Chuyên đề chia đa thức một biến đã sắp xếp - THCS.TOANMATH.com

Bước 3: Cho các hạng tử của biểu thức ở bước 2 và số bị chia bằng nhau, giải tìm được giá trị cần tìm.. Bước 3: Giải ra ta tìm được giá trị cần tìm.[r]

(1)

Trang CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A.BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN I Lý thuyết:

Hai đa thức tùy ý A B biến B0, tồn cặp đa thức Q R cho A B Q R  , đó:

R gọi dư phép chia A cho B R bậc R nhỏ bậc B Khi R0 phép chia A cho B phép chia hết II Các dạng tập:

Dạng 1: Chia đa thức biến xếp (Phép chia hết) Phương pháp:

Bước 1: Nhân số chia với biểu thức cho giá trị nhân giá trị mũ cao số bị chia Bước 2: Lấy đa thức bị chia trừ tích vừa nhân

Bước 3: Quay bước đến dư cuối Bài 1: Thực phép tính

a) 6x217x12 : 2  x3

b) 2x33x23x2 : 2  x1

c) x34x2 x 4 : x21

d) 3x42x311x24x10 : x22

Giải a) Thực phép chia ta được:

2

6x 17x12 -

2

6x 9x 8x12 -

8x12

2x3 3x4

Vậy: 6x217x12 : 2  x33x4

(2)

Trang b) Thực phép chia ta được:

3

2x 3x 3x2 -

3

2x x

2

2x 3x2 -

2

2x x

4x  

2x1

2 2

x  x

Vậy 2x33x23x2 : 2  x 1 x2 x 2

c) Thực phép chia ta được:

3 4 4

x  x  x -

3

x x

2

4x

 

-

2

4x

 

0

2 1

x  x

Vậy x34x2 x 4x2  1 x 4

d) Thực phép chia ta được:

4

3x 2x 11x 4x10 -

4

3x 6x2

3

2x 5x 4x10 -

3

2x 4x

2

5x 10 -

2

5x 10

2 2

x 

2

3x 2x5

Vậy 3x42x311x24x10 : x223x22x5

Bài 2: Thực phép tính a) 3a32a23a2 : a21

b) x52x4x36 :x x22x1

(3)

Trang d) x43x2x y2 22y22 : x2y21

3

3a 2a 3a2 -

3

3a 3a

2

2a

 

-

2

2a

 

0

2 1

a  3a2

Vậy 3a32a23a2 : a2 1 3a2

b) Thực phép chia ta được:

5 2 4 2

x  x x  x  x -

5 2

x  x x

3

2x 4x 2x

  

-

3

2x 4x 2x

  

0

2 2 1

x  x

3 2

x  x

Vậy x52x4x34x22 :x x22x 1 x32x

3 2 2 3 3

x  x x y xy x -

2 3

x  x

 

2 1 3 3

x y  xy x -

   

2 1 3 1

x y  x y

0

2 3

x  x

1 

x y

(4)

Trang d) Thực phép chia ta được:

4 3 2 2 2

x  x x y  y  -

4 2

x x x y

2

2x 2y 2 -

2

2x 2y 2

0

2 1

x y 

2 2

x 

Vậy x43x2x y2 22y22 : x2y2 1 x22

Dạng 2: Chia đa thức biến xếp (Phép chia có dư) Phương pháp:

Bước 3: Quay bước đến đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia Bài 1: Thực phép tính

a) 3x27x9 : x1

b) 5x33x22 : x3

c) 2x34 : x21

d) x42x34x210 : 2  x3

2

3x 7x9 -

2

3x 3x 10x9 -

10x10 19

1 x 3x10

(5)

Trang b) Thực phép chia ta được:

3

5x 3x 2 -

3

5x 15x

2

12x

 

-

2

12x 36x

 

36x2 -

36x108 110 

3 x

2

5x 12x36

Vậy 5x33x22 : x35x212x36 dư -110

3

2x 4 -

3

2x 2x 2x4

2 1

x  2x

(6)

Trang d) Thực phép chia ta được:

4 2 4 10

x  x  x  -

3

2 x x 

3

7

4 10

2 x

x

 

-

3

7 21

2

x  x

2

5 10 4x  -

2

5 15

4

x  x

15 10 8x  -

15 45

8x 16 115

16 

2x3

3 7 5 15

2 16

x  x  x

Vậy  2 4 10 : 2  3 15

2 16

x x x

x  x  x  x     dư 115

16 

Dạng 3: Chia đa thức biến xếp có chứa tham số m Phương pháp:

Bước 3: Quay bước đến đa thức dư cuối đa thức dư có bậc nhỏ bậc đa thức chia

Bài 1: Thực phép tính a) mx22x m 2 : x1

b)x33mx23m1 : x1

c)mx32x2mx2 : x21

(7)

Trang a) Thực phép chia ta được:

2 2 2

mx  x m  -

2

mx mx

2x mx m  2

2m x  2 m

-

2m x  2 m

0

1 x

2 

mx m

Vậy mx22x m 2 : x 1 mx 2 m

b) Thực phép chia ta được:

3 3 3 1

x  mx  m -

3

x x

2

3mx x 3m1

3m1x23m1

-

3m1x23m1x

3m 1x 3m

   

-

3m 1x 3m

   

0

1 x

   

2 3 1 3 1

x  m x m

Vậy x33mx23m1 : x 1 x23m1 x 3m1

3 2 2

mx  x mx -

3

mx mx

2

2x

 

-

2

2x

 

0

2 1

x  mx

Vậy mx32x2mx2 : x2 1 mx2

(8)

Trang Dạng 4: Tìm m để số bị chia chia hết cho số chia

Có phương pháp giải cụ thể sau: Phương pháp 1: Thực phép chia

Bước 1: Thực chia đa thức chứa tham số dạng Bước 2: Để số bị chia chia hết cho số chia phần dư Bước 3: Giải tìm m

Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải d) Thực phép chia ta được:

4 3

x ax bx  -

4

x x

3 2 3

ax x bx

   

-

3

ax ax

1b x 2ax3

-

1b x 2 1 b

4

ax b

  

2 1

x 

 

2 1

x ax b

Ta có: x4ax3bx23 : x2 1 x2ax 1 b dư   ax 4 b

Để phép chia hết 0

4

a a

b b

  

 

     

 

Vậy với a b

    

 đa thức

4 3

x ax bx  chia hết cho x21

(9)

Trang Giải

Ta có:

3 2 1

mx x  m -

3 2

mx  mx

2 2 2 1

x  mx  m

1 2 m x 22m1

-

1 2 m x 22 2  m x

2 4 m x 2m1 -

2 4 m x 2 4  m

3 10m

2 x

   

2 1 2 2 4

mx   m x  m

Vậy mx3x22m1 : x2mx2 1 2m x  2 4 m dư 3 10m

Để phép chia hết

m m

    

Bài 3: Tìm m để đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

Giải Thực phép chia ta

3

5m 2m 3m1 -

3

5

m m 

2

2 m

m  m 

-

2

2m 1

2

m m

m 

  

2

2m 1

5 1

2m 

Ta có 5 2 3 1 : 2  1 1

2 m

m  m  m m    dư

2 m 

Để phép chia hết 0

m m

   

Vậy với m0 đa thức 5m32m23m1 chia hết cho đa thức 2m21

(10)

Trang 10 Hai đa thức gọi đồng hệ số hạng tử đồng dạng Ta có bước giải sau:

Bước 1: Dựa vào bậc cao số bị chia số chia ta gọi dạng tổng quát thương Bước 2: Nhân thương với số chia chuyển biểu thức dạng tổng quát

Bước 3: Cho hạng tử biểu thức bước số bị chia nhau, giải tìm giá trị cần tìm Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x4ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp

Cách 2: Phương pháp hệ số bất định

Giả sử đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x21, ta thương nhị thức bậc hai có dạng:

x Bx C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức x4ax3bx23, ta được:

x2Bx C x  2 1 x4ax3bx2c

4 2 3

x Bx Cx x Bx C x ax bx

         

 

4 1 3

x Bx C x Bx C x ax bx

         

1

0

3

B a

C b a

B b

C   

    



      

  

Vậy với a b

    

 đa thức

4 3

x ax bx  chia hết cho x21

Chú ý: Ta đặt nhị thức bậc hai dạng tổng quát Ax2Bx C , nhiên đa thức bị chia có x4

vì coi A1

Bài 2: Xác định giá trị a để đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Giải

Giả sử đa thức x4x33x2 x a chia hết cho x2 x 2, ta thương nhị thức bậc hai có

dạng: Ax2Bx C Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức x4x33x2 x a, ta

được:

Ax2Bx C x  2 x 2x4x33x2 x a

4 3 2 2 2 3

Ax Bx Cx Ax Bx Cx Ax Bx C x x x x a

             

     

4 2 2 2 3

Ax B A x C B A x C B x C x x x x a

(11)

Trang 11

1

2

2 1

2

A A

B A B

C B A C a

C B C

C a a

 

 

     

 

       

    

 

 

 

 

