ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN NGUỒN HỌC SINH GIỎI Năm học 2022 - 2023 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) 2x P x x x x 1 x 2 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để giá trị biểu thức P không âm c) Cho x > 1, x Tìm giá trị nhỏ P Câu (4,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a3 + 2b3 = 3c3 + 54d3 Chứng minh rằng: a + 2b + 3c + 5d chia hết cho b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x + 3x = x y + 2y + c) Đa thức f(x) chia cho x + dư 4, chia cho x2 + dư 2x + Tìm phần dư chia f(x) cho (x + l)(x2+ 1) Câu (4,0 điểm) x m x 3 2 a) Tìm m để phương trình x x m có nghiệm số dương x 9x 2011x A x 5x 3x 2016x Tính giá trị biểu thức A b) Cho biểu thức x 21 Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Vẽ đường cao AH Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho DH = HA Qua D kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC E a) Chứng minh: ADC ∽ BEC b) Gọi F trung điểm BE Chứng minh BHF ∽ BEC AH BC 1 c) Tia AF cắt BC I Chứng minh HB IB Câu (2 điểm) Cho số dương x y thỏa mãn x + y Tìm giá trị nhỏ biểu 16 45 M 2x 3y x y thức -Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM Câ Đáp án u Câ u1 (4 điểm) Đ iểm a (2 điểm) 2x P x x x x 1 x 2x(x 1) (x 1) x P x x (x 1)(x 1) ,25 2x 3x x P x x (x 1)(x 1) ,25 (x 1)(2x 5) x P x (x 1)(x 1) x (x 1) 2x x x x (x 2) P x x x x x1 Vậy P (x 2) x với x ±1, x 0 ,5 ,5 ,5 b (1 điểm) ĐKXĐ: x ±1, x (x 2) 0 Giá trị biểu thức P không âm, tức P x x 0 x 10 x x 1 ,5 Ta thấy x = - thỏa mãn ĐKXĐ Với x > 1, kết hợp với ĐKXĐ ta x > 1, x Vậy x = - x > 1, x ,5 c (1 điểm) ĐKXĐ: x ±1, x (x 2) x 4x (x 1)(x 5) 9 P x 6 x x1 x1 x1 ,5 Với x > 1, x x – > 0, áp dụng bất đảng thức Co-si cho hai số (x 1) dương ta có: (x 1) 9 2 (x 1) 6 x1 x 12 x Hay P 12 ,5 Dấu “=” xảy (x 1) x (x – 1)2 = x – = ±3 x = (TMĐK) x = -2 (Không TMĐK) Vậy với x > 1, x GTNN P 12 x = Câ u2 (4 điểm) a (1,5 điểm) Có a3 + 2b3 = 3c3 + 54d3 a3 + 2b3 = 3c3 + 625d3 a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3 = 3c3 + 625d3 + 3c3 + 5d3 = 6c3 + 630d3 = 6(c3 +105d3) (Vì c3 + 105d3 số nguyên với c, d nguyên) ,5 Xét a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3 - a - 2b - 3c - 5d = (a3 - a) + 2(b3 - b) + 3(c3 - c) + 5(d3 - d) Có a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1)a(a + 1) Vì a-1, a, a+1 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết có số chia hết tích số chia hết cho Hay a3 - a ,5 CMTT ta có (b3 - b) 6; (c3 - c) 6; (d3 - d) (a3 - a) + 2(b3 - b) + 3(c3 - c) + 5(d3 - d) 3 3 (a + 2b + 3c + 5d ) - (a + 2b + 3c + 5d) ,5 Mà a3 + 2b3 + 3c3 + 5d3 (CMT) nên suy (a + 2b + 3c + 5d) b (1 điểm) x + 3x = x y + 2y + x + 3x - = (x + 2)y x + 3x - y x + (Vì x2 + > với x) x(x + 2) + x - x -5 y x 2 x +2 x +2 ,5 x -5 (x + 5)(x - 5) Z Z x2 + Vì x, y Z nên x + (Vì x + Z với x - 25 27 27 