C ả 4 đường thẳng trên đều có véctơ chỉ phương vuông góc với véctơ pháp tuyến của mặt phẳng nên các đường thẳng đó hoặc song song, hoặc chứa trong mặt phẳng.. L ấy một điểm bất kì trên [r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG OXYZ
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Vecto phương đường thẳng
Định nghĩa:
• Vecto u ≠0 gọi vecto phương đường thẳng ∆ ≠ 0u có giá song song trùng với đường thẳng ∆
Nhận xét:
+ Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B ∆ có một vectơ phương AB hoặc BA
+Nếu u vectơ phương ∆ ku k ( ≠0) vectơ phương ∆, đường thẳng có vơ số vectơ phương
+ Nếu u v , cặp vecto khơng phương, có giá vng góc với ∆ u v , vecto phương đường thẳng ∆
2 Phương trình đường thẳng
• Đường thẳng ∆ qua điểm M x( 0;y0;z0) có vectơ phương u=(a b c; ; )
có phương
trình tham số ( )
0
0
0
:
x x at
y y bt t
z z ct
= +
∆ = + ∈
= +
Phương trình tắc 0 ( )
:x x y y z z abc
a b c
− − −
∆ = = ≠
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Viết phương trình tham số đường thẳng biết tọa độ điểm thuộc đường thẳng vecto phương
Viết phương trình tắc đường thẳng biết tọa độ điểm thuộc đường thẳng vecto phương
Viết phương trình tắc đường thẳng biết phương trình tham số đường thẳng đó. Viết phương trình tham số đường thẳng biết phương trình tắc đường thẳng Viết phương trình tham số (chính tắc) đường thẳng biết tọa độ điểm thuộc đường thẳng
(3) Viết phương trình tham số (chính tắc) đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng cho trước
Viết phương trình tham số (chính tắc) đường thẳng qua điểm song song với mặt phẳng cho trước
Viết phương trình tham số (chính tắc) đường thẳng giao tuyến mặt phẳng cho trước
Viết phương trình tham số (chính tắc) đường thẳng đường vng góc chung hai đường thẳng …
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2;1; 0) đường
thẳng : 1
1
x− y− z+
∆ = =
− Mặt phẳng qua M vuông góc với ∆ có phương trình
A 3x+ − − = y z B x+4y−2z+ = C x+4y−2z− = D 3x+ − + = y z
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn viết phương trình mặt phẳng hệ trục toạ độ Oxyz biết điểm qua vectơ pháp tuyến
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm vectơ phương đường thẳng ∆ u∆ =(1; 4; 2− )
B2: Gọi ( )P mặt phẳng cần tìm, đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )P nên nP =u∆
B3: Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua điểm M(2;1; 0) có vectơ pháp tuyến nP =u∆
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn C
Đường thẳng ∆ có vectơ phương u∆ =(1; 4; 2− )
Vì đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( )P nên chọn vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( )P (1; 4; 2)
P
n =u∆ = −
Mặt phẳng ( )P qua điểm M(2;1; 0) có vectơ pháp tuyến nP =(1; 4; 2− )
có phương trình
( ) ( ) ( )
1 x−2 +4 y− −1 z−0 =0 hay x+4y−2z− =
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng qua điểm A(1; 2;3− ) có vectơ phương
( )
= − −
(4)A
2
x− y+ z−
= =
− − B
1
2
x− y+ z−
= =
− −
C
2
x− = y+ = z−
− − D
1
2
x+ = y− = z+
− −
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng qua điểm A(1; 2;3− ) có vectơ phương u =(2; 1; 2− − ) có phương trình
1
2
x− = y+ = z−
− −
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng chứa trục Oy có phương trình tham số là
A x y z t = = =
B
0 x y t z = = =
C
0 x t y z = = =
D
0 x y z t = = = Lời giải
Chọn B
Trục Oy qua O(0; 0; 0) có vectơ phương j=(0;1; 0) nên có phương trình
0 x y t z = = =
Câu Cho đường thẳng ( )
1
:
4
x t
d y t t
z t = + = − + ∈ = −
Khi phương trình tắc d là:
A 1
1
x− = y− = z+
− B
1
2 1
x+ = y− = z+
−
C
2 1
x− = y+ = z−
− D
2
2 1
x− = y+ = z−
−
Lời giải
Chọn C
( )
1
:
4
x t
d y t t
z t = + = − + ∈ = −
qua điểm M(1; 3; 4− ) nhận u =(2;1; 1− ) làm vtcp
Vậy :
2 1
x y z
d − = + = −
−
Câu Trong khơng gian Oxyz, đường thẳng Oz có phương trình là
A x y t z t = = =
B
0 x y z t = = = +
C
(5)Lời giải
Chọn B
Đường thẳng Oz nhận k(0; 0;1) làm véc tơ phương qua điểm M(0; 0;1) nên có
phương trình là: 0 x y z t = = = +
(t∈ ) R
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm A(3; 0; 4− có véc tơ phương ) (5;1; 2)
u − có phương trình::
A
5
x− y z−
= =
− B
3
5
x+ y z−
= =
− C
3
5
x+ y z+
= =
− D
3
5
x− y z+
= =
−
Lời giải:
Chọn D
Đường thẳng qua điểm A(3; 0; 4− có véc tơ phương ) u(5;1; 2− ) có phương trình
3
5
x− y z+
= =
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 0; 1− ) có vectơ phương a=(4; 6; 2− ) Phương trình tham số ∆
A. x t y t z t = − + = − = +
B.
