Đs9 chuyên đề 2 hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai (94 trang)

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC HAI PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I HÀM SỐ BẬC NHẤT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: - Hàm số bậc hàm số cho công thức y ax  b a b số thực cho trước a 0 - Khi b 0 hàm số bậc trở thành hàm số y ax , biểu thị tương quan tỉ lệ thuận y x Tính chất: a) Hàm số bậc nhất, xác định với giá trị x   b) Trên tập số thực, hàm số y ax  b đồng biến a  nghịch biến a  Đồ thị hàm số y ax  b với a 0 : - Đồ thị hàm số y ax  b đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  b a - a gọi hệ số góc đường thẳng y ax  b Cách vẽ đồ thị hàm số y ax  b : - Vẽ hai điểm phân biệt đồ thị vẽ đường thẳng qua điểm -  b  Thường vẽ đường thẳng qua điểm đồ thị với trục tọa độ A   ;0  , B  0; b   a  - Chú ý: Đường thẳng qua M  m;0  song song với trục tung có phương trình: x  m 0 , đường thẳng qua N  0; n  song song với trục hồnh có phương trình: y  n 0 Kiến thức bổ sung: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A  x1; y1  , B  x2 ; y2  AB  Điểm M  x; y  trung điểm AB x   x2  x1  x1  x2 y  y2 ;y 2 Điều kiện để hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc: Cho hai đường thẳng  d1  : y ax  b đường thẳng  d  : y a ' x  b ' với a, a ' 0   d1  / /  d   a a ' b b '   d1   d   a a ' b b '   d1    d1    d   a.a '  cắt  d   a a '   y2  y1  Chú ý: Gọi  góc tạo đường thẳng y ax  b trục Ox , a  tan  a II MỘT SỐ BÀI TOÁN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Ví dụ 2 Cho đường thẳng  d1  : y  x  đường thẳng  d  : y  2m  m  x  m  m a) Tìm m để  d1  / /  d  b) Gọi A điểm thuộc đường thẳng  d1  có hồnh độ x 2 Viết phương trình đường thẳng  d3  qua A vng góc với  d1  c) Khi  d1  / /  d  Hãy tính khoảng cách hai đường thẳng  d1  ,  d  d) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng  d1  tính diện tích tam giác OMN với M , N giao điểm  d1  với trục tọa độ Ox, Oy Lời giải: a) Đường thẳng  d1  / /  d  Vậy với m  b)  2m  m 1    m  m 2  m  1  2m  1 0  m    m  1  m   0  d1  / /  d  Vì A điểm thuộc đường thẳng  d1  có hồnh độ x 2 suy tung độ điểm A y 2  4  A  2;4  Đường thẳng  d1  có hệ số góc a 1 , đường thẳng  d  có hệ số góc a '  a '.1   a '  Đường thẳng  d3  có dạng y  x  b Vì  d3  qua A  2;4  suy   b  b 6 Vậy đường thẳng  d3  y  x  c)  d2  Khi  d1  / /  d  khoảng cách hai đường thẳng  d1  khoảng cách hai điểm A, B thuộc  d1   d  cho AB   d1  , AB   d  Hình vẽ: Gọi B giao điểm đường thẳng  d3   d  Phương trình hồnh  x  x  độ giao điểm  d2  25 23  25 23   x   y   B ;  8  8   d3  là: 2  25   23  Vậy độ dài đoạn thẳng AB là: AB    2    4      d) Gọi M , N giao điểm đường thẳng  d1  với trục tọa độ Ox, Oy Ta có: y 0  x   A   2;0  , Cho cho y 0  x   N   2;0  Từ suy OM ON 2  MN 2 Tam giác OMN vuông cân O Gọi H hình chiếu vng góc 1 O lên MN ta có OH  MN  SOMN  OM ON 2 (đvdt) 2 Chú ý: Nếu tam giác OMN khơng vng cân O ta tính OH theo cách: Trong tam giác vng OMN ta có: 1    * Từ 2 OH OM ON để khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  d  ta làm theo cách: - Tìm giao điểm M , N  d  với trục tọa độ - Áp dụng cơng thức tính đường cao từ đỉnh góc vng tam giác vng OMN (cơng thức (*)) để tính đoạn OH Bằng cách làm tương tự ta chứng minh cơng thức sau: Cho M  x0 ; y0  đường thẳng ax  by  c 0 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là: d  ax0  by0  c a2  b2 Ví dụ Cho đường thẳng: mx    3m  y  m  0  d  a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d  ln qua b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d  lớn c) Tìm m để đường thẳng  d  cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân Lời giải: a) Gọi I  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng  d  ln qua với m ta có:  x0  y0  0 mx0    3m  y0  m  0, m  m  x0  