chuyên đề phương trinh
Trang 1Bài giảng số 20
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HẤT PHUONG TRINH SIEU VIET
Bài giảng này đề cập đến các phương pháp cơ bản giải phương trình va bat phương trình siêu việt (tên gọi chung của phương trình bất phương trình mũ và lơgarit) Các dạng bài tốn này luơn luơn cĩ mặt trong các đề thi tuyển sinh vảo Đại học, Cao đăng trong những năm 2002-2009, nhất là với các đẻ thi ở phần tự chọn cho trong chương trình nâng cao
§1 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Đề giải phương trình mũ và phương trình lơgarit ta làm như sau:
- Đặt điều kiện dé phương trình cĩ nghĩa Chú ý rằng ngồi các điều kiện thơng thường, cần nhớ đến điều kiện sau:
Đề logsx,g(x) cĩ nghĩa ta cần cĩ: ,
f(x)>0,f(x)#! g(x)>0
7 Bằng các phép biến đổi cơ bản về hàm số mũ hoặc lơgarit, hoặc dùng phép đặt ân phụ, phép lơgarit hĩa ta quy phương trình đã cho về các phương trình mũ, phương trình lơgarit cơ ban sau:
a= b, a>0
logan B(x) = loggyh(x) Cac dang toan co ban:
Loại 1: Phương pháp đặt â ân phụ để giải phương trình siêu việt:
Bang cach dat an phụ ta quy phương trình mũ, phương trình lơgarit ban đầu về phương trình đại số thơng thường (phương trình chứa hoặc khơng chứa căn thức) Giải các phương trình trung gian này, sau đĩ sẽ quy về giải các phương trình mũ, lơgarit cơ bản để tìm ra nghiệm của phương trình ban đầu
Thi dul: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối A — 2008)
Trang 3t=vi-1 (V2-1) =v2-1 ot
t=V2+1 (V2-1)° =(V2-1)" =-l
Thí dụ 4: (Đề thi tuyến sinh khối D — 2007)
Giải phương trình: log; (4* +15.2 +27]+2log; ; x == 9 ()
Điều kiện để (1) cĩ ngia la 4.2% -3>0<> 2* >ã (2)
Trang 4Thí dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)
Cho phương trinh: log} x+ ylog3 x+1-2m-1=0 (1) L/ Giải (1) khi m = 2
2/ Tim m dé (1) co it nhất một nghiệm thuộc đoạn [s3 | Giai
1/ Khi m = 2 thi (1) co dang : log} x + flog? x+1-5=0 (2) Điều kiện để (2) cĩ nghĩa là: x>0
"Đặt L= Jlog? x +121 khi d6 (2) c6 dang
t+t-6=2 <t=2(dot> 1)
= log? x +1 =2 <> log? x =3 = log, x =+v3 o> x=3Ÿ và x=3Ý,
Trang 5Nix (s+2/6)? =s+ 26 x=2 > oS x -] Xx = —2, (5+2V6)? =5-2V6 =(5+2v6) Thi du 9: Giải các phương trình sau: 1/ log;(4*”! +4).log; (4Š +1]=3 7 (1) 2/ log, 3+ log; x = log 73+ log; vx +t (2) Giải l/ Ta cĩ (1) © [loge 4 + log, (4% +1) Jlog (4* +1)=3, Đặt t = loga(4” + 1) Khi đĩ t=Ì log, (4° +1)=1 4*+1=2 0e 0+2t=3c> | c© | ¡ ©x=0 t=-3 log, (4* +1)=~3 4 tin 2/ Điều kiện để (2) cĩ nghĩa là: x>0, x # 1 Đặt t= logax # 0 Khi đĩ (1) © t t 2 2 1 t=-l log, x =-1 x= => t=2 > log+ x=2 - 7 i x=09, 3 Loại 2: Phương pháp đưa về cùng một cơ số giải phương trình và hệ phương trình siêu việt:
Băng cách sử dụng các cơng thức cơ bản của hàm mũ, hàm lơgarit ta quy phương trình, hệ phương trình đã cho về phương trình, hệ phương trình siêu việt cơ bản đã trình bày ở phân mở đầu của bải giảng
Dĩ nhiên đây là phương pháp thơng dụng, cơ bản nhưng cũng khơng hề kém hiệu quả Xét các thí dụ sau đây: Thí dụ 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2009) log, (x? + y) =1+log,(xy) (1) Giải hệ phương trình: gx 4" = g] (2) Ta cĩ (1) 2)
c© Perle y e0) uy NÊN oe? (4)
3x -y+y” _ 24 x'-xy+y2=4 |Xx”=4 |x=y=-2
Trang 6Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh khối B — 2005)
Vx-1+/2-y =! (1)
3logy(9x?)—logsy°=3 (2)
Giai
Điều kiện đề hệ (1)(2) cĩ nghĩa là: x> 1;0<y <2
Ta cĩ (2) 3ÍI + logy x?)~3log; y=3
Giải hệ phương trình:
<= | + logax— logạy = Ì @© lopsx = logyy © x=Vy (Chú y dox> [ x>0 logoxˆ= logax)
Vậy hệ(l)(2) © y ay (3) vx-l+⁄2-x=l (4)
Dễ thấy ——
Vậy hệ (I2) cĩ hai nghiệm (Ï; 1) và (2; 2) -
Trang 7logo(4x) = 2 + logax; loga(x — 1)Ï= loga(x — 1)'= 4logy|x — I] Khi đĩ: (1) <> log, (x +3) + logs |x —1|- log, x =2 (x+3)|x-I| X & log, =2©(x+3)|x—l|=4x x>I x>I (x +3)(x +1) =4x x? -2x -3=0 o 0<x<l Ơ<x<l (x +3)(1-x) =4x x? + 6x -3=0 Thí dụ Š: Giải hệ phương trình sau: ©x=3;x=-3+23
log, x + logy y+ log,z=2 (1) log; y + logy z + logy x =2 (2) logz + logiyx+log¿y=2 (3) Điều kiện đề (1)(2)(3) cĩ nghĩa là x > 0, y > 0 x> 0, khi đĩ
: c2 -
log, x? + log, y+ log, z=2 log, (x yz}=2
(1)(2)(3) < {loge y? + logy z+ logy x=2 <> {logy(xy*z)=2 5 logig 2” + logyg x + logig y =2 logis (xyz”)=2 4 X= x-yz=16 > xy7z =81 eiyeH xyz’ = 256 to G2| t2 Thí dụ 6: logy jxy =log, y (1) 2% +2% =3 (2)
Dieu kién dé (1) (2) cé nghia lax > Oy>O.x #1 vay #1 Khi do ta cd Giai hé phuong trinh sau:
1
(lo zllogy x +1) =log, y (3)
Dat log,y = t, ta —t—l=0 (suy từ (3))
Trang 8t=l log, y=1 x=y © t 1© =¿ =—— 2 Ò.V=_—-— By ¥ 2 y Te 1 1 1, 2 LN Thay y =—— vào (2) và cĩ 2`+2v* =3 (4) vx 1 - Nếu x>1 thì 2* >2 và 2Ý* >0 =VT (4) >3: Vơ nghiệm I
~ Nếu 0<x<I thì 2Ý* >2 va2>0 VT (4)>3: Vơ nghiệm Tĩm lai: x=y = log> là nghiệm duy nhất của hệ (1)(2) Loại 3: Phương pháp lơgarit hĩa giải phương trình siêu việt: Thi dul log x+5 Giải phương trình: x 3 =lg102X (J) Điều kiện đề (1) cĩ nghĩa là x>0 Khi đĩ lạ xt3 (Io ef 3 } == =S+lpx (2) Dat t = lpx khi đĩ từ (2) ta cĩ: t +2t—15=0 t=3 lex =3 x = 1000 c© c© | | =—5 Igx =—5 X= 100000 Thí dụ 2: Giải phương trình S8ề = 50x!8Ÿ (1), Giải Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là x>0 Áp dụng cơng thức a'°#b€ = cle? (1) <> SI8S = 50-SIB eo 58S = 57 ox =100
Loại 4: Một số phương pháp đặc biệt giải phương trình siêu việt: Người ta hay sử dụng hai phương pháp đặc biệt sau đây:
+ Phương pháp chiều biến thiền hàm số
+ Phương pháp đánh giá hai về để giải một lớp phương trình siêu việt
Trang 9Giai
y=x+a (3)
Ta cĩ (1X2) <<
eX** =e*+In(I+x)-ln(I+a+x)=0 (4) Như vậy hệ (1)(2) cĩ nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình
f(x)=e*** -e* + In(1+x)-In(l+a+x)=0
cé nghiém duy nhat trén khoang (-1; +0 ) oe I Taco f(x) = eX** —e* + ! l+x l+a+x Do a> 0 nên f(x)>0 Vx>—I => fx) là hàm đồng biến khi x > —1 Lan gp 4 : _N Tacĩ lim f(x)= lim e* (e* -1)+ lim In —=+0, x=+” NE x>+z J4+x+a cịn lim f(x)=-—œ x-l
Như vậy do tính liên tục của y = f{x) suy ra phương trình f(x)=0 cĩ nghiệm duy nhất trên khoảng (~1; +o) > đpem Thi du 2: Giải phương trình: 2v3-x =-x" +8x-14 (1) | ; ; Giai Dieu kién dé (1) cĩ nghĩa là x < 3 Dat f(x) = ves =f(x)=—=— 3—x 23-x ln2<0
Vậy g(x) =-x7 + 8x -— 14 f(x) la ham nghich bién khi x <3 Mặt khác f{3) = g(3) = 1, nên (L) cĩ nghiệm duy nhất x = 3 Nhan xét:
Ta sir dung két qua quen biét sau day Xét phuong trinh f(x) = g(x), x € D
Trang 10tL +—+ J nén no 1a ham dong bién trén R
2X 3 6*
Mặt khac, g(x = — 6x’ + 10x —-7 < OVxe R, nên g(x) la ham nghich bién trên R Lại cĩ f(1) = g(1) = 13 Từ đĩ (1) cĩ nghiệm duy nhat x = 1
Thí dụ 4:
Giải phương trình: log, (1 + vx) = log, x (1) Giải
Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là x>0 Đặt t = logax Khi đĩ
(l) © logz[l+ FF) tote} <area(2] [BY a (2) 2
|
2 “=
Vi f(t) = f ) (4) là hàm nghịch biến trên R Lại cĩ f(2) =1 Vậy (2) cĩ nghiệm duy nhất t = 2, tức là x = 9 là nghiệm duy nhất của (1)
Nhận xét:
Ta đã dùng kết quả quen biết sau:
Xét phương trình f(x) = m, x € D Nếu trên miền D, f{x) là hàm số hoặc là luơn luơn đồng biến (hoặc luơn luơn nghịch biến) và phương trình cĩ nghiệm trên D Khi đĩ phương trình cĩ nghiệm duy nhất trên D
Thí dụ Š :
Giải phương trình: 4(x — 2)|loga (x —3) + log; (x - 2) | =15(x +1) (1)
ee Giải
Điều kiện đề (1) cĩ nghĩa là x > 3
Ta cĩ (1) &> log›(x - 3) + logs(x — 2) = js tl 4(x-2)
Dé thay f(x) = Hoes — 3) + loga(x — 2) la ham déng bién khi x>3
g(x)= 15 X+ la ham nghich bién khi x>3 (do g'(x) = = > <0) 2 4(x-2} Lai cé f(11) = g(11) = 5 Vậy x = II là nghiệm duy nhất của (1) Thi du 6: log29 2 xlogax _ x 0823 (1) Giải phương trình: x =x“.43 Giải Với điều kiện x > 0, ta cĩ: (1)
oS olog2 x = x2.3l92 x — 31082 x c 3l082 N— x2 ~| (2) (do glee: x >0)
t t
Đặt logax = t, khi đĩ (2) © 3'=4'—1 6 f{)= B (4) =| (3)
Trang 11§2 BAT PHUONG TRINH MU VA LOGARIT
Trang 122 2 ` > >0 —* >0 3 x+ x+ x? +x x? +x - ra L6) Ta cĩ: (1) <> Đ log, - >0â4~ >iâ4 %7 x+4 x+4 x2 +x 6ˆ x°+x x°+x x+4 (3) log >I ——— <6 x+4 x+4 ^ Roy ca on £ -4<x<-3 Hệ (2) (3) dé dang giải được (bạn đọc tự nghiệm lây) và ta cĩ: 8 x>8 Thứ dụ 3: (Đề thủ tuyên sinh Đại học khỗi 4 — 2007)
Giải bat phương trình: 2log(4x ~3)+ log¡ (2x+3)<2 (1) 3 Giải 3 x> 3 xX > 4 Ta cĩ (1) © 4 2 -3)— (4x -3) 2log; (4x~—3)—log;(2x+3)<2 lịog, <2 +3 3 x>= x>— e3) C1 (4x3) sọ |(4x-3))<l8x+27 2x+3 3 x>~ 3 (do x>7 2x+3>0)= 4 ôâ <x<3 8x? — 21x -9<0 Thi du 4: Giải bất phương trình: 52x-10-3X~2 _ 4 sx-5 « al+3ýX~2 (1) Giai Ta co: (1) oo Se 4 55 gh (5? Ỷ -4.51-5.g3/*~2 _s (“?)<o Sung Ss, © (“7 tan?) [s5 =5.5°"2]<0eœ s8 <sit/x~2 © x~-5<l+3ýx-2€©x-6<3ý/x-2©2<x<l8 (bạn đọc tự nghiệm lại kết quả này)
Loại 2: Đặt ân phụ để đưa bất phương trình siêu việt về bất phương trình đại số trung gian
Trang 13Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B — 2006) Ạ
Giải bất phương trình: logs (4° + 144) ~Alogs2<1+ log, 7 + i) (1) Giải 4` +144 _ 4° 4144 ca : y x 2x 2 XS Ta cĩ (1) <> logs < logs I5(2 H)|e 7 <5(2 +1) @) Đặt t = 2` > 0 khi đĩ (2) cĩ dạng: P—20t+ 64<0 © 4<t< 16 4<2°<16 oO 2<x <4, Thí dụ 2: Giải bất phương trình sau: log (2° - I}log (2." -2) >-2 (1) tw! Q lải Ta cĩ (1) es logs (2* ~ I]log; (2*”! ~2)<2 € log, (2° - It + log, (2" -1)]-2 <0 (2) Dat t = log(2*~1), nén (2) cd dang: tt+l)-2<0 œ@ t+t-2<0 06 -2<t<l « 2 X29 =I<l eo 2<2Y <3 =2+ logy 5 < x < log; 3, Thi du 3: Giải bắt phương trình sau:252*-*”*! 4.9228" *l > 34.152" (1), 9 2x-x2 15 2x-x? Ta cĩ: (LÙ) © 25 +9{ =| 343) >0 25 25 3 2xx? 9t? ~34t+25 >0 (ở đây t = (2) > 0) 3\ % t<! (2) <1 2 ~ 5 2x—x* 20 = ca 2x-x2 = 2x—x? <-2 iG) ap 5 ~ 9 2 x <1- V3 hoặc 0 <x <2 hoặc x> [+ M3 Loại 3: Sử dụng điều kiện cĩ nghĩa của bất phương trình để đơn giản hĩa phép giải:
Trang 149% -72>0 Điều kiện để (1) cĩ nghĩa là 4 log, (9" - 72) >0<59*% —-72>1<59* > 73 (2) x>0,x#1 Từ (2) suy ra nĩi riêng x > 1 Vi thé 9 >73 pn 3` > 73 (Ne |tozs(9" -T73}<x %-72<3* — |(3*) -3*-72<0 Vx ox «> V73<3` <9 <= log; V73 <x S52 logy 73 <x <2 Nhận vét: