Chuyên đề Phương trình, bất phương trình vô tỷ

Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau: + Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ.. + Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình c[r]

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại Phương pháp lũy thừa A Nội dung phương pháp B Một số ví dụ C Bài tập D Đáp số Loại Phương pháp ẩn phụ 11 A Nội dung phương pháp 11 B Một số ví dụ .12 C Bài tập .18 D Đáp số 20 Loại Phương trình và bất phương trình tích 21 A Nội dung phương pháp 21 B Một số ví dụ .22 C Bài tập .24 D Đáp số 25 Loại Một số phương pháp đặc biệt 27 A B Một số ví dụ .27 Bài tập .30 C Đáp số 31 Lop12.net Bản quyền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, Phuong trinh vo ty Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Phương pháp lũy thừa A Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỷ phương pháp lũy thừa Sau đây là các quy tắc cấn nhớ sử dụng phương pháp này * Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ +) f  x   g  x  f  x   g  x   f  x   +) f  x   g  x  f  x   g  x    g  x   * Một số phép biến đổi tương đương bất phương trình vô tỷ f  x   g  x  g  x    f  x   g  x    f  x   g  x  f  x   g  x   g  x    f  x   g  x   g  x     f  x       g  x      f  x   g  x   f  x   g  x   g  x     f  x       g  x      f  x   g  x   f  x   g  x g  x     f  x     f  x   g  x  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 g  x     f  x   g  x   f  x     f  x   g  x  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ GPT x3  2x   2x  1 Giải  x  4x  2x    x  2x    2x    Ta có        2x    x  x       x   x2  2x    x    x        2  3  thoûa maõn  3   khoâng thoûa maõn  3   thoûa maõn  3   Vậy tập nghiệm   là 1;1  Ví dụ [ĐHD06] GPT 2x   x2  3x   1 Giải Ta có  1   3  x2  3x      x    2  x  6x  11x  8x      2x    x2  3x   2x    x  3x      x2  3x   2  2  3 4  x  1  x2  4x  2  x   thoûa maõn       x    thoûa maõn      x    khoâng thoûa maõn       Tập nghiệm   là 1;2  Ví dụ [ĐHA05] GBPT 5x   x   2x  1 Giải 5x    ĐK:  x    x   2x    Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ta có: 1  5x   2x   x   5x   3x   2x  6x   2x2  6x   x  (do x   x   ) 2  2x  6x   x  4x   x  10x    x  10 Kết hợp điều kiện  tập nghiệm   là  2;10   x  16 Ví dụ [ĐHA04] GBPT x3  x3  7x x3 1 Giải  x  16  ĐK:   x  x   Ta có:        x  16  x    x  x2  16  10  2x 10  2x   10  2x      2   x  16  100  40x  4x   x     x    x  20x  66    x     x   10  34  x  10  34   x  10  34 (TMĐK)   Vậy tập nghiệm bất phương trình là 10  34;  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ GPT 2x   x   x    x   1 Giải ĐK: x  Ta có 1   3x   2x2  9x  18  3x   2 x  x  20   2x  9x  18  x2  x  20    x  (không TMĐK) Vậy   vô nghiệm Ví dụ GPT 1 x   4x   5x   2x  Giải ĐK: x  Ta có 1  x7 2  2x    5x   4x   9x   2x  11x  21  9x   20x2  19x   2x  11x  21  20x2  19x      2x  11x  21  20x  19x    12x2  63x  78   4x  21x  26  x    13  x  Thử lại ta thấy x  13 là nghiệm   Vậy   có nghiệm x  13 4 Nhận xét: +) Hai phương trình: f  x   g  x  và f  x   g  x  nói chung là không tương đương Vì lý này mà ví dụ nói trên, sau thu kết cuối cùng, ta phải thử lại +) Việc định nào bình phương hai phương trình là quan trọng Trong ví dụ nói trên, động tác bình phương thực sau chuyển vế Nhờ mà sau bình phương, ta giản ước 9x  hai vế Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ Biện luận số nghiệm PT  x3  x  m   x 1 Giải  x3  x  m  x2  2x   x  x  x   m  Ta có       1  x   x   2 Do đó số nghiệm   số nghiệm thỏa mãn x    nên số điểm chung đường thẳng y  m  với đồ thị hàm số f  x   x  x  x ( x  )  x  1 Ta có f '  x   3x  2x  f '  x      x  x -∞ f '(x) + -1 1 Kết luận: * m    m  2 :   vô nghiệm + *  m    25  m  18 :   có nghiệm 7 f(x ) -∞   m    25  m  18 7 :   có nghiệm *     m    m  2 25 *  25  m    2  m  18 :   có nghiệm 