KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Tốn - Lớp Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/3/2023 (Đề thi có 01 trang ) PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THỌ XUÂN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (4,0 điểm) ( x 1)( x 3) x2 x2 P x x x x x x Cho biểu thức Rút gọn P tìm giá trị lớn P 3 a) Phân tích đa thức x y z 3xyz thành nhân tử b) Cho hai số thực phân biệt a b khác thỏa mãn điều kiện 1 2023 1 T =[ ( a−1 ) ( b−1 ) ] 3 a b ab Tính giá trị biểu thức Câu (4,0 điểm) 1 Giải phương trình : x x ( x 1) 48 2 Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h Lúc 20 phút, Bích rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bích đường, hai nhà Bích An nhà Bích chơi thời gian Về đến nhà An tính qng đường dài gấp bốn lần quãng đường Bích Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An Bích quãng đường) Câu (4,0 điểm) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x 2−4 xy+ y −16=0 Giả sử p, q số nguyên tố thỏa mãn đồng thời điều kiện p q 3, 3 p q 2 Chứng minh p q chia hết cho 36 Câu (6,0 điểm) Cho hình vng ABCD điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B C ) Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa hình vng ABCD dựng hình vng CHIK Gọi M giao điểm DH BK ; N giao điểm KH BD Chứng minh DH vng góc với BK DN DB = DC.DK BH S BHD + S BHK BH DH KH = + + > S DHK Chứng minh HC HC HM HN Gọi P giao điểm CN DH Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK E, Q Chứng minh E trung điểm PQ Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A a 2b b 2c c 2a -HẾT -Họ tên thi sinh……………… ……… …… Số báo danh …….…… UBND HUYỆN THỌ XUÂN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023 MƠN: TỐN – LỚP Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điể m 1.Cho biểu thức ( x −1 )( x−3 ) x2 x2 + 2 x −5 x +6 x −3 x +2 x + x +1 Rút gọn P tìm giá trị lớn P 2,5 ĐKXĐ: x ≠ ; x ≠ 2; x ≠3 0.2 P= P= ( ( ) ( x−1 ) ( x−3 ) x2 x2 + ( x−2 ) ( x −3 ) ( x−1 ) ( x−2 ) x + x +1 ) x ( x 1) x ( x 3) ( x 1)( x 3) P ( x 1)( x 2)( x 3) x x 1 ( x−1 ) ( x−3 ) x2 P= ( x−1 ) ( x−3 ) x + x +1 ( P= ) 0.5 0,2 0.5 x2 x + x +1 0,2 x2 Vậy với x ≠ ; x ≠ 2; x ≠3 P= x + x +1 Nếu x=0 P=0 0.2 0,2 Nếu x ≠ 0thì P= x2 = x + x +1 2 ≤ x− +3 x ( ) Dấu “=” xảy x= - 0,2 Vậy giá trị lớn P đạt x = - 3 2.a) Phân tích đa thức x y z 3xyz thành nhân tử x3 y z 3xyz ( x y )3 3xy (x y) z 3xyz ( x y )3 z 3xy (x y) xyz 1,0 0,5 ( x y z ) ( x y ) z ( x y ) z 3xy ( x y z ) 0.2 ( x y z )(x y z xy yz zx) 0,2 (*) 2.b) Cho hai số thực phân biệt a b khác thỏa mãn điều kiện 1 2023 1 T =[ ( a−1 ) ( b−1 ) ] a b3 ab Tính giá trị 1 x , y , z a b dụng kết (*) với Áp 1 1 1 1 1 1 (*) ab a b a ab a b a b b 1 1 1 1 ¿ +1 + +1 + − >0 2 b a b ab a b a Mà a b ( a b ) 1 (*) 0 a b ab ab a b 1 a b Nên 0 [( ) ( ) ( ) ] 0,5 0,2 0,2 2023 1 Do T (ab a b 1) 1 1 (1) x x ( x 1) 48 Giải phương trình : ĐKXĐ: x 1, x Ta có: (1) 1 2 ( x 1)( x 3) ( x 1) 48 ( x 1)( x 3)( x 1) 48 3,0 0,2 0,5 ( x x 3)( x x 1) 192 ặt x 2+ x−1=a ta có phương trình: (a 2)(a 2) 192 Đ ⟺ a2 =196 ⟺ a=14 a=−14 [ 0,5 [ x=−5 Với a=14 ⟹ x 2+ x−1=14⟺ x=3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với a=−14 ⟹ x 2+ x−1=−14 Phương trình vơ nghiệm Vậy S= {−5 ;3 } 0,5 Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h Lúc 20 phút, Bích rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bích đường, hai nhà Bích An nhà Bích chơi thời gian Về đến nhà An tính qng đường dài gấp bốn lần quãng đường Bích 0,5 0,5 0,2 1,0 Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An Bích quãng đường) Xem quãng đường từ nhà An đến nhà Bích theo thứ tự AB Gọi quảng đường từ nhà An đến nhà Bích x (km) x >0 Quảng đường An x (km) 2x x Quảng đường Bích = (km) x x :2= Gọi C chỗ hai người gặp BC = AC x (km), 3x 3x Thời gian An đoạn AC : 4= 16 (giờ) x x Thời gian Bích đoạn BC :3= 12 (giờ) 3x x Ta có phương trình 16 − 12 = ⟺ x=3,2 (t/m) Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích 3.2 (km) Tìm cặp số ngun (x, y) thỏa mãn x 2−4 xy+ y −16=0 2 2 x −4 xy+ y −16=0 ⟺ ( x−2 y ) + y =16 (*) 0.2 0.2 0.2 0,2 2,5 0.2 Vì x , y ∈ Z nên x−2 y ∈ Z , từ (*) suy ra: ( x y ) 16 y 0 ( x y ) 0 y 16 0.5 ( x y ) 16 x 1) y 0 y 0 x 8 y 0 0.7 x 8 y 4 0.7 ( x y )2 0 x 2) y 16 y số nguyên ( x ; y ) cần tìm (−4 ; ) , ( ; ) , ( ; ) , (−8 ;−4 ) Vậy cặp Giả sử p, q số nguyên tố thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 p q 3, p q 2 Chứng minh p q chia hết cho 36 Xét số p, q có dạng 6.k + r (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5), k số tự nhiên 0,2 1,5 0,2 Dễ thấy, p, q số nguyên tố lớn số 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 hợp số nên số p, q có dạng 6k + 6k + 0,5 0,2 Vì p q 2 nên : Nếu p = 6k+5 q = 6k+3, lúc q lại hợp số, trái giả thiết q số nguyên tố Nếu p = 6k+1 q = 6k - Khi 0,2 0,2 p q (p q) ( p q) pq ( p q )(4 pq ) 3 12 k(36 k 3) 36k (12k 1) 36 Vậy p3 q3 chia hết cho 36 Cho hình vng ABCD điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B C) Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa hình vng ABCD dựng hình vng CHIK Gọi M giao điểm DH BK ; N giao điểm KH BD 1.Chứng minh DH vng góc với BK DN DB = DC.DK BH S BHD + S BHK BH DH KH = + + > HC S DHK HC HM HN 6,0 2.Chứng minh Gọi P giao điểm CN DH Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK E, Q Chứng minh E trung điểm PQ A B N Q E H M I P D C K Vì tứ giác ABCD, CHIK hình vng nên D, C, K thẳng · · · · hàng BDC = 45°; CKH = 45°Þ BDC + CKH = 90°Þ KH ^ BD BC ^ KD; KH ^ BD nên H trực tâm Þ DH ^ BK Tam giác BKD có 3đ Xét tam giác DNK tam giác DCB có : ìï NDK · : chung ï Þ D DNK : D DCB( g g ) í ùù DNK Ã Ã = DCB = 90 ùợ ị DN DK = Û DN DB = DC.DK DC DB 1,0 0.5 1,0 0,5 2S S + S BHK BH BH DC BH CK S BHD = = = = BHK = BHD S DHK Ta có : HC HC.DC HC.CK 2S DHC 2SCHK S + S DHK DH HK S BHK + S DHK = BHD ; = HM S HN S BHD BHK Tương tự : 2, Suy ra: 5đ BH DH æS BHK S DHK ö æS BHD S BHK ö S BHD S DHK KH ổ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ =ỗ + + + + + ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ốS DHK S BHK ø ÷ èS BHK S BHD ø ÷ HC HM HN èS DHK S BHD ø S BHD S DHK S S + ³ 2; BHD + BHK ³ 2; S BHK S BHD Theo bất đăng thức Cô si ta có : S DHK S BHD + + S BHK S DHK BH DH KH + ³ + + ³ S DHK S BHK Do : HC HM HN Dấu “=” xảy Û S BHD = S BHK = S DHK Û DC = CK (vơ lí DC = BC > CK ) Dấu không xảy BH DH KH + + >6 Vậy HC HM HN (đpcm ) 1,0 0.5 0.5 0,5 Xét tam giác DNC tam giác DKB có : 0, 5đ ìï NDC · : chung ïï · · Þ D DNC : D DKB (c.g.c) Þ DCN = DBK í DN DC ïï = (vi DN DB = DC.DK ) ïïỵ DK DB · · · · · · KCM = KBD Þ DCN = KCM Þ NCB = MCB 0,2 Tương tự Suy CH đường phân giác trong, CD đường phân giác tam giác PCM ( DC ^ CH ) Þ HP DP ỉ CP ữ ỗ = = ữ ỗ ữ ố CM ứ HM DM ỗ (tớnh cht ng phõn giỏc tam giác PCM) DM DP DM + DP DM - PM DM = = = = - (1) HM HP HM + HP PM PM DP DH - HP DH = = - (2) HP HP HP Mặt khác Þ DM DH = HP Từ (1), (2) Suy ra: PM HP MP Û = (3) HD MD 0,2 Áp dụng định lí ta-lét vào tam giác BHD, BMD ta có: HP PE = ; HD BD MP PQ = (4) MD BD PE PQ Þ = Û PQ = PE BD BD ) , suy E trung điểm PQ (3), (4 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3 Tìm giá trị 2,0 a A b c 2b 2c 2a nhỏ biểu thức: Các bất đẳng thức quen thuộc ( học sinh phải chứng minh) ( x y z ) 3( xy yz zx) (1); x y z 3 xyz x, y, z (2) 0.2 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: a 2b3 a 2b3 1 2ab3 2b3 b a 2ab 2ab 2ab a a 3 2b b b 1 2bc c 2ca ; c 3 2a Tương tự: 2c a b c A (a b c ) (ab bc ca ) (a b c ) (3) 2b 2c 2a 3 b Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: (a b c) 3( ab bc ca ) 9 0.2 0.2 0.2 0.2 a b c 3 (4) Từ (3) (4) suy A 1 0.2 0.2 Dấu “=” xảy a b c 1 Min A a b c 0.2 Vậy Lưu ý: - Câu IV: Nếu thí sinh khơng vẽ hình vẽ sai hình khơng chấm điểm - Điểm thi làm trịn đến 0,25 - Nếu thí sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa