Hsg đs9 cđ2 hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ MỤC LỤCC LỤC LỤCC CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIT, HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIC HAI .2 CHỦ ĐỀ ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIT Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Một số toán mặt phẳng tọa đột số toán mặt phẳng tọa độ toán mặt phẳng tọa đột phẳng tọa động tọa độa đột số toán mặt phẳng tọa độ Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động ng d ng c a hàm số toán mặt phẳng tọa độ bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNt chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNng minh bất chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNt đẳng tọa động thứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc tìm GTLN, GTNN CHỦ ĐỀ ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAIC HAI Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Một số toán mặt phẳng tọa đột số toán mặt phẳng tọa độ toán mở đầu hàm số bậc hai đầu hàm số bậc haiu hàm số bậc hai hàm số toán mặt phẳng tọa độ bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc hai Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Một số toán mặt phẳng tọa đột số toán mặt phẳng tọa độ vất chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNn đề hàm số bậc hai nâng cao liên quan đến phương trình bậc hain phương trình bậc haing trình bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc hai 12 Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Vậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNn d ng điề hàm số bậc haiu kiện có nghiệm phương trình bậc hai tốn GTLN,n có nghiện có nghiệm phương trình bậc hai toán GTLN,m c a phương trình bậc haing trình bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc hai toán GTLN, GTNN 18 Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Định lý Vi-et với phương trình bậc hainh lý Vi-et với phương trình bậc haii phương trình bậc haing trình bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc hai 22 Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động Các tốn tương trình bậc haing giao đường thẳng parabolng thẳng tọa động parabol 31 Dạng Một số toán mặt phẳng tọa động ng d ng phương trình bậc haing trình bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNNc hai toán số toán mặt phẳng tọa độ họa độc 46 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNI ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI THI HỌC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNC SINH GIỎI VÀ VÀO 10 CHUYÊNI VÀ VÀO 10 CHUYÊN 49 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Hàm số bậc hàm số cho cơng thức y ax  b a b số thực cho trước a 0 - Khi b 0 hàm số bậc trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lệ thuận y x Tính chất: a) Hàm số bậc nhất, xác định với giá trị x   b) Trên tập số thực, hàm số y ax  b đồng biến a  nghịch biến a  Đồ thị hàm số y ax  b với a 0 : - Đồ thị hàm số y ax  b đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  b a - a gọi hệ số góc đường thẳng y ax  b Cách vẽ đồ thị hàm số y ax  b : - Vẽ hai điểm phân biệt đồ thị vẽ đường thẳng qua điểm -  b  A   ;0  , B  0; b  Thường vẽ đường thẳng qua điểm đồ thị với trục tọa độ  a  - Chú ý: Đường thẳng qua thẳng qua N  0; n  song song với trục tung có phương trình: x  m 0 , đường song song với trục hồnh có phương trình: y  n 0 Kiến thức bổ sung: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm Điểm M  m;0  M  x; y  A  x1; y1  , B  x2 ; y2  trung điểm AB x AB   x2  x1    y2  y1  x1  x2 y  y2 ;y 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc: Cho hai đường thẳng  d1  : y ax  b đường thẳng   d1  / /  d   a a ' b b '   d1   d   a a ' b b '   d1    d1    d   a.a '  cắt  d  : y a ' x  b ' với a, a ' 0  d   a a ' File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Chú ý: Gọi  góc tạo đường thẳng y ax  b trục Ox , a  tan  a B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Một số tốn mặt phẳng tọa độ Ví dụ d : y x  Cho đường thẳng   d  : y  2m   đường thẳng m  x  m2  m a) d // d Tìm m để     b) d d Gọi A điểm thuộc đường thẳng   có hồnh độ x 2 Viết phương trình đường thẳng   d qua A vuông góc với    d1  / /  d  Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng  d1  ,  d  c) Khi d) d Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng   tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm  d1  với trục tọa độ Ox, Oy Lời giải: a) Đường thẳng Vậy với m   d1  / /  d   m  1  2m  1 0  m    m  1  m   0  d1  / /  d  Vì A điểm thuộc đường thẳng b) 2m  m 1   m  m 2 y 2  4  A  2;   d1  có hồnh độ x 2 suy tung độ điểm A Đường thẳng  d1  d có hệ số góc a 1 , đường thẳng   có hệ số góc a '  a '.1   a '  Đường thẳng  d3  d A 2;4  có dạng y  x  b Vì   qua  suy   b  b 6 Vậy đường thẳng  d3  c) y  x  Khi  d2  thuộc  d1  / /  d  khoảng cách hai đường thẳng  d1  khoảng cách hai điểm A, B  d1   d2  cho AB   d1  , AB   d  Hình vẽ: Gọi B giao điểm đường thẳng Phương trình hồnh độ giao điểm File word: Zalo_0946 513 000  d2   d3   d3   d2   x  x  là: 25 23  25 23   x   y   B ;  8  8  File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ  25 AB     Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: d)   23 2       4   d Gọi M , N giao điểm đường thẳng   với trục tọa độ Ox, Oy Ta có: y 0  x   A   2;0  Cho , y 0  x   N   2;0  cho Từ suy OM ON 2  MN 2 Tam giác OMN vuông cân O Gọi H hình chiếu vng góc O lên 1 OH  MN  SOMN  OM ON 2 MN ta có 2 (đvdt) Chú ý: Nếu tam giác OMN không vuông cân O ta tính OH theo cách: 1    * 2 OM ON Trong tam giác vng OMN ta có: OH Từ d để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng   ta làm theo cách: - d Tìm giao điểm M , N   với trục tọa độ - Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng tam giác vng OMN (cơng thức (*)) để tính đoạn OH Bằng cách làm tương tự ta chứng minh cơng thức sau: Cho M  x0 ; y0  đường thẳng ax  by  c 0 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: d ax0  by0  c a  b2 Ví dụ Cho đường thẳng: mx    3m  y  m  0  d  d a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng ln qua b) d Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng   lớn c) d Tìm m để đường thẳng   cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân Lời giải: a) Gọi I  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng d qua với m ta có:  x0  y0  0 mx0    3m  y0  m  0, m  m  x0  y0  1  y0  0, m   2 y0  0 File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ   x0  1 1  I ;    2  y 1 Hay  b) d Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng   Ta có: OH OI suy OH lớn H I  OI   d  OI Đường thẳng qua O có phương trình: y ax 1 1 1 I  ;   OI  a  a 1  OI : y  x 2  2 Đường thẳng - d viết lại sau: Để ý với đến - d m mx    3m  y  m  0    3m  y  mx   m  d  : x  0 đường thẳng song song với trục Oy nên khoảng cách từ O Nếu m m m y  x  đường thẳng  d  viết lại: 3m  3m  Điều kiện để  d   OI 2 1 1 m OI          m 2  3m  m   2  2 3m  2 Khi khoảng cách: Vậy c) m giá trị cần tìm Ta giải toán theo hai cách sau: Cách 1: Dễ thấy m 2 m  không thỏa mãn điều kiện (do  d  không cắt Oy ) Xét , đường thẳng  d   cắt Ox, Oy điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB Do góc AOB 90  OAB vuông cân O Suy hệ số góc đường thẳng  m  3m  1    m   3m   m 1  m   d phải -1 đường thẳng Ta thấy có giá trị m d khơng qua gốc O thỏa mãn điều kiện toán m  , m 0 Cách 2: Dễ thấy không thỏa mãn điều kiện  2 m m m  0;  y x d   , đường thẳng   viết lại: 3m  3m  Xét File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Đường d thẳng cắt trục Ox A điểm có tung độ nên m m 1 m 1 m  1 m  x 0  x   A ;0   OA  3m  3m  m m , đường thẳng  d  cắt trục Oy điểm  m  y có hồnh độ nên m m  m   B  0;   OB  3m  3m  Điều kiện để tam giác OAB cân  3m    m 1  m 1 1 m m OA OB       m 1 m  m  m 3m    Giá trị m 1 không thỏa mãn, đường thẳng d qua gốc tọa độ Kết luận: m Ví dụ Cho hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y  2m  0,  d  :   m  x  my  4m  0  d1  ,  d  a) Tìm điểm cố định mà ln qua b) P 0;4  d Tìm m để khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng   lớn c) Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm I Tìm quỹ tích điểm I m thay đổi d) d , d Tìm giá trị lớn diện tích tam giác IAB với A, B điểm cố định mà     qua Lời giải: a) thẳng Ta viết lại  d1  qua điểm cố định: b) B   1;3  A  1;1 y 0 Từ dễ dàng suy đường  d2  :   m  x  my  4m  0  m  y  Tương tự viết lại cố định:  d1  : mx   m  1 y  2m  0  m  x  y   1  x     x 0 suy  d  qua điểm Để ý đường thẳng  d1  qua điểm cố định: A  1;1 Gọi H hình chiếu vng góc P lên  d1  khoảng cách từ A đến  d1  PH PA Suy khoảng cách lớn PA P H  PH   d1  P 0;4  , A  1;1 Gọi y ax  b phương trình đường thẳng qua   a.0  b 4   Ta có hệ:  a.1  b 1 b 4  a  suy phương trình đường thẳng PA : y  3x  File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Xét đường thẳng Khi m 1 c)  d1  : mx   m  1 y  2m  0 Nếu m 1  d1  : x  0 không thỏa mãn điều kiện m 2m  m x  3   m   d  PA   1 m m  Điều kiện để  m  d1  : y  d : y  0 d : x  0 Nếu m 0     suy hai đường thẳng vuông góc với cắt I   1;1 d : x  0 d : y  0 Nếu m 1     suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt viết lại: I  1;3 Nếu m  0;1 ta m 2m  m 4m  x x  d2  : y  1 m m  m m  d1  : y   m  m  1     d  d Ta thấy   m   m  nên     Do hai đường thẳng cắt điểm I d , d Tóm lại với giá trị m hai đường thẳng     ln d , d vng góc cắt điểm I Mặt khác theo câu a) ta có     qua hai điểm cố định A, B suy tam giác IAB vuông A Nên I nằm đường trịn đường kính AB d) Ta có AB     1 2    1 2 Dựng IH  AB 1 AB AB SIAB  IH AB  IK AB  AB  2 2 2 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác IAB IH  IK Hay tam giác vuông IAB vuông cân I Dạng Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Ta có kết quan trọng sau: - Xét hàm số y  f  x  ax  b với m  x n GTLN, GTNN hàm số đạt x m x n Nói cách khác: f  x  min  f  m  ; f  n    m x n Như để tìm GTLN, GTNN hàm số f  m ; f  n y  f  x  ax  b max f  x  max  f  m  ; f  n    m x n với m  x n ta cần tính giá trị biên so sánh hai giá trị để tìm GTLN, GTNN File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ - Cũng từ tính chất ta suy ra: Nếu hàm số bậc f  x  0 y  f  x  ax  b có f  m  , f  n  0 với giá trị x thỏa mãn điều kiện: m  x n Ví dụ x  y  z    xy  yz  zx  4 Cho số thực  x, y, z 2 Chứng minh rằng:  Lời giải: Ta coi y, z tham số, x ẩn số bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau:  f   0  f   0 f  x    y  z  x   y  z   yz  0 f  x  0 Để chứng minh ta cần chứng minh:  Thật ta có: + f   2  y  z   yz   y     z  0 + f   2   y  z    y  z   yz   yz 0 với y, z thỏa mãn:  y, z 2 với y, z thỏa mãn:  y, z 2 Từ ta suy điều phải chứng minh: Dấu xảy  x; y; z   0;2;  hoán vị số Ví dụ Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện: x  y  z 1 Tìm GTLN biểu thức: P  xy  yz  zx  xyz Lời giải: 2 xyz  x  y    z  z min  x, y, z   z    xy  3 Ta có: 4 Khơng tính tổng qt ta giả sử P  xy   x    x  y  z  xy   z   z   z  f  xy   xy   z   z   z  Ta coi hàm số bậc xy với Để ý rằng:  z  suy hàm số z tham 1  z   xy  f  xy   xy   z   z   z  số xy ẩn số ln đồng biến Từ suy ra:  1  z    z   z  2z   2z3  z     z  z      z    z    f  xy   f     z            4 27  108  27  3   27   Dấu xảy x  y z  Ví dụ File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Cho số thực a , b, c dương  a  b  c    a  b3  c  1 thỏa mãn điều a  b  c 1 kiện: Chứng minh rằng: Lời giải: Khơng tính tổng qt giả sử: a min  a, b, c suy a Bất đẳng thức tương đương với:  a   b  c   2bc  6  a   b  c   3bc  b  c        2   a    a   2bc  6  a    a   3bc   a      9a   bc   2a  1 0     2  b  c   1 a   t         Ta cần chứng minh: f  t   9a   t   2a  1 0 với Đặt t bc    a 2  t   0;        Do 9a   suy hàm f  t số nghịch biến Suy    a 2  f  t  f    a  3a  1 0   a b c       Đẳng thức xảy CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số y ax  a 0  Hàm số xác định với số thực x Tính chất biến thiên: - Nếu a  hàm số đồng biến x  , nghịch biến x  - Nếu a  hàm đồng biến x  , nghịch biến x  Đồ thị hàm số đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a  parabol có bề lõm quay lên trên, a  parabol có bề lõm quay xuống B PHÂN DẠNG, PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐẠI SỐ Dạng Một số tốn mở đầu hàm số bậc hai Ví dụ y  f  x  ax a) Hãy xác định hàm số b) Vẽ đồ thị hàm số cho c) Tìm điểm Parabol có tung độ 16 d) B m; m3 Tìm m cho thuộc parabol e) Tìm điểm parabol (khác gốc tọa độ) cách hai trục tọa độ  A  2;4  D   1;1 biết đồ thị qua điểm  Lời giải: A   P   a.22  a 1 a) Ta có: b) Đồ thị parabol có đỉnh gốc tọa độ có trục đối xứng Oy M  1;1 , N   1;;1 , E  3;9  , F   3;9  O  0;0  bề lõm quay lên qua điểm c) P Gọi C điểm thuộc   có tung độ 16 Ta có: yC 16  xC2 16  xC 4 Vậy C  4;16  C   4;16  d) Thay tọa độ điểm B  P vào m3 m  m  m 0  m  m  1 0  m 0 e) ta được: m 1 P Gọi D điểm thuộc   cách hai trục tọa độ Ta có: d  D; Ox   yD  xD2 ; d  D; Oy   xD Theo giả thiết ta có: xD2  xD  xD 0 (loại) xD 1 Vậy D  1;1 Ví dụ Một xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m (Bỏ qua độ dày cổng) a) P : y ax Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol   với a  hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a  b) Hỏi xe tải có qua cổng khơng? Tại sao? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016) Lời giải: File word: Zalo_0946 513 000 File word: Zalo_0946 513 000