7 Ví dụ [ĐHB06] Tìm m để PT sau đây có hai nghiệm phân biệt x  mx   2x   1 Giải  3x    m  x    x  mx    2x  1  Ta có        2x    x    2 là phương trình bậc hai có     m   12  m   x1  x  m   x1 , x Theo định lý Vi-ét thì   x1x   13 1 có hai nghiệm phân biệt   2  2  2 luôn có hai nghiệm phân biệt  3 có hai nghiệm phân biệt lớn   x1    x1     2      x   12  x2  12  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44        x 1  x 1 0  x1  x    2      x x  0   1 x x     x1   2 1 x2   2   Thay   vào   ta thu  m4    m  m       m   1 m4   2m         m  Vậy   có hai nghiệm phân biệt  m  Chú ý: Ví dụ trên có thể làm cách khác sau: Biến đổi   dạng:  3x2  4x 1 m  x  x    1 có hai nghiệm phân biệt  y  m có hai điểm chung với ĐTHS y  3x  4x 1 , x   x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Giải các phương trình sau 1) x  x2  x   2) x   x2  3x   3) 3x  x3  x   2 4) x3  x2  6x  28  x  6) x4  5x3  12x2  17x    x  1 2) x2  2x  x   x  x  2x  x4  4x  14x  11   x 5) Bài Giải các phương trình sau 1) x   3x   x  2x  3) x   x x x Bài Giải các phương trình sau 1) x   x   x 3) 2) x   x   3 2x    x  x Bài Giải các bất phương trình sau 1) x   2x   3) 2x    x2  4x    2) x   x  4) x2  3x   x2  4x   x  5x  5)  x  1 2x    x  1 6) 2x  2x  2x   Bài Giải và biện luận theo m các phương trình 1) x2   x  m 2) xm  xm  m Bài [ĐHB07] Chứng minh với m  , phương trình x2  2x   m  x   có hai nghiệm phân biệt Bài Giải và biện luận theo m các bất phương trình sau 1) m2x  xm 2) xm  x2 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số 2)  3) 1 4) , 1 13 5) 2 , 6) 2  Bài 1) 2) vô nghiệm 3) Bài 1) , 1 2) , 3) , , 32 Bài 1) x  2) x  1  x  3)  x  14 4) x  x  5)  x  6)   x  Bài 1) Bài 1) m  1  m  : vô nghiệm, 1  m  m  : x   m  2m 2) m   m  : vô nghiệm, m  0: x  0, m  : x  m 4 Bài 1) m  1 : x  m  , m  1 : x  m m   x  m  2)  m  94 : x  m , m  94 : 94  x  52 , m 2: x  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Phương pháp ẩn phụ A Nội dung phương pháp Dùng ẩn phụ là phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể phân loại sau: +) Đặt ẩn phụ để thu phương trình chứa ẩn phụ +) Đặt ẩn phụ để thu phương trình chứa ẩn và ẩn cũ +) Đặt ẩn phụ để thu hệ hai phương trình chứa ẩn và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ 11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Giải các PT 1) x2  x  11  31 1 2)  x    x   x  3x  1 1) 2) Giải 1) Đặt t  x  11   2 t  11   , ta thu phương trình    x  t  11 t  t  11  t  31  t  t  42     t  7   Thay t  vào   ta có  thoûa maõn     khoâng thoûa maõn  3  x  11   x2  11  36  x2  25  x   Vậy tập nghiệm phương trình là  5 2)    x2  3x  x2  3x  10  Đặt t  x2  3x  2  t   3 , ta thu phương trình   2  x  3x  t  thoûa maõn     khoâng thoûa maõn    t  t  3t  10     t  5  Thay t  vào   ta có x  x2  3x   x2  3x   x2  3x     x  4 Vậy tập nghiệm phương trình là 1; 4 Ví dụ Giải các phương trình 1) x2  2x x   3x  x 2) x2  x4  x2  2x   1  1 Giải 1) Ta thấy x  không phải nghiệm   nên 1  x x  3  x x  x  1x   x 3 x 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đặt t  x  x  2  t    , ta thu phương trình    x  x  t t  t  2t      t  3   thoûa maõn     khoâng thoûa maõn    Thay t  vào   ta có x    x    x  x    1 x x   Vậy tập nghiệm phương trình là 1 2) Ta thấy x  không phải nghiệm   nên 1  x x  2  x Đặt t  x  x  2 x  x  1x   x  1x    x   t , ta thu phương trình x  t  1  t  t    t3  t     t   (do t  t   t    x )    t  Thay t  vào   ta có x    x    x2  x    1 x x   Vậy tập nghiệm phương trình là 1 Ví dụ Giải các phương trình 2) x  2x  x   2x x   1) 2x  x   x  x  x    Giải 1) Đặt t  x   x  2  t   3    2x  x  x  t  Với phép đặt ẩn phụ trên   trở thành  t  (thoûa maõn   ) t   t   t2  t      t   ( khoâng thoûa maõn   ) Thay t  vào   ta x   x  4 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Xét   : ĐK: x  * Dễ thấy x  