Chuyên đề độ dài đường tròn, cung tròn - THCS.TOANMATH.com

Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung lớn BC. Tịa CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I. a) Chứng minh BC song song DE. b) Chứng minh AKIC là tứ giác nộ[r]

ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN, CUNG TRÒN A.TRỌNG TÂM CƠ BẢN CẦN ĐẠT

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Cơng thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài (C) đường trịn bán kính R tính theo cơng thức:

C = 2R C = d (với d = 2R)

2 Cơng thức tính độ dài cung trịn

Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n° tính theo cơng thức:

180

Rn l 

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng Tính độ dài đường tròn, cung tròn

Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức nêu phần Tóm tắt lý thuyết

1.1 Lấy giá trị gần  3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Bán kính R đường trịn

Đường kính d đường

tròn 16

Độ dài c đường tròn 30 25,12

1.2 Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai)

Bán kính R đường trịn 10

Đường kính d đường trịn

Độ dài c đường tròn 9,42 6,28

a) Tính độ dài cung 60° đường trịn có bán kính 3dm

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600mm

2.1

a) Tính độ dài cung 40° đường trịn có bán kính 5dm

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 400mm

3.1 Lấy giá trị gần n 3,14, điền vào ô trông bảng sau (đon vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ):

Bán kính R đường tròn 12 22 5,2

Số đo n° cung tròn 90° 60° 31° 28°

Độ dài / cung tròn 40,6 30,8 8,2

3.2 Lấy giá trị gần  3,14, điền vào ô trống bảng sau (đơn vị độ dài: cm, làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ đến độ):

Bán kính R đường tròn 14 20 4,2

Số đo n° cung tròn 90° 50° 35° 20°

Độ dài l cung tròn 40,6 30,8 4,2

Dạng Một sơ tốn tổng hợp

Phương pháp giải: Áp dụng công thức kiên thức có

4.1 Cho tam giác ABC vng A có AB = 5cm, B = 60° Đường trịn tâm 7, đường kính AB cắt BC D

a) Chứng minh AD vng góc vói BC

b) Chứng minh đường trịn tâm K đường kính AC qua D

c) Tính độ dài cung nhỏ BD

4.2 Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (thuộc cung AD) Nối AC BD cắt M

b) Cho ABC = 30°, tính độ dài cung nhỏ AC

5 Cho đường tròn ( ; )O R với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác

của góc BAC cắt đường tròn ( )O D tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R C D cắt E Tia CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I

Cho BC =R Tính R theo độ dài cung nhỏ BC đường tròn ( ; )O R

6 Cho đường tròn ( ; )O R với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác

của góc BAC cắt đường tròn ( )O D tiếp tuyến đường tròn ( ; )O R C D cắt E Tia CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I Chứng minhAKIC tứ giác nội tiếp

7 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R; .) Kẻ đường kính AD cắt BC tạiH Gọi M

là điểm cung nhỏAC Hạ BK ^AM tạiK Đường thẳng BK cắt CM E Tia BE

cắt đường tròn (O R; ) N (NkhácB).Chứng minh tam giác MBE cân M

8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O R; .) Kẻ đường kính AD cắt BC tạiH Gọi M

là điểm cung nhỏAC Hạ BK ^AM K Đường thẳng BK cắt CM E Tia BE

cắt đường tròn (O R; ) N (NkhácB) Tính độ dài cung nhỏ MN theo R

III BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ NHÀ

1 Cho  = 3,14 Hãy điền vào bảng sau:

Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S

5

94,2

28,26

2 Cho đường (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC  OA Biết độ dài đường tròn (O) 4 cm Tính:

b) Độ dài hai cung BC đường tròn

3 Cho tam giác ABC có AB = AC = 3cm A= 1200 Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

4 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ phía ngồi tứ giác bốn nửa đường trịn có đường kính bốn cạnh tứ giác Chứng minh tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính hai cạnh đối diện tổng độ dài hai nửa đường tròn