Vậy với a 2 đa thức x4x33x2 x a chia hết cho đa thức x2 x 2

Bài 3: Xác định giá trị a để đa thức ax3x25 chia hết cho đa thức x2 x 1

Giải

Giả sử đa thức ax3x25 chia hết cho x2 x 1, ta thương nhị thức bậc có dạng: Bx C

Nhân thương với số chia đồng thức với đa thức ax3x25, ta được:

Bx C x    x 1 ax3x25

3 2 5

Bx Cx Bx Cx Bx C ax x

        

   

3 5

Bx B C x B C x C ax x

        

1 B a B C B C C

 

    

   

   

khơng thỏa mãn

Vậy khơng có giá trị a để đa thức ax3x25 chia hết cho x2  x 1

Phương pháp 3: Phương pháp trị số riêng

Với cặp đa thức A x  B x  , tồn đa thức Q x  R x  cho:

       

A x B x Q x R x , đó:

+) A x  số bị chia; B x  số chia; Q x  thương R x  phần dư +) Với bậc R x  bé bậc B x 

+) Phép chia hết phép chia R x 0

Bước 1: Đưa phép chia dạng A x B x Q x    (1) Bước 2: Thay giá trị x để B x 0 vào phương trình (1) Bước 3: Giải ta tìm giá trị cần tìm

Bài 1: Xác định giá trị a b để đa thức x4 ax3bx23 chia hết cho đa thức x21

Giải Cách 1: Giải theo phương pháp

(12)

Trang 12 Gọi thương phép chia Q x  ta có:

   

4 3 1

x ax bx   x  Q x với x (1) +) Với x1, thay vào (1) ta được: 1   a b (2) +) Với x 1, thay vào (1) ta được: 1   a b (3)

Từ (2) (3) ta có hệ phương trình 4 a b a b     

    

Cộng vế phương trình ta được: 2b    8 b Thay vào phương trình (2)  a Vậy với a 0 b 4 đa thức x4ax3bx23 chia hết cho x2 1

Bài 2: Xác định giá trị a b để đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x2 2x3

Giải Gọi thương phép chia Q x  ta có:

   

3 3 9 2 3

ax bx  x  x  x Q x

    

3 3 9 1 3

ax bx x x x Q x

       với x (1)

+) Với x1, thay vào (1) ta a b   3 (2) +) Với x 3, thay vào (1) ta được: 27a9b  9 (3)

Từ (2) (3) ta có hệ phương trình:

3

a b a b

   

    

Trừ vế phương trình ta được: 2a    4 a Thay vào phương trình (2)  b Vậy với a  2 b8 đa thức ax3bx23x9 chia hết cho đa thức x22x3

Bài 3: Tìm x Z để đa thức 2x2 x 3 chia hết cho 2x1

Giải

Ta có:  

2 2 1 3

2 3

2 2

x x

x

x x x

 

    

  

Để 2x2 x 3 chia hết cho 2x1 phải chia hết cho 2x1

Tức 2x1 phải ước

2 1

2

x x

  

 

      

 

 

    

      

 

(13)

Trang 13 B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Chia đa thức biến xếp:

Bài 1: Thực phép chia:

   

) 15 :

a  x  x  x   x 

   

) 5 :

b x  x  x  x  x 

   

) 5 14 12 :

c x  x  x  x 

   

) 2 :

d x  x  x  x 

   

) 15 36 :

a x  x  x  x 

   

) 2 20 :

b x  x  x  x  x  x

   

) 11 18 :

c x  x  x  x 

Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần thực phép chia:

Bài 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần thực phép chia:

   

) 15 :

a x  x   x  x

   

) 20 :

b  x x   x x 

 26   

) 21 :

c x  x  x   x

 15 5 2  

) 2 13 21 :

d x  x   x  x x x 

   

) 13 41 35 14 :

a x  x  x  x 

 4  

) 16 22 15 :

b x  x   x x x  x 

 2  

) 11 :

c x  x   x  x x 

(14)

Trang 14

 3   3 

) : 15 :

a x  x x  x  x x 

  2 

2

) : :

2

b x  x x  x  x  

 

     

) 42 12 :

c x  x  x  x x  

     

) 25 10 :

d x  x  x  x  

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia:

 

   

 

   

5

4

5 2

6 2

) 24 15 :

) 12 13 :

) :

) 16 21 35 :

a x x x x

b x x x x

c x x x x

d x x x x

 

   

  

  

Dạng 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép chia: Bài 1: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:

   

2

3

4 2

3

) :

) 27 :

) 8 :

) 125 : 10

a x x x

b x x

c x x x

d x x

  

 

  

 

Bài 2: Làm phép chia cách áp dụng đẳng thức:

 4 8  2

) :

a x  x y y x y

   

) 64 27 : 16 12

b x  x  x 

   

) 27 27 :

c x  x  x x  x 

Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

   

 

   

3

2

6 2

2

) 5

) 13 14 15

) 2

)

a x x x x M

b x x M x x x x

c x x x M x

d x x M x x x x

    

     

    

      

Dạng 7: Tìm a b để A chia hết cho B với:

3

) 17 25

a A x  x  x  a B x 2x 3

 

4

(15)

Trang 15 HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Thực phép chia:

   

) 15 :

a  x  x  x   x  x 

   

) 5 : 14 12

b x  x  x  x  x   x  x  x 

   

) 5 14 12 : 4

c x  x  x  x   x  x 

   

) 2 :

d x  x  x  x  x  x 

     

) 15 36 :

a x  x  x  x   x  x 

     

) 2 20 :

b x  x  x  x  x  x  x 

     

) 11 18 :

c x  x  x  x   x  x 

Dạng 2: Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần tính:

   

2

3

2

) 15 :

5 15 :

3

a x x x x

x x x x

x

  

    





 



   

2

3

) 20 :

4 20 :

5

b x x x x

x x x x

x

    

    

 

   

2

3

2

) 21 :

6 21 :

2

3

6 26

c x x x x

x x x x

x x

   

 

  

  

  

   

4 2

2

) 2 13 21 :

2 13

15

5 15

5

21 :

2

d x x x x x x

x x x x x x

x x

   

 

 

 



   

  

(16)

Trang 16         3 2

) 13 41 35 14 :

35 41 13 :

7 11

14

a x x x x

x x x x

x x                    

2

4 2

2

) 16 22 15 :

6 16 22 15 :

4

b x x x x x x

x x x x x x

x x                        

3 2

) 11 :

2

5

2

1 :

c x x x x x

x x x x x

x

 

     

   

 

Dạng 3: Tìm x, biết:

 3   3 

) : 15 :

( 3) (5 2)

1

a x x x x x x

x x x x                       2

) : :

2

1 3 1 0

2

5 3 0

2

3

10

b x x x x x

x x x x                                   2

) 42 12 :

7 (7 14 )

14

6 14

c x x x x x

x x x

x x                           

) 25 10 :

5

8

1

d x x x x

x x x x                  

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử thực phép chia:

 

5

4

) 24 15 :

3 :

8

a x x x x

x x x x x

x x x

 

  

   

4

3

) 12 13 :

5 13

2 :

2

5 6 13

2

b x x x x

x x x x x

x x x

   

 

      

 

(17)

Trang 17

 

5 2

2

3

) :

1

2 2 :

1

4 2

c x x x x

x x x x

x x                        

6 2

2 2

4

) 16 21 35 :

16

7 7 :

16 3 5

7

d x x x x

x x x x

x x                  

Dạng 5: Sử dụng đẳng thức để thực phép:

   

2

) :

1 :

1

a x x x

x x x                   2

) 27 :

2 :

4

b x x

x x x x

x x                        

4 2

2

) 8 :

2 4 : 2

2 :

2

c x x x

x x x

x x x                                   2 2

) 125 : 10

5 25 10 : 2

2 25 10 : 2

25 10 :

25 2

d x x

x x x x

x x x x                                  

   

     

    

   

8 4 2

4 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

) :

: :

:

a x x y y x y

x y x y

x y x y x y

x y x y

                                       2 3

) 64 27 : 16 12

4 : 16 12

4 16 12 : 16 12

4

3

b x x x

x x x

x x x x x

x                              2 3

) 27 27 :

:

3

6

3 x

x

c x x x x x

x          

Dạng 6: Tìm đa thức M biết:

                         3 2 2

) 5

5 :

1

a x x x x M

M x x x x

M x x x

(18)

Trang 18

 

   

     

2

4 2

2 2

2

) 13 14 15

2 13 14 15 :

4 :

2

b x x M x x x x

M x x x x x x

M x x

     

      

      

  

   

     

6 2

2

3

) 2

2 :

1

c x x x M x

M x x x x

M x x x

M x

    

     

 

       

    

  

 

   

     

2

4 2

2 2

2

)

4 :

1 :

2

d x x M x x x x

M x x x x x x

M x x

      

       

       

   

Dạng 7: Tìm a b để A chia hết cho B với:

3

) 17 25

a A x  x  x  a B x 2x 3

Thực A chia cho B ta đa thức dư a 4 Vì Achia hết cho Bnên

4 0 4

a    a

 

4

b) A x 7x 10x  a1 x b a  ?i

Thực A chia cho B ta đa thức dư a2 x    a b 5 Vì Achia hết cho Bnên

a 2 x    a b 50 với giá trị x

Hay  

3

5

a a

b a b

    

  

        

 



Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	660,66 KB