Đs9 cđ5 hàm số bậc hai 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 11: Tìm tham số để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt A, B cho thỏa mãn điều kiện đối xứng hoành độ xA xB Cách giải: Giả sử d := ) : y ax (a ≠ 0) y mx + n ( P= Bước 1: Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): ax = mx + n ⇔ ax − mx − n = 0(*) Bước 2: Tìm điều kiện để d cắt (P) hai điểm phân biệt A B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > (hoặc ∆ ' > ) Bước 3: Biến đối biểu thức đối xứng với xA , xB xA + xB xA xB sử dụng định lý Viet với xA , xB hai nghiệm phương trình (*) *) Một số điều kiện phép biến đổi cần ý - Hai điểm A B nằm bên phải trục Oy xA , xB dương - Hai điểm A B nằm bên trái trục Oy xA , xB âm - Hai điểm A B nằm phía với Oy xA , xB dấu - Hai điểm A B nằm hai phía trục Oy xA , xB trái dấu - Cơng thức tính y A theo xA tính yB theo xB +) Cách 1: Tính theo (P): Vì A, B ∈ ( P ) : y = ax ⇒ y A = axA2 ; yB = axB2 theo xB +) Cách 2: Tính theo d: Vì A, B ∈ d : y= mx + n ⇒ y A= mxA + n; yB= mxB + n theo xB Giải sử= x A x= x2 theo xB ; xB *) Nếu gặp dạng x12 + x22 ta biến đổi: x12 + x22 = x12 + x22 + x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 2 *) Nếu gặp dạng x1 − x2 ta xét x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = x 21 + x22 − x1 x2 = x 21 + x22 + x1 x2 − x1 x2 =( x1 + x2 ) − x1 x2 *) Nếu gặp dạng x1 + x2 ta xét: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH (x + x2 ) Zalo: 0382254027 = x1 + x2 + x1 x2 = x12 + x22 + x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 *) Nếu gặp 2 x1 ; x2 cần điều kiện phụ là:  −b  a ≥  x1 + x2 ≥ x1 ≥ 0; x2 ≥ ⇔  ⇔  x1.x2 ≥ c ≥  a *) Nếu gặp x1 ; x2 độ dài hai cạnh đa giác ta cần thêm điều kiện phụ: −b   x1 + x2 = a > x1 > 0; x2 > ⇔   x x = c >  a *) Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ hai vế lớn Bài 1: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m + 3) x − m − Tìm m để d cắt (P) −7 hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 thỏa mãn ( 3x1 − 1)(1 − 3x2 ) = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − ( m + 3) x + m + =0 (1) ∆= b − 4ac= ( m + 3) − 4m − 4= 24m + 32 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ 24m + 32 > ⇔ m > −4 ( 2)  x + x = ( m + 3) Theo định lí Viét ta có  2 m +1  x1 x= Ta có ( 3x1 − 1)(1 − 3x2 ) =−7 ⇔ −9 x1 x2 + ( x1 + x2 ) − =−7 ⇒ ( m2 + 1) − ( m + 3) + =7 ⇔ 9m − 6m − + =7 ⇔ ( 3m − 1) =16 ⇔ 3m − =±4 ⇔ m = (thỏa mãn (2)); m = −1 (thỏa mãn) Vậy m = −1 ; m = giá trị cần tìm GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 2: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = − mx + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x =−mx + ⇔ x + mx − =0 (*) ∆= b − 4ac= m + 16 > 0, ∀m ⇒ Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m −m  x1 + x2 =  x1 x2 = −4 Theo định lí Viét ta có:  Xét ( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 + x1 x2 ⇒ ( x1 + x2 ) =m2 + 16 2 m + 16 = 25 ⇔ m =⇔ m= ±3 Mà x1 + x2 =⇒ Vậy m = ±3 giá trị cần tìm Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m − 3) x + ( m − 1) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 thỏa mãn x12 + x22 = Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x − ( m − 3) x − ( m − 1) = ( *) ∆ '= b '2 − ac= ( m − 2) + > 0, ∀m ⇒ Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m  x + x = ( m − 3) Theo định lí Viét ta có  −2 ( m − 1)  x1 x2 = Ta có x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x ) − x1 x2 = ⇒ ( m − 3) + ( m − 1) = ⇔ 4m − 20m + 25 = ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 4: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d= : y 