5 Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường trịn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK  AM K đường thẳng BK cắt CM E

a) Chứng mnh bốn điểm A, B, H, J thuộc đường tròn

b) Chứng minh tam giác MBE cân M

c) Tịa BE cắt đường tròn (O; R) N (N khác B) Tính độ dài cung nhỏ MN theo R Giả sử A= 400 6 Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác

của BAC cắt đường tròn (O)tại D Các tiếp tuyến đường tròn (O; R) C D cắt E Tịa CD cắt AB K, đường thẳng AD cắt CE I

a) Chứng minh BC song song DE

b) Chứng minh AKIC tứ giác nội tiếp

c) Cho BC = R Tính theo R độ dài cung nhỏ BC đường tròn (O; R) HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ

1.1

Bán kính R đường trịn 4,78

Đường kính d đường tròn 18 16 9,56

Độ dài C đường tròn 56,52 50,24 18,84 30 25,12

1.2

Đường kính d đường tròn 20 16

Độ dài C đường tròn 9,42 62,8 15,7 6,28 50,24

2.1 a) l  dm; b) C600mm;

2.2 a) 10 ;

l   dm b) C400mm;

3.1

Bán kính R đường tròn 12 38,8 22 5,2 16,8

Số đo n0 cung tròn 900 600 80,30 310 280

Độ dài l cung tròn 18,8 40,6 30,8 2,8 8,2

3.2

Bán kính R đường tròn 14 46,5 20 4,2 12

Số đo n0 cung tròn 900 500 88,30 350 200

Độ dài l cung tròn 22 40,6 30,8 2,6 4,2

4.1

a) ADB góc nội tiếp đường kính AB ADBD

b) Do ADC900nên D đường tròn ( ;

2

AC

k )

c) IBD cân I có B600

IBDđều   

5

.60 5

60

180

BD

BID l   cm

Tỷ số đồng dạng là:

CD AB 

b)   

0

30 60

3 AC

R

ABC AOC l 

Bán kính R Đường kính d Độ dài C Diện tích S

5 10 31,4 78,5

3 18,84 28,26

15 30 94,2 706,5

3 18,84 28,26

5

Vì độ dài đường trịn 6p nên 6p =2 pRR =3cm (R bán kính đường trịn) Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ^BC M trung điểm đường nên tứ giác ABOC hình thoi

Suy OB =OC =AB  DABO AOB =60 BOC =120

Suy số đo cung lớn BC 360 -120 =240

Độ dài cung lớn BC 3.240 ( ) 180

l = p = p cm

+ Vì AD tia phân giác BAC D điểm cung BC Nên OD ^BC  phương án D

+ Mà DE ^OD DE( tiếp tuyến ( ))O suy BC / /DE  phương án A

+) Xét ( )O có DAC =DCI (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung DC ) Mà BAD =DAC (AD phân giác) nên KAI =KCI nên tứ giác KICA nội tiếp 7

Xét đường trịn ( )O có tam giác ABC nên sđ AB =sdAC

 360

120

s BC

= đ = =







AMB góc nội tiếp chắn cung   120 60

2 A

AB AMB = sđ B = =





Suy KBM=90 -KMB =90 -60 =30

suy s NMđ =2.NBM =2.30 =60NBM =30 ( cmt) 

BEM = ổỗỗỗốs BC -s NMđ ư÷÷÷ø

( )

1

120 60 30

2

=  -  =  tam giác MBE cân M

Theo câu trước số đo cung NM 600 nên độ dài cung NM 60 .

