Đs9 cđ7 hàm số bậc nhất 2

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng A Kiến thức cần nhớ Phương trình chùm đường thẳng qua điểm Dạng tổng quát: y k  x  x0   y0  k 0  M(x0;y0) Phương trình đường thẳng qua điểm song với đường thẳng y ax  b  a 0  Phương trình đường thẳng qua M  x0 ; y0  song y a  x  x0   y0 M  x0 ; y0  vng góc với M(x0;y0) 1 y   x  x0   y0 a đường thẳng y ax  b y=ax+b Phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt M  x1; y1  M  x2 ; y2  y   a  x1   y ax1  b  y ax  b      y2 ax2  b b  y   Giả sử y2 x2 y1  y2 x1 x1  x2  x  x1 y  y1  phương trình x2  x1 y2  y1 Bài 1: A  1;  1 , B  3;5  , C  9;23 Chứng tỏ ba điểm Lời giải x  y 1   y 3x  Phương trình đường thẳng AB là:   Nhận thấy điểm C thuộc đường thẳng AB do: 23 3.9  Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng Bài 2: Trên hệ trục tọa độ cho A  2;  B  6;  Hãy tìm trục hồnh cho ABC cân C Viết phương trình đường cao từ đỉnh C ABC Lời giải *) Nhắc lại: M  xM ; y M  N  xN ; y N   MN   xM  xN    yM  y N  xM  xN  x  I   y  y  M  yN I Nếu I trung điểm MN  Giả sử C  xC ;0  , CA CB nên  xC   2    2   xC      4 11  11   xC 44  xC   C  ;0    Cách 1: Viết  AB  : x y   y  x 1 6 4 2 Phương trình đường cao hạ từ Cách 2: Tìm tọa độ điểm C : y   x  xC   yC B A M M  4;3 C  11  C  ;0  Viết phương trình đường thẳng qua M   Tìm được: y  x  11 Bài 3: d : y x 1 d : y  x  10 Cho     Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm M  2;1 d , d cắt     A B cho M trung điểm AB Lời giải Giả sử đường thẳng qua M  2;1 là: y k  x   1  d3  Với điều kiện k 0 d3 không song song d1  k 1 d3 không song song d  k  A  xA ; y A  d d giao điểm      y A  x A     y A k  xA    2k   x A  k    y  3k  A k1  d Tương tự B giao điểm    2k   xB  k   d3     y  6k   B k   x A  xB 2 xM  k  M trung điểm AB nên  y A  yB 2 yM y 1  x   1  x  7 Bài 4: A   1;6  , B   4;  , C  1;1 Cho ba điểm Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Lời giải 20 AB : y  x  3 Viết phương trình đường thẳng CD : y  x  3 Đường thẳng CD qua C song song với AB là: Điểm D thuộc đường thẳng CD CD  AB Gọi D  x0 ; y0  , theo nhận xét ta có:   y0  x0     x  1   y  1  0     1    6 2   y0  x0      x  1   x   13    3 3   x0 4    y0 3   x     y0  Vậy ta tìm hai điểm D thỏa mãn toán Bài 5: Học sinh giỏi Tỉnh Hưng Yên, năm học 2016 - 2017 Cho hàm số Đi qua điểm y ax  b  a 0  A  1;  d d d có đồ thị   Lập phương trình đường thẳng   , biết   cắt trục hồnh điểm B có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm C có tung độ dương thỏa mãn OB  OC nhỏ ( O gốc tọa độ) Lời giải d A 1; Do   qua   thay giá trị x, y vào ta a  b 2 d Do   cắt trục hồnh điểm B có hồnh độ dương ta có y 0  OB  b 0 a d Do   cắt trục tung điểm C có tung độ dương ta có x 0  OC b  b 0 Vì b  a nên a  b 2 a 3a  a  2   OB  OC   b  2 a  3    a   a a a a  Ta có Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Nên 3  a 2 2  a 2 a a  a 3  2  OB  OC 3  2 a a   a  0  a   a   a Theo dấu “=” xảy nên  a   b 2  Vậy phương trình đường thẳng  d  : y  x   Bài 6: Học sinh giỏi Tỉnh Đắc Lắc, năm học 2015 - 2016 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M  1;  cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A B khác gốc tọa độ O thỏa mãn OA  OB 6 Lời giải Gọi phương trình đường thẳng cần tìm y ax  b Do đường thẳng qua điểm M  1;  nên ta có a  b 2 Do đường thẳng cắt trục Ox, Oy A B nên ta có Khi Khi x 0  y b  B  0; b  y 0  x  Mà ta có b b   A  ;0  a  a  OA  OB 6  b  b 6 a Chú ý đường thẳng cắt tia Ox, Oy nên ta có a  b 2    b b  a 6 Từ ta có b 2  a    a   a   a 6 b  0; b 0 a ta có b  a  b 2  a   a  3a  0  a  1; b 3  a  2; b 4  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn tốn y  x  y  x  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN Bài 1: a) Cho bốn điểm A  0;   , B  1;   , C  2;1 , D  2,5; 2,5  Chứng minh bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng A x;14  , B   5; 20  , C  7;  16  b) Tìm x cho ba điểm  thẳng hàng Lời giải a) Viết phương trình đường thẳng AB : y 3x  Nhận thấy điểm C điểm D thuộc đường thẳng AB Vậy điểm A, B, C , D thẳng hàng b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm B, C Tìm x cho A thuộc đường thẳng BC Phương trình đường thẳng BC : y  3x  Điểm A thuộc đường thẳng BC tọa độ điểm A phải thỏa mãn phương trình đường thẳng BC hay 14  3x   x  Vậy A   3;14  Bài 2: Cho ba điểm A   1;6  , B   4;  , C  1;1 Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Lời giải 20 AB : y  x  3 Viết phương trình đường thẳng CD : y  x  3 Đường thẳng CD qua C song song với AB Điểm D thuộc đường thẳng CD CD  AB   y0  x0     x  1   y  1  D  x0 ; y0  Gọi , theo nhận xét ta có     1    6 2  y  x  0  3    2 2    x  1  x    0  3 3   x0 4    y0 3   x     y0  Vậy ta tìm hai điểm D thỏa mãn tốn Bài 3: Cho đường thẳng d : y  m   x   m 2  đường thẳng d ' : y  m x  1 m 0  a) Tìm m để d / / d ' b) Tìm m để d cắt Ox A , cắt Oy B mà góc BAO 60 Lời giải m   m d / /d '    m  m  0  3 1 a)  m 1  m    3  B  0;3 ; A  ;0  ; OA  m  m  b)   BAO 600  tan BAO  3 Ta có  m 2  3   m     m 2  m Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy đường thẳng d có phương trình y ax  b cắt trục tọa độ Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác OAB tổng OA  OB Đạt giá trị nhỏ Viết phương trình đường thẳng d Lời giải Từ giả thiết A  a;0  , B  0; b  với a, b  x y  1 Phương trình đường thẳng d a b    b  OA  OB  a  b a  b  Mà a  2   2  2      b        a    a   b    a b   a b  1 b Dấu “=” xảy a 1 S ABC  OA.OB  ab 2  ab 4 2 Lại có  2 Từ (1)(2) suy a  2, b 2 x y  1  x  y 2 2 2 d Vậy phương trình đường thẳng Bài 5: Viết phương trình đường thẳng qua M  1;  cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A B khác gốc tọa độ O thỏa mãn OA  OB 6 Lời giải a) Phương trình đường thẳng  d  cần tìm có dạng y ax  b d với a, b 0   cắt trục Ox, Oy điểm A, B O Ta thấy  d  qua điểm Vậy phương trình M  1;   a  b 2  b 2  a  d  : y ax   a  a  A  d  cắt trục Ox  a ;0  cắt trục Oy B  0;  a  Với Để a  0   a 2  a  (vì A, B tương ứng thuộc Ox, Oy )  a  OA  OB 6  a   a 6  a   2a  a 6a  a 0  a  a   a  3a  0    a  (thỏa mãn điều kiện) d + a  phương trình đường thẳng   y  x  d + a  phương trình đường thẳng   y  x  Dạng 5: Tìm điểm cố định đường thẳng qua Bài 1: Cho hàm số y  m  1 x  m  d  a) Tìm điểm cố định mà đồ thị qua với m b) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d hai trục tọa độ c) Viết phương trình đường thẳng qua M gốc tọa độ d) Tìm m để khoảng cách từ O đến (d ) lớn Lời giải a) Gọi M  x0 ; y0    d  , m  y0  m  1 x0  m, m  m  x0  1   x0  y0  , m  x  0   x0  1; y0 1  M   1;1  x0  y0 0 b) Gọi A  xA ; y A  giao điểm d Ox Vì A  xA ; y A   Ox  y A 0 A  xA ;   d : y  m  1 x  m   m  1 x A  m   m  m  1 x A + m 1   0 (vơ lí) + m 1  x A  m  m   A ;0  m  m  Tương tự ta có B  0; m  c) Gọi phương trình đường thẳng OM : y ax  b 0 a.0  b  a  O  0;0  , M   1;1     OM : y  x a   1  b b 0    d) Hạ OH  d  OH OM (không đổi) Dấu “=” xảy  H M  OM  d    1  m  1   m 2 1 1   2   2 OM OH OA OB Cách khác: m2  m  1   m m2 Bài 2: Chứng minh đồ thị hàm số y mx  2mx    m  x   2m qua điểm cố định Chứng minh ba điểm thẳng hàng Lời giải Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị qua Khi y0 mx0  2mx0    m  x0   2m, m  m  x03  x02  x0    x0   y0 0, m  x0  x0  x0  0  1   x0  y0  0  x  x03  x02  x0  0   x0    x02  1 0    x0 1 Giải (1): Vậy đồ thị cho qua ba điểm cố định M   2;1 , M  1;  , M   1;  - Viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm M   2;1 , M  1;  Phương trình đường thẳng d có dạng y ax  b 1 a     b  a 1   b 3 Vì M   2;1 , M  1;  thuộc d nên ta có 4 a.1  b Vậy phương trình đường thẳng d là: y  x  Với M   1;  , thay x  1; y 2 vào ta   (đúng) Vậy ba điểm M   2;1 , M  1;  , M   1;  thẳng hàng Bài 3: Cho hàm số y  m  1 x  m có đồ thị đường thẳng d a) Gọi A, B giao điểm đồ thị trục hồnh, trục tung Tìm tọa độ A, B theo m b) Chứng minh với m , đồ thị hàm số ln qua điểm cố định c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d d) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng lớn Lời giải a) Trục hoành: y 0 trục tung x 0  m  A ;0  , B  0; m   m 1 Ta có  m   b) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định hàm số Khi y0  m  1 x0  m, m  x0  0   x0  1 m x0  y0  m     M   1;1  x0  y0 0 10 Do đó, đường thẳng y  2m  1 x  4m  qua điểm cố định M  2;3 Với x 2; y 3 thay vào đường thẳng  3m  1 x    2m  y 1 ta được:  3m  1    2m  1  1 với m   Vậy đường thẳng  3m  1 x    2m  y 1 qua M  2;3 , m   Vậy ba đường thẳng cho qua điểm cố định M  2;3 Bài 8: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019 - 2020 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng  d  : y  m   x  m   d ' : x   m   y m  ( m tham số) Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường cố định m thay đổi Lời giải Nhận xét: A  1;3   d  ; B  0;1   d ' + Với m    d  : y 3  d ' : x 0 vng góc với + Với m    d ' : y  x 1 m2   aa '  m        d  d '  m2 Khi ta có Vậy d  d ' với m Vậy giao điểm hai đường thẳng nói nhìn đoạn AB cố định góc vng nên thuộc đường trịn đường kính AB m thay đổi 14 Dạng 6: Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác Bài 1: Cho đường thẳng y mx  m  ( m tham số) (1) a) Chứng minh đường thẳng (1) qua điểm cố định với giá trị m b) Tính giá trị m để đường thẳng (1) tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Lời giải a) Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng (1) qua Ta có y0 mx0  m  1, m    y0  m  x0  1 , m    y0  0  x0     M   1;  1  x0  0  y0  điểm cần tìm b) Gọi A, B giao điểm đường thẳng (1) với trục tung trục hồnh Khi  1 m  A  0; m  1 , B  ;0  A , B m   tọa độ SOAB  m  1 4  1 m  m 2  m m Diện tích tam giác OAB tạo thành  m    m 5   m 5   Bài 2: Cho đường thẳng  : y mx  m  ( m tham số) Tính giá trị m để đường thẳng  tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích Lời giải Gọi A  xA ; y A  giao điểm  Ox Ta có A  Ox  y A 0 A  x A ;    : y mx  m   m.x A  m  + m 0  0 (loại) 1 m m 0  x A  m + 15 Tương tự ta có B  xB ; yB  giao điểm  Oy  B  0; m  1  OB  m  1 m  1 m  A ;0   OA  m  m  S AOB Theo giả thiết  m  1 4 1 1 m 2  OA.OB 2  m  2  2 m m 2 + TH1:  m  1  4m  m  2m  0   m  1 0  m  (thỏa mãn) + TH2: Tương tự Vậy m  giá trị cần tìm Bài 3:  1  y  2m  1 x   m    , d cắt Ox A , cắt Oy  Cho đường thẳng d có phương trình B Tìm m cho a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d b) Diện tích tam giác AOB  Lời giải   A ;0  , B  0;   ; OA  ; OB 2 2m   2m   a) Ta có 1 1  2m  1        2m  1 1  2 OH OA OB 4 b) Ta có OA.OB 1  2M 1 4  m   m 0  m   5 m Bài 4: Học sinh giỏi huyện Chư Sê, năm học 2019 - 2020 m   x   m  3 y 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d có phương trình  d ( m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng   đạt giá trị lớn Lời giải Với m đường thẳng d khơng qua gốc tọa độ 16 d : y 1 - Với m 4 , ta có đường thẳng   Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d (1) d : x  - Với m 3 , ta có đường thẳng   Do khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d (2)  A  0; d - Với m 3; m 4 đường thẳng   cắt trục Oy, Ox  m   OA    ;B 3  m   ;0 4 1 ; OB  m m Kẻ đường cao OH  AB  H  AB  Ta có 1 2    m  3   m   2m  14m  25 OH OA OB 49  1  2  m  2m      2   OH 2  OH   3  d Từ       khoảng cách từ gốc tọa độ đến   lớn m Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy (Thanh Hóa) vịng 2, năm học 2019 - 2020 M 1; Cho hàm số bậc y ax  b có đồ thị đường thẳng qua   biết đồ thị hàm số cho cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm B có tung độ dương Tìm a, b cho OA  OB nhỏ ( O gốc tọa độ) Lời giải Vì đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ dương, cắt trục tung điểm có tung độ dương  a   1 Do đồ thị đường thẳng qua M  1;  nên a  b 4  b  Ta có OA  OB 2 OA.OB (côsi) Dấu “=” xảy  OA OB hay OAB cân O Vì OA OB  b  b  b  a  1 0  a  a (do b  ) 17   (do a 0) Với a   b 5  y  x  Vậy a   b 5 OA  OB đạt GTNN  10 Bài 6: Chuyên Tỉnh Cần Thơ, năm học 2019 - 2020 Trong mặt phẳng tọa độ  d2  : y   d2  Oxy , d1  : y m x  m 2  cho hai đường thẳng m2 x 2 d m2  ( m tham số khác ) Tìm tất giá trị tham số m để   15 cắt điểm A cho diện tích hình thang ABHK Biết B   1;  hai điểm H , K hình chiếu vng góc B A lên trục hồnh Lời giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm  d1   d  là: m2 x  m2 x  m   x m  m2 1 Ta có A  m  1; m   2 ; BH 2; AK m  2; HK m  15 S AHK   m4  6m  0  m 1 Bài 7: Chuyên Đắc Lắc, năm học 2019 - 2020 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  d  : y  m   x  ( m tham số khác 2) Tìm tất giá trị m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d Lời giải Tọa độ giao điểm  d  trục tung A  2;   OA 2  2  B ;0   OB  m Tọa độ giao điểm  d  trục hoành  m   Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d OH 18 1 OA.OB  2  OH   2 OH OA OB OA2  OB 4 Ta có  m 1   m  2  m  2 2 m   m  2 3    1  1  2 m  m  2  m  2  m  2 1  m  2  m 2 2 Bài 8: Học sinh giỏi Tỉnh Bắc Ninh, năm học 2018 - 2019 Cho hàm số y  m  4m   x  3m  có đồ thị d Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt trục hoành trục tung A, B cho tam giác OAB có diện tích 1cm ( O gốc tọa độ, đơn vị đo trục tọa độ cm ) Lời giải Vì ba điểm O, A, B tạo thành tam giác nên m  4m  0 3m  0  3m   3m  A ;0   OA  m  4m  Tọa độ giao điểm d Ox  m  4m   Tọa độ giao điểm B d Oy B  0;3m    OB  3m  1  3m SOAB  OA.OB  3m  1 2 m  4m  Do tam giác OAB vuông O nên  9m  12m  2  m  4m    m  4m  12 0  2       9m  12m    m  4m   m  4m  m  20m  0    3m    m 2   m   11   2 m  2;   11  giá trị cần tìm Vậy Bài 9: Học sinh giỏi Tỉnh Đà Nẵng, năm học 2018 - 2019 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm B  6;0  C  0;3 đường thẳng d m có phương trình y mx  2m  với m tham số m 0; m  1 a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d m BC 19 b) Tìm tất giá trị tham số m cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thành hai phần có diện tích ( O gốc tọa độ) Lời giải a) Phương trình BC có dạng y ax  b qua B C nên ta có: 1  3 b 1 a     BC  : y  x   0 6a  b b 3 C Phương trình hồnh độ giao điểm d m BC là: mx  2m   1 x 3 K O   2m  1 x 2  2m  1  x 2 dm E B (do 2m  0 ) Nên giao điểm K  2;  1 SOBC  OB.OC  3.6 9 2 b) Ta có (đvdt) Nếu d m cắt cạnh OC D d m chia thành hai phần CDK tứ giác DOBK S SCDK SCOK  xK OC 3  OBC 2 nên không nhận Mà Khi d m cắt cạnh OB E ta có yE 0  S BEK  dm xE 2  2 2 6 m thỏa mãn m 1 yK EB  xB  xE 2 chia OBC thành hai phần có diện tích  S BEK 4    m 4 m (thỏa mãn) Bài 10: Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019 d : m  1 x  y 3m  Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng     d ' : x   m  1 y m Tìm  300 m để d cắt d ' điểm M cho MOx Lời giải Tọa độ giao điểm  d   d ' nghiệm hệ phương trình: 20