Đs9 cđ4 hàm số bậc nhất 1

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT A Lý thuyết y ax + b 1) Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc hàm số cho công thức = Trong a, b số cho trước a ≠ *) Chú ý: Hệ số b khác 2) Tính chất +) Tập xác định: R +) Chiều biến thiên - Với a > hàm số đồng biến R - Với a < hàm số nghịch biến R 3) Đồ thị hàm số y =ax + b ( a ≠ ) + Đồ thị hàm số y =ax + b ( a ≠ ) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b - Song song với đường thẳng y = ax b ≠ , trùng với đường thẳng y = ax b = + Cách vẽ đồ thị hàm số y =ax + b ( a ≠ ) - Cho x = ⇒ y = b ta điểm A ( 0; b ) thuộc trục tung Oy - Cho y = ⇒ x = −b −b ta điểm B  ;0  thuộc trục hoành Ox a  a  y ax + b - Vẽ đường thẳng qua hai điểm A B ta đồ thị hàm số = 4) Hệ số góc, tung độ gốc đường thẳng y =ax + b ( a ≠ ) y y y ax + b trục hồnh Ox + Góc α tạo đường thẳng = (d') góc tạo tia Ax tia AT Trong A giao điểm (d) T y ax + b với trục hoành, T điểm đường thẳng = T y ax + b có tung độ dương thuộc đường thẳng = O x O x A A + Hệ số a gọi hệ số góc đường thẳng = y ax + b a = tanα , với α góc tạo đường thẳng = y ax + b với trục hồnh Ox *) Tính chất - Nếu α góc nhọn ⇒ a > hàm số đồng biến - Nếu α góc tù ⇒ a < hàm số nghịch biến y ax + b + Hệ số b gọi tung độ gốc đường thẳng = 5) Chú ý + Do đồ thị hàm số bậc đường thẳng, nên ta viết hàm số bậc theo phương trình đường thẳng có dạng Ax + By + C = ⇔ y = −A C x − ( B ≠ 0) B B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 y ax + b + Với hàm số = - Nếu a = ⇒ y = b ( b ≠ ) hàm có đồ thị đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b song song với trục hoành - Nếu a ≠ 0, b ≠ ta có hàm số bậc y = ax, có đồ thị đường thẳng qua gốc tọa độ 6) Vị trí tương đối hai đường thẳng a1 x + b1 ;(d ) : y = a2 x + b2 (a1 , a2 ≠ 0) Khi Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = a1 = a2 b = b ' 1) d1 ≡ d ⇔  a1 = a2 b ≠ b ' 2) d1 / / d ⇔  3) d1 cắt d ⇔ a1 ≠ a2 - Khi d1 cắt d , tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình a1 x + b= a2 x + b a1 ≠ a2 b = b ' +) d1 cắt d điểm trục tung ⇔  a1 ≠ a2 +) d1 cắt d điểm trục hoành ⇔  b1 b2 a = a  −1 +) d1 ⊥ d ⇔ a1.a2 = 7) Một số phương trình đường thẳng + Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k y = k ( x − x0 ) + y0 + Đường thẳng qua điểm A ( x0 ;0 ) điểm B ( 0; y0 ) x y + = 1( x0 ≠ 0; y0 ≠ ) x0 y0 B Các dạng toán Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc Cách giải: - Hàm số bậc hàm số có dạng y =ax + b ( a ≠ ) - Chú ý: Các hàm số y = f ( x ) xác định với x ∈ R sau phép biến đổi tương đương mà y ax + b hàm số y = f ( x ) hàm số bậc hàm số đưa dạng = Bài 1: Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? Xác định hệ số a, b hàm số a) y= +3 x b) y = x − x ( x + ) − Lời giải c) y = x2 −1 x +1 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + khơng phải hàm số bậc hàm số dạng phân thức mẫu thức chứa ẩn x −2; b = −3 b) y =x − x ( x + ) − ⇔ y =−2 x − hàm số bậc có hệ số a = a) y= c) y = x2 −1 hàm số bậc hàm số dạng phân thức mẫu thức chứa ẩn x +1 Bài 2: Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? Xác định hệ số a, b hàm số a) y = ( − ) x + x y 2x + b) = c) = y x+9 Lời giải a) y= ( ) 3−2 x+ 1 3 x   ⇔ y=  − +  = x  −  x hàm số bậc có hệ số a = − ; b =0 2 2 2   y x + hàm số bậc có hệ số y = x + = 2; b = b) = c) = y x + hàm số bậc có hệ số = a = ;b Bài 3: Trong hàm số sau, hàm số hàm số bậc nhất? Xác định hệ số a, b hàm số a) = y 3x + d) y= +3 x −1 x b) y = − x c) y = e) y = ( x + 3) − x f) y= ( x − 1) − 3x Lời giải a) = a 3,= b y x + hàm số bậc có hệ số= b) y = − x hàm số bậc có hệ số a = − 2, b = −1 −1 x hàm số bậc có hệ số a = 2 d) y= + không hàm số bậc mẫu thức chứa biến x −2, b = e) y = ( x + 3) − x ⇔ y = −2 x + hàm số bậc có hệ số a = c) y = f) y = ( x − 1) − x ⇔ y = −3 không hàm số bậc nhất, hàm GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số Cách giải: Để vẽ đồ thị hàm số y =ax + b ( a ≠ ) ta cần xác định −b −b - Giao điểm B  ;0  đồ thị với Ox (cho y = ⇒ x = ) a  a  - Giao điểm A ( 0; b ) đồ thị với Oy (cho x = ⇒ y = b ) y ax + b Khi đường thẳng nối AB đồ thị hàm số = *) Chú ý: Nếu điểm A B có tọa độ khơng ngun, ta nên chọn điểm khác có tọa độ nguyên dễ xác định việc vẽ đồ thị xác Đối với hàm số có chưa dấu giá trị tuyệt đối, ta xét dấu giá trị tuyệt đối đưa hàm số dạng = y ax + b, ứng với miền giá trị x Vẽ đồ thị hàm số sau Bài 1: y 2x + a) = y b)= y 2x + a) Xét hàm số = Với x = ⇒ y = , ta có điểm A ( 0; ) −3 x −1 Lời giải Với y =0 ⇒ x =−2 , ta có điểm B ( −2;0 ) Ta có đồ thị hàm số hình vẽ sau y b) Xét hàm số= −3 x −1 Với x =0 ⇒ y =−1 , ta có điểm C ( 0; −1) Với x =−2 ⇒ y =2 , ta có điểm D ( −2; ) Ta có đồ thị hàm số hình vẽ sau Vẽ đồ thị hàm số sau a) y= x − Bài 2: b) y = x + + x −1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải  x − 1, ( x ≥ 1)(1) a) Ta có y = x − =  − x + 1, ( x ≤ 1)( ) Đồ thị hàm số hai tia AB AC C A (1;0 ) ; B ( 2;1) ; C ( 0;1) -2 *) Chú ý: Tia AB phần đồ thị (1) ứng với x ≥ Tia AC phần đồ thị (2) ứng với x ≤ b) Ta có bảng xét dấu sau x x +1 + + + x −1 A -1 y N M  −3  x, x ≤  1 Do y = x + + x − =  x + 2, −1 ≤ x ≤ 2 2 3  x, x ≥  B B A -2 -1 O x Đồ thị gồm đoạn thẳng AB , tia AM tia BN , 3  A  −1;  ; M ( −2;3) ; B ( 2;3) ; N ( 4;6 ) 2  Vẽ đồ thị hàm số sau Bài 3: −1 x+3 d) y = x − + x + y 2x −1 a) = y b)= c) = y 2x +1 Lời giải y x − có đồ thị đường thẳng cắt trục Oy điểm A ( 0; −1) qua điểm B (1;1) a) Hàm số = y b) Hàm số= điểm D ( 6;0 ) −1 x + có đồ thị đường thẳng cắt trục Oy điểm C ( 0;3) , cắt trục Ox GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  −1    x + 1 x ≥    c) Hàm số y = x + =  −2 x − 1 x ≤ −1       Đồ thị hàm số gồm tia Et tia Et '  3 x + 1( x ≥ )   −3 d) Hàm số y = x − + x + =−3x − 1 x ≤       −3  ≤ x ≤ 2 x + 5    Đồ thị hàm số gồm tia Nt , tia Mt ' đoạn MN Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số sau = y x2 x+ x Lời giải 1 x + 3( x > 0) x  x2 Ta có y = x + = x+ = x x  x − 3( x < 0)  Đồ thị hàm số gồm tia MP (trừ điểm M ( 0; −3) ) tia NQ (trừ điểm N ( 0; −3) ) với P ( 2; ) Q ( −2; −4 ) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số sau y = Điều kiện x ≠ −2; x ≠ Ta có y = x + 2x − x − x2 + x − Lời giải x + x − x − ( x − 1)( x + 1)( x + ) = ⇒ y = x +1 x2 + x − ( x + )( x − 1) Đồ thị hàm số đường thẳng PQ trừ hai điểm P ( −2; −1) Q (1; ) Dạng 3: Xác định tính đồng biến, nghịch biến hàm số Cách giải: hàm số bậc y =ax + b ( a ≠ ) - Đồng biến (tạo với trục hồnh góc nhọn) a > - Nghịch biến (tạo với trục hoành góc tù) a < Bài 1: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến y 2x −1 −3 x + a) = b) y = c)= y ( ) = y d) 3− x −1 x +1 Lời