Đs9 cđ8 tam thức bậc hai 1

CHUYÊN ĐỀ: TAM THỨC BẬC HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài 1: Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c 0 A Kiến thức cần nhớ *) Biện luận nghiệm phương trình bậc hai ax  bx  c 0 + Phương trình có hai nghiệm phân biệt   b  4ac  + Phương trình có nghiệm kép   b  4ac 0 + Phương trình vơ nghiệm   b  4ac  B Bài tập Bài 1: Cho phương trình x   m  3 x  m2  0 a) Giải phương trình với m  b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 4 c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt Lời giải 16   m  3  m  0  m  8m  0 b) Vì x 4 nghiệm phương trình nên ta có   84 m    m 4  21  m 64  20 84       84  m 4  21 m   2 c) Ta có  4  m  3   m2  3 24  m  1 + Phương trình có nghiệm kép   0  m  + Phương trình có nghiệm phân biệt     m   Bài 2: Cho phương trình  m  1 x   m  1 x  m  0 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình Lời giải + Với m   x  0  x  + Với m    '  m  1   m  1  m    m  Nếu  '    m    m  , phương trình vơ nghiệm Nếu  ' 0   m  0  m 3 , x  b' m  1   a m 1  m  1 m  x m 1   m  1 m  x m 1 Nếu  '    m    m  , phương trình có nghiệm  Bài 3: Chứng minh phương trình  x  a   x  b    x  b   x  c    x  c   x  a  0 ln có nghiệm với a, b, c Lời giải 2 Phương trình x   a  b  x  ab  x   b  c  x  bc  x   c  a  x  ac 0  x   a  b  c  x   ab  bc  ca  0  '  a  b  c    ab  bc  ca  a  b  c  2ab  2bc  ca   ab  bc  ca  2 a  b  c  ab  bc  ca    a  b    b  c    c  a   0   ' 0, a , b , c   (đpcm) Bài 4: Cho phương trình x  ax  a 0 Tìm a nguyên để phương trình có nghiệm ngun Lời giải Ta có  a  4a a  a   0  a 0  a 4  a    +  a 0  a 0  a    + Với a ngun phương trình có nghiệm ngun  số phương Đặt  k ,  k    a  4a k   a    k 0   a   k   a   k  4 a   k a   k       1 1.4 2.2       Mà  Có a   k  ; a   k    a   k   2k 3  k   + TH1: a   k  a   k   k 0  a 0  a   k   + TH2: (thỏa mãn) Các trường hợp khác tương tự Bài 5: Cho phương trình x  ax  a 0 Tìm a để phương trình: a) Có nghiệm kép b) Có nghiệm c) Vơ nghiệm Lời giải Ta có  a  4a a   a   a 0  a   a  0    a 4 a) Để phương trình có nghiệm kép  a 4  a   a  0    a 0 b) Để phương trình có nghiệm c) Để phương trình vơ nghiệm  a   a     a  Bài 6: m  1 x  x  0 m Cho phương trình  ( tham số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm Khi tìm nghiệm cịn lại (nếu có) Lời giải a) Với m 1 , thay vào phương trình ta có x  0  x   ' 12   m  1 3m  Với m 1 , ta có 3 Khi để phương trình có nghiệm m Vậy với  ' 3m  0  m  phương trình có nghiệm b) Với m 1 phương trình có nghiệm Với m 1 , để phương trình có nghiệm x Khi nghiệm phương trình Vậy với m 1 m Vậy m  b' 1   3 a m 1 3 phương trình có nghiệm c) Để phương trình có nghiệm Thay  ' 3m  0  m  x1  x2  m  m  1 22  2.2  0  m  3    1 x  x  0   x  x  0  4 vào phương trình ta    x 2  x 6  nghiệm lại x2 6 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé hàm số y 4x  x  Từ giải tốn tìm x cho y nguyên Lời giải Hàm số xác định với x nên ta có Xét y 0 x y 4x   yx  x  y  0 x 1 Xét y 0 , phương trình bậc hai có nghiệm x nên  '     y  y   0  y  y  0   y  1  y   0    y 1 Vậy ymax 1 x 2 , ymin  x 1 Bài 8: Cho biểu thức P x x x 1  2x  x   x x  x x x x x2  x Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Lời giải P Điều kiện x  0; x 1 Khi ta có   x x    x  x  x 1  x x  x x  Ta có   2x  x x   x  1 1  x  x  1  x  x  1        x  x  x 1 x  x x  x  x  1  x  x x    x  x  x 1   x  2  x  x  x  1  x  x  1 x  x  x x  x  x 1 P  x x  x 1  x 1 xx x  x x x 1  x x x 1  2x  x   x x  x x x x x2  x x1 x 2  Px   P  1 x  P  0 x  x 1 , ta coi phương trình bậc hai x Nếu P 0   x  0 (vơ lí) Suy P 0 nên để tồn x   P  1  P  P   0   3P  P  0   P  1  phương trình ta có Do P nguyên nên  P  1 + Nếu  P  1  P  1 + Nếu 0  P 1  x 1 (không thỏa mãn điều kiện xác định)  P 2 1    P 2  x  x 0  x 0  P 2 (không thỏa mãn) Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn đề Bài 9: Cho phương trình x  2ax   a  3 0 Tìm a nguyên để phương trình có nghiệm ngun Lời giải 2 Phương trình x  2ax   a  3 0 có  ' a  a  Vì hệ số theo x 1, hệ số x  2a   nên phương trình có nghiệm ngun   ' số phương  a  a  k  k    4a  4a  43 4k   2a  1  11  2k   2a  2k     2a  2k  1  2a  2k  1  