CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN PHẦN I : Phương trình có chứa căn MỖI CÔNG THỨC HOẶC MỖI KĨ THUẬT CHO 1-2 VD VÀ 1-3 BT T ƯƠ NG TỰ IPhương pháp biến đổi tương
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN
PHẦN I : Phương trình có chứa căn (MỖI CÔNG THỨC HOẶC MỖI KĨ THUẬT CHO 1-2 VD VÀ 1-3 BT T ƯƠ NG TỰ )
I)Phương pháp biến đổi tương đương KĨ THUẬT: 1.biến đổi tđ, 2.dùng công thức 3.nhân
liên hợp 4 đưa về tích …
1) Kiến thức cơ bản :
+) f x( ) a a( 0) f x( ) a2 ; f x( ) g x( ) f x( ) g x2 ( )
+)
) ) 0 ) ) ) ) ) ) 0 ) )
x g x f x g hoac x f x g x f x g x f x g x g x f
+) 3 f x( ) g x( ) f x( ) g x3 ( );3 f x( ) 3 g x( ) f x( ) g x( )
* Chú ý trong các công thức trên thông thường f x( ) & ( )g x là các hàm xác định trên R; các trường hợp khác phải tìm điều kiện xác định trước khi biến đổi
2) Bài tập áp dụng
0 20 12 1 ) 1 ( 16 32 4 64 4 1 1 4 2 8 11 1
1 4 4 1 11 11 1 2 1 11 11 1 2 1 11
2
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x
Bài2: gpt: x 4 1 x 1 2x Txđ: 11 2 00 4 2
0 4
x x
x x
1 0 7 2
2 / 1 2 / 1 ) 1 2 ( ) 2 1 )(
1 ( 2 / 1 1 2 ) 2 1 )(
1
x x x x
x x x x x x
II) Phương pháp đặt ẩn phụ KĨ THUẬT: 1.biến đổi tđ, 2.dùng công thức 3.nhân liên hợp 4
đưa về tích ….chú ý…
1) Dạng1: * Nếu có căn f(x) và f(x) đặt t= f (x)
Nếu có f(x) , g(x) ma f(x) g(x) a(h/s) dat t f(x) g(x) a/t
Nếu có f(x) g(x) , f(x)g(x) ,f(x) g(x) a,dat t f(x) g(x)
Nếu có 2 2 sin , 2 2
a
2 2
sin
2 2
t t
a x dat a x
2) Bài tập áp dụng
Bài1: gpt 2(x2- 2x) + 2 2 3 6 0
x
Bài2; gpt 5 ( 3 2 1 ) 4 9 2 3 2 5 2
đặt t= 3x 2 x 1 đ/k t ≥ 1dẫn tới pt t2-5t+6=0
Bài3:gpt: 1 x2 4x3 3x
đ/k -1 ≤ x ≤ 1 đặt x = cost t0 , khi đó pt
2
2 4
3 cos , 2
2 2 8
5 cos , 2
2 2 8 cos
4
3 , 8
5 , 8
) 2 cos(
3 cos 3
cos sin cos
3 cos 4 cos
x
t t t
t t
t t
t
Bài4: gpt:
0 1 3 2 0 3 / 1 2 1
1 0
3 1
1 1
1 2
1 2 1
0 ) 1 ( 1
3 ) 1 ( 2
2
2 2
2 2
t t t
t x
x t
dat x
x x
x
x ve chia ng la khong x
x x
x
giải ra có t = 1, t = 1/ 2 suy ra nghiệm phương trình
Bài5: gpt : 1235
1
2
x
x
x đ/k x > 1 đặt x = 1/cost t ) x 1 tant
2 0
4 5 5 4
5 cos
5 cos 1
12 25 sin 1 cos 1
12 35 sin 1 cos 1 5
/ 7 0
35 24 35
) 2 , 1 ( cos
sin
cos sin 35 ) cos (sin 12 12 35 sin 1 cos 1 12
35 cos / sin cos / 1 cos 1
2
x x t
t
t t
t t t
u u
u t t u dat
t t t
t t
t t
t t t
pt
2) Dạng2: đặt ẩn phụ còn x tham ra như một tham số hoặc t là tham số
Bài tập áp dụng :
0
2 2
2
2
x
x dk x x x x
Trang 2
Khi đó pt: x2 -2tx-1 = 0 `= t2+1 = (x-1)2 →x = t±(x-1) khi và chỉ khi
5 1 5 1 0 1 2 3 2 / 1 0 1 2 )
1 2 ( 2 0 1 2 1 2 )
1 ( 2
) 1 ( 2
2 2
2 2
2 2
2
x x x
x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x
Bài2: gpt (4x-1) 4 2 1
x 8x2+2x+1 đặt t = 4 2 1
x ≥ 1 pt : 2t2-(4x-1)t+2x-1=0
Có ngh t=2x-1, t= 1/2(loại) với t =2x-1
2
) 1 2 ( 1 4
2 / 1 1
2 1 4
x x
x x
c v u
b a v u x f b v
x f a u c x f b x f a
n n n
n n
n
) ( ) ( )
( )
(
Bài tập áp dụng:
2 2 1
1 2
1
3 3 3
3
v u v u x v x u x
x
10 1 2 0 1 1
2 1 1
3
x x u u v u v u x v x u x x
3) Dạng4: một ẩn phụ chuyển phương trình thành một hệ : axb c(dxe)2nxm
Thí dụ: gpt 3 1 4 2 13 5 3 1 ( 2 3 ) 2 4 2 3 3 1
x
x y y x x y
y x y x
y
x x y
2 5 2 1 3 ) 3 2 (
1 2 ) 3 2 ( 1
3 ) 3 2 (
4 ) 3 2 ( 3 2
2 2 2
2
8
73 11 0
3 11 4 2 5 2 ) 2
8
97 15 0
8 15 4 )
1
2
2
x x
x x y
x x
x y x
III) Phương pháp đánh giá
1) Kiến thức cơ bản:
1) f2(x) + g2(x) + t2(x) = 0
0 )
(
0 )
(
0 )
(
x t x g x f
2) f(x) + g(x) = a ( a là hằng số)
mà f(x) ≤ b , g(x) ≤ c (b + c =a )
c x g
b x f
) ( ) (
3) f(x) = g(x) , f(x) ≤ a, g(x) ≥ a
a x g
a x f
) ( ) (
2) Bài tập áp dụng :
Bài1: gpt x4 + 2x2 -6x +20 = 2 2 2 2 16
x
x
x + x2 -2x +16+
x2-4x+4 = 0 ( x2- 2 2 16
x )2 + ( x-2)2 = 0
0 2
0 16 2
2 2
x
x x
x = 2 thỏa mãn hệ , vậy phương trình có 1 nghiệm x = 2
Bài2: gpt: 4x2 + 3x +3 = 4x x 3 2 2x 1 đ/k x ≥ 1/2 phương trình tương đương
1 1 2
2 3 0
) 1 2 1 ( ) 3 2
x
x x
x x
x
Bài: gpt: 3 2 6 7 5 2 10 14
Ta có vé trái 3 ( 1 ) 2 4 5 ( 1 ) 2 9 4 9 5
x
Vế phải 4 – 2x—x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5 vậy phương trình chỉ thỏa mãn khi cả 2 vế đồng thời bằng 5 khi và chỉ khi x = - 1 là nghiệm của phương trình
IV) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : 1) Cơ sở lý thuyết
dùng tính đơn điệu hàm số từ đó khẳng định số nghiệm phương trình
2) Bài tập áp dụng
Bài1 4x 1 4x2 1 1 dkx 1 / 2 xét hàm số y= 4x 1 4x2 1 txd x 1 / 2
1 4
4 1
4
2
2
,
x
x x
y hàm số luôn đồng biến trên txđ vậy pt không có quá một nghiệm nhẩm nghiệm ta thấy x=1/2 là nghiệm duy nhất
Bài2: gpt 5 3 1 3 4 0
x xét hàm số y= 5 3 1 3 4
0
3 1 2
3 3
`
x x
x
y h/s đồng biến trên txđ vậy phương trình không có quá một nghiệmTa thấy x= -1 là nghiệm duy nhất của bài toán
Bài3:gpt; 3 xx2 2 x x2 1 3 2 2 2 1
x x x x đặt t = x2- x đ/k -3≤t≤2
Trang 3h/s f(t) = 3 t txđ 3 , 2 f`(t)= o
3 2
1
hàm số tăng ,
2 2
1 )
(
t t
g
t hàm số nghịch biến vậy chúng chỉ có thể giao nhau tại một điểm duy nhất , thấy t =1 là nghiệm do đó t=1 suy ra pt x2- x =1 có nghiệm x1 2 5
V) Phương pháp sử dụng tính liên tục hàm số để chứng minh số nghiệm phương trình
Bài tập áp dụng : CMR phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt thuộc (-7,9): 2x 6 3 1 x 3