2 x t y t z t = − + = − = +
C.
4 x t y t z t = + = − − = +
D.
2 x t y t z t = + = − = − + Lời giải:
Chọn D
Vì ∆ có vectơ phương a=(4; 6; 2− ) nên ∆ nhận vectơ (2; 3;1)
2a= −
làm vectơ
phương Do phương trình tham số ∆
2 x t y t z t = + = − = − +
Câu Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M(3; 1; 2− ) có vectơ phương (4;5; 7)
u= − là:
A. x t y t z t = + = − = − +
B.
4 x t y t z t = − + = − − = +
C.
3 x t y t z t = + = − + = −
D.
3 x t y t z t = − + = + = − −
Lời giải:
(6)Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( )
3
:
3
x t
d y t
z t
= −
= − +
= −
, (t∈ )
Phương trình phương trình tắc đường thẳng ( )d ?
A.
1
x− y+ z
= =
− − B.
3
1
x+ y− z
= =
− −
C.
3
x+ y− z−
= =
− − D.
3
1
x− y+ z−
= =
− −
Lời giải:
Chọn A
( )d : ( )
( )
3; 1;0 1; 2;
qua M vtcp u
−
= − −
Phương trình tắc ( ):
1
x y z
d − = + =
− −
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d qua điểm M(3;3; 2− ) có véctơ phương u =(1;3;1) Phương trình d là:
A 3
1
x+ = y+ = z−
. B 3
1
x− = y− = z+
.
C
3
x− = y− = z−
− . D
1
3
x+ = y+ = z+
−
Lời giải:
Chọn B
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là
A
0
x y z t
= = =
B
0
x t y z
= = =
C
0
x y t z t
= = =
D
1
x t y z
= = =
Lời giải:
Chọn B
Trục Ox qua O(0;0;0) nhận i=(1; 0; 0) làm vectơ phương nên có phương trình
tham số 0
x t y z
= = =
(7)
Câu Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;3) B(2; 4; 1− Phương trình tắc ) đường thẳng AB
A.
1
x+ = y+ = z+
B.
1
x− = y− = z−
−
C.
1
x+ y+ z−
= =
− D
1
1
x+ y+ z+
= =
Lời giải
Chọn B
Ta có AB qua A(1; 2;3) có vectơ phương AB=(1; 2; 4− )⇒ AB:
1
x− y− z−
= =
−
Câu Trong không gian , cho đường thẳng qua điểm có véctơ phương Phương trình sau khơng phải phương trình đường thẳng ?
A B C D
Lời giải
Chọn D
Dễ kiểm tra điểm không thuộc đường thẳng có phương trình đáp án D
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2;1− ) mặt phẳng ( )P :x+ +y 2z− = Đường thẳng sau qua A song song với mặt phẳng ( )P ?
A
1
x− = y+ = z−
B
4
x− = y− = z+
− −
C
1
x+ y− z+
= = D
4
x− y+ z−
= =
− −
Lời giải
Chọn D
Vì d đi qua điểm A(3; 2;1− ) nên loại B, C ( )
d ⊥ P ⇒ n( )P ud =0 nên loại A n ( )P =ud
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2) mặt phẳng ( )P : 2x− +y 3z+ = Đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( )P có phương trình
A 1
2
x+ y+ z+
= =
− B
2
1
x+ y− z+
= =
C
1
x− y+ z−
= = D 1
2
x− y− z−
= =
−
Lời giải
Oxyz M(1; 2;3)
2; 4; 6
u
5 10 15
x t y t z t
2
x t y t z t
1 2
x t y t z t
3 12
x t y t z t
(1; 2;3)
(8)Chọn D
Do đường thẳng ∆ cần tìm vng góc với mặt phẳng ( )P nên véctơ pháp tuyến ( )P
(2; 1;3) P
n = −
cũng véctơ phương ∆ Mặt khác ∆ qua điểm M(1; 1; 2) nên phương trình tắc ∆ 1
2
x− y− z−
= =
−
Câu Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua điểm M(1;1; 2) vng góc với mặt phẳng ( )P :x−2y+3z+ = có phương trình
A
1 2
x t y t z t
= + = − = −
B
1
x t y t z t
= +
= − +
= +
C
1 2
x t y t z t
= − = − = +
D
1 2
x t y t z t
= + = − = +
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )P ⇒ud =nP =(1; 2;3− )
Phương trình đường thẳng
1 :
2
x t d y t
z t
= + = − = +
Câu Trong không gian cho mặt phẳng qua điểm có véctơ pháp tuyến Mặt phẳng chứa đường thẳng đường thẳng sau:
A B C D
Lời giải
Chọn B
Cả đường thẳng có véctơ phương vng góc với véctơ pháp tuyến mặt phẳng nên đường thẳng song song, chứa mặt phẳng
Lấy điểm đường thẳng thay vào phương trình mặt phẳng , ta thấy có đáp án B
Câu Cho điểm A(1; 2;3) hai mặt phẳng ( )P : 2x+2y+ + =z 0, ( )Q : 2x− +y 2z− =1 Phương trình đường thẳng d qua A song song với ( )P ( )Q là
A
1
− = − = −
−
x y z
B
1
− = − = −
−
x y z
C
1
− = − = −
x y z
D
5
− = − = −
− −
x y z
Lời giải
Oxyz ( )P M(1;1;3)
(1;1; 2)
n ( )P
( ) :
x t d y t
z t
( ) : 2
x t d y t
z t
( ) :
x t d y t
z t
1 ( ) :
x t d y t
z t
( ) :P x y 2z 4
( )P ( )P
(9)Chọn D
Ta có ( )P : 2x+2y+ + =z có véctơ pháp tuyến n( )P =(2; 2;1)
( )Q : 2x− +y 2z− =1 có véctơ pháp tuyến n( )Q =(2; 1; 2− ) Đường thẳng d có véctơ phương ud
Do đường thẳng d song song với ( )P ( )Q nên ( )
( )
( ), ( ) (5; 2; 6) d P
d P Q
d Q
u n
u n n u n
⊥
⇒ = = − −
⊥
Mặt khác đường thẳng d qua A(1; 2;3) có véctơ phương ud =(5; 2; 6− − ) nên phương
trình tắc d
5
− − −
= =
− −
x y z
Câu Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 4; ,− ) B(2; 4;3 ,) C(2; 2; − Phương ) trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC là
A
4
1
x
y t
z t
= = +
= − +
B
4
1
x
y t
z t
= = + = +
C
4
1
x
y t
z t
= = +
= − −
D
4
1
x
y t
z t
= = −
= − +
Lời giải
Chọn A
Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A song song với BC Ta có BC=(0;− −2; 4).
Do ∆ song song với BC nên véc tơ phương ∆ u∆ =(0 2; ; ).
Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆
4
x y t z t
= = +
= − +
Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( )α :x−3y+ =z
( )β :x+ − + =y z 0 Phương trình tham số đường thẳng d là
A
2
x t y t z t
= − = − −
B
2
2
x t y t z t
= + = = +
C
2
2
x t y t z t
= − +
= = +
D
2
2
x t y t z t
= + =
= − +
Lời giải
Chọn C
Mặt phẳng ( )α có vectơ pháp tuyến n( )α =(1; 3;1− )
(10)Suy n( )α ,n( )β =(2; 2; 4), một vectơ phương đường thẳng d ud =(1;1; 2)⇒ loại A
+ Đáp án B tọa độ điểm qua (2;0; 2) khơng thỏa mãn phương trình ( )α ⇒ loại đáp án B
+ Đáp án C tọa độ điểm qua (−2;0; 2) thỏa mãn phương trình ( )α ( )β ⇒ đáp án đúng C
+ Đáp án D tọa độ điểm qua (2;0; 2− ) không thỏa mãn phương trình ( )β ⇒ loại đáp án D
Câu 10 Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường vng góc chung ∆ hai đường thẳng
1
1
:
1
x y z
d − = − = −
−
3 :
1
x t d y t
z t
= − =
= − −
A. 2
1
x− = y− = z−
− − B.
3
1 1
x− = y+ = z−
−
C.
3 1
x− y− z−
= =
− D.
1
1
x y z+
= =
Lời giải
Chọn A
Gọi: ∆ ∩ =d1 M(1+t';3−t'; 2 '+ t ) , ∆ ∩d2 =N(−3 ; ; 3t t − − t)
( '; '; 3 ')
MN t t t t t t
⇒= − − − − + − − −
1,
d d lần lượt có vectơ phương u1=(1; 1; ,− ) u2 = −( 3;1; 3− )
Vì ∆ đường vng góc chung d d nên 1; 2
2
' 10 ' 10 ' 19
MN u t t t t t t MN u
= − − = =
⇔ ⇔
+ = − = −
=
(2; 2; ,) (3; 1; ,) (1; 3; 2)
M N MN
⇒ − = − −
Vậy phương trình : 2
1
x− y− z−
∆ = =
− −
Mức độ
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :
3
x y z
d + = − = +
− mặt phẳng ( )P : 2x+ − − =y 2z 12 0 Viết phương trình đường thẳng d′ hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng ( )P
A. :
2
x y z
d′ + = + = −
− B.
1
:
3
x y z
d′ − = − = +
−
.C. :
3 1
x y z
d′ = − = −
− D.
1
:
3
x y z
d′ − = − = −
−
(11)Chọn B
Ta có : d //(P) nên d′//d Do ud′=ud =(3; 4;1− )
( 1;3; 1)
M − − ∈d M ′ hình chiếu vng góc M ( )P
Gọi a đường thẳng qua điểm M vng góc với ( )P
Khi đường thẳng a có phương trình
1
1
x t y t z t
= − +
= +
= − −
Tọa độ điểm M ′ nghiệm hệ phương trình
1
1
4
3
2 12
x t
x y t
y z t
z x y z
= − +
= = +
⇔ =
= − −
= −
+ − − =
Phương trình đường thẳng d′ :
3
x y z
d′ − = − = +
−
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 0;1)
vng góc với hai đường thẳng 1:
x t d y t
z t
=
= − +
= −
2
1
:
4
x t d y t
z t
= −
= − +
= −
là:
A 1
3
x− = =y z−
− B
1
1
x− = =y z−
− C
1
1
x− = y = z−
− D
1
1
x− = =y z−
Lời giải
Chọn D
Đường thẳng d , 1 d l2 ần lượt nhận u1 =(1; 1; 1− )
, u2 = −( 2; 2; 1− ) làm véctơ phương Đường thẳng d cần tìm vng góc với hai đường thẳng d , 1 d 2 nên véctơ phương d là:
( )
1, 1; 3;
u=u u =
Phương trình đường thẳng d 1
1
x− y z−
= =
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x+ −y 2z= hai đường thẳng
1
1
:
1
x y z
d + = − =
−
1
:
3
x y z
d − = − = +
− − Đường thẳng vng góc với ( )P cắt
hai đường thẳng d1 d2có phương trình
A.
3
x+ = y− = z
− B.
5
3
x+ = y = z−
C.
3
x+ = y− = z−
− D.
1 2
3
x− = y− = z−
(12)Lời giải
Chọn A
( )
1 1
1
1
: : ; ;
1
x t
x y z
d d y t M d M t t t
z t
= − −
+ = − = ⇔ = + ⇒ ∈ ⇔ − − +
− =
( )
2 2
1 '
1
: : ' '; '; 4 '
3
4 '
= −
− = − = + ⇔ = − ⇒ ∈ ⇔ − − − +
− − = − +
x t
x y z
d d y t N d N t t t
z t
(2 '; '; 4 ') MN = + −t t − − − − − +t t t t
( )P : 3x+ −y 2z= có VTPT n(3;1; 2− )
Đường thẳng ( )d vng góc với ( )P cắt hai đường thẳng d1 Mvà cắt d2tại N suy
( )
2 ' 3
4 ' ' 1; 2; : ;
4 ' 2
t t k t x s
MN k n t t k t M d y s s
t t k k z s
+ − = = − = +
= ⇔ − − − = ⇔ = ⇒ − ⇒ = + ∈
− − + = − = − = − −
Chọn ( 2;1; 0) :
3
x y z
s= − ⇒ A − ∈ ⇒d d + = − =
−
Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ + − =y z đường thẳng
2
:
2
x y z
d + = + =
− Hình chiếu vng góc đường thẳng d ( )P có phương trình là:
A
5 13
x y− z−
= =
− B
1
2
x y− z−
= =
− C
1
4
x y− z−
= =
− D
1
2
x y− z−
= =
−
Lời giải Chọn B
Ta có vtcp đường thẳng d u2; 1;3 Vtpt mặt phẳng P nP 1;1;1
Gọi Q là mặt phẳng chứa d và vng góc với P Khi
; 4;1;3
Q
Q P
Q P
n u
n u n n n
Điểm M 2; 1; 0 d M Q
(13)Khi vtcp d udn nP; Q 2; 7; 5
Điểm N0;1; 2 P Q suy chọn
phương án B
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) đường thẳng :
2
x y z
d − = − = +
− Đường thẳng qua A, vng góc với d cắt trục Ox có phương trình là
A
2 = +
= +
= +
x t y t z t
B
1 2 = − +
= =
x t y t z t
C
1 2 = − +
= − =
x t y t z t
D
2 3 = +
= +
= +
x t y t z t
Lời giải
Chọn B
Đường thẳng d có véc tơ phương ud =(2;1; 2− ) Gọi đường thẳng cần tìm ∆
Gọi M a( ;0;0) là điểm thuộc trục Ox mà đường thẳng ∆ qua, suy MA= −(1 a; 2;3) véc tơ phương ∆ Vì đường thẳng ∆ vng góc với d nên:
( ) ( ) ( )
2.1 1; 0;
d d
MA⊥u ⇔MAu = ⇔ −a + + − = ⇔ = − ⇒a M −
Đường thẳng ∆ qua M(−1;0;0), nhận MA=(2; 2;3) làm véc tơ phương suy ∆
có phương trình ( )
2
x t y t t z t
= − +
= =
∈
Cách 2:
+ Mặt phẳng ( )P qua A(1; 2;3) vng góc với d nên ( )P nhận vectơ phương d
(2;1; 2)
= −
d
u làm vetơ pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng ( )P : 2(x− +1) (1 y− −2) (2 z− = ⇔3) 2x+ −y 2z+ =2 + Tọa độ giao điểm M của trục Ox mặt phẳng ( )P nghiệm hệ phương trình:
0
0
2 2 2 0
= = =
+ − + =
x t
y
z
x y z
( )
1 1;0;0
(14)+ Đường thẳng cần tìm qua hai điểm A M, nên nhận vectơ
( 2; 2; 3) (2; 2;3)
AM = − − − = −
làm vectơ phương, có phương trình tham số:
1 2
2
3 = − +
= =
x t
y t
z t
, t∈
Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x+ −y 2z+ = đường thẳng : 3
1
x y z
d − = + = −
− Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua A(0; 1; 4− ),
vng góc với d nằm ( )P là:
A
5
:
4
x t
y t
z t
=
∆ = − +
= +
B
2 :
4
x t y t z t
= ∆ =
= −
C : =
∆ = −
= +
x t
y
z t
D :
x t y t z t
= −
∆ = − + = +
Lời giải
Chọn C
Ta thấy : A∈( )P Mặt phẳng ( )P có véctơ pháp tuyến n =(2;1; 2− ), đường thẳng d có véctơ phương ud = −( 1; 2;1)
Vì đường thẳng ∆ qua A(0; 1; 4− ), vng góc với d nằm ( )P nên đường thẳng ∆
có véctơ phương u=ud,n = − ( 5; 0; 5− )
nên chọn u∆ =(1; 0;1)
Khi đó, phương trình tham số đường thẳng : =
∆ = −
= +
x t
y
z t
Câu Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(2;1; ,− ) B(−2;3;1) C(0; 1;3− ) Gọi
d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng
(ABC) Phương trình đường thẳng d là
A. 1
1 1
x+ y− z−
= = B.