11    2a  2k  11 hay 2a  2k   11  2a  2k  1  a 2; k 3    a  3; k 3 (do 2a  2k 1 2a  2k 1 ) Vậy a  3; a 2 Bài 10: Chứng minh phương trình a x   a  b  c  x  b 0 vô nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Lời giải Ta có   a  b  c   4a 2b  a  b  c    2ab   a  2ab  b  c   a  2ab  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c  Vì a, b, c độ dài bâ cạnh tam giác nên a  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  Do   Vậy phương trình vơ nghiệm Bài 11: 2 Chứng minh phương trình a x  bx  c 0 ln có hai nghiệm phân biệt với a, b, c thỏa a a b  c  mãn điều kiện  Lời giải Ta có a  a  b  c    ac   a  a  b    4ac  4a  a  b  4a  4ab Phương trình cho có  b  4ac  b  4a  4ab  b  2a  0    Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Ứng dụng định lí Viét A Kiến thức cần nhớ Định lí Viét: Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c 0 có hai nghiệm x1 , x2 ta có b   S  x1  x2  a   P x x  c  a B Bài tập *) Mẫu số 1: Ứng dụng nhẩm nghiệm - Nếu a  b  c 0  x 1 nghiệm phương trình - Nếu a  b  c 0  x  nghiệm phương trình Bài 1: Cho phương trình  m  1 x   m  1 x  m  0 Biết phương trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm cịn lại Lời giải Vì phương trình có nghiệm x 2   m  1   m  1  m  0  m  0  m  Phương trình có nghiệm cịn lại x m  m 1 *) Mẫu số 2: Hệ thức đối xứng nghiệm Ví dụ: + x12  x22  x1  x2   x1 x2 S  2P x13  x23 S  S  3P  + A  x1  x2  A2  x1  x2   A2 S  4P 1 x1  x2 S    x x x x P 2 + Bài 2: Cho phương trình x  mx  m  0 a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m x12  x22  4 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Lời giải 2 a) Ta có  m   m   m  4m   m     0, m b) Theo định lí Viét ta có x1  x2 m; x1 x2 m  Theo giả thiết 2 2   x12  x22   x1 x2    x1  x2    x1 x2     x1  x2   x1 x2  4   x1  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   x1  x2    m  2 Theo định lí Viét giả thiết ta có   m   m     4   m   m 2 m   m 1 *) Chú ý: Nghiệm phương trình khác   m.1  m  0   0 (đúng) Vậy m 2 *) Cách 2: Vì x1 , x2 nghiệm phương trình x    x22   Ta có  x1  1  x2  1 4   x12  mx1  m  0     x2  mx2  m  0  x12  mx1  m   x2  mx2  m m  x1  1 m  x2   4  m 4  m 2  x1  1  x2  1 Bài 3: Cho Parabol  P  : y  x đường thẳng  d  : y 2mx  m  1 m 0  Tìm m cho đường thẳng  d  cắt  P  hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 2 Lời giải 2 Từ giả thiết x1 , x2 nghiệm phương trình x 2mx  m   x  2mx  m  0 (P) cắt (d) điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt   ' m   m  1   m  m   (luôn đúng) Vậy đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt + Từ giả thiết x1  x2 2  x1  x2 4   x12  x22  x1 x2  4   x1  x2   x1 x2  0  ** Áp dụng định lí Viét, ta có x1  x2 2m; x1 x2 m  Thay vào (**) ta có:  2m   m 0   m  1  0    m 1 (thỏa mãn) Bài 4: 2 Cho Parabol  P  : y ax  a    d  : y 2 x  a 1) Tìm a để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm A, B 2) Gọi xA , xB hồnh độ hai điểm A, B Tìm GTNN T  x A  xB x A x B Lời giải 1) Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) nghiệm phương trình ax 2 x  a  ax  x  a 0  * Để (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B phương trình (*) có nghiệm phân  a 0     '   biệt  a 0  a 0    1  a   a  2) Vì xA , xB nghiệm phương trình (*)   x A  xB  a   x A xB a Áp dụng định lí Viét ta có T Ta có 4 1    2a  2 2a 2 xA  xB xA xB a a a a (bất đẳng thức Côsi) 1  2a   2a 1  a   a   a   a 2 Dấu “=” xảy Bài 5: Cho phương trình x  3x  0 Khơng giải phương trình, tính: 1  x x2 a) 1  x1  x2  x x2 b) x1 x  d) x2  x1  2 c) x  x Lời giải Phương trình có    3  4.2.1 1   phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 , x2   x1  x2    x x 1 2 Theo định lí Viét ta có  1 x1  x2    : 3 x x x x 2 2 a)   x1  x2  x1  x2   x1 x2 2 1    x1 x2 x1 x2 b) Bài 6: Cho phương trình x  3x  0 có hai nghiệm x1 , x2 Khơng giải phương trình tính Q x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x 13 x2 Lời giải  x1  x2 4  Phương trình x  x  0 có hai nghiệm x1 , x2 nên theo định lí Viét ta có  x1 x2 8 Q Khi  Q  2  x1  x2   x1 x2 x12  10 x1 x2  x22  x1  x1 x2  x2   x1 x2   x1 x23  x 13 x2 x1 x2  x12  x22  x1 x2   x1  x2   x1 x2      2.8 17  5.8   2.8 80     Bài 7: 10