giải y x − có a = > ⇒ hàm số đồng biến a) = −3 x + có a =−3 < ⇒ hàm số nghịch biến b) y = c)= y = y d) ( ) − x có a = − > ⇒ hàm số đồng biến −1 −1 x + có a= < ⇒ hàm số nghịch biến 2 Bài 2: Cho hàm số y = ( m − 1) x + m Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến Hàm số đồng biến ⇔ m − > ⇔ m > Hàm số nghịch biến ⇔ m − < ⇔ m < Lời giải GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Tìm m để hàm số a) y = ( m − 1) x + 3m + có hướng xuống = b) y Zalo: 0382254027 Bài 3: 2m + + tạo với trục Ox góc nhọn m−2 Lời giải a) Hàm số y = ( m − 1) x + 3m + có hướng xuống ⇔ hàm số nghịch biến ⇔ m − < ⇔ m < ⇔ −1 < m < 2m + 2m + = + tạo với trục Ox góc nhọn ⇔ hàm số đồng biến ⇔ >0 b) y m−2 m−2 m > ⇔  m < −1  Dạng 4: Chứng minh hàm số hàm bậc nhất, tìm điều kiện tham số để hàm số hàm số bậc Cách giải: - Biến đổi đưa hàm số dạng y = ax + b ( a ≠ ) ⇒ toán chứng minh *) Chú ý: - Nếu có hàm số= y h ( x ) ⇒ hàm số= y h ( x + a ) cách thay vị trí x ( x + a ) y ax + b hàm bậc ⇔ a ≠ - Điều kiện để hàm số = - Ngoài điều kiện a ≠ 0, cần có điều kiện để hệ số a, b có nghĩa Bài 1: Cho hàm số f ( x ) =mx − ( m ≠ ) g ( x ) = ( m + 1) x + Chứng minh a) Hàm số = y f ( x ) + g ( x ) hàm số bậc đồng biến b) Hàm số = y f ( x ) − g ( x ) hàm số bậc nghịch biến Lời giải y ax + b với a) Ta có y = f ( x ) + g ( x ) = mx − + ( m + 1) x + = ( m + m + 1) x + ln có dạng = 1  a= m + m + 1=  m +  + > 0, ∀m 2  Vậy hàm số = y f ( x ) + g ( x ) hàm số bậc đồng biến GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 y ax + b với b) Ta có y = f ( x) − g ( x) = mx − − ( m + 1) x − = − ( m − m + 1) x − ln có dạng = 1  a= − ( m − m + 1) = −  m −  − < 0, ∀m 2  Vậy hàm số = y f ( x ) − g ( x ) hàm số bậc nghịch biến Bài 2: Cho hàm số f (= x ) x + Chứng minh y= f ( x + 1) − f ( x ) hàm số bậc Lời giải Ta có f ( x )= 3x + ⇒ f ( x + 1)= ( x + 1) + 1= 3x + x + y = f ( x + 1) − f ( x ) = x + x + − x − 1= x + y ax + b với a = ≠ ⇒ hàm số y= f ( x + 1) − f ( x ) hàm bậc Hàm số y có dạng = Bài 3: Cho hàm số y = f ( x ) Biết f ( x − 1) = 3x − Chứng minh hàm số y = f ( x ) hàm số bậc Lời giải y ax + b với a= ≠ f ( x − 1) = x − = ( x − 1) − ⇒ f ( x ) = x − ⇒ y = f ( x ) có dạng = Vậy hàm số y = f ( x ) hàm số bậc Bài 4: Xác định k để hàm số = y k ( x − 3) + ( k + 1) ( x + ) hàm số bậc 2 Lời giải Ta có y = k ( x − 3) + ( k + 1) ( x + ) = kx − 6k x + 9k + ( k + 1) x + ( k + 1) x + ( k + 1) = ( 2k + 1) x + ( − 2k ) x + 13k + k =  − 2k =  Để hàm số cho hàm số bậc  ⇔ −1  2k + ≠ k ≠ Bài 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số sau hàm số bậc a) y = ( m − ) x + 2m + c)= y b) y = m−2 x − 2m + m+3 Lời giải a) Hàm số hàm số bậc m − ≠ ⇔ m ≠ m + 1x + m −1 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 m + > m > −1 ⇔  m ≠ m − ≠ b) Hàm số hàm số bậc  *) Chú ý: Ngoài việc tìm điều kiện để hàm số hàm số bậc giá trị cảu m phải thỏa mãn hàm số có nghĩa  m − >  m >   m > m−2 m + > m > −3  c) Hàm số hàm số bậc >0⇔ ⇔ ⇔  m − <  m < m+3  m < −3    m + <  m < −3 Bài 6: Tìm điều kiện a b để hàm số sau hàm số bậc y = ( a − ) x + ( b − 2a )( b + 3a ) x − Lời giải a − = a = ±3 ⇔ ( b − 2a )( b + 3a ) ≠ (*) ( b − 2a )( b + 3a ) ≠ Hàm số hàm số bậc  b ≠ b ≠ −9 Trường hợp 1: a = 3, thay vào (*) ta ( b − )( b + ) ≠ ⇒  b ≠ −6 b ≠ Trường hợp 2: a = −3, thay vào (*) ta ( b + )( b − ) ≠ ⇒  Cho hàm số y = f ( x ) = x + − ( x − 1) Bài 7: a) Chứng tỏ hàm số hàm số bậc nhất, đồng biến b) Tìm x để f ( x ) = Lời giải a) Ta có = y f (= x ) x + − ( x − 1) ⇔= y f (= x ) (5 − 2 ) x + + hàm số xác định với giá trị x ∈ R có dạng y = ax + b ( a = − 2 > 0) Vậy hàm số hàm số bậc nhất, đồng biến b) Ta có f ( x ) =0 ⇔ ( − 2 ) x + + =0 ⇔ ( − 2 ) x =−2 − ⇔ x = Vậy với x = −2 − 5−2 −2 − f ( x ) = 5−2 Bài 8: y x − Chứng tỏ f ( x − 1) − f ( x ) hàm số bậc Cho hàm số= Lời giải 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 - Tìm giao điểm ( x01 ;0 ) d1 với trục hồnh, tìm giao điểm ( x02 ;0 ) d với trục hoành x02 - Hai đường thẳng cắt điểm nằm trục hoành Ox ⇔ x01 = Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = x + m − ( d ) : y = 3x + m − Tìm m để đường thẳng d1 d cắt điểm bên trục hoành Lời giải Vì ≠ với m , nên ( d1 ) ( d ) cắt với m ( d1 ) : y =  1− m  x + m − cắt trục Ox điểm  ;0     − m2  ;0  ( d ) : y = 3x + m − cắt trục Ox điểm    Để hai đường thẳng cắt điểm nằm trục hoành m = 1 − m − m2 1+ m  ⇔ = ⇔ (1 − m )  −  = ⇔ (1 − m )( 2m − 1) = ⇔  m = 3 2   Vậy m = m = thỏa mãn toán Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y =( m + 1) x − ( d ) : = y 2x − m Tìm m để đường thẳng d1 d cắt điểm nằm trục hoành Điều kiện d1 cắt d ⇔ m + ≠ ⇔ m ≠ ( d1 ) : y =( m + 1) x − cắt trục hoành điểm Lời giải   ;0  với m ≠ −1   m +1  m  x − m cắt trục hoành điểm  ;0  với m ≠ −1 2  m = ⇔ m + m − = ⇔ m = m = −3 (thỏa d1 cắt d điểm trục hoành ⇔ m +1 y ( d2 ) : = mãn điều kiện m ≠ ±1 ) Dạng 9.4: Hai đường thẳng cắt điểm trục hoành Oy Cách giải: Xét hai đường thẳng y1 = a1 x + b ( d1 ) ; y2 = a2 x + b ( d ) 25 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 - Điều kiện để hai đường thẳng cắt a1 ≠ a2 b2 - Hai đường thẳng cắt điểm nằm trục hoành Oy ⇔ b1 = Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = x + m − ( d ) : y = x + 2m − Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm thuộc Oy Lời giải Vì a1 =1 ≠ a2 =2 nên hai đường thẳng cắt điểm Để hai đường thẳng cắt điểm nằm Oy ⇔ m − =2m − ⇔ m =−3 Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y= m x + m + ( d ) : y = x + 2m − Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm thuộc Oy Lời giải Hai đường thẳng cắt ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±2 (*) Để hai đường thẳng cắt điểm nằm Oy ⇔ m + 1= 2m − ⇔ m= (không thỏa mãn điều kiện *) Vậy không tồn giá trị m Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ( x + ) + 2m ( d ) : y = ( x − m ) + Tìm m để giao điểm d1 d thỏa mãn điều kiện sau: a) Nằm trục tung b) Nằm trục hoành c) Nằm bên trái trục tung d) Nằm phía trục hồnh e) Nằm góc phần tư thứ hai f) Nằm đường phân giác góc phần tư thứ Lời giải Ta có ( d1 ) : y = ( x + ) + 2m ⇔ ( d1 ) : y = 3x + 15 + 2m ( d2 ) : y = ( x − m ) + ⇔ ( d ) : y = x + − 2m a) d1 d cắt điểm nằm trục tung ⇔ 15 + 2m =− 2m ⇔ m = −3 b) Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d là: 3x + 15 + 2m =2 x + − 2m ⇔ x =−12 − 4m ⇒y= −10m − 21 Tọa độ giao điểm d1 d A ( −12 − 2m; −10m − 21) m ≠ −3  xA ≠ −12 − 4m ≠ −21  Điểm A nằm trục hoành ⇒  ⇔ ⇔ −21 ⇒ m = = 10 −10m − 21 A  y= m = 10 26 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 c) Giao điểm A nằm bên trái trục tung ⇒ xA < ⇔ −12 − 4m < ⇔ m > −3 −21 10 m > −3  xA < −12 − 4m <  e) Giao điểm A nằm góc phân tư thứ II ⇒  ⇔ ⇔ −21 −10m − 21 >  yA > m < 10 −21 ⇒ −3 < m < 10 f) Giao điểm A nằm đường phân giác góc phần tư thứ −3 ⇒ x A = y A ⇔ −12 − 4m = −10m − 21 ⇔ m = d) Giao điểm A nằm phía trục hồnh ⇒ y A > ⇔ −10m − 21 > ⇔ m < Dạng 9.5: Hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ (tung độ) h Cách giải: 27 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét hai đường thẳng y1 = a1 x + b ( d1 ) ; y2 = a2 x + b ( d ) *) Hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ h - Thay hoành độ x0 = h vào hai đường thẳng, tìm tung độ y0 - Thay tọa độ điểm ( x0 ; y0 ) vào đường thẳng cịn lại, giải phương trình ẩn m *) Hai đường thẳng cắt điểm có tung độ h - Thay tung độ y0 = h vào hai đường thẳng, tìm hồnh độ x0 - Thay tọa độ điểm ( x0 ; y0 ) vào đường thẳng cịn lại, giải phương trình ẩn m Bài 1: Tìm m để y = x + 3m − y = ( m − 1) x + m cắt điểm có hồnh độ x = Lời giải Hai đường thẳng cắt m − ≠ ⇔ m ≠ y 3m + Thay x = vào y = x + 3m − 1, ta = y 3m + vào y = ( m − 1) x + m , ta ( m − 1) + m =3m + ⇔ m =−2 Thay x = ;= Vậy m = −2 hai đường thẳng cắt điểm có hồnh độ Bài 2: Tìm m để y =x + 2m + y = ( m − 1) x + cắt điểm có tung độ Lời giải Hai đường thẳng cắt m − ≠ ⇔ m ≠ Thay y = vào y =x + 2m + ta được: x + 2m + =3 ⇔ x =1 − 2m m =  Thay y = x = − 2m vào y = ( m − 1) x + ta ( m − 1)(1 − 2m ) =⇔ m =  m 1;= m hai đường thẳng cắt điểm có tung độ Vậy = Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : x − my =2 − 4m ( d ) : mx + y = 3m + Chứng minh hai đường thẳng cắt điểm ( x0 ; y0 ) thỏa mãn đẳng thức x02 + y02 − ( x0 + y ) + 10 = Lời giải - Nếu m = 0, ta có ( d1 ) : x = ( d ) : y = cắt điểm A ( 2;1) , thay tọa độ điểm A ( 2;1) vào vế trái đẳng thức ta được: x02 + y02 − ( x0 + y ) + 10 = 22 + − ( + 1) + 10 = (thỏa mãn) :y Nếu m ≠ 0, ta có ( d1 )= + Vì 4m − x+ ( d ) : y = −mx + 3m + m m ≠ −m ⇒ ( d1 ) cắt ( d ) điểm ( x0 ; y0 ) , đó: x0 − my0 =− 4m (1) ; mx0 + y0 = 3m + 1( ) m 28 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Nhân hai vế (1) với x0 , ta được: x02 − mx0 y0 = ( − 4m ) x0 ( 3) + Nhân hai vế (2) với y0 , ta được: mx0 y0 + y02 = ( 3m + 1) y0 ( ) + Từ (1) ⇒ my0 = x0 − + 4m ( ) + Từ ( ) ⇒ mx0= 3m + − y0 ( ) + Cộng (3) (4) theo vế, ta được: x02 + y02 = ( − 4m ) x0 + ( 3m + 1) y0 ⇔ x02 + y02 = x0 − 4mx0 + 3my0 + y0 ( ) + Thay (5) (6) vào (7) ta x02 + y02= x0 − ( 3m + − y0 ) + ( x0 − + 4m ) + y0 ⇔ x02 + y02 = x0 + y0 − 10 ⇔ x02 + y02 − ( x0 + y0 ) + 10 = (đpcm) Vậy với m, hai đường thẳng cắt điểm ( x0 ; y0 ) thỏa mãn x02 + y02 − ( x0 + y ) + 10 = Bài 4: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : 3x − y = ( d ) : mx + y = 3m + Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm ( x0 ; y0 ) thỏa mãn đẳng thức x02 + y02 = 185 Lời giải Ta có ( d1 ) : 3x − y =1 ⇔ ( d1 ) : y =3x − ( d ) : mx + y = 3m + ⇔ ( d ) : y = −m 3m + x+ 2 −m ≠ ⇔ m ≠ −6 , gọi giao điểm ( d1 ) ( d ) ( x0 ; y0 ) Ta có x0 − y0 =1 ⇔ y0 =3 x0 − 1(1) ; mx0 + y0 =3m + ( ) Để ( d1 ) cắt ( d ) Thay (1) vào (20 ta mx0 + ( 3x0 − 1) = 3m + ⇔ x0 = 3m + 8m + ⇒ y0 = m+6 m+6 3m +   8m +  2  +  = 185 ⇔ 4m + 75m + 236 = ⇔ ( m + )( 4m + 59 ) =  m+6   m+6  Đẳng thức x02 + y02 = 185 ⇔  −59   ⇔ m ∈ −4;    −59  Vậy m ∈ −4;  giá trị cần tìm   Bài 5: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : x + y =m + ( d ) : x − y = m Tìm m để hai đường thẳng cắt điểm ( x; y ) cho P= 98 ( x + y ) + 4m đạt giá trị nhỏ Lời giải Ta có ( d1 ) : x + y = m + ⇔ ( d1 ) : y = m −1 m+3 x+ ( d ) : x − y = m ⇔ y = x − 3 2 29 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 −1 ≠ với m, nên hai đường thẳng cắt với m −1 m+3 m m+9 = x − ⇒ x= Phương trình hồnh độ giao điểm ( d1 ) ( d ) là: x + 2 3 18 − 5m ⇒ tung độ giao điểm y = 21  m +   18 − 5m   2 Ta có P =   +   + 4m = ( m + ) + (18 − 5m ) + m    21   Vì 27  572103  P= 18m + 324m + 1458 + 648 − 360m + 50m + 9m= 68m − 27 m + 2106=  68m −  + 272 68   2 Vì 2 27  572103 63567 63567 27  27    68m −  ≥ ⇒ P ≥ 272 ⇔ P ≥ 272 ⇒ Pmin = 272 ⇔  68m −  = ⇔ m = 136 68  68    (thỏa mãn) Dạng 10: Tìm tham số m để tọa độ giao điểm hai đường thẳng số nguyên Xác định điểm có tọa độ nguyên thỏa mãn điều kiện cho 30 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm x, y theo m Bước 3: Dùng tính chất chai hết để tìm m , đối chiếu với điều kiện kết luận Bài 1: y mx + y = x + m − Tìm giá trị nguyên m để d1 cắt d điểm M cho Tìm m để = tọa độ M số nguyên Lời giải Điều kiện để d1 cắt d m ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d2 là: m−3 m−3 m2 − m − mx + = x + m − ⇔ ( m − 1) x = m − ⇒ x = ⇒ y = m +2= m −1 m −1 m −1  m − m2 − m −  ; Tọa độ giao điểm d1 d   m −1   m −1 2 m−3 =1 − ∈Z ⇒ ∈ Z ⇒ m − ∈ U ( ) ={±1; ±2} Xét hoành độ giao điểm x = m −1 m −1 m −1 - Với m − =−2 ⇒ m =−1 ⇒ x =2; y =0 (thỏa mãn) - Với m − =−1 ⇒ m =0 ⇒ x =3; y =2 (thỏa mãn) - Với m − =1 ⇒ m =2 ⇒ x =−1; y =0 (thỏa mãn) - Với m − = ⇒ m = ⇒ x = 0; y = (thỏa mãn) Vậy m ∈ {−1;0; 2;3} thỏa mãn yêu cầu toán Bài 2: Cho đường thẳng ( d ) : = y x + Gọi A, B giao điểm ( d ) với trục Ox , Oy Tìm điểm M AB ( M khác A B ) cho điểm M có hồnh độ số ngun, tung độ số nguyên tố Lời giải −5   Ta có ( d ) : = y x + cắt trục Ox điểm A  ;0  cắt trục Oy điểm B ( 0;5 )    −5 < x0 ≤ Điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ đoạn AB, nên  0 ≤ y0 < −5 < x0 ≤ ⇒ x0 ∈ {−2; −1;0} Xét x0 ∈ Z thỏa mãn - Nếu x0 =−2 ⇒ y0 =1 (loại khơng phải số nguyên tố) 31 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 y0 =3 (thỏa mãn) - Nếu x0 =⇒ Nếu x0 =0 ⇒ y0 =5 (loại trùng với điểm B) Vậy M ( −1;3) Bài 3: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = ( m − 1) x + ( d ) : y= x + m Tìm tất giá trị m nguyên để hai đường thẳng cắt điểm A có tọa độ nguyên Lời giải ( d1 ) cắt ( d ) ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ Phương trình hoành độ giao điểm ( d1 ) ( d ) là: ( m − 1) x + = x + m ⇔ ( m − ) x = m − m −1 m2 − m − ⇒= x ⇒= y m−2 m−2 Có x ∈ Z y ∈ Z m −1 ∈ Z ⇔ 1+ ∈ Z ⇔ m − ∈ U (1) ={±1} m−2 m−2 - Với m − =1 ⇔ m = ⇒ y = ∈ Z (thỏa mãn) Xét x ∈ Z ⇔ - Với m − =−1 ⇔ m =1 ⇒ y =1∈ Z (thỏa mãn) m 3;= m giá trị cần tìm Vậy= Bài 4: Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m + 1) x + m − Tìm tất giá trị m nguyên để ( d ) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A B cho A, B có tọa độ nguyên ( d ) cắt hai trục tọa độ Lời giải ⇔ m + ≠ ⇔ m ≠ −1 ( d ) cắt trục  3− m  Ox điểm A  ;0   m +1  ( d ) cắt trục Oy điểm B ( 0; m − 3) Với m ∈ Z điểm B có tọa độ nguyên, để điểm A có tọa độ nguyên 3− m 4 ∈ Z ⇔ −1 + ∈Z ⇔ ∈ Z ⇔ m + ∈ U ( ) ={±1; ±2; ±4} ⇔ m ∈ {−5; −3; −2;0;1;3} m +1 m +1 m +1 Bài 5: Cho đường thẳng ( d ) : = y x − cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A B Tìm điểm C đoạn AB cho điểm C có