1 1
x+ y z
= =
C.
2 1
x = y− = z
− D.
1
1 1
x− = =y z
Lời giải
Chọn B
Ta có: AB= −( 4; 2; 2)⇒ AB= 16 4+ + =2 ( 2; 2; 4) 4 16
AC= − − ⇒AC = + + =
4 16
(15)Vậy tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G(0;1;1) Do phương trình đường thẳng d qua G(0;1;1)
có véctơ phương , (1;1;1)
12
= =
u AB AC hay, :
1
x t d y t
z t
= = + = +
Vậy đường thẳng d qua điểm A(−1; 0; 0) có véctơ phương u=(1;1;1) nên chọn B
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;1;0và đường thẳng : 1
2 1
x y z d
Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt vng góc với đường thẳng d
A.
1
x− = y− = z
B
1
x− = y− = z
−
C.
2
x− = y− = z
− D.
2
1
x− = y− = z
− −
Lời giải
Chọn D
Gọi N12 ; 1t giao điểm đường thẳng t; t đường thẳng d
Lúc đường thẳng nhận MN2t1;t 2; t làm vectơ phương
Mặt khác vng góc với đường thẳng d nên ta có: 2 2 1 2
t t t t
Với
t đường thẳng nhận 1; 4; 3
MN
u 1; 4; 2 làm vtcp
Phương trình đường thẳng :
1
x y z
Câu Viết phương trình đường thẳng d qua A(1; 2;3) cắt đường thẳng 1:
2 1
x y z
d = = − song
song với mặt phẳng ( )P :x+ − − = y z
A
2
3
x t
y t
z t
= + = − = +
B
1
2
3
x t
y t
z
= + = + =
C.
1
2
3
x t
y t
z
= + = − =
D
1
2
3
x t
y t
z t
= + = + = +
Lời giải
Chọn C
Do d∩ =d1 B ⇒B(2 ; ;m m m+2) ⇒AB=(2m−1;m−2;m−1)
d song song với mặt phẳng ( )P nênAB n ( )P = ⇔0 2( m− +1) (1 m− −2) (m− =1)
1
m
(16)(1; 1; 0)
AB
⇒= − ⇒phương trình đường thẳng
1
:
3
x t
d y t
z
= + = − =
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x− + − = , điểm y z 10 A(1;3; 2) đường thẳng : 1
2 1
x y z d + = − = −
− Tìm phương trình đường thẳng ∆ cắt ( )P d lần lượt M N cho A là trung điểm MN
A
7
x+ y+ z−
= =
− B
6
7
x− y− z+
= =
−
C
7
x− = y− = z+
− − D
6
7
x− = y+ = z−
− −
Lời giải
Chọn A
Ta có N = ∆ ∩ ⇒d N(− +2 ;1t +t;1− t)
A là trung điểm MN ⇒M(4 ;5− t −t;3+ t)
Mà M∈( )P nên tọa độ M thỏa phương trình ( )P , ta được:
( ) ( ) ( )
2 2− t − − + + − = ⇔ = −5 t t 10 t 2⇒N(− −6; 1;3 ,) (M 8; 7;1)
Đường thẳng ∆ qua hai điểm M N nên có một vectơ phương (7 ; 4; 1)
u = NM = −
⇒ Phương trình đường thẳng ∆:
7
x+ y+ z−
= =
−
Mức độ
Câu Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(−3;3; 3− )thuộc mặt phẳng ( )α có phương trình
2 – 2x y+ +z 15=0và mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =100 Đường thẳng ∆
qua A, nằm mặt phẳng ( )α cắt ( )S M , N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng ∆
A 3
1
x+ = y− = z +
B 3
16 11 10
x+ = y− = z +
−
C
3 5
3
3 8
x t
y
z t
= − +
=
= − +
D 3
1
x+ = y− = z +
Lời giải
Chọn A
(17)
Gọi H, K hình chiếu vuống góc I lên ∆ mặt phẳng ( )α ( )
IK α
⇒ ⊥ nên phương trình đường thẳng IK qua I vng góc với mặt phẳng ( )α
Phương trình tham số đường thẳng IK:
2
x t y t z t
= + = − = +
Tọa độ điểm K nghiệm hệ phương trình
2
2 15
x t y t z t
x y z
= + = − = +
− + + =
⇒ K(−2; 7;3)
Vì ∆ ⊂( )α nên IH ≥IK Do đó, IH nhỏ H trùng với K
Để MN lớn IH phải nhỏ Khi đó, đường thẳng ∆ cần tìm qua A K
Đường thẳng ∆ có phương trình là: 3
1
x+ = y− = z +
Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm 3; 0;
A
,
3 0; ;
2
B
, C(0; 0; 3− mặt cầu ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
: 36
S x− + y− + −z = Gọi ∆ đường
thẳng qua điểm E, nằm ( )P cắt ( )S tại hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương
trình ∆
A
2 9