y0  1  y0  0, m   2 y0  0   x0  1 1  I ;  Hay   2  y 1  Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng  d  Ta có: OH OI suy OH lớn b) OI H I  OI   d  Đường thẳng qua O có phương trình: y ax 1 1 1 I  ;   OI  a  a 1  OI : y  x 2  2 Đường thẳng  d  viết lại sau: mx    3m  y  m  0    3m  y  mx   m Để ý với m  - O đến  d  Nếu m  - đường thẳng  d  : x  0 song song với trục Oy nên khoảng cách từ 2 m m x đường thẳng  d  viết lại: y  Điều kiện để  d   OI 3m  3m  2 m 1 1    m 2  3m  m  Khi khoảng cách: OI        3m  2  2  2 Vậy m  c) giá trị cần tìm Ta giải tốn theo hai cách sau: Cách 1: Dễ thấy m  d 2 không thỏa mãn điều kiện (do  d  không cắt Oy ) Xét m  , đường thẳng 3 cắt Ox, Oy điểm A, B tạo thành tam giác cân OAB Do góc AOB 900  OAB vuông cân O Suy hệ số góc đường thẳng  d  phải -1 đường thẳng  d  không qua gốc O  m  3m  1    m   3m   m 1  Ta thấy có giá trị m  thỏa mãn điều kiện toán m   2 Cách 2: Dễ thấy m  , m 0 không thỏa mãn điều kiện m m  2 x Xét m  0;  , đường thẳng  d  viết lại: y  3m  3m   3 Đường thẳng d cắt Ox trục điểm A có tung độ m m 1 m 1 m  1 m  x 0  x   A ;0   OA  , đường thẳng 3m  3m  m m  m  điểm có hoành độ nên y  d nên cắt trục Oy m m  m   B  0; Điều kiện để tam giác   OB  3m  3m   3m    m 1  m 1 1 m m      OAB cân OA OB  Giá trị m 1 không thỏa mãn,  m 1 m  m  m 3m    đường thẳng  d  qua gốc tọa độ Kết luận: m  Ví dụ Cho hai đường thẳng  d1  : mx   m  1 y  2m  0,  d  :   m  x  my  4m  0 a) Tìm điểm cố định mà  d1  ,  d  qua b) Tìm m để khoảng cách từ điểm P  0;4  đến đường thẳng  d1  lớn c) Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm I Tìm quỹ tích điểm I m thay đổi d) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác IAB với A, B điểm cố định mà  d1  ,  d  qua Lời giải: a) Ta viết lại  d1  : mx   m  1 y  2m  0  m  x  y   1  y 0 Từ dễ dàng suy đường thẳng  d1  qua điểm cố định: A  1;1 Tương tự viết lại  d  :   m  x  my  4m  0  m  y  x     x 0 suy  d  qua điểm cố định: B   1;3 b) Để ý đường thẳng  d1  qua điểm cố định: A  1;1 Gọi H hình chiếu vng góc P lên  d1  khoảng cách từ A đến  d1  PH PA Suy khoảng cách lớn PA P  H  PH   d1  Gọi y ax  b phương trình đường thẳng qua P  0;4  , A  1;1  a.0  b 4  Ta có hệ:   a.1  b 1 b 4 suy phương trình đường thẳng PA : y  x    a  Xét đường thẳng  d1  : mx   m  1 y  2m  0 Nếu m 1  d1  : x  0 không thỏa mãn điều m 2m  m x kiện Khi m 1  d1  : y  Điều kiện để  d1   PA   3   m  1 m m 1 m c) Nếu m 0  d1  : y  0  d  : x  0 suy hai đường thẳng vng góc với cắt I   1;1 Nếu m 1  d1  : x  0  d  : y  0 suy hai đường thẳng ln vng góc với cắt I  1;3 Nếu m  0;1 ta viết lại: m 2m  m 4m  x x  d  : y  Ta thấy 1 m m m m  d1  : y   m  m  1     nên  d1    d   1 m  m  Do hai đường thẳng ln cắt điểm I Tóm lại với giá trị m hai đường thẳng  d1  ,  d  ln vng góc cắt điểm I Mặt khác theo câu a) ta có  d1  ,  d  qua hai điểm cố định A, B suy tam giác IAB vuông A Nên I nằm đường trịn đường kính AB d) Ta có AB     1 2    1 2 Dựng IH  AB 1 AB AB SIAB  IH AB  IK AB  AB  2 Vậy giá trị lớn diện tích tam giác IAB 2 2 IH IK Hay tam giác vuông IAB vuông cân I Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN Ta có kết quan trọng sau: - Xét hàm số y  f  x  ax  b với m  x n GTLN, GTNN hàm số đạt x m x n Nói cách khác: f  x  min  f  m  ; f  n   max f  x  max  f  m  ; f  n   m x n m x n Như để tìm GTLN, GTNN hàm số y  f  x  ax  b với m  x n ta cần tính giá trị biên f  m  ; f  n  so sánh hai giá trị để tìm GTLN, GTNN - Cũng từ tính chất ta suy ra: Nếu hàm số bậc y  f  x  ax  b có f  m  , f  n  0 f  x  0 với giá trị x thỏa mãn điều kiện: m  x n Ví dụ Cho số thực  x, y, z 2 Chứng minh rằng:  x  y  z    xy  yz  zx  4 Lời giải: Ta coi y, z tham số, x ẩn số bất đẳng thức cần chứng minh viết lại sau: f  x    y  z  x   y  z   yz  0 Để chứng minh f  x  0 ta cần chứng minh:  f   0 Thật ta có:   f   0 + f   2  y  z   yz   y     z  0 với y, z thỏa mãn:  y, z 2 + f   2   y  z    y  z   yz   yz 0 với y, z thỏa mãn:  y, z 2 Từ ta suy điều phải chứng minh: Dấu xảy  x; y; z   0;2;2  hoán vị số Ví dụ Cho số thực khơng âm x, y , z thỏa mãn điều kiện: x  y  z 1 Tìm GTLN biểu thức: P  xy  yz  zx  xyz Lời giải: Không  x  y  xy  tính tổng 1  z  quát ta giả sử z min  x, y , z   z  xyz  3 Ta có: P  xy   x    x  y  z  xy   z   z   z  Ta coi z tham số xy ẩn số f  xy   xy   z   z   z  hàm số bậc xy với  xy    z  Để ý rằng:  z  suy hàm số f  xy   xy   z   z   z  ln đồng biến Từ suy ra: 2  1  z  1 z   z3  z    1 1  1 f  xy   f   z   2z     z  z    z  z     z     4 27  108  27  3   27   Dấu xảy x  y  z  Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:  a  b2  c    a  b3  c3  1 Lời giải: a  b  c 1 Chứng minh rằng: Khơng tính tổng qt giả sử: a min  a, b, c suy a  Bất đẳng thức tương đương với: 3  a   b  c   2bc  6  a   b  c   3bc  b  c          a    a   2bc  6  a    a   3bc   a      9a   bc   2a  1 0     2  b  c   1 a  Đặt t bc  t     Ta cần chứng minh: f  t   9a   t   2a  1 0 với        a 2  t   0;        Do 9a   suy hàm số f  t nghịch biến Suy    a 2  f t  f   a 3a  1 0 Đẳng thức xảy a b c         III HÀM SỐ BẬC HAI KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y ax  a 0  Hàm số xác định với số thực x Tính chất biến thiên: - Nếu a  hàm số đồng biến x  , nghịch biến x  - Nếu a  hàm đồng biến x  , nghịch biến x  Đồ thị hàm số đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng Khi a  parabol có bề lõm quay lên trên, a  parabol có bề lõm quay xuống Ví dụ a) Hãy xác định hàm số y  f  x  ax biết đồ thị qua điểm A  2;4  b) Vẽ đồ thị hàm số cho c) Tìm điểm Parabol có tung độ 16 d) Tìm m cho B  m; m  thuộc parabol e) Tìm điểm parabol (khác gốc tọa độ) cách hai trục tọa độ Lời giải: a) Ta có: A   P   a.2  a 1 b) Đồ thị parabol có đỉnh gốc tọa độ O  0;0  bề lõm quay lên có trục đối xứng Oy qua điểm M  1;1 , N   1;;1 , E  3;9  , F   3;9  c) Gọi C điểm thuộc  P  có tung độ 16 Ta có: yC 16  xC 16  xC 4 Vậy C  4;16  C   4;16  d) Thay tọa độ điểm B vào  P ta được: m3 m  m3  m 0  m  m  1 0  m 0 m 1 e) Gọi D điểm thuộc  P  cách hai trục tọa độ Ta có: d  D; Ox   yD  xD2 ; d  D; Oy   xD Theo giả thiết ta có: xD  xD  xD 0 (loại) xD 1 Vậy D  1;1 D   1;1 Ví dụ Một xe tải có chiều rộng 2, 4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng tới chân cổng 5m (Bỏ qua độ dày cổng) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi parabol  P  : y ax với a  hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a  b) Hỏi xe tải có qua cổng khơng? Tại sao? (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 – Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội 2015-2016) Lời giải: a) Giả sử mặt phẳng tọa độ, độ dài đoạn thẳng tính theo đơn vị mét Do khoảng cách hai chân cổng 4m nên MA  NA 2m Theo giả thiết ta có OM ON 2 , áp dụng định lý Pitago ta tính được: OA 4 M  2;   , N   2;   Do M  2;   thuộc parabol nên tọa độ điểm M  a.22  a  b) thỏa mãn phương trình:  P  : y ax hay  P  : y  x Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải vào cổng Xét đường thẳng  d  : y  (ứng với chiều cao xe) Đường thẳng cắt Parabol điểm có  3   y  x x  ; y  x      2 tọa độ thỏa mãn hệ:  suy tọa độ hai giao điểm là:    y   y   x  ; y     2  3 3 3 T   ;   , H  ;    HT 3  2, 2 2    Vậy xe tải qua cổng Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y  điểm F  0;1 Tìm tất điểm I cho khoảng cách từ I đến d IF Lời giải: Giả sử điểm I  x; y  Khi khoảng cách từ I đến d y  IF  x   y  1 Như  y  1 2  x   y  1 Từ suy y  x Do tập hợp tất điểm I cho khoảng cách từ I đến d IF đường Parabol  P1  : y  x Ví dụ a) Xác định điểm M thuộc parabol  P  : y  x cho độ dài đoạn IM nhỏ nhất, I  0;1 b) Giả sử điểm A chạy parabol  P  : y  x Tìm tập hợp trung điểm J đoạn OA Lời giải: