Chuyên đề phương trình tích - THCS.TOANMATH.com

Vận dụng các phương pháp phân tích thành nhân tử và cách giải phương trình tích đưa phương trình đã cho về các phương trình bậc nhất đã biết cách giảia. Giải các phương trình sau:.[r]

CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

CHUN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương trình tích (một ẩn) phương trình có dạng A x B x    0 (1)

Trong A x B x   , , đa thức

Để giải (1), ta chi cần giải phương trình A x 0,B x 0, lấy tất nghiệm chúng

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng việc đưa phương trình dạng phương trình tích Cách đặt ẩn phụ hay sử dụng để trình bày cho lời giải gọn gàng

II.BÀI TẬP

A.DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Vận dụng phương pháp phân tích thành nhân tử cách giải phương trình tích đưa phương trình cho phương trình bậc biết cách giải

Ví dụ 1.Giải phương trình:y y  16297 0

Ví dụ 2.Giải phương trình:2x3 4 x x  3

Ví dụ 3.Giải phương trình:4x2 9x2 25 0

  

Ví dụ Giải phương trình sau:

Ví dụ Giải phương trình sau:

a x27x  6 0;

b x26x  5 0

Ví dụ Giải phương trình sau: a 4x24x  1 x2;

b 4x2 1 2x1 3 x5

Ví dụ Giải phương trình sau:

a x2    2x 1 0 ;

b x37x2  3x212x

a 2x5 2  x 22;

b  x12 4x2 2x 1

Ví dụ Giải phương trình sau:

a x25x210x25x 24 0;

b x x 1 x2  x 1 42

Ví dụ 10.Giải phương trình: 2x5 2 x 32

Ví dụ 11.Giải phương trình:x416x31x 3 0

LỜI GIẢI VÍ DỤ Ví dụ 1.Giải phương trình:y y  16297 0

Lời giải Ta có  16 297 y y   

2 16 297 0

y y

   

2 27 11 297 0

y y y

    

 27 11 27

y y y

    

y 27y 11

         yy 27 011 0 

Vậy phương trình có hai nghiệm y=27 y= -11

Ví dụ 2.Giải phương trình:2x3 4 x x  3

Lời giải

Nghiệm số phương trình cho nghiệm số của:

2 3

2 x   x ;

Hoặc 4   x x 4;

Hoặc x   3 x

Vậy phương trình có ba nghiệm

2

Ví dụ 3.Giải phương trình:4x2 9x2 25 0

  

Lời giải

Ta viết:

  

2

4x  9 2x3 2x3 ,

  

2 25 5 5

x   x x

Do đó:2x3 2 x3x5 x 5

Từ đó:

2

x   vàx  5

Ví dụ Giải phương trình sau:

a 0,5x x   3 x 2,5 x4;

b 1 3 7

7x  7x x 

Lời giải

a 0,5x x   3 x 2,5 x4 Phương trình cho tương đương với

x3 2,5 x 4 0,5x x  3

x 2,5 x 0,5x x 2 x 4

        

Hoặc x  3 0, 2x  4 Từ ta tìm x 3 x 2

Vậy nghiệm phương trình ban đầu x 3 x 2

b 1 3 7

7x  7x x 

Phương trình cho tương đương với

   

1 3 7 3 7 0

7x x 7 x 

3 7 1

x  x 

    



Hoặc 3x  7 0, 1

Vậy nghiệm phương trình ban đầu

3

x  x 7

Ví dụ Giải phương trình sau:

a.x27x  6 0;

b.x2 6x  5 0

Lời giải

a Phương trình cho tương đương với

2 6 6 0

x  x x   , hay x x    1 x 1

Tức  x1 x 6 Từ ta tìm x 1 x 6

Vậy phương trình có nghiệm x 1 x 6 b Phương trình cho tương đương với

2 5 5 0

x  x x   , hay x x  1 5 x 1

Tức x1x 5 Từ ta tìm x  1 x  5

Vậy phương trình có nghiệm x  1 x  5

Ví dụ Giải phương trình sau:

a.4x24x  1 x2;

b.4x2 1 2x1 3 x5

Lời giải

a Phương trình cho tương đương với

 2 2

2x1 x , hay 2x 12 x2 0

Tức x1 3 x 1 Từ ta tìm x  1

3

x  

Vậy phương trình có nghiệm x  1

3

x  

b Phương trình cho tương đương với

2x1 2 x 1 2x1 3 x5, hay 2x1 3 x   5 2x 1

Tức 2x1x 4 Từ ta tìm x 4

2

x  

Vậy phương trình có nghiệm x 4

2

Ví dụ Giải phương trình sau:

a.x2   2x 1 0 ;

b.x37x2 3x212x

Lời giải

a Xét phương trình x2    2x 1 0

Phương trình cho tương đương với x 12 9 0, hay x 1 3x  1 3 0, tức

x2x 4

Từ ta tìm x 2, x  4

Vậy nghiệm phương trình ban đầu x 2và x  4 b Xét phương trình x37x2  3x212x

Phương trình cho tương đương với

3 7 3 12 0

x  x  x  x 

 10 12 0

x x x

    hay x x 4x 3

Từ ta tìm x 0 x 3 x 4

Vậy nghiệm phương trình ban đầu x 0,x 3 x 4

Ví dụ Giải phương trình sau:

a.2x5 2  x 22;

b. x12 4x2 2x 1

Lời giải

a Phương trình chô tương đương với

  2 2

2x5  x 0, hay 2x  5 x 2 x   5 x 2

Tức x7 3 x 3 Từ ta tìm x 1 x 7

Vậy phương trình có nghiệm x 1 x 7

b Phương trình cho tương đương với  

 2  2

2 x1  x 0, hay 2x  2 x 2 x   2 x 1

Tức 3x1x 3 Từ ta tìm x 3

3

Vậy phương trình có nghiệm x 3

3

x 

Chú ý: với hai phương trình giải cách chuyển phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối (sẽ trình bày cuối chương) Chẳng hạn như:

Phương trình 2x5 2  x 22 đưa dạng 2x  5 x

Ví dụ Giải phương trình sau:

a.x25x210x25x 24 0;

b.x x 1 x2   x 1 42

Lời giải

a Đặt t x25x phương tình trở thành

  

2 10 24 0 4 6 0 4; 6

t  t   t t    t t  

Với t  4, ta có phương trình x25x   4 x25x  4 0

Phương trình có hai nghiệm x 1;x 4

Với t  6, ta có phương trình x25x   6 x25x  6 0

Phương trình có hai nghiệm x 2;x 3

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm x 1;x 4;x 2;x3

b Xét phương trình x x 1 x2  x 1 42

Phương trình cho viết thành x2 x x 2  x 1 42

Đặt t x 2x, ta phương trình

 1 42 42 0   6 7 0 6; 7

t t    t t   t t    t t  

Với t 6, ta có phương trình x2  x 6 x2   x 6 0

Phương trình có hai nghiệm x 2;x  3

Với t  7, ta có phương trình x2   x 7 x2   x 7 0

Phương trình vơ nghiệm

2

2 7 27 0

2

x    x x   



Ví dụ 10.Giải phương trình: 2x5 2 x 32

Lời giải Chuyển số hàng vế trái:2x5 2 x 320

Áp dụng đẳng thức đáng nhớ: a2  b2 a b a b  

ta được: 2x 5 x 2  x 5 x 3

         

   

    ,

Hay3x8x 2

Phương trình tích cho ta:

8

x   x 2

Ví dụ 11.Giải phương trình:x416x31x 3 0

Lời giải Để ý rằng:

 2  2       

4 16 4 4 4 2 2 4

x   x   x  x   x x x  ,

x3  1  x 1x2 x 1

Phương trình cho trở thành:

 x2 x2x24 x1x2 x 1x 3 0

Vì x 2 4 x2 x 1 =

2

1

2

x      

 

 

  hai số dương, nên ta viết:

x2x2 x1 x 3

Phương trình tích cho ta:x  2; x 1 vàx 3

B.DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO

Ví dụ Giải phương trình: 2x2   x 6 2  x2   x 3 0

Ví dụ Giải phương trình:

x2x3x5x631x28x12 128 (1)

Ví dụ Giải phương trình:

b) 2y49y314y29y 2 (2)

Ví dụ Giải phương trình 4x7 4 x5x1 2 x 1

Ví dụ Giải phương trình:

a) 4x3 3 2x5 3  2x83

b) 3x2016 3 3x2019 3  6x33

c) 2x7 3 2 x3 152

LỜI GIẢI DẠNG NÂNG CAO

Ví dụ Giải phương trình: 2x2   x 6 2  x2   x 3 0

Giải

Đặt 2x2   x 6 y 2x2    x 3 y 3 phương trình trở thành

   

2

2

0

3

3

y x x

y y y y

y x x



    

           

   

 

    

    

2 * **

x x

x x

   

 

  



Từ  *  x 1,5;x 2

Từ  **   x 1,5;x1

Tập nghiệm phương trình    S  2; 1,5;1;1,5

Ví dụ Giải phương trình:

x2x3x5x631x28x12 128 (1)

Giải

x2 8x 12x2 8x 15 31 x2 8x 12 128 2  

        

Đặt x28x12y x28x15 y 3

Khi phương trình (2) trở thành y y 331 128y

2 3 31 128 0 4 32 128 0

y y y y y y

         

 32  4  4 32

32 y

y y y y y

y   

          

  

Với y  4 0 x28x16 0 x42   0 x 4

Với y32 0 x28x20 0 x210x2x20 0

x 10x 2 x 10

      x  2

Vậy tập nghiệm phương trình S   2;4;10

Ví dụ Giải phương trình:

c) 3y37y2 7y 3 (1)

d) 2y49y314y29y 2 (2)

Giải

a)  1 3y33y210y210y3y 3 0

     

2

3y y 10y y y

      

 y 1 3 y2 10y 3 0  y 1 1y y 3 0

         

1

1

3

3 3

y y

y y

y y

      

 

         

  

.Vậy tập nghiêm (8) 1; ;31 S  

 

Do y = nghiệm phương trình  y Do chia hai vế phương

trình cho y2 ta có   2

1

2 y y 14

y y                

Đặt t y y

  2

1

t y

y

   Do ta có 2t2   2 14 0 t 

  

2

2t 10 0t 2t 10 0t t t 2 5t

                  2 1

2 2

2 2 2 1

2 y y

t y y y

t y y y y y

                                     

Vậy tập nghiệm phương trình (2) ;1;2 S  

 

Nhận xét: Trong phương trình đối xứng, a nghiệm

a nghiệm,

Ví dụ Giải phương trình 4x7 4 x5x1 2 x 1

Giải

Ta có: 4x7 4 x5x1 2 x 1

4x 4 x 4 x 4 x 2 72

     

16x2 36x 14 16 x2 36x 20 72

     

Đặt 16x236x17y, ta có:

y3y372y2 9 72y2 81  y 9

Với 16x236x17 9 4x29x  2 0 4x28x x  2 0

   

2

4x 8x x 4x x x

         

 4 1 2

4 0,25

Với 16x236x17  9 16x236x26 0 vô nghiệm

2

2 23

16 36 26 0,

2

x  x  x    x

 

Vậy tập nghiệm phương trình S    2; 0,25

Ví dụ Giải phương trình:

d) 4x3 3 2x5 3  2x83

e) 3x2016 3 3x2019 3  6x33

f) 2x7 3 2 x3 152

Hướng dẫn giải – đáp số

Trong toán xuất dạng a b  3; a b 3 a3b3

Lưu ý: a b 3 a3b33ab a b   a3b3 a b a  2ab b 2

a) Đặt y4x3;z2x5 y z 2x8 Ta có:

 3    

3 3 3 3 3 0

y z  y z  y z y  z yz y z  yz y z 

0

0 y

z y z     

   

hay

4 0,75

2 2,5

2

x x

x x

x x

          

 

     

 

Tập nghiệm phương trình S    4; 0,75;2;5

b) Đặt u3x2016;v3x2019 u v 6x3

Phương trình trở thành u3v3u v 3 0 hay

   

3 3 3 0 3 0

u  v u  v uv u v    uv u v 

0 2016 672

0 2019 673

0 0,5

u x x

v x x

u v x x

       

  

      

       

  

c) 2x7 3 2 x3 152

Đặt 2x 8 y 2x  7 y 1;9 2 x 1 y

Do phương trình trở thành y1 3 1 y3 152

Khai triển, rút gọn (hoặc dùng đẳng thức a3b3, ta

  

2

6y  2 1526y 150 0 6 y5 y5 0

 Với y  5 2x    8 x 1,5

 Với y  5 2x    8 x 6,5

Tập nghiệm phương trình S 1,5;6,5

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1.Giải phương trình:

a 2x7x  3 x2 9;

b.3x4x  4 x 42;

c 3x  1 2 x 32;

d 5x2 3x 2 2 4x2 3x 22;

e 4x 3x2 9 x 3 16 x2 9

    

2.Giải phương trình:y y2  1 y 1 72

3.Giải phương trình sau:

a x2x2   3x 5 x 2x2;

b 2x2  x 3 6x

1 Cho phương trình 4x2  25 k2 4kx  0, k tham số

a Giải phương trình k 0; b Giải phương trình k  3;

c Với giá trị bào k phương trình nhận x  2 nghiệm 4.Giải phương trình sau:

a x3 2x2  x 2 0;

5.Giải phương trình sau: a 3x27x20 0 ;

b 3x2  5x 2 0

6.Giải phương trinh sau: a x2 x 24 x2  x 12;

b x x 1 x1x 2 24

7.Giải phương trình: x2 6x 9215x2 6x 101

8 Cho phương trình

a) 2x5 4 2x34 16

b) 4x19 4 4x20 4  39 8 x4

c) 5x2,5 4 5x1,54 80

Lời giải phiếu tự luyện

a.Ta viết: 2x7x 3 x3x3 hay

2x7x  3 x 3x 3

Đặt x3làm thừa số chung:

x3  2x 7 x30 hay x3x40

Suy x 3 x4

b Đưa phương trình tích số: x4x40

Ta có: x 4

c Đáp số:

2

x  x2

d Đưa phương trình tích số:

3 3 2 6

x x x x 

Đáp số: x0;

3

e.Đáp số: x0;

4

x  x 3

2.y y2 1y 1 72 y4y272 0

y2 9y2 9 y2 9 0 y2 9y2 8 0

         

Vì

8

y   với y, nên y2  9 0 y3y    3 0 y 3

3

a.Phương trình cho biến đổi thành x2x2  3x 5 x20, hay x2 3  x0

Vậy phương trình có nghiệm x  2

3

x 

b.Phương trình cho biến đỏi thành x x2   1 2 x1, hay 2x1x 3

Vậy phương trình có nghiệm x  3

2

x 

4

a k 0, ta có phương trình 4x  2 25 0, hay 2x5 2 x 5 0

Vậy k 0 phương trình có nghiệm

2

x 

2

x  

b.Khi k  3, ta có phương trình 4x2112x 16 0, hay x 1x 4 0

Vậy k  3 phương trình có nghiệm x  1 x 4

c.Thay giá trị x  2 vào phương trình, ta k2  8k 9 0

Coi phương trình ẩn k, ta có  k1 k 9

Từ ta có k  1 k 9 giá trị cần tìm

Vậy với k  1 k 9 phương trình có nghiệm x  2

5

a.Biến đổi phương trình cho, ta có

   

2 2 2 0

x x    x , hay x2x2 1 0

Ta thấy x  2 1 0 với giá trị x, nên phương trình trở thành x  2 0

Vậy phương trình có nghiệm x  2

   

2 2 2 0

x x    x , hay x2x2 1 0

Tức x2 x1 x 1

Vậy phương trình có nghiệm x  2 x  1

6

a.Biến đổi phương trình cho, ta có

2

3x 12x5x20 0 , hay 3x x  4 5 x 4

Tức x4 3 x 5

Vậy phương trình có nghiệm x  4

3

x 

b.Biến đổi phương trình cho, ta có

2

3x 6x x  2 0, hay 3x x    2 x 2

Tức x2 3 x 1

Vậy phương trình có nghiệm

3

x   x 2

7

a đặt x2  x y, ta có phương trình y24y 12 0

Biến đổi phương trình cho, ta có y6y 2

Phương trình có nghiệm y  6 y 2

Với y  6, ta có x2  x 6, hay x2  x 6 0

Phương trình viết dạng 21

2

x

 

    

 

 

  , nên phương trình vơ nghiệm

Với y 2, ta có x2 x 2, hay x2   x 2 0

Phương trình viết dạng  x1 x 2

Phương trình có nghiệm x 1 x  2

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 1 x  2

Đặt x2 x y, ta có phương trình y y   2 24, hay y2 2y 24 0

Tức ta có y4y 6 Phương trình có nghiệm y  4 y 6

Với y  4, ta có phương trình x2  x 4, hay

2

1 15 0

2

x

 

    

 

 

  , nên phương trình vơ

nghiệm

Với y 6, ta có phương trình x2 x 6, hay x2x 3 0 Phương trình có

nghiệm x  3 x 2

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  3 x 2

c.Ta viết lại phương trình dạng x2 6x 9215x2   6x 9 16 0

Đặt y x 26x  9 x 32 0, ta có phương trình y215y 16 0

Hay  y1 y160, phương trình có nghiệm y  1 y 16

Do y  x 320, nên có giá trị y 16 thích hợp

Với y 16, ta có phương trình x 32 16

Hay x7x 1 0, phương trình có nghiệm x  1 x 7

Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1 x 7

8

Lưu ý dạng a4b4 a b 4 a4 4a b3 6a b2 24ab3b4

a) Đặt 2x 4 y phương trình trở thành y1 4 y14 16

4 4 6 4 1 4 6 4 1 16

y y y y y y y y

          

  

4 2

2y 12y 14 y 6y y y

           

Do y2   7 0, y nên y2  1 0 2x42 1 0

2 2 3 2,5

2 1,5

x x

x x

x x

    

     

  

 

Chú ý: Có đặt 2x 5 y 2x 3 z ta có y4 z4 y z 4 (bạn đọc tự giải)

b) Đặt 4x19y x;4 20z y z 8x39 ta có y4z4y z 4 0

4 4 4 6 2 4 0

y z y y z y z yz z

       

3 2

4 4

4

y z y z yz yz y yz z 

         

 

2

2 19 4,75

3

4

4 16 20

y x x

yz y z z

z x x

         

 

        

   

     

 

Tập nghiệm phương trinh S 4,75;5

c) 5x2,5 4 4x1,54 80

Đặt 5x0,5y phương trình trở thành y2 4 y24 80

Ta dùng khai triển y24 y48y324y232y16

 4 4 3 2

2 24 32 16

y y  y  y  y

Thay vào, chuyển vế, rút gọn phương trình y34y 5 0

    

3 1 4 4 0 1 1 4 1 0

y y y y y y

           

 y 1 y2 y 5 0 y 1

      

2

2 5 19 0,

2

y   y y    y

 

Do 5x0,5 1  x 0,1