1 Z Z x +2 x +2 x Z) Hay x + x2 + Ư(7) (Vì 27 Z, x2 + Z với x Z) Mà x2 + với x nên x2 + {3; 9; 27} * x2 + = x2 = x = ±1 (Loại) - Với x = 1, y = - Với x = - 1, y = - (TM) * x2 + = x2 = 7, khơng có giá trị ngun x thỏa mãn * x2 + = 27 x2 = 25 x = ±5 145 27 (Loại) - Với x = - 5, y = - Với x = 5, y = (TM) ,5 Vậy x = -1, y = - x = 5, y = c (1,5 điểm) Ta có f(x) chia x +1 dư Theo định lí Bê-du ta có f(-l) =4 Do bậc đa thức chia (x+l)(x2+l) nên đa thức dư có dạng ax + bx + c ,5 Gọi thương phép chia f(x) cho (x + 1)(x + 1) q(x), ta có: f(x) = (x+l)(x2 +1)q(x) + ax2 + bx+c F(x) = (x+l).(x2 +1)q(x) + ax2 +a - a +bx+c = (x+l) (x2 +1)q(x) + a(x2 +1) - a + bx + c = [(x+l)q(x) + a](x2 +1) + bx + c - a Vì f(x) chia x2 + dư 2x + nên bx + c – a = 2x + với x b 2 c a 3 ,5 Mặt khác f(-1) = a – b + c = a – + c = a + c = c ,a 2 Từ c – a = c + a = suy Vậy đa thức dư phép chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) ,5 x 2x 2 Câ a (2 điểm) (4 x m x 3 2 x1 x m (1) ĐKXĐ: x 1, x m u3 điểm) Phương trình (1) x m x 2x 2(x 1)(x m) (x 1)(x m) (x 1)(x m) ,5 Suy 2x2 - m2 + 2x - = 2x2 - 2mx - 2x + 2m 2(m + 2)x = m(m + 2) (2) Để phương trình (1) có nghiệm số dương phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn ĐK: x > 0, x 1, x m ,5 Phương trình (2) có nghiệm m + m -2 ,5 m 1 m m 2 m m x 0 Để giá trị nghiệm dương Khi m 2 m 2 m m 2m m 0 m 2 m m Kết hợp với m -2 ta m > 0, m Vậy với m > 0, m phương trình cho có nghiệm số dương ,5 b (2 điểm) ĐKXĐ: x4 + 5x3 + 3x2 + 2016x + Có x > 0 ,5 x4 + 5x3 + 3x2 + 2016x + > x x (TMĐKXĐ) x 1 0 (x 2)(x 2) 0 ,5 x2 + 2x - = x 9x 2011x x 5x 3x 2016x (x 2x 1)(x 2x 5x 3) 2022x 2022x 2022 (x 2x 1)(x 3x 2) 2023x 2023x 2023 A 2022 Vậy A = 2023 x Câ u4 ,25 (6 D B H F E A ,75 I điểm) C a điểm Có DE // AH, AH BC DE CD o Xét CDE CAB, có CDE CAB 90 ,C chung ,0 CDE ∽ CAB (g-g) CD CE CA CB CDA ∽ CEB (c-g-c) ,0 b điểm o o AHD vuông cân H HDA 45 CEB CDA 45 ABE vuông cân A ,0 BE = AB o BHA ∽ BAC ( BHA BAC 90 , B chung) BH BA BA BE BH BE BA 2.BC BA BC BC BC BH BE 2.BF BF BE 2.BC 2.BC BC ,0 BH BF , Bchung BHF ∽ BEC BE BC c điểm BAE vng cân A có AF đường trung tuyến nên đường phân giác BAE IC AC Xét ABC có AI phân giác ngồi A nên ta có IB AB ,0 o Có ABC ∽ HBA ( BAC BHA 90 , B chung) AC AH AB BH IC AH IB BC AH BC AH 1 IB BH IB BH IB BH AH BC 1 BH IB Câ ,0 u5 (2 điểm) M 2x 3y 9 16 45 4 9 2 x y x y x y x y Với x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương, ta có: x 4 2 x 4 x x x x Dấu “=” xảy x2 = x = (x > 0) y ,0 9 2 y 6 y y y y Dấu “=” xảy y2 = y = (y > 0) 1 Có < x + y x y Dấu “=” xảy x + y = a b (a b) x y x y Dấu “=” Chứng minh bổ đề với x, y > ta có a b x y Áp dụng bổ đề ta có xảy 22 32 (2 3) 25 5 x y x y xy Dấu “=” xảy x y 2 x y 5 x y x y 1 2 3 x y 5 M 2x 3y ,0 x 2 y 3 9 16 45 4 9 2 x y 8 18 10 x y x y x y x 2 (TM) y 3 (TM) M 36 Dấu “=” xảy Vậy giá trị nhỏ M 36 x = 2, y =