Đs9 cđ7 hàm số bậc nhất 1

CHUYÊN ĐỀ: ĐỒ THỊ HÀM SỐ HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tỉnh, huyện, thành phố Học sinh giỏi huyện Chư Sê Học sinh giỏi huyện Cảm Thủy (Thanh Năm học 2019 - 2020 2019 - 2020 Hóa) Học sinh giỏi Tỉnh Bắc Ninh 2018 - 2019 Học sinh giỏi Tỉnh Đà Nẵng 2018 – 2019, 2015 - 2016 Học sinh giỏi Bà Rịa Vũng Tàu 2018 - 2019 Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình 2018 - 2019 Học sinh giỏi Tỉnh Hưng Yên 2016 - 2017 Học sinh giỏi Tỉnh Đắc Lắc 2015 - 2016 Học sinh giỏi Quận Ba Đình 2020-2021 Học sinh giỏi Vĩnh Lộc 2019-2020 Học sinh giỏi TP Hưng Yên 2020-2021 Học sinh giỏi Tỉnh Vĩnh Phúc 2020-2021 Học sinh giỏi Tỉnh Thái Nguyên 2020-2021 Học sinh giỏi TP Đà Nẵng 2020-2021 Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình 2020-2021 Chuyên Thái Bình vòng 2019 - 2020 Chuyên Cần Thơ 2019 - 2020 Chuyên Đắc Lắc 2019 - 2020 Chuyên Toán Quảng Ngãi 2019 - 2020 Chuyên Quảng Ninh 2019 - 2020 Chuyên Hưng Yên 2019 - 2020 Chuyên Cần Thơ 2019 - 2020 Chuyên Quảng Ngãi 2019 - 2020 Chuyên Hưng Yên 2019 - 2020 Chuyên Lâm Đồng 2018 - 2019 Tuyển sinh vào 10 chuyên Thái Bình 2018 - 2019 Tuyển sinh vào 10 chuyên lâm Đồng 2018 - 2019 Bài 1: Đồ thị hàm số bậc A Kiến thức cần nhớ Hàm số +) Với đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi cho với giá trị x có giá trị y Ta nói y hàm số x Kí hiệu: y  f  x  , y  g  x  , +) Muốn tính giá trị hàm số y  f  x x x0 , ta thay biến số x x0 tính y0  f  x0  y  f  x +) Đồ thị hàm số hàm số tập hợp điểm M  x0 ; y0  hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn y0  f  x0  +) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến tập R f x  f  x2   y  f  x  Nếu x1  x2   đồng biến f x  f  x2   y  f  x  Nếu x1  x2   nghịch biến Hàm số bậc +) Dạng hàm số: Cách viết khác: y ax  b  a 0  y  f  x  ax  b  a 0  +) Nếu a  y ax  b hàm số đồng biến +) Nếu a  y ax  b hàm số nghịch biến +) Đồ thị hàm số - Là tập hợp điểm M  x; y  thỏa mãn y ax  b - Là đường thẳng - Song song với đồ thị hàm số y ax b  B  ;0  A 0; b - Đi qua điểm    a  +) Vẽ đồ thị hàm số y ax  b  a 0  Bài 1: Cho hàm số y  m2  m  1 x  m ( x biến số) a) Chứng minh hàm số hàm số bậc b) Hàm số hàm số đồng biến hay nghịch biến M 2;3 c) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm   Lời giải 1  m  m   m      a   2  a) Ta có với m hàm số cho hàm số bậc 2 b) Nhận thấy a m  m 1  0, m nên hàm số cho đồng biến R  1  m  m  1  m  m  1;   M 2;3  2 c) Để đồ thị hàm số qua điểm   thì: Bài 2:  m 1 y   xm2 m    Cho hàm số a) Tìm m để hàm số hàm số bậc b) Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến tập xác định Lời giải  a) Hàm số hàm số bậc b) Hàm số đồng biến R m 0  m2 m   m 1 m 0 m2 m   m 0   m 1 Lập bảng xét dấu ta m  Tương tự: Hàm số đồng biến    m  Bài 3: Cho hàm số y mx  m  m 0  a) Chứng minh với m 0 đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh điểm cố định Xác định tọa độ điểm b) Với giá trị m đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -2 Vẽ đồ thị hàm số trường hợp Lời giải a) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh nghiệm phương trình mx  m 0  m  x  1 0 Gọi A  x0 ; y0  điểm thuộc trục hồnh mà đồ thị hàm số ln qua, ta có: m  x0  1  y0 0, m Vậy A  1;0  0;   b) Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có dạng  Thay hồnh độ giao điểm vào phương trình hàm số ta có:  m.0  m  m 2 Vậy m 2 thỏa mãn điều kiện toán Bài 4: Cho hàm số y mx  2m  1 m 0  a) Định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b) Gọi A, B giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox, Oy Xác định m để diện tích tam giác AOB (đvdt) Lời giải a) Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ khi: Vậy m m.0  2m   m  1 thỏa mãn điều kiện toán  2m   A ;0  ; B  0;  2m  1 A , B m   b) Theo ta có tọa độ hai điểm Diện tích tam giác OAB : SOAB  2m 1 8 1 2m   OA.OB   2m  4  2 m m        m  ; ;  4   Bài 5: y  m2  2m  x   3m  m  x  a) Với giá trị m hàm số hàm số bậc nhất? b) Chứng minh hàm số y   m  m  1 x  m hàm số bậc Hàm số đồng biến hay nghịch biến  c) Với giá trị m hàm số y  2m  m  x  1 hàm số bậc nhất? d) Cho hàm số y  a  a   x  Tìm a để hàm số đồng biến  nghịch biến  Lời giải   m 0   m 2  m  2m 0     m 0  m 2  3m  m 0    m      a) Hàm số cho hàm số bậc 1   m  m    m    0, m   2  b) 2 1    m     0, m   2 Vậy hàm số hàm số bậc  nên hàm số nghịch biến  c) Hàm số hàm số bậc 2m  m    m  2 d) Ta có a  a   a  1  a   Để hàm số đồng biến  a    a 1  a  1  a      Để hàm số nghịch biến   a  1  a       a  Bài 6: Cho hàm số y mx  m  m 0  a) Chứng minh với m 0 đồ thị hàm số ln cắt trục hồnh điểm cố định Xác định tọa độ điểm b) Với giá trị m đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -2 Vẽ đồ thị hàm số trường hợp Lời giải a) Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục hồnh nghiệm phương trình mx  m 0  m  x  1 0 Gọi A  x0 ; y0  điểm thuộc trục hoành mà đồ thị hàm số ln qua, ta có m  x0  1  y0 0, m Vậy A  1;0  b) Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số với trục tung có dạng  0;   Thay hồnh độ giao điểm vào phương trình hàm số ta có  m.0  m  m 2 Vậy m 2 thỏa mãn điều kiện đề Bài 7: Cho hàm số y mx  2m  1 m 0  a) Định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b) Gọi A, B giao điểm đồ thị hàm số với trục tung Ox, Oy Xác định m để diện tích tam giác AOB (đvdt) Lời giải a) Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O Vậy m m.0  2m   m  1 1 thỏa mãn toán  2m   A ;0   ; B  0;  2m  1 b) Theo ta có tọa độ hai điểm A, B  m Diện tích tam giác OAB là: S AOB  2m  1 1 2m   OA.OB   2m  4  2 m m  m     64  8   m    6  m   Bài 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng A Kiến thức cần nhớ Hệ số góc đường thẳng d : y a1 x  b1 d Giả sử   , 1 góc tạo đường thẳng   tia Ox Ta có: a1 tan1 a1 : d Hệ số góc đường thẳng   d : y a2 x  b2 *) Tương tự: Giả sử   , a2 tan  TQ : y ax  b a gọi hệ số góc d : y a1 x  b1 d : y a2 x  b2 Vị trí tương đối hai đường thẳng      a1 a2 0  +) d1 trùng d b1 b2    a1 a2  +) d1 song song d b1 b2 +) d1 vng góc d   900  1  tan  1 1  a2   a1 a2  tan1 a1 M x ; y  a1 a2 +) d1 cắt d  M M  Lúc xM  y a1 x  b1  a1 x  b1 a2 x  b2  y a2 x  b2  nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Bài 1: y  3m   x  Tìm giá trị m để hai đường thẳng y mx  a) Song song b) Cắt c) Vng góc với Lời giải m 3m   m 2    a) Điều kiện Vậy m 2 b) Điều kiện m 2  m 1 m  3m     3m  4m 1 0    m 1  c) Điều kiện Bài 2: Xác định hệ số a b để đường thẳng y ax  b cắt trục tung điểm cí tung độ A 2;1 -2 song song với đường thẳng OA , O gốc tọa độ  Lời giải Đường thẳng OA : y  x Đường thẳng cho song với với OA y x b Mặt khác đường thẳng cho cắt trục tung điểm có tung độ -2, suy b  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình y x 2 Bài 3: a) Xác định hàm số bậc nhất, biết đồ thị đường thẳng qua A   1;  tạo với trục hồnh góc 45 b) Tìm đường thẳng d vng góc với đường thẳng y 3 x  qua gốc tọa độ Lời giải a) Hệ số góc đường thẳng cần tìm tan 45 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y x  1 b) Hệ số góc đường thẳng d cần tìm d : y  x b Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng Vì d qua gốc tọa độ nên b 0 Vậy d:y 1 x Bài 4: Xác định hàm số y ax  b , biết rằng: 2;   a) Song song với đường thẳng y  x qua điểm  b) Vuông góc với đường thẳng y 1 x 1 3;1 qua điểm   Lời giải a) Để đường thẳng y ax  b song song với y  x  a  2;    b  Đường thẳng y  x  b qua điểm  b) Để đường thẳng y ax  b vng góc với đường thẳng y 1 x 1   1  a     a 3  b    Bài 5: y ax  a 0  Cho hàm số có đồ thị qua điểm  1;  Hãy xác định hệ số góc tính góc tạo đường thẳng tia Ox Lời giải Gọi  góc tạo đường thẳng y ax tia Ox  a tan y ax  a 0  qua   M 1;  a.1  a   hệ số góc a  tan    600 Bài 6: d : y 3x  m d : y 2 x  2m  Cho hai đường thẳng     a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng b) Khi m thay đổi, tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng Lời giải a) Tìm b) Nhận thấy M  m  1; 4m  3  x0 ; y0  y0 4m  4  m  1   y0 4 x0  Vậy tập hợp giao điểm d1 d đường thẳng y 4 x  Bài 7: Xác định hệ số a b để đường thẳng y ax  b cắt trục tung điểm có tung độ A 2;1 -2 song song với đường thẳng OA , O gốc tọa độ,  Lời giải Đường thẳng OA : y  x Đường thẳng cho song song với OA y x b Mặt khác đường thẳng cho cắt trục tung điểm có tung độ -2, suy b  Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình x 2 y Bài 8: a) Xác định hàm số bậc nhất, biết đồ thị đường thẳng qua điểm A   1;  với trục hồnh góc 45 b) Tìm đường thẳng d vng góc với đường thẳng y 3x  qua gốc tọa độ Lời giải a) Hệ số góc đường thẳng cần tìm tan45 1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y x  1 b) Hệ số góc đường thẳng d cần tìm Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng d:y 1 x b Vì d qua gốc tọa độ nên b 0 Vậy d:y 1 x Bài 9: Chuyên Hưng Yên, năm học 2019 - 2020 Cho hai đường thẳng  d  : y  m   x  m    : y  x  a) Tìm m để (d ) song song với    b) Chứng minh đường thẳng (d ) qua điểm A   1;  với m c) Tìm tọa độ điểm B thuộc    cho AB vng góc với    Lời giải m     a) (d ) song song với    m 1  m   m    m 1 Vậy m  giá trị cần tìm 10 tạo b) Thay x  1; y 2 vào phương trình  d  : y  m   x  m ta được:  m     1  m  2 (đúng với m) Vậy đường thẳng (d ) qua điểm A   1;  với m c) Cách 1: Vì điểm B thuộc    nên tọa độ điểm B có dạng  x0 ;1  x0  Điều kiện: B khác A hay x0  Giả sử phương trình đường thẳng AB y ax  b Vì A   1;  B  x0 ;1  x0  nên ta có hệ phương  a  b 2  x0   a  x0  1  x0   a   x0  ax0  b 1  x0 AB vng góc với     y0 1   aa '    x0  5      16 x0   x0   x0  x0  17   37   37 B ;   17 17 Vậy tọa độ điểm  17 17  Cách 2: Giả sử phương trình đường thẳng AB y ax  b AB vng góc với  aa '   a      a     y  x b Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng 1 y  x b    b  b    A  1;  nên 4 Vì đường thẳng qua  y  x  phương trình đường thẳng AB 4  tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình  y  x  4   y  x  5  x     37  17  B ;    17 17   y 37  17 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TỐN Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua M   1;   thỏa mãn a) Có hệ số góc a 11 trình b) Song song với đường thẳng 3x  y  0 c) Vng góc với đường thẳng y  x 1 0 Lời giải Gọi phương trình đường thẳng cần tìm y ax  b 3 a      : y  x  b 2 a) Với 1 M   1;          1  b  b  2 Vì d : x  y  0  y  x  2 b)  a   1  / / d   b      Ta có Với a 1  b , từ câu a) Do    không thỏa mãn Vậy không tồn đường thẳng  d ' : 3x  y  0  y  x  2 c) 2 2   d '  a   a      : y  x  b 3 Thay tọa độ điểm M vào    ta tìm b Bài 2: Biện luận số nghiệm phương trình x  x   x   m 0 Lời giải Phương trình x  x   x   m 0  x   x   m y + Xét y  m (song song với Ox ) 2  x  1  x   x 1  C  : y 2 x   x    2   x   x   x  1 + Xét y=-m -m 12 -1 x  3 x   x 1 y    x  x  1 Ta có:  C  : x y 1 2 x y 1 0 *) Số giao điểm  đồ thị (C) số nghiệm phương trình (*) Dựa vào đồ thị ta có: +  m    m   khơng cắt  C  , suy phương trình (*) vơ nghiệm + Nếu  m   m 1   cắt  C  điểm, suy phương trình (*) có nghiệm + Nếu  m    m   phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho hai đường thẳng d : y 12 x   m d ' : y 3x   m Tìm m để a) Hai đường thẳng cắt điểm A a) Hai đường thẳng cắt điểm A nằm trục tung b) Hai đường thẳng cắt điểm A nằm bên trái trục tung c) Hai đường thẳng cắt điểm A nằm góc phần tư thứ Lời giải a) Hai đường thẳng d d’ có a a ' với m nên hai đường thẳng ln cắt b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (d’) 12 x   m 3 x   m  x 2m   x  2m   m  5m   A ;   Suy  Điểm A nằm trục tung x A 0  2m  0  m 1 c) Điểm A nằm bên trái trục tung  xA   m  13  2m     xA     m 1  yA   5m    d) Điểm A nằm góc phần tư thứ Bài 4: Xác định số nguyên a, b cho đường thẳng y ax  b qua điểm A  4;3 cắt trục tung điểm có tung độ số ngun dương, cất trục hồnh điểm có hoành độ số nguyên dương Lời giải b   ;0  Giao điểm với trục hoành  a  Giao điểm với trục tung  0;b  b b;   Theo đề a Điểm A  4;3 thuộc y ax  b nên Vì b    a 4a  b   b 4a  3  4  a a a  4    a    1;  3;1;3  a 3a + a   b 7 (thỏa mãn) + a   b 15 (thỏa mãn) + a 1  b   (loại) + a 3  b   (loại) Vậy a  1; b 7 a  3; b 15 Bài 5: Xác định đường thẳng qua A  4;3 , cắt trục tung điểm có tung độ số nguyên dương, cắt trục hoành điểm có hồnh độ số ngun tố Lời giải x y  1 Đường thẳng cần lập có dạng a b Điểm A  4;3 3 12  1  1   b 3  b a a thuộc đường thẳng nên a b 14 Vì a số nguyên tố nên a 2  a   12 a    b    a    1; 2;3; 4; 6;12 12 0 3   a Vì  Mà a số nguyên tố nên a   5; 7 Với a 5  b 15 Với a 7  b 7 x y x y  1  1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập 15 7 Bài 6: Cho hàm số d1 : y 2 x  1; d : y  x  a) Vẽ đồ thị hàm số d1 , d b) Vẽ đồ thị hàm số d3 c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình m  x  Lời giải   1  2 x 1  x      y  x     x  1 x         b) Ta có c) Từ hình vẽ câu b) ta có: Với m  phương trình vơ nghiệm Với m 0 phương trình có nghiệm Với m  phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 7: 2 Cho hàm số y  x  x   x  x   ax có đồ thị  C  a) Vẽ đồ thị hàm số y  x  1; y 3x  3; y 5 x  b) Xác định a để đồ thị  C  qua điểm B  1;6  Vẽ đồ thị  C  hàm số cho 15 c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  x   x  x  1  m  x Lời giải b) Ta có: y  x  x   x  x   ax  x   x   ax  1 Thay tọa độ B  1;6  vào phương trình đồ thị hàm số (1) ta có:    2.1 1  a.1  a 2 Với a 2 ta có:   1    x  1 x       1  y  x   x   x 3x    x 2     5 x  1 x     c) Dựa vào đồ thị ta thấy Nếu 1 m  1  m 2 phương trình vơ nghiệm 1 1 m   m  2 phương trình có