2mx + m Tìm m để d cắt (P) hai điểm 2 phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x 2= 2mx + m ⇔ x − 2mx − m= (*) Ta có ∆=' b ' −ac= m + m= m ( m + 1) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m > ⇔ ∆ ' > ⇔ m ( m + 1) > ⇔   m < −1 2m  x1 + x2 =  x1 x2 = −m Theo định lí Viét ta có  Ta có ( x1 − x2 ) =( x1 − x2 ) =( x1 + x2 ) − x1 x2 ⇒ ( x1 − x2 ) =4m + 4m 2 2  m = 1( tm ) Mà x1 − x2 = 2 ⇒ 4m + 4m = ⇔ m + m − = ⇔ ( m − 1)( m + ) = ⇔   m = −2 ( tm ) Vậy m ∈ {−2;1} giá trị cần tìm Bài 5: Cho Parabol ( P ) : y = − x đường thẳng d : y = (1 − m ) x + 2m − Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 26 Lời giải (1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x + (1 − m ) x + 2m − = Ta có ∆ ' = b ' −ac = (1 − m ) − 2m + = ( − m ) 2 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' > ⇔ ( − m) > ⇔ m ≠ ( 2)  x + x= ( m − 1) Theo định lí Viét ta có  x2 2m −   x1= GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027  x1 >  x2 > Do x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng nên:  2 ( m − 1) >  x1 + x2 > ⇔ ⇔ ⇔ m > ( 3)  x1 x2 > 2m − > Mà x1 ≠ x2 tam giác vng có độ dài cạnh huyền 26 nên theo Pytago ta có: x12 + x22 = 26 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 26 2 Thay x1 + x2 = ( m − 1) ; x1 x2 = 2m − vào (4) ta được: ( m − 1) − 4m + = 26 ⇔ m − 3m − = ⇔ ( m + 1)( m − ) =⇔ m= −1 (loại); m = (thỏa mãn (2),(3)) Vậy m = giá trị cần tìm *) Chú ý: Bài tốn hỏi câu hỏi tương tự sau: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) cho x1 , x2 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo 26 y ( m − 1) x + − 2m Tìm m để d (P) cắt hai Bài 6: Cho Parabol ( P ) : y = x d : = điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 độ dài hai cạnh hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x = ( m − 1) x + − 2m ⇔ x − ( m − 1) x + 2m − = (*) Có ∆ ' =  − ( m − 1)  − ( 2m − 3) = ( m − 1) − 2m + = m − 4m + = ( m − ) 2 D cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > ⇔ ( m − 2) > ⇔ m ≠ 2 Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = Do x1 ; x2 độ dài −b c = 2m − 2; x1 x2 = = 2m − a a hai cạnh x + x >  2m − > x1 > 0; x2 > ⇔  ⇔ ⇔m>  2m − >  x1 x > 02 hình chữ nhật nên GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Do x1 ≠ x2 hình chữ nhật có độ dài đường chéo 10 nên theo định lý Pytago ta có: x12 + x22 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 Thay x1 + x2 = 2m − 2; x1 x2 = 2m − vào ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 10 ta được: ( 2m − )  m = ( loai ) − ( 2m − 3) = 10 ⇔ 4m − 12m + 10 = 10 ⇔ 4m ( m − 3) = ⇔   m = ( tm ) Vậy m = giá trị cần tìm Chú ý: - Bài ta cần lưu ý điều kiện m > q trình giải - Ta giải theo cách hai nghiệm (*) = x 1;= x 2m − dựa vào ∆ ' bình phương dựa vào nhận xét a + b + c = Bài 7: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m − 1) x − 2m + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức A= x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x = ( m − 1) x − 2m + ⇔ x − ( m − 1) x + 2m − = Ta có ∆ ='  − ( m − 1)  − ( 2m − )= ( m − 1) − 2m + 4= ( m − ) + > 0∀m 2 Do phương trình cho ln có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = −b c = 2m − 2; x1 x2 = = 2m − a a Có A = x12 + x22 = x12 + x22 + x1 x2 − x1 x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 Thay x1 + x2 = = A ( 2m − ) −b c = 2m − 2; x1 x2 = = 2m − vào biểu thức A, ta được: a a − ( 2m − 4= ) 4m2 − 12m + 12= ( 2m − ) Vậy minA = 2m − = ⇔ m = + ≥ 3∀m GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 8: Cho Parabol ( P ) : y = − x đường thẳng d qua I ( 0; −1) hệ số góc k a) Viết phương trình