tọa độ nguyên Lời giải Ta có ( d ) cắt trục Ox điểm A  ;0  cắt trục Oy điểm B ( 0; −5 ) 2  32 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Điểm C ( xC ; yC ) Zalo: 0382254027  0 ≤ xC ≤ thuộc đoạn AB nên  −5 ≤ yC ≤ 0(*) xC ∈ Z ⇒ xC ∈ {0;1; 2} - Với xC =0 ⇒ yC =−5 ⇒ điểm C trùng với điểm B Xét ≤ xC ≤ - Với xC =1 ⇒ yC =−3 ⇒ C (1; −3) - Với xC =2 ⇒ yC =−1 ⇒ C ( 2; −1) Dạng 11: Tìm tham số m để ba đường thẳng đồng quy 33 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cách giải: *) Khái niệm: Ta có ba đường thẳng phân biệt gọi đồng quy chúng qua điểm *) Tìm giao điểm I ( x0 ; y0 ) hai đường thẳng (thường đường thẳng không phụ thuộc vào m) việc giải phương trình hồnh độ giao điểm y a1 x + b1 ( d ) := y a2 x + b2 phương trình hồnh độ giao điểm là: a1 x + b1 = a2 x + b2 ( d1 ) := Giải tìm hồnh độ giao điểm x, thay trở lại ( d1 ) ( d ) tìm tung độ giao điểm y Khi có tọa độ giao điểm I ( x0 ; y0 ) *) Để ba đường thẳng đồng quy đường thẳng cịn lại phải qua điểm I ( x0 ; y0 ) Bài 1: Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng quy: ( d1 ) : y= x − , ( d ) : y = −2 x − y ( d3 ) := mx + Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( d1 ) ( d ) là: x − =−2 x − ⇔ x =1 ⇒ y =−3 ⇒ tọa độ giao điểm ( d1 ) ( d ) A (1; −3) Để ba đường thẳng đồng quy ( d3 ) phải qua điểm A (1; −3) ⇔ m + =−3 ⇔ m =−5 Vậy với m = −5 ba đường thẳng đồng quy Bài 2: và ( d2 ) − x+ Tìm giá trị k để ba đường thẳng sau đồng quy: ( d1 ) : = y x + , ( d2 ) : y = ( d3 ) : y = Phương −2 x − ( k ≠ 0) k k trình hồnh độ Lời giải giao điểm ( d1 ) là: 7 −1 −14 x+ ⇔ = x ⇔= x −2 ⇒ = y ⇒ ( d1 ) ( d ) cắt điểm ( −2;3) 3 3 −2 Để ba đường thẳng đồng quy ( d3 ) phải qua điểm ( −2;3) ⇔ = ( −2 ) − ⇔ = ⇔ k = k k k x += Vậy với k = ba đường thẳng đồng quy Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 , d , d3 có phương trình −1 −2 m x + 7; ( d ) : y = x + ; ( d3 ) : y = x− ( d1 ) : y = thẳng đồng quy ( m tham số khác 0) Tìm m để ba đường m 34 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải Gọi I giao điểm ( d1 ) ( d ) y 2x + =  lúc tọa độ I nghiệm hệ phương trình  − x+  y = 3  x = −2 −2 ( −2 ) − ⇔ m = ⇔ ⇒ I (−2;3) Điểm I thuộc vào d3 ⇔ = m m y = Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4: Cho hàm số y = (m − 2) x + m + 3(d ) a Tìm điều kiện tham số m để hàm số nghịch biến b Tìm m để ( d ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -3 c Tìm m để đồ thị hàm số y =− x + 2; y =2 x − ( d ) đồng quy điểm Lời giải a) kết m < b) ( d ) qua ( 3;0 ) ⇒ m =  y =− x + ⇒ I (1;1) thay vào ( d ) y 2x −1 = c) Giao điểm hai hàm số nghiệm hệ phương trình  ⇒m= Bài 5: Tuyển sinh vào 10 Đắc Lắc, năm học 2018 - 2019 Tìm k để ba đường thẳng sau đồng quy mặt phẳng tọa độ ( d1 ) : y= x + , ( d ) : y = −2 d3 : y =( k + 1) x + k Lời giải k + ≠ k ≠ ⇔ d3 cắt d1 d3 cắt d ⇔  k + ≠ k ≠ −1 (1) Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d nghiệm hệ phương trình: − x + y =2  x =−4 ⇔  −2 −2 y = y = Do đó, giao điểm hai đường thẳng d1 d A ( −4; − ) Đường thẳng d3 qua A ( −4; − ) −2 = ( k + 1) ( −4 ) + k suy k = Từ (1) (2) suy với k = −2 −2 ba đường thẳng d1 , d , d3 đồng qui 35 ( 2) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 6: x + 1, d : y = x + d3 : y = ( m + 1) x + 2m − Cho đường thẳng sau: d1 : y = a) Xác định tọa độ giao điểm (d1) (d2) b) Tìm m để d1 