x t y t z t
= + = + = +
B
2 3
x t y t z
= − = + =
C
x t y t z
= + = − =
D
2 3
x t y t z t
= + = + = −
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
A
K I
(18)Mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm 3; 0;
A
,
3 0; ;
2
B
, C(0; 0; 3− nên phương trình ) ( )P
2
1 2
3 3
x y z
x y z
+ + = ⇔ + − − =
− Dễ thấy E∈( )P
Mặt cầu ( )S có tâm I(3; 2;5), bán kính R=
Giả sử K hình chiếu I lên ( )P , ta có: ( )
( )
/ 2
2
2.3 2.2 3
2
I P
IK =d = + − − =
+ + −
Do IK <R nên ( )S ( )P cắt giao tuyến chúng đường tròn tâm K Lại có IE= (2 3− ) (2+ −1 2) (2 + −3 5)2 = ⇒IE< , nên R E nằm mặt cầu ( )S Mà
( )
E∈ P nên E nằm đường tròn giao tuyến ( )S ( )P
Giả sử ∆ cắt ( )S tại D G , F hình chiếu K lên ∆ Qua E kẻ đường thẳng vng góc với EK, nằm ( )P , cắt ( )S tại M N Ta có KF≤KE ⇒DG≥MN (theo tính chất mối quan hệ dây cung khoảng cách từ dây cung tới tâm)
Mà MN không đổi nên DG nhỏ E≡F Khi ∆ ⊥KE, ngồi
( )
IK ⊥ P ⇒ ∆ ⊥IK , ∆ ⊥(IKE)⇒ ∆ ⊥IE
Vậy u ∆ ⊥IE; u ∆ ⊥nP, mà IE= − − −( 1; 1; 2), nP =(2; 2; 1− )
Ta có: IE n; P =(5; 5; 0− ), chọn u∆ =(1; 1; 0− )
Vì ∆ qua E(2;1;3) nên phương trình ∆
x t y t z
= + = − =
Chọn C
Cách 2:
Mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm 3; 0;
A
,
3 0; ;
2
B
, C(0; 0; 3− nên phương trình ) ( )P
2
1 2
3 3
x y z
x y z
+ + = ⇔ + − − =
− Dễ thấy E∈( )P
Thay tọa độ điểm E vào vế trái phương trình ( )S ta : 12+ + = <12 22 36 Do E
(19)Gọi ,M N giao điểm ∆ mặt cầu ( )S Khi ta có:
2
2 ( ( , ))
MN = R − d I ∆ , với ,R I bán kính tâm mặt cầu ( )S Do MN nhỏ d I ∆( , ) lớn
Ta lại có: d I( , )∆ ≤IE , với IE cố định
Do đó: max ( , ) IEd I ∆ = Khi đó: u ∆ ⊥IE; u ∆ ⊥nP, mà IE= − − −( 1; 1; 2), nP =(2; 2; 1− )
Ta có: IE n; P =(5; 5; 0− ), chọn u∆ =(1; 1; 0− )
Ngoài ∆ qua E(2;1;3) nên phương trình ∆
x t y t z
= + = − =
Chọn C
Câu Đường thẳng ∆ qua điểm M(3;1;1), nằm mặt phẳng ( )α :x+ − − = tạo với y z đường thẳng
1 :
3
x
d y t z t
= = +
= − −
góc nhỏ phương trình ∆
A
2
x y t z t
= = −′ = ′
B
8
x t y t z t
′ = +
= − − ′
= + ′
C
1
x t y t z t
′ = +
= − ′
= − ′
D
1
x t y t z t
′ = +
= − ′
= + ′
Lời giải Chọn B
Ta thấy: M∈( )α
(20)Gọi d 1 đường thẳng qua M d // d , suy 1 d 1 có phương trình:
3
x
y t z t
= = + = −
Lấy N(3; 4; 1− ∈ Gọi ) d1 K, H lần lượt hình chiếu vng góc N mặt phẳng ( )α đường thẳng ∆
Ta có: ( d,∆ =) NMH sinNMH NH NK
MN MN
= ≥
Do (d,∆ nhỏ ) K ≡H hay ∆ đường thẳng MK
Đường thẳng NK có phương trình:
4
x t y t z t
= + = +
= − −
Tọa độ điểm K ứng với t nghiệm phương trình:
( ) ( ) ( )
3
3
t t t t
+ + + − − − − = ⇔ = − Suy 2; ;
3 3
K
Đường thẳng ∆ có vectơ phương 4; ; 1(5; 4;1)
3 3
MK = − − = − −
⇒Chọn B
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A(2;1; 0), B(3; 0; 2),
(4;3; 4)
C − Viết phương trình đường phân giác góc A
A
x y t z
= = + =
B
2
x y z t
= = =
C
2
x t y z
= + = =
D
2
x t y z t
= + = =
Lời giải Chọn C
Cách 1:
Ta có AB=(1; 1; 2− )⇒AB= 6, AC=(2; 2; 4− )⇒ AC=2 Giả sử đường phân giác góc A cắt BC D
Khi đó: 1
2 2
DB AB
DB DC DB DC
DC = AC = ⇒ = ⇒ = −
(*) (vì D nằm B C )
(21)Thay vào (*) ta hệ phương trình
( )
( )
( )
1
10
3
2
3
3
2
0
2
2
x x
x y y y z z z
− = − −
=
− = − − ⇔ =
=
− = − − −
Vậy 10;1;
D
Suy 4; 0;
AD=
Đường phân giác góc A qua điểm A(2;1; 0) có vectơ phương
( )
3
1; 0;
u= AD= nên có phương trình là:
x t y z
= + = =
Cách 2:
Ta có AB=(1; 1; 2− )⇒ AB = 6, AC=(2; 2; 4− )⇒ AC =2
Lấy điểm E cạnh AB cho AE=1 Khi 1 ; ;
6 6
AE AB AB
= = −
Lấy điểm F cạnh AC cho AF =1 Khi 1 ; ;
6 6
AF AC AC
= = −
Dựng hình bình hành AEDF, ta có ; 0;
AD= AE+AF=
Vì AE= AF =1 nên hình bình hành AEDF hình thoi Do AD vectơ phương đường phân giác góc A của tam giác ABC
Vậy đường phân giác góc A qua điểm A(2;1; 0) có vectơ phương
( )
6
1; 0;
u= AD= nên có phương trình là:
x t y z
= + = =
Nhận xét:
Đường phân giác góc BAC có vectơ phương u AB AC
AB AC
= +
Cách 3:
Ta có AB=(1; 1; 2− )⇒AB= 6, AC=(2; 2; 4− )⇒ AC=2 Gọi I là trung điểm AC Ta có I =(3; 2; 2− ) AI = Dựng hình bình hành ABKI, ta có AK= AB+AI =(2; 0; 0)
(22)Vậy đường phân giác góc A qua điểm A(2;1; 0) có vectơ phương
( )
1
1; 0;
u= AI = nên có phương trình là:
x t y z
= + = =
Câu Trong không gian Oxyzcho hai đường thẳng 1: 1,
1
x y z d = − = −
−
1
:
2
x y z d − = = −
− − Viết phương trình đường phân giác góc tù tạo d d 1,
A
3
x− y z−
= =
− − B
1
1 1
x− y z−
= =
−
C 1
2 1
x y− z−
= = D
2 1
x− y z−
= =
Lời giải
Chọn D
Ta viết phương trình tham số 1 ( ) 2 ( )
: , :
1
x t x s d y t t d y s s
z t z s
= = −
= − ∈ = − ∈
= + = +
Tìm giao điểm hai đường thẳng d 1 d 2
Ta có
1
1
1
0
t s
t t s
s t s
= −
= − = − ⇔
=
+ = +
suy I(1;0;3) giao điểm hai đường thẳng d 1 d 2
Lấy A(0;1;1)∈ ⇒d1 IA= Gọi B(1 ; ;3 2− s − s + s)∈d2sao cho IB= Ta có 16 1
4
IB= ⇔ s + s + s = ⇔s = ⇔ = ±s
Vậy có điểm thỏa mãn ( )
( )
0; 2; 2; 2;
B B
−
Với B(0; 2; 4− )ta có IA(−1;1; ,− ) (IB − −1; 2;1)⇒ IA IB = − < ⇒3 AIB góc tù
Theo yêu cầu toán ta viết phương trình đường phân giác góc AIB với B(0; 2; 4− )
(không cần xét trường hợp kia)
Gọi Mlà trung điểm AB suy 0; 5; 2
M −
, phương trình đường phân giác cần
tìm phương trình đường thẳng qua hai điêm I(1;0;3) 0; 5; 2
M −
(23)Ta có 1; 1;
2
IM = − − −
, chọn u = −2IM⇒ =u (2;1;1) làm vectơ phương đường
phân giác Vậy đường phân giác qua điểm I(1;0;3) nhận u=(2;1;1) làm vectơ
phương có phương trình tắc là:
2 1
x− y z−
= =
Nhận xét: Có thể tìm vectơ phương đường phân giác sau:
Ta có u1=(1; 1; ;− ) u2=(2; 4; 2− )lần lượt véctơ phương hai đường thẳng d 1 d 2
Vì u u1. 2= − <6 0
nên góc hai vectơ góc tù
Xét u1=(1; 1; ;− ) u2=(2; 4; 2− )
Ta có u1 = 6, u2 =2
Đặt
1 1
; ;
6 6
a= u = −
; 2 ; ;
2 6 6
b= u = −
Ta có ; ; 6
a b+ =
nên chọn u =(2;1;1)là vectơ phương đường phân
giác
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 2; 3− ) N(−4; 2;1) Gọi ∆ đường thẳng qua M, nhận vecto u=(a b c; ; ) làm vectơ phương song song với mặt phẳng ( )P : 2x+ + = cho khoảng cách từ N đến y z ∆ đạt giá trị nhỏ Biết a , b hai số nguyên tố Khi a b c+ + bằng:
A 15 B.13 C 16 D 14
Lời giải Chọn A
Gọi ( )Q mặt phẳng qua M(2; 2; 3− song song với mặt phẳng ) ( )P
Suy ( )Q : 2x+ + − = y z Do ∆ // P( ) nên ∆ ⊂( )Q
( , )
d N ∆ đạt giá trị nhỏ ⇔ ∆ qua N′, với N′ hình chiếu N lên ( )Q
Gọi d đường thẳng qua N vng góc ( )P ,
4
:
1
x t d y t
z t
= − +
= + = +
Ta có N′∈ ⇒d N′ − +( ; 2t +t;1+ ; t) ( )
3
N′∈ Q ⇒ =t 10 7; ;
3 3
N′
⇒ −
( ; ; )
u= a b c phương 10 16; ; 3
MN′ = −
(24)
Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d qua A(−1; 0; 1− ), cắt 1: 2
2 1
x− y− z+
∆ = =
− ,
sao cho góc d 2: 3
1 2
x− y− z+
∆ = =
− nhỏ Phương trình đường thẳng d
A 1
2
x+ y z+
= =
− B.