180

R R

l = p = p

BTVN

1.HS tự làm

2 a) 2R4  R 2cm

b) AOB600 (OAB đều)

 1200

BOC

 



BC

l nhỏ = 120

180

R

cm

  

và  BC

l lớn = 3cm

3 A1200OAC 600

OAC

   R AC 30cm

2

C R cm

  

4 Đặt AB = a; BC = b; CD = c; AD = d

( ) 2

2 2

AB

a

C   a

  Tương tự ( )

2

CD

C  c



Vậy ( ) ( ) ( )

2 2

AB CD

C C

a c



  

Có ( ) ( ) ( )

2 2

BC CD

C C

b d



  

Tứ giác ABCD ngoại tiếp, kết hợp tính chất tiếp  a + c = b + d  ĐPCM

5 HS tự làm

 D điểm BCODBC Mà DE tiếp tuyến  ĐPCM

b) 

ECD sđCD DAC BAD   ĐPCM

c)  600  1200

2

P

HC HOC BOC



0

.120

180

BC R

l  R

  

B.NÂNG CAO PHÁT TRIỂN TƯ DUY

Bài Cho đường tròn (O;R) Hai tiếp tuyến A, B cắt M tạo với góc 60

a) Tính độ dài cung lớn AB theo R

b) Tìm diện tích hình giới hạn hai tiếp tuyến cung nhỏ AB

Bài Cho đường tròn (O;R)

a) Tính góc AOB biết độ dài cung nhỏ AB

R

 ;

b) Xác định điểm C cung lớn AB cho kẻ CHAB AHCH; c) Tính độ dài cung AC, BC;

d) Tính chu vi, diện tích ABC

Bài Lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đường tròn (O) cho sđAB 60, sđBC 90; sđCD  120

a) Tứ giác ABCD hình gì?

b) Tính độ dài đường trịn (O) Biết diện tích tứ giác ABCD 100 m2

Bài Cho hình vng ABCD có cạnh cm Tính diện tích phần chung bốn hình trịn có tâm điểm A, B, C, D có bán kính cm

Bài Bên hình chữ nhật kích thước 10 20 có 151 điểm Chứng minh tồn bốn điểm nằm hồn tồn đường trịn có bán kính 1,5

Bài Trong hình vng cạnh l, người ta đặt số đường tròn mà tổng độ dài chúng 2020 Chứng minh tìm đường thẳng cắt 632 đường trịn nói

Bài Cho ABCD hình chữ nhật với AB = 10 cm Vẽ đường trịn (O), (O’) với đường kính AB CD Gọi P Q giao điểm (O), (O’) Biết đường trịn đường kính PQ tiếp xúc với AB CD Tính diện tích phần chung hai đường trịn (O), (O’)

Bài Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = cm đường chéo AC = cm Đường tròn tâm A bán kính R = cm tiếp xúc với đường trịn tâm C M thuộc đoạn AC Đường tròn cắt CB E

cắt CD F Tính tỉ số độ dài cung BD cung EF

Bài 10 Ba đường tròn (O;R),(O ;R ),(O ;R )1 2 với RR1R2, tiếp xúc với đôi

một, đồng thời tiếp xúc với đường thẳng Gọi S S S, ,1 2 diện tích hình trịn

1 2

(O;R),(O ;R ),(O ;R ) Chứng minh rằng:

4 4 4

1

1 1

S  S  S

Bài 11 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, Gọi Ax, By tiếp tuyến A B (O), Tiếp tuyến điểm M tùy ý (O) cắt Ax By C D

a) Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD

b) Cho AB 8cm Tìm vị trí C để chu vi tứ giác ABDC 28cm, tính diện tích phần tứ giác nằm (O)

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

Bài

 360 90 90 60 120 AOB            số đo cung nhỏ AB 120

 số đo cung lớn AB 360 120 240

Độ dài cung lớn AB 240

180

R R

 

 



b) Ta có   1 60

MOAMOB AOB 



tan

MA OA MOA R

  

 Diện tích tứ giác MAOB là:

2

1

2

2 MAOB MAO

S  S  MA AOR

Diện tích hình quạt OAB là:

2

120

360

q

R R

S  

Vậy diện tích giới hạn hai tiếp tuyến cung nhỏ AB là:

2

3 MAOB q

S S S R  

 

Bài

a) Đặt số đo AOB n  

sđ 150  150

180

Rn R

AB n       n  AOB  

b) CH AB AH CH suy CHA vuông cân H

 45

BAC

   sđBC 90

c) sđAC360 150   90 sđAC 120

- Độ dài cung AC 

120 180 AC R R      ;

- Độ dài cung BC 

d) Kẻ  1 75

OK AH BOK  AOB 

.sin 75 0,966 1,932

BK OB R AB R

     

- Ta có sđ 120AC   ACR

- Ta có CH  AC.sin 45 1, 225.R

Do diện tích ABC . 2,367

2

S  AB CH  R

sđBC  90 BC R

Suy chu vi ABC AB BC CA  4,538R

Bài

a) ABCD hình thang cân

b) Gọi R bán kính (O), EF đường cao qua O hình thang

Ta có:

 

2.100 200

3

EF

AB CD R

 

  (1)

 1

2

R

EF OE OF    (2)

Từ (1) (2) suy 20 10 1

R  



Độ dài đường tròn 20 1  (m)

Bài Diện tích tam giác ABC

2

1

3

a S 

Diện tích hình quạt đường trịn bán kính a có góc tâm 60 là:

2

2

6 a

Diện tích hình viên phân tạo cạnh ABC cung nhỏ căng

cạnh là:  

2

3

2 3

12 a S S  S  

Vậy diện tích chung đường trịn

là:  

2

1 3

2 a S  S S   

Bài Gọi a diện tích miền

1, , ,2

a a a a đánh dấu hình

Tương tự, b diện tích miền

1, , ,2

b b b b c diện tích miền c

(miền cần tìm diện tích)

Gọi E giao điểm cung nhỏ AC

đường tròn (D;3cm)và cung nhỏ BD đường tròn (C;3cm)

Gọi SC ED. diện tích hình quạt giới hạn hai bán kính CE, CD cung nhỏ ED

(C;3cm); SED diện tích hình viên phân giới hạn dây cung ED cung nhỏ ED

(C;3cm);

Và 

D EA

S diện tích hình quạt giới

hạn hai bán kính DE, DA cung nhỏ 

EA (D;3cm)

Dễ thấy CDE tam giác cạnh cm

nên

2 3 9 3

4

CDE

a

S   (cm2)

Lại có:  .

9 9

6 4

CDE ED C ED

S S S      (cm2)

 

9 9 3

12 4

D EA ED

a b S S     

Vậy 4  9 3 9 3

ABCD

c S  a b         

  (cm

2)

Bài Chia hình chữ nhật 10 20 thành 50 hình vng cạnh (như hình vẽ) Tồn hình vng chứa bốn điểm Đường trịn có tâm tâm hình vng này, bán kính 1,5 chứa hình vuông Suy điều phải chứng minh

Bài Kẻ đường kính đường trịn song song với cạnh AB hình vng chiếu đường kính lên cạnh AB Các hình chiếu nằm trọn AB

Tổng đường kính 2020

 nên tổng hình chiếu là:

2020 2020

631 631.AB

     (vì AB1)

Mà đường kính  AB nên tồn 632 đường trịn

Tổng hình chiếu 2020 631.AB

  nên tồn điểm AB thuộc 632 hình chiếu Đường thẳng vng góc với AB điểm đường thẳng phải tìm

Bài Ta có (O) (O’) cắt P Q nên OO'PQ

Mặt khác OP OQ O P O Q  '  ' nên OPO Q' hình vng

Do ' 5 , '

2

OO OP  cmPQ cm OH  OO  cm

Diện tích hình quạt OPQ là:

2 .5 902 25

360 360

q

R n

S     cm2

Diện tích OPQ là:

1 25

.5

2 2

S  PQ OH   cm2

 

25

25 25

4

vp q

S S S       (cm2)

Vậy diện tích phần chung hai đường trịn (O), (O’) là:

   

25 25

2

4

vp

S  S      (cm2)

Bài ABCD hình thoi  A C

Đặt A C n   ta có AM  AB5cm

Độ dài cung BD 

.5 180 BD

n

  

Độ dài cung EF 

.3 180 EF

n

  

Suy tỉ số độ dài cung BD EF 



5 BD

EF   

Bài 10 Từ cơng thức tính diện tích hình trịn, ta thấy hệ thức cần chứng minh tương đương với:

1

1 1

R  R  R

 2

R R R R R

  

Kẻ OK O B O N2 , 1 O B OH2 , O A1

Ta có tứ giác O NKH KHAB1 , hình chữ nhật

và ba điểm H, O, K thẳng hàng

Do O N1 HK OH OK  (1)

Mặt khác 2   2 2

1 1

OH OO O H  R R  R R

Suy OH 2 RR1 (2)

Từ (1), (2), (3), (4), suy ra: R R1 R2 R R1 2

Bài 11

a) OCD vuông O (OC OD phân giác hai góc kề bù) I trung điểm CD IO = IC = ID IOAB O nên AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp OCD

b) Đặt ACx(cm) BD y(cm)

 

2 28 10

ABDC

C AB AC BD    x y

Mặt khác OM2 MC MD. xy16

Giải hệ 10 16 x y xy

  

 

 ta x y

   



2 x y

    

Vậy C cách A đoạn AC 2cm BD8cm AC8cm BD2cm Cả hai trường hợp hình thang vng ABCD có diện tích: S1 40 (cm2)

Diện tích nửa hình trịn (O): S28 (cm2)

Vậy phần diện tích tứ giác ABCD nằm ngồi đường tròn:

2 40 (cm ) S S S   

C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

Câu Số đo n cung trịn có độ dài 30, 8cm đường trịn có bán kính 22cm (lấy p  3,14 làm tròn đến độ)

A 70 B 80 C 65 D 85

Câu Số đo n cung trịn có độ dài 40,2cm đường trịn có bán kính 16cm (lấy p  3,14 làm tròn đến độ)

A 144 B 145 C 124 D 72

A 4 ( ) dm

p

B ( ) dm

p

C ( ) dm

p

D 2 ( ) dm

p

Câu Chu vi đường trịn R = bán kính là:

A 18p B 9p C 12p D 27p Câu Chu vi đường trịn bán kính R = 6 là:

A 18p B 9p C 12p D 27p Câu Biết chu vi đường trịn C =48p Tính đường kính đường trịn A 48 B 24 C 36 D 18

Câu Biết chu vi đường tròn C =36 (p cm) Tính đường kính đường trịn

A 18(cm) B 14(cm) C 36(cm) D 20(cm)

Câu Cho ba điểm A B C, , thẳng hàng B nằm A C Chọn khẳng định

A Độ dài nửa đường trịn đường kính AC hiệu độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC

B Độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường tròn đường kính AB BC

C Độ dài nửa đường trịn đường kính BCbằng tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB vàAC

D Độ dài nửa đường trịn đường kính ABbằng tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AC BC

Câu Cho ba điểm A B C, , thẳng hàng C nằm A B, đồng thời

3

AB = AC Chọn khẳng định sai

A Độ dài nửa đường trịn đường kính AB gấp ba lần độ dài nửa đường trịn đường kính AC

B Độ dài nửa đường trịn đường kính AB gấp 1,5 lần độ dài nửa đường tròn đường kính BC

D Độ dài nửa đường trịn đường kính BC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AC AB

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB =5cm B, =60 Đường tròn tâm I , đường

kính AB cắt BC D Chọn khẳng định sai?

A Độ dài cung nhỏ BD ( )I ( ) cm

p

B AD ^BC

C D thuộc đường trịn đường kính AC D Độ dài cung nhỏ BD ( )I 5p6(cm)

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB =4cm B, =50 Đường tròn tâm I , đường

kính AB cắt BC D Chọn khẳng định sai?

A BCA = 40 B Độ dài cung nhỏ BD ( )I ( ) cm

p

C DAC = 50 D Độ dài cung lớn BDcủa ( )I ( ) cm

p

Câu 12 Cho tam giác ABC có AB =AC =4cm A, =100 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp tam

giác ABC

A 6, 22p B 3,11p C 6p D 12, 44p

Câu 13 Cho tam giác ABC có AB =AC = 3cm A, =120 Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp

tam giác ABC

A 12p B 9p C 6p D 3p Câu 14 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh a cm( ) là:

A 4 3( )

a

cm p

B 2 3( )

a

cm p

C 3( )

a

cm p

D 5 3( )

a

cm p

Câu 15 Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 3(cm) là:

A 4 3( )

3 cm

p

B p 3(cm) C 2 3( )

3 cm

p

Câu 16 Cho đường tròn ( )O bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ^OA Biết độ dài đường tròn ( )O (pcm) Độ dài cung lớn BC là:

A 4

p

B 5

p

C 7

p

D 8

p

Câu 17 Cho đường trịn ( )O bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC ^OA Biết độ dài đường tròn ( )O 6 (pcm) Độ dài cung lớn BC là:

A 4

p

B 8p C 4p D 2p

HƯỚNG DẪN Câu Đáp án B

Độ dài cung tròn 22 30, 80

180 180

Rn n

l = p  p = n » 

Câu Đáp án A

Độ dài cung tròn 16 40,2 40,2.180 144

180 180 16

Rn n

l p p n

p

=  =  = » 

Câu Đáp án D

Độ dài cung tròn 4.30 ( )

180 180

Rn

l = p = p = p dm

Câu Đáp án A

Chu vi C =2pR =2 9p =18p

Câu Đáp án C

Chu vi C =2pR =2 6p =12p

Câu Đáp án A

Chu vi C =pd =48p d = 48 Vậy đường kính cần tìm 48 Câu Đáp án C

Câu Đáp án B

Độ dài nửa đường trịn đường kính AC 1

AC

l =p

Độ dài nửa đường trịn đường kính AB 1

AB

l = p

Độ dài nửa đường trịn đường kính BC 1

BC

l =p

Mà ba điểm A B C, , thẳng hàng cho B nằm A C nên AB+BC =AC

Do 1 2 3

2 2 2

AC AB BC AB BC

l =p =pỗỗỗổ + ửữữữ=p +p = +l l

ữ

ỗố ứ

Vy di na ng trũn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn đường kính AB BC

Câu Đáp án D

Độ dài nửa đường trịn đường kính AC 1

AC

l =p

Độ dài nửa đường tròn đường kính AB 1

AB

l = p

Độ dài nửa đường tròn đường kính BC 1

BC

l =p

Mà ba điểm A B C, , thẳng hàng cho C nằm A B AB=3AC

nên 3

AC CB AB

AB AC AB BC ìïï ï + = ïï ï = íï ïï ï = ïïỵ

Do 2 1 3

2 2 2

AB AC BC AC BC

l =p =pỗỗổỗ + ữữữửữ=p +p = +l l

ỗố ứ nờn C ỳng, D sai

Li có 2 3 31

2 2

AB AC AC

AB = AC  =l p = p = p = l nên A

2

3 3

2 2 2

AC BC

AB = BC  =l p = p = l nên B

+ Xét đường tròn ( )I đường kính AB có ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên AD ^BC  phương án B

+) Gọi K trung điểm AC KA=KC =KD K đường trịn đường kính AC 

phương án C

+) Ta có DIBD cân I có Bˆ =60 DIBD nên BID = 60

Độ dài cung nhỏ BD ( )I ( )

.60 5

6 180

l = p  = p cm  phương án D

Câu 11 Đáp án D

+) Xét tam giác ABC vng A có B =ˆ 50 nên C =ˆ 90-50 =40  Do A

+) Vì AC ^AB ;

AB Aẻ ỗổỗỗI ửữữữ

ữ

ỗố ứ nờn AC tiếp tuyến



( )I DAC =Bˆ=50 (góc tạo

bởi tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung nhau) nên C

+) Vì DAC =50 BAD =90-50 =40 suy số đo cung BD nhỏ n = 2.40 =80

Độ dài cung nhỏ BD ( )I

4

.80 8

2 ( )

180

l = p = p cm nên phương án B

+ Số đo cung lớn BD 360 -80 =280 Độ dài cung lớn BD

4 280

2 3 ( )

180

l cm

p

p

= =

Câu 12 Đáp án A

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên AO vừa

đường cao vừa phân giác BAC

Suy  100 50

CAO =  = 

Gọi I giao điểm AO BC Xét tam giác CAI có AC =4;CAI =50

nên sinCAI CI CI AC.sinCAI 4.sin50 ( )

AC cm

=  = = 

Xét tam giác OAC cân O (vì OA=OC )

có OCA =OAC =50 AOC =180-50 -50 =80

Xét tam giác CIO vng I có sin  sin 50 3,11 sin 80

sin

CI IC

COI OC

OC COI

=  = =  »

Nên bán kính đường trịn ngoại tiếp DABC R »3,11cm Chu vi đường tròn ( )O

là C =2pR »6,22 (pcm)

Câu 13 Đáp án C

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì tam giác ABC cân A nên AO vừa

đường cao vừa phân giác BAC

Suy  120 60

Xét tam giác có OA=OC CAO; =60 DCAO nên OA=OC =AC =3cm Nên bán kính đường trịn ngoại tiếp DABC R= 3cm

Chu vi đường tròn ( O) C =2pR =6 (p cm) Câu 14 Đáp án B

Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC, suy O trọng tâm tam giác ABC

Tia CO ^AB D D trung điểm

AB OC = CD

Xét tam giác vng ADC có ; 60 sin 60

a

AC =a CAD =  CD =AC  =

2 3

3

a a

OC

 = = Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

là 2

3

a a

R= C = pR = p

Câu 15 Đáp án D

Tia CO ^AB D D trung điểm

AB OC = CD

Xét tam giác vng ADC có

 3

3; 60 sin 60

2 3

3

AC CAD CD AC

OC cm

= =  = =

 = =

 

Nên bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R= C =2pR=2p 3(cm)

Câu 16 Đáp án D

Vì độ dài đường trịn 4p nên 4p =2 pR R=2cm (R bán kính đường trịn) Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ^BC M trung điểm đường nên tứ giác ABOC hình thoi

Suy OB =OC =AB  DABO AOB =60 BOC =120

Suy số đo cung lớn BC 360-120 =240

Độ dài cung lớn BC 2.240 ( )

180

l = p = p cm

D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Trắc nghiệm:

Bài 1: Độ dài cung 300 đường trịn đường kính 10m là:

2

5

6

A m .5

6

B  m

6

C  cm

3

D  m

Bài 2: Độ dài nửa đường trịn đường kính 8R bằng:

A R B.2R C.4R D.8R Bài 3: Bán kính hình trịn có độ dài cung 300 2là:

Bài 4: Một máy kéo nơng nghiệp có hai bánh sau lớn hai bánh trước Khi bơm căng, bánh sau có bán kính 0,75m, bánh trước có bán kính 0,5m Hỏi máy kéo 471m bánh sau bánh trước lăn số vòng bao nhiêu? (Biết  3,14)

A 100 vòng 150 vòng B 120 vòng 140 vòng

C 100 vòng 120 vòng D 120 vòng 150 vòng

Bài 5: Một đường tròn tâm O có chu vi 18 , cung AB đường trịn có độ dài 6 Tính góc 

AOB?