song song với d3 c) Tìm m để ba đường thẳng cắt điểm Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm d1 d x + = x + ⇔ x = ⇒ y = ⇒ A(1;3) = m m2 + = ⇔ ⇒m= −1 b) d1 / / d3 ⇔   2m − ≠  2m ≠ m + ≠ m = ±1  c) Để ba đường thẳng cắt điểm m + ≠ ⇔ m ≠ A∈ d 3 = (m + 1).1 + 2m − 1(*)   m = 1(loai ) ⇔ m = −3(thoa.man) Vậy m = −3 giá trị cần tìm Bài 7: Cho ba đường thẳng ( d1 ) : y = x + 2, ( d ) : y = x + ( d3 ) : y = ( m + 1) x + m a) Tìm giá trị m để d / / d3 b) Tìm giá trị m để ba đường thẳng cắt điểm Lời giải = m +1 = m −1 ⇔ ⇔m= −1 m ≠ m ≠ x+2 y = x = ⇔ ⇒ d1 , d cắt A (1;3) ⇒ ba đường b) Xét hệ phương trình  2x +1  y = y = a) d / / d3 ⇔  2 m + ≠ m ≠ m ≠    thẳng cắt A ⇔ m + ≠ ⇔ m ≠ ⇔ m ≠ ±1 ⇒ m = −2 (m + 1).1   = + m m += m−2 m = 1; m = −2  Bài 8: Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy: x − y = m; x − y = 2m; mx − ( m − 1) y = 2m − Ta có ( d1 ) : x − y = m ⇔ y = x − m Lời giải 36 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH ( d ) : x − y = 2m ⇔ y = x − 2m Gọi tọa M ( x0 ; y0 ) Zalo: 0382254027 độ giao điểm ( d1 ) ( d2 ) , ta y0 x0 − m = ⇒ x0 − m = x0 − 2m ⇔ x0 = −m ⇒ y0 = −3m ⇒ M ( −m; −3m )  x0 − 2m  y= Để ( d1 ) , ( d ) ( d3 ) đồng quy ( d3 ) qua giao điểm M ⇔ m ( −m ) − ( m − 1) ( −3m ) = 2m −  17  ⇔ 2m − 5m + = ⇔  2m −  = ⇔m= 2  17 + − 17 + m = 4 37 có: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 12: Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số Cách giải: a) Khái niệm điểm cố định: Điểm M ( x0 ; y0 ) điểm cố định d : y =ax + b ( a ≠ ) , a b không phụ thuộc vào tham số m M thuộc d với điều kiện cùa tham số y0 ax0 + b với điều kiện tham số tương đương với = b) Cách giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định đồ thị hàm số Thay điểm M vào hàm số - Biến đổi thành phương trình ẩn tham số m có dạng  f ( x0 ; y0 ) = ⇒ tìm x0 ; y0 f ( x0 ; y0 ) m + g ( x0 ; y0 ) = thỏa mãn với m ⇔   g ( x0 ; y0 ) = ⇒ có điểm M ( x0 ; y0 ) cố định Bài 1: Cho hàm số y = ( m − 1) x + m ( d ) Tìm điểm cố định thuộc đồ thị hàm số? Lời giải Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định thuộc đường thẳng (d) ⇔ y0 = ( m − 1) x0 + m thỏa mãn với m  x0 + =0  x0 =−1 ⇔ ⇔ m ( x0 + 1) − x0 − y0 = thỏa mãn với m ⇔  − y0 = − x0=  y0 Vậy điểm ( −1;1) điểm cố định thuộc đồ thị hàm số Bài 2: Cho đường thẳng ( m + ) x + ( m − 3) y − m + = Chứng minh với m , đường thẳng (d) qua điểm A ( −1; ) Lời giải Thay điểm A ( −1; ) vào (d) ta được: ( m + ) ( −1) + ( m − 3) − m + = ⇔ 0m = (luôn với m ) Vậy với m , đường thẳng ( d ) qua điểm A ( −1; ) Bài 3: Chứng minh m thay đổi đường thẳng x + ( m − 1) y = luôn qua điểm cố định Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đường thẳng qua ⇔ x0 + ( m − 1) y0 =1, ∀m 38 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027   y0 =  x0 = 1  ⇔ my0 + x0 − y0 − =0 với ∀m ⇔  ⇔ ⇒ M  ;0  2  2 x0 − y0 − =0  y0 = 2 Vậy đường thẳng cho qua điểm M  ;0  với m  Bài 4: Chứng minh đường thẳng ( d ) : y= f ( x )= 2mx + m − qua điểm cố định thuộc đường thẳng ( d ') : = y 2x + Lời giải 2mx0 + m − với m Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đường thẳng qua ⇔ y= −1  2 x0 + =  x0 =   ⇔ ⇔ m ( x0 + 1) − − y0 = với m ⇔  ⇒ M  − ;3    − y0 − =  y0 = −1  3 (luôn đúng) = +4 ⇔    Thay tọa độ điểm M vào ( d ') ta được:  =  Vậy ( d ) qua điểm M  − ;3  cố định thuộc ( d ')  39