1
4
x+ y z+
= =
− C
1
4
x+ y z+
= =
− − D
1
2
x+ y z+
= =
Lời giải
Chọn A
Gọi M = ∩ ∆ ⇒d 1 M(1 ; 2+ t + − −t; t)
d có vectơ phương a d = AM =(2t+2;t+ − −2; t)
2
∆ có vectơ phương a2 = −( 1; 2; 2)
( 2) 2
2 cos ;
3 14
t d
t t
∆ =
+ +
Xét hàm số ( )
2
2
6 14
t f t
t t
=
+ + , ta suy f t( )= f ( )0 = ⇔ =0 t Do cos (∆,d)= ⇔ = ⇒0 t AM =(2; 1− )
Vậy phương trình đường thẳng d 1
2
x+ = =y z+
−
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1
:
3
x t d y t
z
= + = + =
, gọi ∆ đường thẳng qua điểm
(1; 2;3)
A vecto phương u=(0; 7; − − ) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình :
A
4 10 12
x t y t z t
= − +
= − +
= +
B
4 10 12
x t y t z t
= − +
= − +
= − +
C
1 2
x t y t z t
= +
= −
= −
D
1 11
x t y t z t
= +
= +
= +
Lời giải
Chọn A
Ta có vtcp d: u1=(1 0; ; ); VTCP đường thẳng ∆ u∆ =(0 1;− −; )
Góc vecto phương : ( ) 1
1
cos ;
u u u u
u u
∆ ∆
∆
= <
Nên ta chọn vtcp d :
( )
u = − −1 0; ; ngược hướng với vtcp u1
Chuẩn hóa để tìm vtcp đường phân giác: 1; 12;
5
2
m u
u
−
= + ∆ = − −
∆
(25)Dễ thầy d ∆ d ' qua điểm A(1; 2;3) ' :
5 12
x y z
d − − −
⇒ = =
Thay điểm (− −4; 10; 2) ở đáp án A vào thấy thỏa mãn Chọn A
Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 :
1
x t d y t
z
= + = + =
Gọi ∆ đường thẳng qua điểm
(1;1;1)
A có vectơ phương u = −( 2;1; 2) Đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có phương trình
A
1 27 1
x t y t z t
= + = + = +
B
18 19 11 10
x t y t z t
= − +
= − +
= −
C
18 19 11 10
x t y t z t
= − +
= − +
= − −
D 1 17 10
x t y t z t
= − = + = +
Lời giải
Chọn B A= ∩ ∆d
Phương trình tham số đường thẳng
1 : 1
x t y t z t
= − ∆ = +
= +
Chọn điểm B(−1; 2;3)∈ ∆,AB=
Gọi C∈d thỏa mãn AC=AB 14 17; ;1
5
C
⇒ 4; 7;1
5
C− −
Kiểm tra điểm 4; 7;1
5
C− −
thỏa mãn BAClà góc nhọn
Trung điểm BC ; ; 10 10
I−
.Đường phân giác cần tìm AI có vectơ phương
(19; 7; 10)
u= − có phương trình
1 19 10
x t y t z t
= + = + = −
Tọa độ điểm đáp án B thuộc AI
Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2; 1), 8; ; 3
B−
Đường thẳng qua tâm
đường tròn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB ) có phương trình
A
1 2
x+ y− z+
= =
− B.
1
1 2
x+ y− z−
= =
−
C
1 11
3
1 2
x+ y− z−
= =
− D
2
9 9
1 2
x+ y− z+
= =
−
(26)Xét toán: Cho ∆ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi a, b , c là độ
dài cạnh Khi ta có a IA b IB c IC+ + =0
Chứng minh Gọi D E lần lượt chân đường phân giác ABC∆ kẻ từ B C
Dựng tia Ax song song BD cắt CE M Dựng tia Ay song song CE cắt BD tại N Ta có: AI = AM +AN Mặt khác ∆EAM # ∆EBI, suy EA AM
EB = BI
Hơn nữa, EA AC b
EB= BC = a
Do AM b AM bIB BI = ⇒a = a
Tương tự: AN c IC a
=
Từ suy AI bIB cIC a IA b IB c IC
a a
= + ⇔ + + =
Gọi I a b c ( ; ; ) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Áp dụng toán cho OAB∆ , ta AB IO OB IA OA IB.+ + =0 ( )* Ta có OA= , OB= , AB= ;
( ; ; )
IO= − − −a b c
, IA=(2−a; 2−b;1−c), ;4 ;8
3 3
IB=− −a −b −c
Từ ( )* ta có
( )
( )
( )
8
5
3
0
5
3
1
5
3
a a a
a
b b b b
c
c c c
− + − + − − =
=
− + − + − = ⇔ =
=
− + − + − =
Do I(0;1;1)
Mặt khác, ta có: OA OB , = (4; −8; 8)
Suy vec tơ phương đường thẳng cần tìm u =(1;−2; 2)
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình 1
1 2
x y− z−
= =
−
Nhận xét: Điểm K(−1;3 1− ∈ nên phương trình đường thẳng d viết lại ) d
1 2
x+ = y− = z+
−
A B
C
D
E
M x
y
b
a
c
I