90

A AOB B AOB.  1500 C AOB.  600 D AOB.  1200

Đáp án:

Câu Câu Câu Câu Câu

B C A A D

Tự luận:

Bài 1: Cho  3,14 Hãy điền vào bảng sau:

Bán kính R Đường kính d Độ dài C

5

94,2

Bài 2: Một bàn hình trịn có bán kính 0,25m Tính chu vi bàn đó, lấy số  3,14

Bài 3: Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M OA vẽ dây BC  OA Biết độ dài đường tròn (O) ( ) cm Tính:

a) Bán kính đường trịn (O) b) Độ dài hai cung BC đường tròn

M

O A

B

O B

A

Bài 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc với A Một đường thẳng qua A

cắt đường tròn (O) B, cắt đường tròn (O) C Chứng minh R 1R

  độ dài

cung AC nửa độ dài cung AB (chỉ xét cung nhỏ AC, AB)

Bài 7: Cho nửa đường trịn (O; 10cm) có đường kính AB

Vẽ hai nửa đường trịn đường kính OA OB

ở nửa đường tròn (O; 10cm)

Tính chu vi hình AOB (Hình vẽ)

Bài 8: Cho ba điểm A, B, C liên tiếp đường thẳng Chứng minh độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính AB BC

Bài 9: Cho đường trịn (O; R)

a) Tính AOB biết độ dài cung AB

R



b) Lấy điểm C cung lớn AB cho BAC 45 0 Tính độ dài cung nhỏ AC BC

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

Bán kính R Đường kính d Độ dài C

5 10 31,4

3 6 18,84

15 30 94,2

Bài 2: Chu vi bàn hình trịn là:C2R2.3,14.0, 25 1,57 M

Bài 3:

a Đơ dài bán kính đường trịn

2 2

C R   R R cm

H

O

B C

A

O A

B H C

2 3( )

BC BM  cm

Vậy độ dài hai cung BC đường trịn là:2 3(cm)

Bài 4: Ta có: AB  BCA điểm nằm cung BC

Suy ra: AOBCBAH HAC600

=> ABH nửa tam giác điều

=> AB = BO =3(cm)

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ABC: C 2R6 ( cm) Bài 5:

Độ dài cạnh tam giác điều: 72:3=24 (cm)

Ta có: AH  AB2 BH2  242122 12 3

2

OA 12 8

3 R

    

Độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác điều:

2 16

C R 

Độ dài cạnh hình vng: 72:4=18

Ta có: NQ NP2PQ2  182182 18 2

9 2

NQ

R 

Độ dài đường trịn ngoại tiếp hình vng:

2 18

C R 

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác điều lớn độ dài hình vng là:

16 318 2 7, 087 Bài 6:

Kẻ đường thẳng OO’ qua A

P O'

N

B A O O' C O B A

Có  '

BAO CAO (đối đỉnh)

Mà BAO ABO (tam giác cân)

Và ' '

ACO CAO (tam giác cân)

ABO ACO'

 

 '

BOA CO A

 

Độ dài cung: AB 

180 180

Rn RBOA

 

 

Độ dài cung: 

 

, ' '

2 AC

180 180 180 2.180

R BOA

R n R CO A  RBOA

  

   

Vậy cung AC nửa độ dài cung AB

Bài 7:

Độ dài cung AO cung OB

2

2,5 ( )

AO OB

r

P P     cm

Độ dài cung AB

2

5 ( )

AB

R

P     cm

Vậy chu vi hình AOB: PAOPOBPAB 2.2,55 10 ( cm)

Bài 8: Gọi C1 độ dài đường trịn đường kính AC, C2, C3 độ dài đường tròn đường kính AB BC

Ta có: C1 .AC; C2 .AB; C3 .BC;

Vì B nằm A C nên AC = AB +BC

Vậy C2C3ABBC(AB BC )AC

Nghĩa độ dài nửa đường trịn đường kính AC tổng độ dài hai nửa đường trịn có đường kính AB BC

Bài 9:

a) Đặt  

180 AB

R AOB  l  

0

5

150

6 180

R R

   

   

b) Ta có: sđCB 900

sđAC3600(150090 ) 1200 

Vậy  

120 90

;

180 180

AC BC

R R R R

l    l  

- HẾT -

45° α

O

B A