Bài 10 diện tích hình tròn, hình quạt tròn

BÀI 10 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN  Mục tiêu + Nắm vững cơng thức tính diện tích hình trịn bán kính R S  R + Nắm vững cách tính diện tích hình quạt trịn, hình vành khăn, hình thực tế  Kiến thức + Viết cơng thức tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn, hình vành khăn + Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn + Rút cơng thức tính hình quạt trịn từ cơng thức tính diện tích hình trịn + Vận dụng cơng thức để tính diện tích hình vành khăn tốn thực tế liên quan I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính diện tích hình trịn - Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S  R Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn - Diện tích hình quạt trịn bán kính R , cung n lR  R2n tính theo cơng thức: S  hay S  360 ( l độ dài cung n hình quạt trịn) Cơng thức tính diện tích hình viên phân - Hình viên phân phần hình trịn giới hạn cung dây căng cung - Với hình trịn bán kính R , l độ dài cung n hình quạt trịn - Diện tích hình viên phân giới hạn cung AB dây AB Svp AIB S q AOB  S AOB Cơng thức tính diện tích hình vành khăn - Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm - Diện tích hình trịn  O; R1  S1  R1 - Diện tích hình trịn  O; R2  S  R2 Trang - Diện tích hình vành khăn S S1  S  R12   R22   R12  R22  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Diện tích hình trịn Diện tích hình quạt trịn Diện tích hình viên phân Diện tích hình vành khăn Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn đại lượng liên quan Ví dụ mẫu Ví dụ Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB Gọi M điểm nửa đường trịn, kẻ MH vng góc với AB Vẽ vào phía bên nửa đường trịn  O  nửa đường tròn  O1  đường kính BH , nửa đường trịn  O2  đường kính AH Tính diện tích giới hạn ba nửa đường tròn trên, biết MH 6cm , BH 4cm , AH 9cm Hướng dẫn giải BM  BH  HM 2 13  cm  , AM  AH  HM 3 13  cm   R AM  BM 13   cm  2 2  13  9  6       13 2 S gh           cm2   2 2 Ví dụ Cho đường trịn  O  đường kính AB Lấy M thuộc đoạn AB Vẽ dây CD vuông góc với AB M Giả sử AM 2cm , CD 4 3cm Tính a) Độ dài đường trịn  O  diện tích đường trịn  O  b) Độ dài cung CAD diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OC , OD cung nhỏ CD Hướng dẫn giải a) Ta có AB  CD M  MC MD  CD 2 3cm (quan hệ vuông góc đường kính dây cung) Trang Áp dụng định lý Py-ta-go AMC vuông M ta có  AC  AM  CM 22    AC 4  cm  Ta lại có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Áp dụng hệ thức lượng ACB vuông C đường cao CM ta có: AC 42 AC  AM AB  AB   AB  8  cm  AM 2  R 4  cm   C 8  cm  ; S 16  cm2  b) ACB vuông C trung tuyến CO nên CO  AO  AB 4  cm    AOC ( CO  AO  AC 4  cm  )  AOC 60  COD 120  4.120  16  I CAD    cm ;    S    cm  180 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho đường tròn  O; R   O; R tiếp xúc A Qua A vẽ đường thẳng cắt  O  B cắt  O C a) Chứng tỏ OB / /OC b) Chứng tỏ tỉ số diện tích hai hình quạt nằm góc tâm AOB AOC hai hình trịn không đổi cát tuyến BAC quay quanh A Câu 2: Cho đường tròn  O; R  , đường kính AB cố định Gọi M trung điểm đoạn OB Dây CD vng góc với AB M Điểm E chuyển động cung lớn CD ( E khác A ) Nối AE cắt CD K Nối BE cắt CD H Chứng minh a) Bốn điểm B, M , E , K thuộc đường trịn b) AE AK khơng đổi c) Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn OB, OE cung nhỏ BE tam giác OBE Bài tập nâng cao Câu 3: Cho P điểm chuyển động nửa đường tròn tâm O đường kính MN 2 R Hạ PK  MN , gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MPN , MPK , NPK Độ dài đoạn PK để r1  r2  r3 đạt giá trị lớn nhất? Câu 4: Cho M điểm di động nửa đường trịn đường kính AB 2 R Khi 3MA  MB đạt giá trị lớn bao nhiêu? Câu 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm O , cạnh 6cm Vẽ đường tròn  O; 2cm  Tính diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn  O  HƯỚNG DẪN GIẢI Trang Câu a) Ta có A1  A2 (hai góc đối đỉnh);  ; OAB cân O  A1 B  OAC cân O  A2 C  C  Suy B Mà hai góc vị trí so le nên OB / /OC b) Ta có S qAOB  S  R2 n R2  R2n S  qAOB  (không đổi) , qAOC  360 SqAOC R 360 Câu    sd DE   sdCE a) Ta có MKE    1   sd AD  sd DE  sd AE MBE 2    tứ giác BMEK nội tiếp hay bốn điểm B, M , E , K thuộc đường tròn b) Ta chứng minh ABE ∽ AKM (g.g)  AE AB   AE AK  AB AM (không đổi) AM AK R  c) OBC  BOC 60  S q  Câu Gọi E , F , I tiếp điểm mà đường tròn nội tiếp MNP tiếp xúc với cạnh MN , MP, PN O1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Tứ giác FPIO1 có ba góc vng PO1 phân giác góc P  tứ giác FPIO1 hình vng cạnh r1 Ta có PM  PN PF  FM  PI  IN 2r1  FM  IN  1 Mà MF ME ; NI NK  MF  NI MN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Thay vào  1 ta PM  PN 2r1  MN  2r1 PM  PN  MN   Chứng minh tương tự với MKP ; NKP ta 2r2 KP  KM  MP   2r1 KP  KM  MP   Cộng vế với vế   ,   ,   rút gọn ta Trang  r1  r2  r3  2 KP 2 R  r1  r2  r3 R Dấu " " xảy PK R Câu  3MA  4MB   32  42   MA2  MB  25.4 R 100 R  3MA  4MB 10 R Khi 3MA  MB đạt giá trị lớn 10R Dấu " " xảy MA MB  Câu Gọi giao điểm đường tròn  O; 2cm  hai cạnh AB, AC M N Nối BO cắt AC E , nối AO cắt BC H BE đường cao tam giác ABC cạnh 6cm nên CE 3cm  BE  62  32 3 3cm Xét tam giác OEN vuông E , áp dụng định lý Pitago ta có  BE  EN ON  OE ON    2    2 2  3 1 cm   EN 1 cm   AM  AN 2  cm  Chứng minh tứ giác AMON hình thoi có OA OB 2  cm  MN 2cm (do tam giác MAN đều) Suy S AMOC  AO.MN 2  cm  Diện tích hình quạt trịn OMN S quạt tròn OMN R 60  cm2  360  Đặt diện tích phần bị giới hạn hai cạnh AM ; AN MN S AMN Khi S AMN S AMON S quạt tròn OMN 2  cm2  Gọi diện tích phần phải tính (phần kẻ sọc hình vẽ) S thỡ S S AMON S quạt tròn OMN  Vậy diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn 2   S 3    2 3   4,1 cm      Dạng 2: Tính diện tích hình viên phân, hình vành khăn Ví dụ mẫu Ví dụ Hình viên phân phần hình trịn bao gồm cung dây trước cung Hãy tính diện tích hình viên phân AmB theo R Biết góc tâm AOB 120 bán kính hình trịn R Hướng dẫn giải Trang Kẻ đường cao OH  AB  H  AB    Ta có AOB 120  OAB OBA 30  tam giác AHO tam giác nửa OH  R R AH   AB R 2 1 R R2 Vậy S AOB  AB.OH  R  (đvdt) 2 Sq   R n  R 2120  R (đvdt)   360 360 Do S S  S q AOB    R R R 4  3 (đvdt)    12 Ví dụ Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm a) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1 R2 (giả sử R1  R2 ) b) Tính diện tích hình vành khăn R1 10,5cm ; R2 7,8cm Hướng dẫn giải a) Diện tích hình trịn  O; R1  S1  R1 Diện tích hình trịn  O; R2  S  R2 2 2 Diện tích hình vành khăn S S1  S  R1   R2   R1  R2  2 b) Thay số S   10,5  7,8  155,  cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hai đường tròn có tâm O có bán kính R1 R2 ( R1  R2 ) Các bán kính OA OB đường tròn  O; R1  cắt đường tròn  O; R2  A B Gọi M N trung điểm AA BB Chứng minh diện tích hình ABBA (phần gạch sọc hình) tích hiệu hai bán kính với độ dài cung MN đường tròn Trang  O; OM  Bài tập nâng cao Câu 2: Cho đường tròn  O  đường kính AB , Ax tiếp tuyến đường tròn  O  AC dây cung  ( C  B ) Tia phân giác xAC cắt đường tròn  O  D , AD BC cắt E Gọi K F giao điểm BD với AC Ax a) Chứng minh ABE cân b) Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi EK vng góc AB  c) Cho xAC 60 Chứng minh DB.DK R ba điểm O, K , E thẳng hàng Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngồi đường trịn Câu 3: Hãy tính diện tích hình vành khăn tạo đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh 12cm Câu 4: Cho tam giác AHB có góc H 90 , góc A 30 BH 4cm Tia phân giác góc B cắt AH O Vẽ đường tròn  O; OH  đường tròn  O; OA  a) Chứng minh đường tròn  O; OH  tiếp xúc với cạnh AB b) Tính diện tích hình vành khăn nằm hai đường tròn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Giả sử số đo góc tâm AOB n Ta coi diện tích ABBA hiệu diện tích hai hình quạt trịn AOB AOB ứng với góc tâm n Ta có: SOAB   R12 n 360 S AOB   R22 n 360   R12  R22  n   R1  R2  n Do đó: S ABBA  hay S ABBA  R1  R2  360 360 M trung điểm AA Dễ thấy: OM  Do độ dài cung MN bằng:  lMN    1 R1  R2  R1  R2  n 180   R1  R2  n  360  2 Từ  1   suy ra: S ABBA  R1  R2  lMN  Câu   DC  a) Ta có AD phân giác xAC (giả thiết)  DA  Do ABD CBD hay BD phân giác ABC Trang Lại có BD vng góc AD (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ABE có phân giác BD đồng thời đường cao nên ABE cân B b) Xét AFK có AD phân giác đồng thời đường cao nên AFK cân A Do lại AD đường trung tuyến hay DF DK Lại có DA DE ( ABE cân B ) Do tứ giác EKAF hình bình hành có hai đường chéo FK vng góc AE  EKAF hình thoi  EK / / FA Mà FA vng góc AB nên EK vng góc AB     c) Ta có xAC 60 (giả thiết)  CAB xAD DAK  ABD 30 Do ADK ∽ BDA (g.g)  DA DK   DA2 DB.DK DB DA ABD vng có ABD 30  DA R Vậy DB.DK R Xét tam giác ABE có AC vừa phân giác vừa chiều cao hạ từ A  ABE cân đỉnh A  ABE  EO  AB Mặt khác theo chứng minh câu b) EK  AB  O, K , E thẳng hàng  Ta có ABC vng C có BAC 30  CB R Do AC  AB  BC  R  R  3R R Lại có AOK ∽ ACB (g.g)  AK AO AB AO R.R R   AK    AB AC AC R 2R Mặt khác AFK (tam giác cân có AFK 60 )  AF  AK  3 R 3 Kẻ FH  AC  H  AC  có FH  AF  R Tứ giác ACEF hình thang EF / / AC (tứ giác AKEF hình thoi)  S ACEF  2R  R 3 R  AC  EF  FH   5R    2    Ta có BAC 30  BOC 60  COA 120 Khi hình quạt OAC có diện tích  R 120  R  360 R Kẻ đường cao OI tam giác AOC , ta có OI  OA  (vì AOI tam giác nửa đều) 2 1 R R2 Do S AOC  AC.OI  R  2 Trang    R R R 4 3 Vy S viên phân OAC S q  S AOC  12 Gọi diện tích hình cần tính S , ta có S S ACEF     R 13  4 R R 4  3  Svp    12 12 Câu Gọi O tâm tam giác ABC  O đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC ta có AH  BC (trung tuyến đồng thời đường cao tam giác đều)  bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R OA bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC r OH Ta có BH  BC 6  cm  Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng ABH , ta có AH  AB  BH  122  62 6  cm  Vì tam giác ABC  O đồng thời trọng tâm tam giác ABC  R OA  AH 4  cm  r OH  AH 2  cm  3   diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC S1  R   Diện tích hình trịn nội tiếp tam giác ABC S  r    48  cm  12  cm  Vậy diện tích hình vành khăn tạo đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh 12cm S S1  S 48  12 36  cm  Câu a) Hạ OK vng góc với AB  nên cách hai cạnh góc Tâm O nằm tia phân giác góc B Ta có OK OH nên đường trịn  O; OH  tiếp xúc với cạnh AB Trang 10 b) Tia đối tia AH cắt đường tròn  O; OA  C Nối B với C Ta có AOB cân O (vì A  ABO 30 ) nên OA OB Vậy đường tròn  O; OA  qua B ABC 90 góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  O; OA  Trong tam giác vng ABC , ta có AH HC BH hay  OA  OH   OA  OH  42  OA2  OH 16   2 Nhân hai vế   với  ta  OA  OH   16 2 Mà  OA  OH   diện tích hình vành khăn cần tính Vậy diện tích hình vành khăn nằm hai đường trịn 16  cm  THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ Trang 11