x3 − = có nghiệm thuộc khoảng (−1; 0) Ví dụ Chứng minh phương trình 6x3 + 3x2 − 31x + 10 = có nghiệm phân biệt Ví dụ Chứng minh phương trình x − + sin x = có nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình m2 m x2017 − x / ln có nghiệm âm với giá trị tham số m Ví dụ Chứng minh phương trình a cos 2x + b sin x + cos x = ln có nghiệm với tham số a, b HDedu - Page 40 ... ? ?3 CẤP SỐ CỘNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d Số d gọi công sai cấp số. .. sau cấp số nhân 1 1 ? ?3, −1, − , − , − , − 27 81 Ví dụ Trong dãy số đây, dãy số cấp số nhân? a) Dãy số (xn ), với xn = n2 √ 2n? ?3 b) Dãy số (yn ), với yn = c) Dãy số (zn ), với zn = nn +1 d) Dãy. .. tỷ số số không đổi với số nguyên dương n un c) Để dãy số cấp số nhân, cần dãy số gồm số hạng liên tiếp dãy số cho mà không lập thành cấp số nhân ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh dãy số sau