d theo k b) Chứng minh d cắt (P) hai điểm A, B phân biệt thuộc hai phía Oy c) Gọi hoành độ A B x1 x2 Chứng minh x1 − x2 ≥ d) Giả sử x1 < x2 Tìm m để x1 > x2 Lời giải a) Gọi phương trình d là: y =ax + b ( a ≠ ) Do d qua I ( 0; −1) nên −1 =a.0 + b ⇔ b =−1 Vì d có hệ số góc k nên a= k ⇒ phương trình d là: = y kx − b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm d (P): − x = kx − ⇔ x + kx − = (*) Có ∆= k − 4.1 ( −1)= k + > 0∀k ⇒ (*) ln có hai nghiệm pahan biệt −b a c a Theo định lý Viet ta có xA + xB = = −k ; x A xB == −1 Vì xA xB =−1 < ⇒ xA , xB trái dấu ⇒ A, B thuộc hai phía Oy c) Xét x1 − x2 =( x1 − x2 )2 =( x1 + x2 )2 − x1 x2 Thay x1 + x2 = −k ; x1 x2 = −1 vào x1 − x2 ta được: x1 − x2 =( −k ) −4 ( −1) =k + > ⇒ x1 − x2 ≥ 2 d) Cách 1: Xét dấu x1 ; x2 − x1 ; x2 = − x2 ⇒ x1 > x2 Do x1 < x2 x1 , x trái dấu nên x1 < 0; x2 > ⇒ x1 = ⇔ − x1 > x2 ⇔ x1 + x2 < Mà x1 + x2 = −k nên ta −k < ⇔ k > Cách 2: Ta có x1 > x2 ⇔ x1 > x2 ⇔ x12 > x22 ⇔ ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) > ⇔ x1 − x2 x1 + x2 dấu 2 Mà x1 < x hay x1 − x2 < nên x1 + x2 < ⇔ −k < ⇔ k > Vậy k > giá trị cần tìm GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 9: Cho Parabol ( P ) : y = − x d : y = mx − m + Tìm m để d (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x 2= mx − m + ⇔ x − mx + m − 1= (*) Có ∆ = ( −m )2 − 4.1 ( m − 1) = m − 4m + = ( m − )2 D cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hia ngiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ ( m − 2) > ⇔ m ≠ 2 Theo định lý Viet, ta có x1 + x2 = −b c ; x1 x2 = = m − a a Xét ( x1 + x2 ) = x1 + x2 + x1 x2 = x12 + x22 + x1 x2 = x12 + x22 + x1 x2 − x1 x2 + x1 x2 2 =( x1 + x2 ) − x1 x +2 x1 x2 =m − ( m − 1) + m − =m − 2m + + m − = ( m − 1) + m − + 1= ( m1 − + 1)  m = −1 (tm) m = Do x1 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) = 16 ⇔ ( m − + 1) = 16 ⇔ m − + = ⇔ m − = ⇔  2 Vậy m = −1; m = giá trị cần tìm Chú ý: Ta giải theo cách hai nghiệm (*) x= 1; x= m − dựa vào ∆ bình phương dựa vào nhận xét a + b + c = −m x − 2m − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân Bài 10: Cho Parabol ( P ) : y = x d : y = biệt có hồnh độ thỏa mãn x12 x2 + x22 x1 = 2020 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): x = mx + ⇔ x − mx − = Ta có ∆= b − 4ac= m − 4.1 ( −2=) m + > 0, ∀m ⇒ ( d ) cắt (P) hai điểm phân biệt với m m  x1 + x2 =  x1 x2 = −2 Theo định lí Viét, ta có  GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Xét x12 x2 + x22 x1 = 2020 ⇔ x1 x2 ( x1 + x2 )= 2020 ⇔ −2.m= 2020 ⇔ m= −1010 Bài 11: Cho Parabol ( P ) : y = x d : y = mx − m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn a) x12 + x22 = x1 + x2 b) 1 + = x1 x2 Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): x 2= mx − m + ⇔ x − mx + m − 1= (1) Ta có ∆ = b − 4ac = ( −m ) − 4.1 ( m − 1) = m − 4m + = ( m − ) 2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ > ⇔ ( m − ) > ⇒ m ≠ 2 m  x1 + x2 =  x1 x2= m − Theo định lí Viét, ta có  Ta có x12 + x22 =x1 + x2 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) =0 ⇔ m − ( m − 1) − m =0 ⇔ ( m − 1)( m − ) =0 ⇔m= (thỏa mãn); ⇔ m = (loại) b) Ta có a + b + c = − m + m − = ⇒ phương trình (*) có hai nghiệm x1= 1; x2= m − Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ m −1 ≠ ⇔ m ≠ Khi ⇔ 1 1 + = 4⇔ + = (điều kiện m > ) x1 x2 m −1 1 10 = ⇔ m −1 = ⇔ m −1 = ⇔ m = (thỏa mãn) 9 m −1 Bài 12: Cho Parabol ( P ) : y = x d : y = x − m + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn biểu thức x1 x + 2 = x + x1 + x1 + x2 + 2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x = x − m + ⇔ x − x + m − 1= Ta có ∆ = b − 4ac = ( −1)2 − ( m − 1) = −m + GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Để (d) cắt (P) hia điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 phương trình hồnh độ giao điểm phải có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ −m + > ⇔ m < 2  x1 + x2 =  x1 x2= − x1 Theo định lí Viét, ta có  Thay x2= − x1 vào biểu thức cho ta có: ⇔ ( − x1 ) x1 + x1 + + − x1 = x + ( − x1 ) + x1 − x1 + = ⇔ = ⇔ x12 − x1 + =8 ⇔ x12 − x1 − =0 ⇒ x1 =−1 x − x1 + x1 − x1 + x1 − x1 + x1 = Mà x1 x2 = m − ⇒ ( −1) = m − ⇒ m = −2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = −2 giá trị cần tìm Bài 13: Cho Parabol ( P ) : y = x d := y mx + 10 a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 với giá trị m b) Chứng minh giá trị biểu thức K = x12 + x1 − 20 x22 + x2 − 20 − x1 x2 Lời giải ( *) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x − mx − 10 = a) Ta có ∆= b − 4ac= m + 40 > 0, ∀m ⇒ đường thẳng (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 với giá trị m m  x1 + x2 =  x1 x2 = −10 b) Áp dụng định lí Viét, ta có  Ta có: 2 x12 + x1 − 20 x22 + x2 − 20 x2 ( x1 + x1 − 20 ) x1 ( x2 + x2 − 20 ) x12 x2 + x1 x2 − 20 x2 − x1 x22 − x1 x2 + 20 x1 K= − = − = x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x − x x ) + ( 20 x − 20 x ) ( 2x = 2 2 x1 x2 2 x1 x2 ( x1 − x2 ) + 20 ( x1 − x2 ) = x1 x2 10 ( x1 − x2 )( x1 x2 + 20 ) x1 x2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Vậy m = Zalo: 0382254027 thỏa mãn yêu cầu toán Bài 5: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = ( m − ) x + m − Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho ∆AOB cân O Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − ( m − ) x − m + = (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − 4m + 4= ( m − ) Đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ ± ( ) Khi m ≠ ± , ta có tạo độ giao điểm (d) (P) là: A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , y1 = x12 y2 = x22  x + x = m2 − Theo định lí Viét ta có  ( 3)  x1 x2 = − m Gọi H K hình chiếu A B lên trục hoành ∆AOB cân O hay OA = OB ⇔ OA2 = OB ⇔ AH + OH = BK + OK ⇔ x A2 + y A2 = xB2 + yB2 ⇔ x12 + x14 =x22 + x24 ⇔ ( x12 − x22 ) 1 + ( x12 + x22 )  =0 ⇔ x12 =x22 (mà x1 ≠ x2 A, B hai giao điểm phân − x2 ( ) biệt) ⇒ x1 = m = ±2 m − m = =  ⇔ ⇔ m > ⇒ m = ±2 (thỏa mãn điều kiện 2) Từ (3) (4) ta có:  2 − x1 =3 − m 3 − m <     m < − Vậy m = ±2 thỏa mãn yêu cầu toán *) Nhận xét: Thực A, B hai giao điểm đối xứng qua trục tung, mà đồ thị hàm số ( P) : y = x nhận trục tung làm trục đối xứng nằm phía trục hồnh, nên để thỏa mãn tốn đường thẳng (d) phải đường thẳng song song với trục hồnh cắt trục tung điểm có tung độ dương 51 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 6: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx + 27 m lấy điểm C (1;1) D ( 2; ) thuộc (P) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho ∆CAD cân A ∆CBD cân B Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx − 27m = (1) phương trình bậc hai ẩn x, đó: ∆= b − 4ac= m + 108m 2= 109m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ 109m > ⇔ m ≠ CA = CD ⇔ AB CD = DB Ta có ∆CAD cân A ∆CBD cân B ⇔  đường trung trực CD Do tốn thỏa mãn (d) đường trung trực CD ⇔ ( d ) ⊥ CD trung điểm CD (*) y ax + b, qua điểm C (1;1) D ( 2; ) nên: Phương trình đường thẳng CD có dạng ( CD ) : = a+b = = a ⇔ ⇒ ( CD ) : y = 3x −  2a + b =4 b =−2 x A + xB y A + y B    Ta có C (1;1) D ( 2; ) nên tọa độ trung điểm= CD là: ( x0 ; y0 ) = ;   ;  2 2     −1  m.3 = −1 −1  m = ⇒ m = (thỏa mãn) Điều kiện (*) thỏa mãn khi:  5⇔  m + 27 m = ( 3m + 1)(18m − ) =  Vậy m = −1 thỏa mãn toán Bài 