CM BDDT bằng tam thức bậc hai

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước DÙNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai. Bài 1. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện ax + by + cz = 0. Chứng minh : xy + yz +zx ≤ 0 (1) Bài giải: Từ ax + by + cz = 0 Vậy: (1) (2) Nếu y = 0 thì (2) => (2) đúng => (1) đúng. Nếu ,khi đó: Quan niệm vế trái của (3) là tam thức bậc hai của có hệ số của là a > 0 và Từ |b-c| < a => , tương tự và Vậy => nên vế trái của (3) luôn >0 => (3) đúng => (1) được chứng minh. Dấu "=" xảy ra < = > x = y = z = 0 Bài 2. Cho và abc = 1.Chứng minh rằng: Violet.vn/luonghienan -luonghienan@yahoo.com Trang 1 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước Từ abc = 1 và do nên chắc chắn a > 0. Ta có: (1) Xét tam thức bậc hai Ta có hệ số của là 1 > 0 và Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x) > 0 với mọi x đúng => đpcm Dạng 2.Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Bài 1. Cho (a+c)(a+b+c)<0. Chứng minh: Nếu a = 0 thì từ giả thiết ta có c(b+c)<0 (1) Bất đẳng thức phải chứng minh có dạng (2) Từ (1) suy ra b ≠ c vậy (2) đúng => đpcm. Nếu a ≠ 0 xét tam thức bậc hai sau: Từ f(0) = a + b + c ; f(-1) = 2(a+c) => từ gải thiết ta có f(0)f(-1) < 0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai => phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt . Hay Violet.vn/luonghienan -luonghienan@yahoo.com Trang 2 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - Lương Hiền An - Trường THCS Triệu Phước BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho các số a,b,c,d,m,n thảo mãn : . Chứng minh rằng: 2. Chứng minh rằng với mọi a,b,c ta đều có: Violet.vn/luonghienan -luonghienan@yahoo.com Trang 3 . có: (1) Xét tam thức bậc hai Ta có hệ số của là 1 > 0 và Theo định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai thì f(x) > 0 với mọi x đúng => đpcm Dạng 2.Sử dụng định lí đảo về dấu của tam thức bậc. Trường THCS Triệu Phước DÙNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1 : Sử dụng định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai. Bài 1. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác còn x,y,z là ba số. 0 xét tam thức bậc hai sau: Từ f(0) = a + b + c ; f(-1) = 2(a+c) => từ gải thiết ta có f(0)f(-1) < 0.Theo định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai => phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm