Hh9 chủ đề 19 độ dài đường tròn diện tích hình tròn, hình quạt tròn ( 2 buổi )

HH9-CHỦ ĐỀ 19.ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN- DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN ( BUỔI ) VẤN ĐỀ 1.ĐỘ ĐÀI ĐƯỜNG TRỊN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) C đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: C 2 R C  d (với d 2R) Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, độ dài  cung no tính theo  Rn cơng thức:   180 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn Phương pháp giải Vận dụng cơng thức tính độ dài đường trịn (chu vi đường trịn) cơng thức tính độ dài cung trịn để tính tốn Câu Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung gấp ba lần cung a) Tính số đo độ dài cung lớn b) Tính góc tam giác OAB c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB Hướng dẫn giải a) Gọi số đo cung nhỏ x Gọi số đo cung lớn y Theo ta có hệ phương trình  x 90o  x  y 360o    o  y 270  y 3.x Vậy số đo cung lớn 270° độ dài cung lớn  R.270 3 R  180   x 90o b) Ta có AOB sđAB    Áp dụng định lí tổng ba góc AOB ta có: AOB  OAB  OBA 180 Trang   Mà AOB cân O (OA OB R ) nên OAB OBA    Từ AOB 90o ; OAB OBA 45o c) Kẻ OH  AB  H  AB Mà AOB vuông cân O (theo chứng minh trên) nên ta có OH  AB (tính chất) AB2 OA  OB2 2R (định lí Py-ta-go) Do OH  R Câu Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD) Nối AC BD cắt K a) Tìm tỉ số đồng dạng KCD với KBA  b) Cho ABC 30 , tính độ dài cung nhỏ AC Lời giải  chung; a) Xét KCD KBA ta có K    (cùng bù ACD ) KCD KBA Suy KCD KBA  g.g   CD R   AB 2R Tỷ số đồng dạng là: CD R   AB 2R R   b) ABC 30o  AOC 60o  l AC   ˆ 60 Đường trịn tâm I, đường kính AB Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB 5cm, B cắt BC D a) Chứng minh AD vng góc với BC b) Gọi K trung điểm AC Chứng minh đường tròn tâm K đường kính AC qua D c) Tính độ dài cung nhỏ BD Lời giải  a) Ta có: BDA 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy AD  BC (điều phải chứng minh) b) ADC vng D, suy DK  AC (tính chất tam giác vuông) Trang  AC  Do D   K;  (điều phải chứng minh)    60o nên IBD  BID  c) IBD cân I có B 60o  60     cm  180  I BD  Câu 4: Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC  OA Biết độ dài đường trịn (O) 4π cm Tính:π cm Tính: a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn Lời giải a) 2 R 4π cm Tính:  R 2  cm    b) AOB 60o (vì OAB đều) BOC 120o  R.120  I BCnhoû     cm  ; I BClớ    cm    n 180 3 Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn Lời giải Gọi M; N; P; Q tiếp điểm cạnh AB; BC; CD; DA với đường tròn Đặt AM QA a; MB NB b; NC PC c; PD QD d Gọi C AB C CD C AD  C BC  nửa chu vi đường tròn ; ; ; 2 2 đường kính AB; CD; AD; BC, ta có: C AB  2  C AB  a b cd 2 C ;  CD   2 2 C CD 2  a b cd 2 Tương tự ta có  C AD   C BC  2  a bc d (điều phải chứng minh) 2 Câu 6: Cho đường tròn (O;R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác  BAC cắt đường tròn (O) D Các tiếp tuyến đường tròn (O;R) C D cắt E Tia CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I Trang a) Chứng minh BC // DE b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp c) Cho BC R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O;R) Lời giải   a) AD phân giác BAC, suy D điểm BC  OD  BC Mà DE tiếp tuyến nên DE  OD  1  2 Từ (1); (2) ta có BC / /DE (điều phải chứng minh)     b) ECD suy AKIC tứ giác nội tiếp  sñCD DAC BAD, (điều phải chứng minh) c) HC  R    HOC 60o  BOC 120o  I BC    R.120   R 180 Câu 7: Cho tam giác ABC cân A, M điểm BC Trên AB, AC lấy D, E cho BM = BD,CM = CE Tìm vị trí điểm M BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác MDE đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lời giải +) Xác định vị trí điểm M: Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp DEM Khi O giao điểm đường trung trực DEM Vì hai tam giác BMD CME tam giác cân nên ta chứng minh O giao điểm hai đường phân giác góc B góc C tam giác ABC, suy O cố định Độ dài đường tròn ngoại tiếp DEM C 2 OM Do C nhỏ OM nhỏ hay OM vng góc với BC, M trung điểm BC +) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tam giác đường tròn nội tiếp tam giác: Khi A, O, M thẳng hàng nên BO tiếp tuyến đường tròn (O;OM) Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC tiếp tuyến đường trịn (O;OM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Vậy đường trịn ngoại tiếp tam giác DME đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 8: Cho K điểm chuyển động đường tròn tâm O đường kính MN Tìm vị trí điểm K để chu vi MNK đạt giá trị lớn Lời giải Trang 4π cm Tính: Chu vi KMN CKMN MN  KM  KN, MN khơng đổi nên chu vi KMN đạt giá trị lớn phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn Có thể tư theo hướng: tất tam giác vng có cạnh huyền tam giác vng cân có chu vi lớn mở rộng tất hình chữ nhật có đường chéo hình vng có chu vi lớn Áp dụng định lý Py-ta-go KMN vng K ta có: KM  KN MN Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: (1.KM  1.KN)  12  12   KM  KN  2MN  KM  KN  2MN 2R Do KM + KN đạt giá trị lớn 2R KM KN  Khi K điểm MN Dạng 2: So sánh độ dài hai cung Phương pháp giải Tính độ dài cung theo bán kính đường trịn theo số đo cung so sánh kết Câu Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng cho B nằm A C Chứng minh độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường tròn đường kính AB BC Lời giải Gọi C1 , C2 , C3 độ dài nửa đường trịn đường kính AC, AB BC Ta có C1  AC; C2  AB; C3  BC  C2  C3   AB  BC   AC C1 Vậy C1 C2  C3 Trang Câu Một tam giác hình vng có chu vi 72 cm Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu? Lời giải Độ dài cạnh tam giác 72 : 24π cm Tính:  cm  Độ dài cạnh hình vng 72 : 4π cm Tính: 18  cm  Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác R1  24π cm Tính: 8  cm  2sin 60o Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng R2  18 9  cm  2sin 4π cm Tính:5o Vì  nên R  R , độ dài đường trịn ngoại tiếp tam giác lớn độ dài đường trịn ngoại tiếp hình vng Hiệu độ dài C1  C 2 ( R  R ) 2 (8  )  cm  Câu 3: Cho đường trịn (O;R)  a) Tính góc AOB biết độ dài cung AB R 4π cm Tính: b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C cho AOC tam giác AC cắt đoạn OB Tính độ dài cung lớn AC BC Lời giải a) Gọi x số đo cung nhỏ AB, ta có:  R  Rx    x 4π cm Tính:5  AOB 4π cm Tính:5o 4π cm Tính: 180  60o nên số đo cung lớn AC 300° b) Vì sđAC  Do I AC   R300 5 R  180  60o  45 105 nên số đo cung lớn BC 255° Ta có sđBC  I BC    R255 17 R  180 12 Trang Câu 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên AB lấy hai điểm C D (C nằm A D) Vẽ nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB Chứng minh tổng độ dài ba nửa đường tròn độ dài nửa đường tròn đường kính AB Lời giải Gọi C1 , C , C3 , C 4π cm Tính: độ dài nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB AB Ta có: C1   AC  CD  DB ; C2  ; C3  2  C1  C  C3     AC  CD  DB   AB C4π cm Tính: 2 Vậy C1  C2  C3 C4π cm Tính: Trang VẤN ĐỀ DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, HÌNH QUẠT TRỊN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cơng thức tính diện tích hình trịn - Diện tích S hình trịn bán kính R tính theo cơng thức: S  R Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn - Diện tích hình quạt trịn bán kính R , cung n lR  R2n tính theo cơng thức: S  hay S  ( l 360 độ dài cung n hình quạt trịn) Cơng thức tính diện tích hình viên phân - Hình viên phân phần hình trịn giới hạn cung dây căng cung - Với hình trịn bán kính R , l độ dài cung n hình quạt trịn - Diện tích hình viên phân giới hạn cung AB dây AB Svp AIB S q AOB  S AOB Cơng thức tính diện tích hình vành khăn - Hình vành khăn phần hình tròn nằm hai đường tròn đồng tâm - Diện tích hình trịn  O; R1  S1  R1 - Diện tích hình trịn  O; R2  S  R2 - Diện tích hình vành khăn S S1  S  R12   R22   R12  R22  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích hình trịn, hình quạt trịn đại lượng liên quan Trang Câu Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB Gọi M điểm nửa đường trịn, kẻ MH vng góc với AB Vẽ vào phía bên nửa đường tròn  O  nửa đường tròn  O1  đường kính BH , nửa đường trịn  O2  đường kính AH Tính diện tích giới hạn ba nửa đường tròn trên, biết MH 6cm , BH 4π cm Tính:cm , AH 9cm Lời giải BM  BH  HM 2 13  cm  , AM  AH  HM 3 13  cm   R AM  BM 13   cm  2 2  13  9  6       13 2 S gh           cm2   2 2 Câu Cho đường trịn  O  đường kính AB Lấy M thuộc đoạn AB Vẽ dây CD vng góc với AB M Giả sử AM 2cm , CD 4π cm Tính: 3cm Tính a) Độ dài đường tròn  O  diện tích đường trịn  O  b) Độ dài cung CAD diện tích hình quạt trịn giới hạn hai bán kính OC , OD cung nhỏ CD Lời giải a) Ta có AB  CD M  MC MD  CD 2 3cm (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Áp dụng định lý Py-ta-go AMC vuông M ta có  AC  AM  CM 22    AC 4π cm Tính:  cm  Trang Ta lại có ACB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Áp dụng hệ thức lượng ACB vng C đường cao CM ta có: AC  AM AB  AB  AC 4π cm Tính:2  AB  8  cm  AM  R 4π cm Tính:  cm   C 8  cm  ; S 16  cm2  b) ACB vuông C trung tuyến CO nên CO  AO  AB 4π cm Tính:  cm    AOC ( CO  AO  AC 4π cm Tính:  cm  )  AOC 60  COD 120  4π cm Tính:.120  I CAD    cm   ; S   4π cm Tính: 16   cm2   180 3 Câu 3: Cho P điểm chuyển động nửa đường trịn tâm O đường kính MN 2 R Hạ PK  MN , gọi r1 , r2 , r3 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MPN , MPK , NPK Độ dài đoạn PK để r1  r2  r3 đạt giá trị lớn nhất? Lời giải Gọi E , F , I tiếp điểm mà đường tròn nội tiếp MNP tiếp xúc với cạnh MN , MP, PN O1 tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP Tứ giác FPIO1 có ba góc vng PO1 phân giác góc P  tứ giác FPIO1 hình vng cạnh r1 Ta có PM  PN PF  FM  PI  IN 2r1  FM  IN  1 Mà MF ME ; NI  NK  MF  NI MN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Thay vào  1 ta PM  PN 2r1  MN  2r1 PM  PN  MN   Chứng minh tương tự với MKP ; NKP ta 2r2 KP  KM  MP   2r1 KP  KM  MP   Cộng vế với vế   ,   ,   rút gọn ta  r1  r2  r3  2 KP 2 R  r1  r2  r3 R Dấu " " xảy PK R Câu 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm O , cạnh 6cm Vẽ đường trịn  O; 2cm  Tính diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn  O  Lời giải Gọi giao điểm đường tròn  O; 2cm  hai cạnh AB, AC M N Trang 10 Nối BO cắt AC E , nối AO cắt BC H BE đường cao tam giác ABC cạnh 6cm nên CE 3cm  BE  62  32 3 3cm Xét tam giác OEN vuông E , áp dụng định lý Pitago ta có  BE  EN ON  OE ON    2    2 2  3 1 cm   EN 1 cm   AM  AN 2  cm  Chứng minh tứ giác AMON hình thoi có OA OB 2  cm  MN 2cm (do tam giác MAN đều) Suy S AMOC  AO.MN 2  cm  Diện tích hình quạt trịn OMN S qu¹t trßn OMN   R 60 2   cm2  360  Đặt diện tích phần bị giới hạn hai cạnh AM ; AN MN S AMN Khi S AMN S AMON S quạt tròn OMN  cm2  Gọi diện tích phần phải tính (phần kẻ sọc hình vẽ) S S S AMON S quạt tròn OMN  Vậy diện tích phần tam giác nằm ngồi hình trịn 2   S 3    2 3   4π cm Tính:,1 cm      Dạng 2: Tính diện tích hình viên phân, hình vành khăn Ví dụ mẫu Ví dụ Hình viên phân phần hình trịn bao gồm cung dây trước cung Hãy tính diện tích hình viên phân AmB theo R Biết góc tâm AOB 120 bán kính hình trịn R Hướng dẫn giải Kẻ đường cao OH  AB  H  AB    Ta có AOB 120  OAB OBA 30  tam giác AHO tam giác nửa OH  R R AH   AB R 2 1 R R2 Vậy S AOB  AB.OH  R  (đvdt) 2 4π cm Tính: Sq   R n  R 2120  R (đvdt)   360 360 Trang 11    R R R 4π cm Tính:  3 (đvdt) Do S S  S   q AOB  4π cm Tính: 12 Ví dụ Hình vành khăn phần hình trịn nằm hai đường trịn đồng tâm a) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1 R2 (giả sử R1  R2 ) b) Tính diện tích hình vành khăn R1 10,5cm ; R2 7,8cm Hướng dẫn giải a) Diện tích hình tròn  O; R1  S1  R1 Diện tích hình trịn  O; R2  S  R2 2 2 Diện tích hình vành khăn S S1  S  R1   R2   R1  R2  2 b) Thay số S   10,5  7,8  155,  cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hai đường trịn có tâm O có bán kính R1 R2 ( R1  R2 ) Các bán kính OA OB đường tròn  O; R2   O; R1  cắt đường tròn A B Gọi M N trung điểm AA BB Chứng minh diện tích hình ABBA (phần gạch sọc hình) tích hiệu hai bán kính với độ dài cung MN đường tròn  O; OM  Bài tập nâng cao Câu 2: Cho đường trịn  O  đường kính AB , Ax tiếp tuyến đường tròn  O  AC dây  cung ( C  B ) Tia phân giác xAC cắt đường tròn  O  D , AD BC cắt E Gọi K F giao điểm BD với AC Ax a) Chứng minh ABE cân b) Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi EK vng góc AB Trang 12  Cho xAC 60 Chứng minh DB.DK R ba điểm O, K , E thẳng hàng Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngồi đường trịn c) Câu 3: Hãy tính diện tích hình vành khăn tạo đường trịn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh 12cm Câu 4: Cho tam giác AHB có góc H 90 , góc A 30 BH 4π cm Tính:cm Tia phân giác góc B cắt AH O Vẽ đường tròn  O; OH  đường tròn  O; OA  a) Chứng minh đường tròn  O; OH  tiếp xúc với cạnh AB b) Tính diện tích hình vành khăn nằm hai đường tròn HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Giả sử số đo góc tâm AOB n Ta coi diện tích ABBA hiệu diện tích hai hình quạt trịn AOB AOB ứng với góc tâm n Ta có: SOAB  R12 n  360  R22 n S AOB  360   R12  R22  n   R1  R2  n Do đó: S ABBA  hay S ABBA  R1  R2  360 360  1 M trung điểm AA Dễ thấy: OM  Do độ dài cung MN bằng:  lMN   R1  R2  R1  R2  n 180   R1  R2  n  360  2 Từ  1   suy ra: S ABBA  R1  R2  lMN  Câu a)   DC  Ta có AD phân giác xAC (giả thiết)  DA  Do ABD CBD hay BD phân giác ABC Lại có BD vng góc AD (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy ABE có phân giác BD đồng thời đường cao nên ABE cân B b) Xét AFK có AD phân giác đồng thời đường cao nên AFK cân A Do lại AD đường trung tuyến hay DF DK Lại có DA DE ( ABE cân B ) Do tứ giác EKAF hình bình hành có hai đường chéo FK vng góc AE  EKAF hình thoi  EK / / FA Trang 13 Mà FA vng góc AB nên EK vng góc AB c)     Ta có xAC 60 (giả thiết)  CAB xAD DAK  ABD 30 Do ADK ∽ BDA (g.g)  DA DK   DA2 DB.DK DB DA ABD vuông có ABD 30  DA R Vậy DB.DK R Xét tam giác ABE có AC vừa phân giác vừa chiều cao hạ từ A  ABE cân đỉnh A  ABE  EO  AB Mặt khác theo chứng minh câu b) EK  AB  O, K , E thẳng hàng  Ta có ABC vng C có BAC 30  CB R Do AC  AB  BC  4π cm Tính: R  R  3R R Lại có AOK ∽ ACB (g.g)  AK AO AB AO R.R R   AK    AB AC AC R 2R Mặt khác AFK (tam giác cân có AFK 60 )  AF  AK  3 R 3 Kẻ FH  AC  H  AC  có FH  AF  R Tứ giác ACEF hình thang EF / / AC (tứ giác AKEF hình thoi)  S ACEF  2R  R 3 R  AC  EF  FH   5R    2    Ta có BAC 30  BOC 60  COA 120 Khi hình quạt OAC có diện tích  R 120  R  360 R Kẻ đường cao OI tam giác AOC , ta có OI  OA  (vì AOI tam giác nửa đều) 2 1 R R2 Do S AOC  AC.OI  R  2 4π cm Tính:    R R R 4π cm Tính:  3 Vậy S  viên phân OAC S q S AOC 4π cm Tính: 12 Gọi diện tích hình cần tính S , ta có S S ACEF     R 13  4π cm Tính: R R 4π cm Tính:  3  Svp    12 12 Câu Trang 14π cm Tính: Gọi O tâm tam giác ABC  O đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Gọi H trung điểm BC ta có AH  BC (trung tuyến đồng thời đường cao tam giác đều)  bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R OA bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC r OH Ta có BH  BC 6  cm  Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng ABH , ta có AH  AB  BH  122  62 6  cm  Vì tam giác ABC  O đồng thời trọng tâm tam giác ABC  R OA  AH 4π cm Tính:  cm  r OH  AH 2  cm  3   diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác ABC S1  R  4π cm Tính:  Diện tích hình trịn nội tiếp tam giác ABC S  r    4π cm Tính:8  cm  12  cm  Vậy diện tích hình vành khăn tạo đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp tam giác ABC cạnh 12cm S S1  S 4π cm Tính:8  12 36  cm  Câu a) Hạ OK vng góc với AB  nên cách hai cạnh góc Tâm O nằm tia phân giác góc B Ta có OK OH nên đường tròn  O; OH  tiếp xúc với cạnh AB b) Tia đối tia AH cắt đường tròn  O; OA  C Nối B với C Ta có AOB cân O (vì A  ABO 30 ) nên OA OB Vậy đường tròn  O; OA  qua B ABC 90 góc nội tiếp chắn nửa đường trịn  O; OA  Trong tam giác vuông ABC , ta có AH HC BH Trang 15 hay  OA  OH   OA  OH  4π cm Tính:2  OA2  OH 16   2 Nhân hai vế   với  ta  OA  OH   16 2 Mà  OA  OH   diện tích hình vành khăn cần tính Vậy diện tích hình vành khăn nằm hai đường tròn 16  cm  Trang 16