7: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx + a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) N ( x2 ; y2 ) với m 52 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Gọi giao điểm (d) với Oy A, gọi B C hình chiếu M, N trục hồnh Chứng minh ∆ABC vng A Lời giải (1) a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − 2mx − = Ta có: ∆ ' = b'2 − ac = ( −m )2 − ( −4 ) = m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N với m b) Có A giao điểm (d) với Oy ⇒ A ( 0; ) M ( x1 ; y1 ) có hình chiếu lên trục hồnh điểm B ( x1 ;0 ) N ( x2 ; y2 ) có hình chiếu lên trục hồnh điểm C ( x2 ;0 ) 2m  x1 + x2 =  x1 x2 = −4 Áp dụng định lí Viét cho phương trình (1) ta có:  Ta có AB = OA2 + OB = x12 + 4; AC = OA2 + OC = x22 + ⇒ AB + AC = x12 + + x22 + ( x1 + x2 ) − x1 x2 + 8= 4m + 16 ; BC = ( OB + OC ) = (x + x2 ) = (x + x ) 2 − x1 x2 + x1 x2 = 4m + 16 ⇒ BC = AB + AC Vậy ∆ABC vuông A (định lí Pitago đảo) y 2x + Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : = a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm tọa độ điểm A, B b) Tìm điểm C ( xC ; yC ) thuộc cung nhỏ AB (P) ( xA < xC < xB ) cho diệc tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn 53 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − x − = ⇔ ( x + 1)( x − 3) = ⇔ x ∈ {−1;3} Với x =−1 ⇒ y =1, có tọa độ giao điểm A ( −1;1) Với x =3 ⇒ y =9, có tọa độ giao điểm B ( 3;9 ) Vậy (P) (d) cắt hai điểm phân biệt có tọa độ A ( −1;1) B ( 3;9 ) b) Vì C ( xC ; yC ) thuộc cung nhỏ AB (P) ( xA < xC < xB ) ⇒ C ( m; m ) với −1 < xC < Gọi (d’) đường thẳng song song với AB (song song với (d) qua điểm C ( m; m ) nên ( d ' ) : y = x + m − 2m Kẻ CH ⊥ AB =H ⇒ CH đường cao tam giác ABC khoảng cách (d) (d’) S ABC = CH AB ⇒ S ABC max ⇔ CH lớn ⇔ ( d ') tiếp xúc với (P) (*) Phương trình hồnh độ giao điểm (d’) (P) là: x − x − m + 2m = Ta có ∆ = − ( 2m − m ) = 4m + 8m + = ( m + 1) Có điều kiện (*) ∆ = ⇔ ( m + 1) = ⇔ m = −1 Khi tọa độ tiếp điểm C (1;1) (thỏa mãn xA < xC < xB ) Vậy C (1;1) thỏa mãn toán Bài 9: Cho Parabol ( P ) : y = ax đường thẳng ( D ) : y =− x + m a) Tìm a biết (P) qua A ( 2; −1) vẽ (P) với a vừa tìm b) Tìm m biết (D) tiếp xúc với (P) câu (1) tìm tọa độ tiếp điểm c) Gọi B giao điểm (D) (ở câu a) với trục tung, C điểm đối xứng A qua trục tung Chứng minh C thuộc (P) ∆ABC vuông cân Lời giải 54 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH a) Điểm A ( 2; −1) thuộc ( P ) ⇔ −= a.22 ⇔ a= Zalo: 0382254027 −1 −1 ⇒ ( P) : = y x 4 b) Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P) là: −1 x =− x + m ⇔ x − x + 4m =0 (1) Ta có ∆ = b − 4ac = − 4m (d) tiếp xúc với (P) ⇔ phương trình (2) có nghiệm kép ⇔ ∆ = ⇔ − 4m = ⇔ m = Tọa độ tiếp điểm ( '− 1) điểm A c) Khi m =1 ⇒ ( D ) : y =− x + nên (D) cắt trục tung điểm B ( 0;1) Điểm C ( x0 ; y0 ) đối xứng với điểm A ( 2; −1) qua trục hoành nên: x0 =− x A =−2; y0 =y A =−1 ⇒ C ( −2; −1) Thay tọa độ điểm C (P) thấy thỏa mãn (P) nên C ( −2; −1) điểm nằm (P) Theo tính chất đối xứng, trục Oy đường trung trực AC nen BA = BC, ∆ABC can B y kx + Phương trình đường thẳng qua B ( 0;1) có dạng ( d ') : = (d’) qua A, có đường thẳng BA có hệ số góc k1 = −1 (d’) qua C, có đường thẳng BC có hệ số góc k2 = Vì k1.k2 =−1 ⇒ BC ⊥ BA =B Vậy ∆ABC vuông cân Bài 10: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = 2mx + 2m + a) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B nằm khác phía Oy b) Với giá trị m câu a, kẻ AH ⊥ Ox = H , BK ⊥ Ox = K gọi P giao điểm (d) vưới Oy Tìm m để ∆PHK vng P 55 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − 2mx − 2m − = (1) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B nằm khác phía Oy ⇔ phương trình (1) có ⇔ ac < ⇔ ( −2m − 3) < ⇔ m > Vậy m > nghiệm trái dấu −3 −3 thỏa mãn toán b) Ta có (d) cắt Oy P ( 0; 2m + 3) ⇒ OP = yP = 2m + Theo câu a) ta gọi tọa độ giao điểm A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) giả sử x1 < 0; x2 > Gọi H K hình chiếu A, b trục hồnh ⇒ H ( x1 ;0 ) ; K ( x2 ;0 ) OH = x1 = − x1 ; OK = x2 = x2 Có ∆POH vng O nên: HP =OH + OP ⇒ HP =x12 + ( 2m + 3)2 (Pytago) Có ∆POK vng O nên: KP =OK + OP ⇒ KP =x22 + ( 2m + 3) (Pytago) Có HK =OH + OK =− x1 + x2 ⇒ HK =( x2 − x1 ) =x12 + x22 − x1 x2 2 Để ∆HPK vuông P ⇔ HK = HP + PK ⇔ x12 + x22 − x1 x2 = x12 + ( 2m + 3) + x22 + ( 2m + 3) ⇔ −2 x1= x2 ( 2m + 3) ⇔ − x1= x2 Khi m> −3 x1 , x2 ( 2m + ) hai nghiệm phương trình (1) nên theo định lí Viét có: Do 2m + 3= ( 2m + 3)2 ⇔ ( 2m + 3)( 2m + 2=) 56 x1 x2 = −2m − GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 16: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác có đỉnh A, B thỏa mãn điều kiện cho diện tích A Cách giải: Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) tìm điều kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bước 2: Xác định tọa độ điểm lien quan theo hoành độ giao điểm Bước 3: Vận dụng cơng thức tính chu vi, diện tích tam giác vuông, tam giác thường biết đường cao cạnh đáy Bước 4: Tù điều kiện diện tích tam giác giải tìm m B Bài tập 57 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 1: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx − Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho S∆AOB = (đvdt) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x = mx − ⇔ x − mx + = (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  m < −2 ⇔ ∆ > ⇔ m2 − > ⇔  ( 2)  m > 2 m  x1 + x2 =  x1 x2 = Theo định lí Viét ta có  Vì x1 x2 = > ⇒ x1 , x2 dấu nên A, B nằm phía so với Oy Gọi A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) C, D hình chiếu vng góc lên trục hồnh, C ( x1 ;0 ) ; D ( x2 ;0 ) Ta có OC= x1 , OD = x2 , AC= y1 , BD = y2 , DC= x1 − x2 Có thể coi x1 > x2 ; S AOB = S AOC − S BOD − S ABCD = = 1 AC.OC − BD.OD − ( AC + BD ) DC 2 1 y1 x1 − y2 x2 − y1 + x1 x2 − x1 2 ( ) Với = y1 x= x22 ;= S AOB (đvdt), ; y2 1 x1 x1 − x22 x2 − ( x12 + x22 ) x1 − x2 = 2 - Trường hợp 1: hai điểm A, B nằm bên phải trục tung, đó: x1 > 0; x2 > x1 > x2 , x1 + x2 > hay m > ⇒ 3 1 x1 − x2 − ( x1 + x22 ) ( x1 − x2 ) =1 ⇔ x12 x2 − x22 x1 =1 2 2 ⇔ x1 x2 ( x1 − x2 ) =2 ⇔ x1 − x2 =1 (do x1 x2 = ) 1− m có x1 = Kết hợp với x1 + x2 = m, ta= , x2 m −1 58 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH x1 x2 = ⇔ Zalo: 0382254027 1+ m m −1 = ⇔ m − = ⇔ m = ⇔ m = (thỏa mãn); m = −3 (loại) 2 - Trường hợp 2: hai điểm A, B nằm bên trái trục tung, đó: x1 < 0; x2 < 1 1 x1 < x2 , x1 + x2 < hay m < ⇒ − x13 + x23 − ( x12 + x22 ) ( x2 − x1 ) = ⇔ − x12 x2 + x22 x1 = 2 2 ⇔ x1 x2 ( x2 − x1 ) =2 ⇔ x2 − x1 =1 (do x1 x2 = ) m −1 có x1 = Kết hợp với x1 + x2 = m, ta= , x2 x1 x2 = ⇔ m +1 1+ m m −1 = ⇔ m − = ⇔ m = ⇔ m = (loại); m = −3 (thỏa mãn) 2 Vậy m = ±3 giá trị cần tìm Bài 2: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt cho S AOB = 3m Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx − =0 (1) Ta có ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m m  x1 + x2 =  Theo định lí Viét ta có   x x = −1   Vì x1 x2 = −1 < ⇒ x1 , x2 trái dấu nên A, B thuộc hai phía Oy Ta có (d) ln cắt trục tung điểm E ( 0;1) Gọi A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) C, D hình chiếu A, B lên trục tung, C ( 0; y1 ) ; D ( 0; y2 ) 2 Ta có OE = 1, AC = x1 , BD = x2 , S AOB = S AOE + S BOE ⇒ S AOB = AC.OE + BD.OE = Gọi x2 < < x1 , mà S AOB = 1 x1 + x2 2 3m 1 3m 3m m , kết hợp với x1 + x2 =, ta có: ⇒ x1 − x2 = ⇔ x1 − x2 = 2 2 2 59 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH = x1 m= ; x2 Zalo: 0382254027 −m −1 Mà x1 x2 = ⇒ m −m −1 = ⇔ m2 = 1⇔ m = ±1 2 Vậy m = ±1 giá trị cần tìm Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx + Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt cho ∆AOB có diện tích nhỏ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx − =0 (*) Ta có ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m Vì ac =−1 < ⇒ x1 , x2 trái dấu, A, B thuộc hai phía Oy Giả sử A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) , = y1 x12 ; y= x22 ; x1 < < x2 Ta có OA = x12 + y12 = x12 (1 + x12 ) ; OB = x22 (1 + x22 ) x22 + y22 = y x1 Các đường thẳng OA, OB có hệ số góc là: a=1 = x1 ; a= y2 = x2 x2 1 1 ⇒ a1a2 =x1 x2 =−1 ⇒ OA ⊥ OB ⇒ S AOB = OA.OB = x12 x22 (1 + x12 )(1 + x22 ) = + x12 + x22 = m + ≥ 2 2 Vì m ≥ 0, ∀m ⇒ m + ≥ ⇒ S AOB =1 ⇔ m = Nhận xét: Câu hỏi tương tự thay u cầu tốn “tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt cho tam giác AOB vuông cân O” −mx − Biết điểm K ( 0; −2 ) điểm Bài 4: Cho Parabol ( P ) : y = − x đường thẳng ( d ) : y = cố định thuộc (d) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho S AKO = S BKO Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx − =0 (*) Ta có ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m 60 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 m  x1 + x2 =  x1 x2 = −1 Theo định lí Viét ta có  Vì x1 x2 =−1 < ⇒ x1 , x2 trái dấu, A, B thuộc hai phía Oy Ta có (d) ln cắt trục tung d diểm K ( 0; −2 ) Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) C, D hình chiếu vng góc A, B lên trục tung, C ( 0; y1 ) , D ( 0; y2 ) 2 Ta có OE =−2 =2, AC =x1 , BD =x2 ; S AOK = AC.OK ; S BOK = BD.OK ⇒ S AKO =S BKO ⇔ AC =BD ⇔ x1 = x2 ⇔ x1 = − x2 Mà x1 + x2 = m ⇒ m = (do điểm A, B phân biệt nên x1 ≠ − x2 ) (thỏa mãn) Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Nhận xét: Gọi M, N hình chiếu A, B lên trục hồnh, tốn hỏi câu tương tự sau: “Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho S AMO = S BNO Với câu hỏi cách trình bày tốn tương tự nhận kết m = Dạng 17: Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho đoạn thẳng liên quan tới A, B thỏa mãn điều kiện độ dài A Cách giải: Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) tìm điều kiện m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Bước 2: Xác định tọa độ điểm liên quan theo hoành độ giao điểm 61 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 ( xB − x A ) + ( y B − y A ) Bước 3: Viết độ dài đoạn thẳng theo tọa độ theo công thức AB = Bước 4: Giải điều kiện độ dài đoạn thẳng cho để tìm m B Bài tập Bài 1: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d := y mx − Chứng minh (d) qua điểm cố định I tìm m để (d) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt cho IA = IB Lời giải Xét d := y mx − 1, x =⇒ y= −1 I ( 0; −1) thuộc (d) không phụ thuộc vào giá trị m Vậy (d) qua điểm cố định I ( 0;1) với m Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx + =0 (1) Ta có ∆= b − 4ac= m − 4, để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B phương trình (1) phải có có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  m < −2 ⇔ ∆ > ⇔ m2 − > ⇔  ( 2) m > m  x1 + x2 =  x1 x2 = Theo định lí Viét ta có  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , = y1 x= x22 , ta có: ; y2 IA = x12 + ( x12 + 1) ; IB = x12 + ( y1 + 1) = x22 + ( y2 + 1) = x22 + ( x22 + 1) 2 Bài toán cho IA = IB, nên x12 + ( x12 + 1) = 16  x22 + ( x22 + 1)  , mà x1 x2 =1 ⇔ x2 = , ta có:   x1   16 48 x + ( x + 1) = 16 + 16  + 1 ⇔ x14 + x12 + 1= + + 16 ⇔ x18 − x16 − 15 x14 + 16 x12 − 16= x1 x1 x1  x1  2 2   13   ⇔ ( x12 − )  x16 +  x12 −  +  = ⇒ x12 − = ⇔ ( x12 − )( x16 + x14 − x12 + ) = ⇔ x1 = ±2 2    Với x1 =2 ⇒ x2 = , ta có x1 + x2 = m ⇔ m = Với x1 =−2 ⇒ x2 =− , ta có x1 + x2 = m⇔m= − 62 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Vậy m = ± Zalo: 0382254027 giá trị cần tìm −1 x đường thẳng ( d ) : y = mx − 2m − Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân Bài 2: Cho Parabol ( P ) : y = biệt A, B cho AB = (d) tạo với Ox góc tù Lời giải (1) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (P) là: x + 4mx − 8m − = Ta có ∆= b − 4ac= 16m + 32m + 16= 16 ( m + 1) , để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B phương trình (1) phải có có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ > ⇔ 16 ( m + 1) > ⇔ m ≠ −1 m ≠ −1 ( 2) m < Vì (d) tạo với Ox góc tù nên m < 0, có điều kiện  −4m  x1 + x2 = −8m −  x1 x2 = Theo định lí Viét ta có  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , y1 = −1 −1 = x1 ; y2 x2 , 4 ( x2 − x1 ) + 2 1 2 x2 − x1  =80  4 Bài toán cho AB =4 ⇒ AB =80 ⇔ ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) =80 ⇔ ( x2 − x1 ) +  1 2  2 80 ( x2 − x1 ) 1 + ( x2 + x1 )  = 80 ( x2 − x1 ) ( x2 + x1 ) =⇔ 16  16  2  ⇔ ( x2 + x1 ) − x1 x2  1 + ( x2 + x1 )  = 80 ⇔ ( m + 2m + 1)(1 + m ) =5 ⇔ m + 2m3 + 2m + 2m − =0    16  ⇔ ( m + ) ( m3 + 2m − ) = Vì m < nên m + 2m − < , m + =0 ⇔ m =−2 Vậy m = −2 giá trị cần tìm Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = y mx + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B x đường thẳng ( d ) := cho AB có độ dài ngắn Lời giải 63 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 (1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − 4mx − = Ta có ∆= b − 4ac= 16m + 32 > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m 4m  x1 + x2 =  x1 x2 = 8m Theo định lí Viét ta có  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , trong= y1 Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 = x1 ; y2 x2 4  2  2 1 ⇒ AB =( x2 − x1 ) +  x22 − x12  =( x2 − x1 ) 1 + ( x2 + x1 )   4  16  2  = ( x2 + x1 ) − x1 x2  1 + ( x2 + x1 )  ⇒ AB =    16  (16m + 32 )(1 + m )= 16m + 48m + 32 ≥ 32 Vậy minAB = 32 ⇒ minAB = ⇔ m = Bài 4: Cho Parabol ( P ) : y = −mx + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, x đường thẳng ( d ) : y = B cho AB có độ dài ngắn Lời giải (1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x + 2mx − = Ta có ∆= b − 4ac= 4m + 16 > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m −2m  x1 + x2 =  x1 x2 = −4 Theo định lí Viét ta có  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , trong= y1 2 = x1 ; y2 x2 2 Ta có AB = 1 2 2 ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) ⇒ AB =( x2 − x1 ) +  x22 − x12  =( x2 − x1 ) 1 + ( x2 + x1 )   2   2  = ( x2 + x1 ) − x1 x2  1 + ( x2 + x1 )  ⇒ AB =     ( 4m + 16 )(1 + m )= 4m + 20m + 16 ≥ 16 64 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Vậy minAB =16 ⇒ minAB =4 ⇔ m =0 y mx + Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Bài 5: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) := cho= AB m + Lời giải (1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x − mx − = Ta có ∆= b − 4ac= m + > 0, ∀m ⇒ phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m m  x1 + x2 =  x1 x2 = −2 Theo định lí Viét ta có  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) , y1 =mx1 + 2; y2 =mx1 + 2 Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 ⇒ AB =( x2 − x1 ) + m ( x2 − x1 ) =( x2 − x1 ) (1 + m ) 2 = ( x2 + x1 ) − x1 x2  (1 + m ) = ( m + )( m + 1)   Mà= AB m + 1, nên m + =16 ⇔ m =8 ⇔ m =±2 65 2