Nếu nghiệm Nếu 1 m  1  m 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 8: Chuyên Hưng Yên, năm học 2019 - 2020 d : y  m   x  m  : y  x  Cho hai đường thẳng     a) Tìm m để d song song song với  A  1;  b) Chứng minh đường thẳng d qua điểm  với m c) Tìm tọa độ điểm B thuộc  cho AB vng góc với  Lời giải m   m     m  m  m  d   a) song song song với  16 d : y  m   x  m b) Thay x  1; y 2 vào phương trình   ta được:  m     1  m   m   m  2 (luôn với m ) A  1;  Vậy đường thẳng d qua điểm  với m c) Cách 1: Vì B      x ;1  x0  tọa độ điểm B có dạng  Điều kiện B khác điểm A hay x0  Giả sử phương trình đường thẳng AB y ax  b Vì A   1;  B  x0 ;1  x0   a  b 2  ax  b 1  x0 nên ta có hệ phương trình   a  b 2  x0   a  x0  1  x0   a   x0  ax0  b 1  x0 Ta có AB      a.a '   x0  5  37   37       16 x0   x0   x0   y0 1    B  ;  17 17 17  17 17  hay x0  Cách 2: Giải sử phương trình đường thẳng AB y ax  b 1 a    a   AB : y  x b     AB      a.a '  4 Ta có hay 1 y  x b A   1;      1  b  b  4 Vì đường thẳng qua điểm y  x 4 Vậy phương trình đường thẳng AB Vậy tọa độ B nghiệm hệ phương trình  y  x  4   y  x  17 5  x   17   37   B ;    17 17   y 37  17 Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Bài 1: Cho ba đường thẳng  d1  : y x  2,  d  : y 2 x  3,  d3  : y  x a) Tìm tọa độ giao điểm d1 , d b) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy c) Tìm m cho ba đường thẳng d1 , d , d3  d  : y mx  đồng quy Lời giải a) Tọa độ giao điểm d1 d nghiệm hệ phương trình  y x   x  2 x   x   y    y 2 x  Vậy tọa độ giao điểm d1 , d M  1;  1 b) Ba đường thẳng d1 , d , d3 đồng quy  M  1;  1  d3    18 c) d1 , d , d3 M cho đồng quy nên đường thẳng đồng quy M  M  1;  1   d    m.1   m  Bài 2: Cho điểm A  0;3 ; B   1;1 ; C  1;5  a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng c) Cho D   2; m  Tìm m để + A, B, D thẳng hàng + A, B, D không thẳng hàng Lời giải a) Gọi phương trình đường thẳng AB y ax  b Vì A  0;3 thuộc đường thẳng AB  a.0  b  b 3 Vì B   1;1 thuộc đường thẳng AB  a   1   a 2 Vậy phương trình đường thẳng AB : y 2 x  b) Ta có 2.1   C  1;5  thuộc đường thẳng AB : y 2 x  Suy điểm A, B, C thẳng hàng c) Ba điểm A, B, D thẳng hàng D   2; m  thuộc đường thẳng AB  m 2      m  Ba điểm A, B, D khơng thẳng hàng  m  Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y   m  x  cắt đường thẳng y 2 x  điểm có hồnh độ -1 Lời giải Đường thẳng y 2 x  qua điểm A  1;  Mặt khác A  1;  thuộc đường thẳng y   m  x  nên ta có:   m     m 2  m 0 Bài 4: 19 d1 : y  x  2, d : y  x  , d3 : y   m  x  2 Cho ba đường thẳng a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 d b) Tìm m để đường thẳng d3 qua A c) Tìm m để ba đường thẳng cho đồng quy Lời giải  y x     A   1;1 y  x   a) Tọa độ giao điểm A nghiệm hệ  2 b) A  d3    m    1   m 2 c) ba đường thẳng đồng quy giao điểm đường thẳng thuộc đường thẳng thứ Ta có A  d3    m    1   m 2 Vậy m 2 Bài 5: Trong mặt phẳng tọa Oxy , độ cho ba Lời giải d1 cắt d M  1;0  Vì thẳng Tìm a để d1 cắt d điểm thuộc d3 d1 : y  x  1, d : y x  1, d : y  ax  a  a  M  1;  đường 1  a  a  a   a  a  a  0 d 3 thuộc nên  3a  3a  3a  0  4a  a  1  a   Bài 6: Cho bốn điểm A  0;   , B  1;   , C  2;1 , D  2,5; 2,5  a) Chứng minh bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng b) Tìm m cho ba điểm A  m;1,  , B   5; 20  , C  7;  16  thẳng hàng Lời giải a) Đường thẳng qua A B y 3x  20