Đs9 cđ4 hàm số bậc nhất 2

GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 13: Tìm tham số m để khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đạt cực đại Cách giải: *) Xét đường thẳng ( d ) : = y ax + b Ta có trương hợp sau xảy *) Bài tốn 1: Tìm m để khoảng cách từ điểm A ( xA ; y A ) (khác gốc tọa độ) tới đường thẳng ( d ) lớn (nhỏ nhất) + Xác định điểm cố định M ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng ( d ) + Kẻ AH ⊥ ( d ) = H + Ta xét ∆AHM vuông H ⇒ AH ≤ AM (với AM không đổi) M ⇒ AH lớn AM ⇔ H ≡ M ⇔ ( d ) ⊥ AM = + Viết phương trình đường thẳng AM , áp dụng điều kiện vng góc hai đường thẳng để tì giá trị tham số m *) Bài tốn 2: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng ( d ) lớn (nhỏ nhất) Phương pháp bản: + Tìm tọa độ giao điểm P, Q ( d ) với trục tọa độ (chú ý: Tọa độ P Q phụ thuộc vào tham số m ) + Kẻ OH ⊥ ( d ) = H OH + Xét ∆OPQ vuông O , đường cao OH nên: = 1 + OP OQ + Thay độ dài OP OQ theo m , lập luận để tìm GTLN (hoặc GTNN) OH Phương pháp đặc biệt: Khi hệ số góc a dương (hoặc âm) điểm cố định M ( x0 ; y0 ) nằm trục Oy ta làm sau + Gọi B giao điểm ( d ) với trục hoành OH + Xét ∆OMB vuông O , đường cao OH nên: = 1 + OM OB GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 + Góc tạo ( d ) trục hồnh α , ta có: tanα = a = 1 OM OM a2 a2 + ⇒ OB = ⇒ = + = ⇒ OH max ⇔ ( a + 1) ⇔ a nhỏ 2 2 OB a OH OM OM OM Bài 1: Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m − ) x − m + Tìm m để khoảng cách từ A ( 3;5 ) tới đường thẳng ( d ) lớn Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định thuộc đường thẳng ( d ) ⇔ y0 = ( m − ) x0 − m + 4, ∀m =  x0 − =  x0 ⇔ m ( x0 − 1) − x0 − y0 + = 0, ∀m ⇔  ⇔ ⇔ M (1; ) y0 + = −2 x0 − =  y0 Gọi khoảng cách từ A đến ( d ) AH ( AH ⊥ d = H) ⇒ ta ln có ∆AHM vng H ⇒ AH ≤ AM (với AM không đổi) M ⇒ AH lớn AM ⇔ H ≡ M ⇔ ( d ) ⊥ AM = (1) y ax + b Phương trình đường thẳng ( AM ) = ( AM ) qua A ( 3;5) ⇒ 3a + b = ⇒ b = − 3a ( AM ) qua M (1; ) ⇒ a + b = ⇒ b = − a Do − a = − 3a ⇔ 2a = ⇒ a = 3 ⇒ b = ⇒ ( AM ) : y = x + 2 2 Từ (1) ta có: ( m − ) =−1 ⇒ m = (dựa vào kiến thức hai đường thẳng vng góc a.a ' = −1 Bài 2: Cho đường thẳng ( d ) : y = ( m + 1) x + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng ( d ) lớn Lời giải Giải sử đường thẳng ( d ) qua điểm cố định M ( x0 ; y0 ) M điểm cố định thuộc đường thẳng ( d ) ⇔ y0 = (m + 1) x0 + với m GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 =  y0 − x=  x0 0 −4 ⇔ ⇒ M ( 0; ) ⇔ y0 − x0 − = m x0 với m ⇔  =  x0 0=  y0 Vậy ( d ) qua điểm cố định M ( 0; ) y Gọi α góc tạo đường thẳng ( d ) trục Ox Vì đường thẳng d có hệ số góc a= m + ≥ > ⇒ α góc nhọn M −4 D cắt trục Ox điểm B  ;0   m +1  H Đồ thị đường thẳng ( d ) mô tả hình vẽ bên 1 + ∆MOB vng O đường cao OH , có = 2 OH OM OB Với OM không đổi ⇒ OH max ⇔ Mà tanα = m + = nhỏ ⇔ OB lớn OB OM ⇒ OBmax ⇔ ( m + 1) = ⇔ m = OB Vậy m = tốn thỏa mãn B O x GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 y ax + b Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng (xác định hàm số) = Cách giải: y ax + b tức tìm hệ số góc hệ số góc b *) Lập phương trình đường thẳng = *) Để tìm a b ta sử dụng kiện toán cho như: - Biết đồ thị hàm số qua điểm A ( xA , y A ) va điểm B ( xB , yB ) thay tọa độ A B vào hàm số ⇒ Các phương trình liên hệ a b ⇒ giải phương trình tìm a b - Biết đồ thị hàm số qua điểm ( x0 , y0 ) vng góc (hoặc song song) với đường thẳng cho trước + Yếu tố vng góc (hoặc song song) với đường thẳng cho trước ⇒ hệ số góc a + Thay điểm ( x0 , y0 ) vào hàm số tìm số b - Biết đồ thị hàm số qua điểm ( x0 , y0 ) hợp với trục hoành ( Ox ) góc α + Yếu tố hợp với trục hồnh ( Ox ) góc α ⇒ hệ số góc a = tanα + Thay điểm ( x0 , y0 ) vào hàm số tìm số b *) Nếu ∆ đường thẳng trung trực đoạn AB ∆ vng góc với AB trung điểm I đoạn AB xA + y A   xI = Tọa độ trung điểm AB là:   y = y A + yB  I Bài 1: y ax + b biết đồ thị qua hai điểm M ( 2;3) điểm N ( 5; ) Xác định hàm số = Lời giải y ax + b qua điểm M ( 2;3) ⇒ b = − 2a (1) Đồ thị hàm số = y ax + b qua điểm N ( 5; ) ⇒ b = − 5a ( ) Đồ thị hàm số = GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a= ⇒b= Từ (1)( ) ⇒ − 2a =5 − 4a ⇔ 3a =⇔ y Vậy ta có hàm số = x+ 3 Bài 2: y ax + b biết đồ thị qua điểm B ( 3;1) tạo với trục hồnh góc Xác định hàm số = 600 Lời giải y ax + b tạo với trục hồnh góc 600 ⇒ hệ số góc a = tan600 = Đồ thị hàm số = 3⇒ y= 3x + b Mà đồ thị hàm số qua điểm B ( 3;1) ⇒ 3 + b =1 ⇒ b =1 − 3 Vậy ta có hàm số = y 3x + − Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A ( −2; −1) ; B ( 4;5 ) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình đường thẳng (d) đường thẳng trung trực đoạn AB Lời giải Phương trình đường thẳng AB có dạng ( AB ) : = y ax + b ( AB ) qua điểm A ( −2; −1) ⇔ −2a + b = −1 ⇔ b = 2a − ( AB ) qua điểm B ( 4;5) ⇔ 4a + b = ⇔ b = − 4a Do − 4a = 2a − ⇔ 6a = ⇔ a = ⇒ b = ⇒ ( AB ) : y = x + Tọa độ trung điểm I đoạn AB là: I (1; ) Đường thẳng ( d ) : = y kx + b ' đường trung trực AB nên vng góc với AB I + ( d ) ⊥ ( AB ) ⇒ k =−1 ⇒ k =−1 + ( d ) qua điểm I (1; ) ⇒ k + b ' = ⇒ b ' = − k = Vậy ( d ) : y =− x + Bài 4: Tuyển sinh vào 10, Bình Định 2019 - 2020 x − 1;  d : y = x;  d3 : y = −3 x + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d1 : y = GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Tìm hàm số có đồ thị đường thẳng d song song với đường thẳng d3 đồng thời qua giao điểm hai đường thẳng d1 d Lời giải Phương trình đường thẳng d : ax + b  (a, b ∈ ) a = −3 d  d3 ⇒  ⇒d:y= −3 x + b, (b ≠ 2) b ≠ Tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 , d nghiệm hệ phương trình  y = x −  x = x −  x = ⇔ ⇔ ⇒ A(1;1)  = y x = y x = y    A(1;1) ∈ d : y =−3 x + b ⇒ =−3 ⋅1 + b ⇔ b =4 (tm) −3 x + Vậy phương trình đường thẳng cần tìm d : y = Bài 5: Cho điểm B ( 2;3) , viết phương trình đường thẳng ( d ) qua B vng góc với OB Tính góc tạo đường thẳng ( d ) với trục Ox Lời giải Phương trình đường thẳng ( OB ) là: y = a1 x Ta có ( OB ) qua B ( 2;3) ⇒ 2a1 =3 ⇔ a1 = Phương trình đường thẳng ( d ) := y a2 x + b −2 ( d ) vng góc với ( OB ) ⇒ a1.a2 =−1 ⇒ a2 =−1 ⇒ a2 = −2 13 ( d ) qua điểm B ( 2;3) ⇒ 2a2 + b = ⇔ b = − 2a = −   =   :y Vậy ( d )= ( d ) tạo với −2 13 x+ 3 Ox góc α thỏa mãn tanα = −2 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Bài 6: y ax + b , biết đồ thị qua điểm A (1; ) vng góc với đồ thị hàm Xác định hàm số = y số = x −1 Lời giải 3 y ax + b vng góc với y = x − ⇒ a =−1 ⇒ a =−3 Đồ thị hàm số = y ax + b qua điểm A (1; ) ⇒ a.1 + b = ⇒ b = − a = + = Đồ thị hàm số = −3 x + Vậy hàm số cần tìm y = Bài 7: y ax + b , biết đồ thị qua điểm M ( 2;3) song song với đồ thị hàm Xác định hàm số = y 3x − số = Lời giải y ax + b song song với y = x − ⇒ a = 3; b ≠ Đồ thị hàm số = y ax + b qua điểm M ( 2;3) ⇒ 2a + b = ⇒ b = − 2a = − 2.3 = −3 Đồ thị hàm số = y 3x − Vậy hàm số cần tìm = Bài 8:   y ax + b , biết đồ thị qua điểm E  ;  tạo với trục hoành góc Xác định hàm số = 2 2 1200 Lời giải y ax + b tạo với trục hoành góc 1200 ⇒ a = Đồ thị hàm số = tan1200 = − GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 3 3+ 1 3 y ax + b qua điểm E  ;  ⇒ a + b = ⇒ b = − a ⇒ b = Đồ thị hàm số = 2 2 Vậy hàm số cần tìm y = − 3x + 2 2 3+ Bài 9: y ax + b , biết đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Xác định hàm số = cắt trục tung điểm có tung độ Lời giải y ax + b cắt trục tung điểm có tung độ ⇒ 2.0 + b = ⇒ b = Đồ thị hàm số = y ax + b cắt trục hồnh điểm có hoành độ ⇒ 2.a + b = ⇒ a = Đồ thị hàm số = −3 − x + Vậy hàm số cần tìm y = Bài 10: Một đường thẳng qua gốc tọa độ có hệ số góc a) Viết phương trình đường thẳng b) Trong điểm M ( 2;5 ) , N (1;5 ) , P ( 3;5 ) điểm thuộc đường thẳng cho c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng song sóng với đường thẳng nói câu a Lời giải a) Đường thẳng qua gốc tọa độ có hệ số góc ( d ) : y = x b) Thay tọa độ điểm M ( 2;5 ) , N (1;5 ) , P ( 3;5 ) vào đường thẳng (d) ta thấy có tọa độ điểm N thuộc đường thẳng ( d ) , điểm M , P không thuộc ( d ) c) Đường thẳng song song song với ( d ) có dạng tổng quát là: ( d ') : = y x + b với b ≠ Bài 11: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = −2 x + ( d ) : y= x − GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Viết phương trình đường thẳng ( d3 ) Biết ( d3 ) song song với ( d ) cắt ( d1 ) điểm có hồnh độ −1 b) Viết phương trình đường thẳng ( d ) Biết ( d ) vng góc với ( d ) cắt ( d1 ) điểm có tung độ c) Cho đường thẳng ( d3 ) : y= 2mx − m + Xác định giá trị m để ba đường thẳng ( d1 ) , ( d ) ( d3 ) đồng quy Lời giải a) ( d3 ) song song với ( d ) nên ( d3 ) : y= x + b Phương trình hồnh độ giao điểm ( d1 ) ( d3 ) là: −2 x + = x + b ⇔ x = Mà ( d3 ) cắt ( d1 ) điểm có hồnh độ -1 ⇒ 2−b 2−b =−1 ⇔ b =5 ⇒ ( d3 ) : y =x + b) Gọi ( d ) : = y kx + b ' ( d ) ⊥ ( d ) ⇒ k =−1 ⇒ k =−1 ⇒ ( d ) : y =− x + b ' −2 x + −2 x + −2 x 4 = 4 = 2 = ⇔ ⇔ 4 =− x + b ' 8 =−2 x + 2b ' 8 − 2b ' =−2 x ( d ) cắt ( d1 ) điểm có tung độ ⇒  ⇒ − 2b ' = ⇒ b ' = Vậy ( d ) : y =− x + c) Phương trinhd hoành độ giao điểm ( d1 ) ( d ) là: −2 x + =x − ⇔ x =3 ⇒ y =−4 ⇒ tọa độ giao điểm ( d1 ) ( d ) ( 3; −4 ) −4 2m.3 − m + ⇔= m Để ( d1 ) , ( d ) , ( d3 ) đồng quy ( d3 ) phải qua điểm ( 3; −4 ) ⇒= −8 Bài 12: a) Viết phương trình đường thẳng ( d1 ) Biết ( d1 ) qua A ( −2;0 ) vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai b) Cho đường thẳng ( d ) : ( − m ) x = y + − m Tìm m để hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) cắt điểm trục tung GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Đường phân giác góc phần tư thứ hai là: ( d ) : y = − x ( d1 ) có dạng = y ax + b Ta có ( d1 ) ⊥ ( d ) ⇒ a =1 ⇒ ( d1 ) : y =x + b ( d1 ) qua điểm A ( −2;0 ) , nên =−2 + b ⇔ b =2 ⇒ ( d1 ) : y =x + Ta có ( d ) : y = ( − m ) x − + m Để ( d1 ) ( d ) cắt điểm trục tung ⇔ ( d1 ) ( d ) có cung tung độ gốc ⇔ −6 + m = ⇔ m = Vậy m = giá trị cần tìm 10 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 OA2 = OH + AH ( Pytago ) ⇒ OA2 = 62 + 62 ⇒ OA = ( Chu vi tam giác AOB bằng: OA + OB + AB = + + (đvđd) Bài 10: Cho hai hàm số y = −2 x y = x Qua điểm ( 0; ) vẽ đường thẳng song song với trục Ox cắt đường thẳng y = x y = −2 x A B Chứng minh tam giác AOB vng tính diện tích tam giác Lời giải Đường thẳng qua điểm ( 0; ) song song với trục Ox đường thẳng y = , đường thẳng cắt đường thẳng y = x điểm A ( 4; ) cắt đường thẳng y = −2 x điểm B ( −1; ) Đường thẳng y = −2 x y = x có tích hệ số góc ( −2 ) =−1 ⇒ hai đường thẳng vng góc với O ( 0;0 ) ⇒ OB ⊥ OA ⇒ ∆AOB vuông O Gọi AB vng góc với trục Oy K , ta có: OK = (đvđd); AB = xB − xA = (đvđd); = S AOB 1 AB = 2.5 (đvđd) OK= 2 Bài 11: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y= x + ( d ) : = y 3x + a) Vẽ đồ thị hàm số hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi giao điểm đường thẳng ( d1 ) ( d ) với trục Oy A B Tìm tọa độ trung điểm I AB 37 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 c) Gọi J giao điểm hai đường thẳng ( d1 ) ( d ) Chứng minh ∆OIJ vng Tính diện tích tam giác Lời giải a) Đường thẳng ( d1 ) cắt trục hoành điểm C ( −3;0 ) , cắt trục tung điểm A ( 0;3) Đường thẳng ( d ) cắt trục hoành điểm C ( −2;1) , cắt trục tung điểm B ( 0;7 ) b) Ta có A ( 0;3) B ( 0;7 ) , nên trung điểm AB là: I ( 0;5 ) c) Thay điểm C ( −2;1) vào ( d1 ) thấy thỏa mãn, nên ( d1 ) cắt ( d ) J ( −2;1) Kẻ JK ⊥ Oy =K ⇒ K ( 0;1) ; OI = yI =5 (đvđd); OK = y= (đvđd) K = x= (đvđd) IK = yK − yI = (đvđd); JK J ∆IKJ vuông K , nên IJ = IK + KJ = 42 + 22 = 20 ( Pytago ) ∆OKJ vuông K , nên OJ = OK + KJ = ( Pytago ) 25= IJ + OJ ⇒ ∆OIJ vng J (Pytago