là nghiệm   * x   VT     x không phải nghiệm   Vậy   có nghiệm x    2)    x2  x  x  x   2x x   Đặt t  x  x   2  t  3  3   2  x  x  2x x   t  Với phép đặt ẩn phụ trên   trở thành t  ( thoûa maõn   ) t   t   t  t  12     t  4 ( khoâng thoûa maõn  ) Thay t  vào   ta x  x     Xét   : ĐK: x   * Dễ thấy x  là nghiệm   * x   VT     x không phải nghiệm   *   x   VT     x không phải nghiệm   Vậy   có nghiệm x  Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2  2x  2m  2x  x2  m  1 Giải Đặt t   2x  x  2  x2  2x   t Phương trình   trở thành: Khi đó phương trình trở thành: t  2mt  m    3  t  m Xét hàm f  x    2x  x2 Ta có f  x     x   Ta thấy f  x   x , dấu xảy  x  1  ; f  x   x , dấu xảy  x  1 Do đó tập giá trị hàm f là  0;  , thành thử   có nghiệm  t   0;      14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Vậy   có nghiệm    có nghiệm t   0;  0  m     m         m     m   Chú ý:  Điều kiện phương trình f  x   m o * *  có nghiệm: có nghiệm  đường thẳng y  m có điểm chung với đồ thị hàm số y  f  x  o  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị hàm số y  f  x  Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình có nghiệm Về việc tìm tập giá trị hàm số y  f  x  , ta có thể dùng khẳng định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ là m a , đạt giá trị lớn là M b và f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị f là  m;M  Ví dụ Giải phương trình   x  x  2x   x  2x   1 Giải Đặt t  x2  2x   2 ,  1 trở thành: t    x  t  t  t t    x       t  1  x    t  1  x  Thay t  vào   ta có x  2x    x2  2x    x  1  Thay t    x  vào   ta có    x   x  2x     x    2  x  2x   4x  8x   x     3x  10x   x  5 10    10  x   x    Vậy tập nghiệm phương trình là 1  2;  10 Ví dụ Giải phương trình x 35  x  x  35  x   30   3 1 15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Giải Đặt t  35  x3  t  35  x3  x  t  35 Thay t  35  x3 vào   , ta có xt  x  t   30  2 3 Ta có hệ gồm hai phương trình   và   :  x  t   3xt  x  t   35  x  t  35     xt  x  t   30  xt  x  t   30  x  t   125 (thay phương trình vào phương trình trên)   xt x  t  30     x  t   xt  x  t   30   x  t  (thay phương trình trên vào phương trình dưới)  xt    x   T  t  Ta có T  5T     Do đó, hệ nói trên tương đương với  x  T     t  Vậy tập nghiệm   là  2;3 Chú ý: Định lý Vi-ét đảo x  y  S Xét hệ   xy  P (1) và phương trình t  St  P  (2) Khi đó:  (1) có nghiệm  (2) có nghiệm   x  t1  y  t2  Trong trường hợp (2) có nghiệm t1 và t thì: (1)   x  t2     y  t1 Ví dụ [ĐHA09] Giải phương trình 23 3x    5x    1 Giải 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đk:  5x   x  u  3x  Đặt   v   5x Ta có  2  2a   2  2b   5u  3v    v  u  3x    v   5x  5u  15x  10   3v  18  15x   5u3  3v    3 Thay   vào   , ta 2u  3v    v    u   4 Thay   vào   , ta có: 5u     u         3    5u  u2  8u  16    15u  4u  32u  40    u  2  15u  26u  20   u     15u  26u  20    '  131    u  2 Thay u   vào  2a  , ta 3x   2  3x     x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  2 17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1)  x   x   x2  2) 3x   x   4x   3x  5x   x    6x  4) 3 x  6x  3 6) 7x   7x   49x2  7x  42  181  14x 3) x3  3x2  5) 2x2  x2  5x   10x  15   x   x  7) x x  2x  4 2x Bài Cho phương trình 8) 3 x  6 x  1 x  1 x  2 x2   x   x   m 1) Giải phương trình với m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài Tìm m để BPT m  x  2x     x   x   có nghiệm x   0;1       x   x   x2  2x  m Bài Tìm m để BPT nghiệm đúng với x   2;4  Bài Giải các PT sau: 1)   x2  2x 2) x3    x2    x  x2  3)  x2  4x  3x Bài Giải các PT sau:   1) x   x   2) 5x2  14x   x2  x  20  x     4) x  3x   x  3) 2x  5x   x3  21x  20 Bài [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x   m x   x  Bài Giải các phương trình: 1) 24  x  12  x  2) 3) x  17  x  2 4)   x     x     x   x   x3  3x  18 Lop12.net