đảo) Vì OI = = SOIJ 1 JK= OI = 2.5 (đvdt) 2 Bài 12: Cho hàm số ( d1 ) : y =− x − ; ( d ) : y = x ( d3 ) : y = x a) Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục tọa độ Oxy b) Gọi giao điểm đường thẳng ( d1 ) ( d3 ) với trục Oy A B Tìm tọa độ giao điểm A, B c) ∆AOB tam giác gì, d) Tính diện tích tam giác OAB 38 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Lời giải a) Lập bảng giá trị Ta có ( d1 ) đường thẳng cắt trục Ox điểm C ( −5;0 ) , cắt trục Oy điểm D ( 0; −5 ) Ta có ( d ) đường thẳng qua gốc tọa độ điểm ( 4;1) Ta có ( d3 ) đường thẳng qua gốc tọa độ điểm (1; ) b) Ta có ( d1 ) ( d ) cắt điểm A ( xA ; yB ) , nên − xA −  yA =  ⇒ − x A − = x A ⇔ x A = −4   y A = x A ⇒ y A =−1 ⇒ A ( −4; −1) ( d1 ) ( d3 ) cắt điểm A ( xB ; yB ) , nên − xB −  yB = ⇒ − xB − = xB ⇔ x A = −1   y B = xB ⇒ yB =−4 ⇒ B ( −1; −4 ) c) Tử A kẻ AK ⊥ Ox= K , AP ⊥ Oy= P; BH ⊥ Ox= H Ta có K ( −4;0 ) ; P ( 0;1) ; H ( 0; −4 ) ; AK = yA = (đvđd); AP = x= (đvđd); BH = x= (đvđd) A B = OK = x= (đvđd); OH K y= (đvđd); OD = H (đvđd) y= A ∆AKO vuông K , nên: OA2 = OK + AK = 16 + = 17 ( Pytago ) ⇒ OA = ∆BHO vuông H , nên: OB = OH + BH = 16 + = 17 ( Pytago ) ⇒ OB = Do OA = OB = 17 (đvđd) ⇒ ∆AOB cân O S AOB = S AOD − S BOD = 1 1 15 AP.OD − BH OD = 4.5 − 1.5 = (đvdt) 2 2 Bài 13: 39 17 (đvđd) 17 (đvđd) GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho hàm số ( d1 ) : y =− x + ; ( d ) : y= x + ( d3 ) : y = −1 Gọi giao điểm hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d ) A , giao điểm đường thẳng ( d3 ) : y = −1 với hai đường thẳng B, C Chứng tỏ tam giác ABC cân, tính chu vi diện tích tam giác Lời giải ( d3 ) cắt ( d1 ) điểm C ( 2; −1) , cắt ( d ) điểm B ( −2; −1) ; ( d3 ) cắt trục Oy điểm K ( 0; −1) Ta có BK = x= = x= (đvđd); CK (đvđd) ⇒ BK = CK B C Mà AK ⊥ BC =K ⇒ AK đường trung trực BC ⇒ AB = AC ⇒ ∆ABC cân A Ta có AK = AO + OK = y A + yB = + = (đvđd); BC = BK + KC = (đvđd) ∆AKB vuông K , nên: AB =AK + KB ( Pytago ) ⇒ AB =22 + 22 =8 ⇒ AB =AC =2 (đvđd) Chu vi tam giác ABC là: AB + BC + CA =4 + (đvđd) Bài 14: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A ( 2; ) Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox , C đối xứng với A qua trục Oy, D đối xứng với A qua gốc tọa độ a) Chứng minh tứ giác ABCD hình vng tâm O b) Tính chu vi diện tích hình vng ABCD Lời giải a) Ta có B đối xứng với A qua Ox, nên B ( 2; −2 ) có AB ⊥ Ox C đối xứng với A qua Oy , = 900 nên C ( −2; ) có AC ⊥ Oy mà Ox ⊥ Oy ⇒ AC ⊥ AB ⇔ BAC Ta có D đối xứng với A qua gốc tọa độ, nên D ( −2; −2 ) 40 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Từ tọa độ điểm hệ tọa độ ta có: AC = AB = CD = DB = (đvđd), OA = OB = OC = OD (đvđd) Vậy tứ giác ABCD hình vng điểm O tâm hình vng b) Chu vi hình vng AC + AB + CD + DB = 16 (đvđd) Diện tích hình vng 42 = 16 (đvdt) Dạng 21: Tìm m để đường thẳng cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B cho ∆AOB thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: - Xác định giao điểm ( d ) với trục tọa độ theo tham số m - Nếu tốn cho diện tích OAB : Dùng cơng thức tính diện tích S∆AOB = OA.OB để tìm m - Nếu cho tam giác OAB cân (vng cân): Ta dùng cơng thức OA = OB để tìm m Bài 1: Cho hàm số y = x + m − có đồ thị đường thẳng ( d ) Gọi A, B tọa độ giao điểm ( d ) với trục hồnh trục tung Tìm m để tam giác AOB có diện tích Lời giải 1− m  Ta có ( d ) cắt trục hồnh điểm A  ;0  cắt trục tung điểm B ( 0; m − 1)   = ∆AOB vng O có: OA x A= 1− m ; OB= yB= m − m = 1− m m − = ⇔ ( m − 1) = 36 ⇔  2  m = −5 Ta có S AOB = ⇔ OA.OB = ⇔ Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y =( m + 1) x + ( d ) : y = ( m − 1) x + Gọi A, B giao điểm ( d1 ) , ( d ) với trục hồnh 41 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 a) Tìm tọa độ giao điểm C ( d1 ) , ( d ) b) Tìm m để ∆ABC có diện tích Lời giải a) Ta có ( d1 ) , ( d ) cắt C ( 0; ) trục tung b) Ta có ( d1 ) y C −2  cắt trục hoành điểm A  ;0  , ( d ) cắt trục  m +1  −2  hoành điểm B  ;0  (điều kiện m ≠ ±1 )  m −1  x O = , đường cao CO ∆ABC có AB = x A − xB = m −1 S ABC A B y= C (d2) (d1)  15 m= ±  1 = ⇔ CO AB = ⇔ 2 = ⇔ m2 − = ⇔  2 m −1  m = ±  15 3 Kết hợp với điều kiện ta có m = ± ;m = ± Bài 3: Cho hàm số y = ( m − 2m + ) x + ( d ) Tìm m để đường thẳng ( d ) tạo vưới hai trục họa độ tam giác có diện tích lớn Lời giải Nhận xét: Ta có m − 2m + 2= ( m − 1) + ≠ 0, ∀m ⇒ ( d ) cắt hai trục tọa độ hai điểm A, B với m ( d ) cắt trục hoành   A ;0  , cắt trục tung B ( 0;3)  ( m − 1)2 +    ( d ) tạo với hia trục tọa độ tam giác = AOB vuông O , với OA 42 x= A ( m − 1) +1 ; OB = y= B GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 (đvdt) = 2 ( m − 1) + ( m − 1)2 + 1   Ta = có S AOB = OA.OB Vì ( m − 1) ≥ 0, ∀m ⇒ ( m − 1) + ≥ 1, ∀m Do S AOB = 9 ≤ , dấu “=” xảy ⇔ ( m − 1) =0 ⇔ m =1 ( m − 1) + 1   Vậy S AOB max = ⇔ m =1 43 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 22: Tìm m để tam giác tạo hai đường thẳng trục tọa độ thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải: *) Xác định tọa độ đỉnh tam giác theo m (tọa độ giao điểm hai đường thẳng, tọa độ giao điểm đường thẳng với trục tọa độ) *) Nếu tốn cho biết diện tích ∆AOB : Dùng cơng thức tính diện tích để tìm m *) Nếu cho ∆AOB cân, vuông, đều: Ta dùng công thức khoảng cách AB, OB, OA sử dụng tính chất tam giác cân, vng, để tìm m Bài 1: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : = y x − ( d ) : y = ( m − 1) x + Gọi A, B, C giao điểm hai đường thẳng, ( d1 ) với Oy, ( d ) với Oy a) Tìm m để tam giác ABC cân A b) Tìm m để tam giác ABC vng A c) Tìm m để tam giác ABC có diện tích Lời giải ( d1 ) cắt trục Oy điểm B ( 0; −1) , ( d ) cắt trục Oy điểm C ( 0;1) Phương trình hồnh độ giao điểm ( d1 ) ( d ) là: −2 −m − x − =( m − 1) x + ⇔ ( m − 3) x =−2 ⇔ x = ( m ≠ 3) ⇒ y = m−3 m−3 −2 −m −  Do đó, có điểm A  ;   m−3 m−3  a) Nhận thấy Ox đường trung trực BC , nên ∆ABC cân A ⇔ AB = AC −m −  −2 −m −  =⇔ m= −1 ⇔ A ;  ∈ trục Ox ⇔ m−3  m−3 m−3  44 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 b) Để ∆ABC vuông A ⇔ ( d1 ) ⊥ ( d ) ⇔ ( m − 1) ( −2 ) =−1 ⇔ m = H c) Kẻ AH ⊥ Oy = Ta có AH = xA = S ABC −2 ; BC = OB + OC = yB + yC = = m−3 m−3 23  m=  1 2 = AH BC = =7 ⇔ m−3 = ⇔  = m−3 2 m−3  m = 19  Bài 2: Cho đường thẳng ( d ) : y = mx + + 3m cắt Oy B cắt Ox C Khi d tạo với Ox góc nhọn, tìm m để d tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích nhỏ Lời giải m ≠ Điều kiện để d cắt Oy B cắt Ox C d tạo với Ox góc nhọn ⇔ 2 + 3m ≠ ⇔ m > m >  −2 − 3m  ;0  Vì m > 0, nên:  m  (d) cắt Oy B ( 0; + 3m ) , cắt Ox C  −2 − 3m + 3m OB =2 + 3m =+ 3m; OC = = m m ∆OBC vuông O , nên: SOBC = 1 + 3m    OB.OC= ( + 3m )  =  9m + + 12  m 2  m  2  Với m > 0, áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương 9m 9m + ta được: m 4 ≥ 9m = 12 ⇒ SOBC ≥ 12 ⇒ SOBC = 12 ⇔ dấu “=” 9m = ⇔ m = m m m Vậy m = giá trị cần tìm Bài 3: 45 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Cho ( d ) : y =mx + ( m ≠ ) d cắt Ox A , cắt Oy B Tìm m cho: a ∆AOB vng cân O b S AOB = c Khoảng cách từ O tới d Lời giải a) Cho x = ⇒ y = ⇒ d cắt Oy B ( 0; ) Cho y = ⇒ x = OA = −2 = m −2  −2  ⇒ d cắt Ox A  ;0  m m  ; OB = m Tam giác AOB vuông cân O ⇔ OA = OB ⇔ b) S AOB =⇔ m= ±1 m  m =  1 2 =4 ⇔ OA.OB =4 ⇔ =4 ⇔ m = ⇔  2 m  m = −1  c) Hạ OH vng góc với d Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: 1 1 1 m2 ; m= = + OH = ⇔ = + = + ⇔ m =⇔ ±1 4 4 OH OA2 OB 2 m2 46 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 23: Chứng minh giao điểm hai đồ thị hàm số chạy đường cố định với m Cách giải: * Đường cố định đường thẳng Bước 1: Gọi điểm A ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng ( d ) ( d ') Bước 2: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm ( d ) ( d ') f= ( x0 , m ) g ( x0 , m ) ⇒ tìm x0 theo tham số m ⇒ tung độ giao điểm y0 theo tham số m Bước 3: Thiết lập hệ thức x0 y0 không phụ thuộc vào m Hệ thức phương trình đường thẳng càn tìm *) Đường cố định đường trịn Bước 1: Tìm điểm cố định M , N đường thẳng Bước 2: Chỉ góc tạo hai đường thẳng ln khơng đổi với m Khi giao điểm hai đường thẳng ln nhìn MN cố định góc khơng đổi nên ln chạy đường trịn (cung trịn ) Bài 1: Cho hai hàm số y = 3x + m − 1( d ) y = x − m − 1( d ') Chứng minh m thay đổi, giao điểm hai đồ thị hàm số chạy đường thẳng cố định Lời giải Gọi giao điểm A ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng ( d ) ( d ') Ta có phương trình hoành độ giao điểm ( d ) ( d ') là: x0 + m − 1= x0 − m − ⇔ x0= 2m ⇒ y0= x0 + m − 1= m − 47 GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 x0   x0 = 2m m = ⇒ ⇒ y0 = x0 − Từ  y0 m −  = y0 m − = y0 Vậy A ( 2m;7m − 1) chạy đường thẳng cố định = x0 − Bài 2: Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = − ( m + 1) x + m + ( d ) : x − ( m + 1) y − + m = Chứng minh giao điểm ( d1 ) ( d ) di động đường tròn cố định m thay đổi Xác định tâm bán kính đường trịn Lời giải − ( m + 1) x + m + qua điểm A (1; ) cố định với ( d1 ) : y = m m2 − ( d ) : x − ( m + 1) y − + m = ⇔ ( d ) : y = x + m +1 m +1 2 ( d ) qua điểm B ( 7;1) cố định với m Ta có AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) Vì − ( m + 1) = −1 với m, nên ( d1 ) ⊥ ( d ) = K , ∀m ⇒  AKB = 900 ⇒ giao điểm K hai m +1 2 = 62 + 12 = 37 AB đường thẳng di động đường trịn đường kính AB cố định, bán kính= R = 37 Bài 3: Cho hai hàm số y = −5 x + 2m + 1( d ) y = −4 x − 3m − 1( d ') Chứng minh m thay đổi, giao điểm hai đồ thị hàm số chạy đường thẳng cố định Lời giải Gọi A ( x0 ; y0 ) giao điểm hai đường thẳng ( d ) ( d ') Ta có phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( d ') là: −5 x0 + 2m + =−4 x0 − 3m − ⇔ x0 =5m + 48 GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Ta có y0 =−5 x0 + 2m + =−5 ( 5m + ) + 2m + =−23m − x0 −  5m +  x= −23 m = ⇔ ⇒= y0 x0 +  −23m − 5  y0 =  y0 = −23m − = y0 Vậy A ( 5m + 2; −23m − ) chạy đường thẳng cố định −23 x0 + với m 5 Bài 4: Cho hai hàm số ( d1 ) : y = −mx − 2m + ( d ) : x − my − + m = a) Chứng minh giao điểm ( d1 ) ( d ) di động đường tròn cố định m thay đổi Xác định tâm bán kính đường trịn b) Tính khoảng cách lớn từ C (1; −1) đến ( d1 ) Lời giải a) Nhận thấy ( d1 ) qua điểm cố định M ( −2;3) ( d ) qua điểm cố định N ( 2;1) ( xM − xN ) + ( yM − yN ) Ta có MN = 2 = Xét m = 0, ( d1 ) : y = ( d ) : x = nên ( d1 ) ⊥ ( d ) :y Xét m ≠ 0, ( d1 ) : y = −mx − 2m + ( d )= 1 m−2 −1 x+ có tích hai hệ số góc −m = m m m Nên ( d1 ) ⊥ ( d )  = 900 Vậy ( d1 ) ⊥ ( d ) điểm K với m , nên MKN ⇒ giao điểm I hai đường thẳng di động đường trịn đường kính MN , bán kính = R MN = b) Viết phương trình đường thẳng MC = : y −4 x+ 3 kẻ CH ⊥ ( d1 ) = H , ta có CH ≤ CM ⇒ CH max =CM =5 ⇔ CH ⊥ ( d1 ) ⇔ 49 −4 −3 ( −m ) =−1 ⇔ m = GIA SƯ HOÀI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 Dạng 24: Chứng minh đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn cố định với m Cách giải: - Tìm tọa độ giao điểm A, B ( d ) với trục tọa độ theo tham số m OH H , ta có = - Kẻ OH ⊥ d = 1 + OA OB - Từ OH số không phụ thuộc vào m Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( d ) : y =mx − m + với tham số m ≠ Chứng minh với giá trị tham số m ≠ đường thẳng ( d ) tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải  m2 +  ;0  B 0; − m + với m ≠   m  ( Đường thẳng ( d ) cắt trục Ox, Oy A   Ta có = OA Xét ∆AOB m2 + ;= OB m vuông ) m + Kẻ OH ⊥ AB = H O 9O gốc tọa độ), đường cao OH , ta 1 m2 = + = + =1 2 2 OH OA OB m +1 m +1 ⇒ ( d ) qua hai điểm A B cách tâm O khoảng Vậy với m ≠ đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = cố định 50 có: GIA SƯ HỒI THƯƠNG BẮC NINH Zalo: 0382254027 51