đặt t= 31 x có pt 2t3 – 6t + 1 =0 hàm số này liên tục trên R ,có f(-2)f(0)<0 có 1ngh t thuộc (-2,0) suy ra có 1 ngh x thuộc (1,9) , f(0)f(1)<0 có 1ngh t thuộc (0,1) suy ra có 1ngh x
thuộc(0,1) ,
f(1)f(2)< 0 có 1ngh t thuộc(1,2) suy ra có 1 ngh x thuộc (-7,0) vậy phương trình đã cho có đúng 3
nghiệm phân biệt thuộc ( -7,9)
VI) Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc 2
* Tìm tập xác định của phương trình
* Xét hàm số f trên miền D ,tồn tại đạo hàm bậc 2 suy ra hàm số lồi hoặc lõm trên miền D
Suy ra phương trình không có quá 2 nghiệm
nhẩm 2 nghiệm thuộc miền D
Bài tập áp dụng :
Bài1: gpt : 3 x 1 3x2 8x 3 đ/k x≥ - 1 PT tương đương
3 1 3 2 8 3 0
x trên tập x/đ x ≥ -1
0 6 ) 1 ( 4
3 )
( 8
6 1 2
3 )
(
2 ,``
, ,
x x
f x
x x
Do đó phương trình nếu có nghiệm thì không quá 2 nghiệm ta dễ thấy x = 0, x = 3 là nghiệm Bài2;gpt: 3 1 2 1
x điều kiện x ≥ 0 phưong trình tương đương với
0 2 ) 1 3 ( 4
9 4
1 )
( 1 2 1 3 2
3 2
1 )
(
2 2
, ,
x x
x f x
x x
x
vì vậy phương trình không có quá 2 nghiệm ,dễ thấy x = 0 ,x = 1 là nghiệm
VII) Một số phương trình không mẫu mực
Bài1: gpt: 4
3
10 2
6
t t đ/k x < 2 đặt 0 2 62 3 1 62
2
6
t
x t
x x
Pt thành t+
2 2
2
) 4 ( 6 10
4 4
6
10
t t
t t t
t
khi đócó PT: t4-8t3+12t2-48t+96=0 suy ra (t-2)(t3-6t2-48)=0 Có nghiệm t=2 suy ra x=1/2 cònphương trình: t3-6t2-48=t2(t-6) -48 < 0 với o<t≤ 4 vô nghiệm, vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=1/2
Bài2: gpt: 3 2 7 3 2 2 3 2 5 1 2 3 4
3 2 7 3 3 2 5 1 2 2 2 3 4
4 3 2
6 3 1
5 3 3 7 3
4 2
2 2
2 2
x x x
x x
x x
x
x
*) với mọi x > 2 không thể là nghiệm vì vế trái < 0,vế phải > 0
*) với mọi x < 0 cũng không thể là nghiệm
*) với x = 2 là nghiệm vậy phương trình chỉ có nghiệm x = 2
Bài3: gpt :
x
x x
x x
x
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
Trang 4Xét vế phải theo bất đẳng thức cô si ta có 2
2 1
2 1 2 1
2 1
x
x x
x
dấu bằng xâỷ ra khi
2 1
2 1 2
1
2
1
x x
x x
x
Xét vế trái ta có ( 1 2 1 2 ) 2 2 2 ( 1 2 )( 1 2 ) 2 2
x x x x suy ra vế trái ≤ 2 dấu bằng xẩy ra khi x = 0 vậy x = 0 là nghiệm của phương trình
Bài4:gpt: 2 2 2 12 4 ( 1)
x
x x
x x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Bu nhi a cốp ski ta có
Cộng
2 ) 1 2 ( 1 )(
1 1 ( 1 2 1 1 1 2 1
2 ) 2 ( )(
1 1 ( 2
1 1 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Ta có 2 2 1 2 12 4
x x
x
x dấu bằng xẩy ra khi x=1 là nghiệm của phương trình
PHẦN 2 :Bất phương trình có chứa căn
I)Phương pháp biến đổi tương đương :
1) Kiến thức cơ bản : 1)
) ( ) ( 0 0 ) ( ) ( )
x g x f x g x g x f
2)
) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( )
( ) (
2 x g x f x g x f x g x
g x f
2) Bài tập áp dụng:
Bài1:
2 0 0 3 3 4 0
0 2 0 4 16 3 0 2 4
2 2 4 4 0 2 2 0 4 4
2 2 4 4
2 2 2 2
2 2
x x x x x
x x x
x x x x x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0 , 2
Bài2: gbpt 2 2 6 1 2 0
, 3 2 , 3 7 3 ) ( 6 2 0 0 6 2 0
2 2 2
x x x x x x x
Bài3: gbpt: 1 1 4 0
2
x
x điều kiện
2 0 0 2 0 4 1 0
2
x x x
x
1) Với - 0
2
1
) 3 1 ( 4 1 0 3 1 3 1 4 1
x x
x x
2
1
x
2) Với 0<x
2
1
0 3 1
) 3 1 ( 4 1
0 4 1
0 3 1 3
1 4
x
x x
x x
2
1
Vậy nghiệm của bpt là
2
1 , 0 0 , 2 1
II)Phương pháp đặt ẩn phụ
1) Dạng1: đặt ản phụ hợp lý dẫn tới bất phương trình đại số quen thuộc
Bài1 ; gbpt: 2 2 2 3 11 3 4
x dẫn tới bpt
t2+2t-15 ≤ 0 suy ra 0 ≤ t ≤ 3 suy ra 2 3 11 3
x suy ra x2 -3x+11 ≤ 9 suy ra nghiệm của bpt 1 ≤ x ≤ 2
1
3 1
1 1 1
3 1
1
2 2
2 2
x x
x x
x
1 x
x
có bất phương trình
t2-3t+2 > 0 suy ra t > 2 hoặc t < 1 1) xét bpt 2
1 x
x
5 2 4 5 1 0 0 1 1 2
2 2
2
x x x
x x
2) xét bpt 2
1 x
x
) 1 ( 4 0 1 0 1 1
2 2 2 2
x x x x
x x
nghiệm của bpt là
5
3 5
1 , 1
2
1 2 2
5
x
x x
x điều kiện x > 0 đặt t = x x
2 1
Trang 5dẫn tới bất phương trình bậc hai: 2t2 – 5t + 2 > 0 có nghiệm t > 2 khi và chỉ khi
x
x
2
1
2
3 ( ) 2 2
3 , 0 ( 0
1
Bài3: gbpt 1 2 1 3 1 0
x
x t dat x
x x
x
dẫn tới t2 -2t -3 >0 có nghiệm t≥ 3 Cho ta tập nghiệm của bpt là
8
1 , 0
Dạng2 : đặt ẩn phụ t dẫn bpt xem t là ẩn ,x là tham số,hoặc bpt xem x là ẩn, t là tham số
Bai1:gbpt: x2-1 2x x2 2x
x dẫn tới bpt: x2-2tx-1≤ 0 có t 1 (x 1 ) 2 dẫn tới ( 2 2 1 )( 2 2 2 1 0
0 2
0 2 1
) 1 2 ( 2
0 2
0 1 2 0
1 2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Dạng3: đặt 2 ẩn phụ dẫn tới một hệ
Bài1: gbpt 2 2 6 8 2
x điều kiện x ≥ 0 biến đổi
1 2 2 )
1 2 ( 2 ) 2 (
x v x u
2 2 2 2
2 0 1 2
u v
v u v u v u
2 2 2
) ( 2 2 0
Trường hợp u = v 1 , 5
0 5 6 0 2 2 1
x x x x x
Vậy để u , 1 , 5
2
1
Bài2:gbpt 2 2 6 8 2
2 0
x v
x u
bất phương trình có dạng
0 ) ( 0 2
2 0 2
v u v u v u v u v u v u v u
4
0 4 5 2 2 0 2
x x x x x x
III)Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số
Cơ sở lý thuyết: dựa vào bảng biến thiên của hàm số phát hiẹn miền nghiệm cuả bất phương trình Bài tập áp dụng
Bài1: gbpt: x 9 2x 4 5 d/k x 2 xét hàm số f(x) = x 9 2x 4 trên tập x ≥ -2
Có đạo hàm luôn dương với mọi x thuộc tập xác định suy ra hàm số luôn đồng biến lại có f(0) = 5
vậy nghiệm của bpt là x > 0
x
Tương đương x2 2x 3 x 1 x2 6x 11 3 x
(x 1 ) 2 2 x 1 ( 3 x) 2 2 3 x
Xét hàm số f(t) = t 2 t tren 1 , 3 có f, (t) >0 hàm số đồng biến trên tập xác định vậy ta có f(x-1)>f(3-x) khi và chỉ khi x-1>3-x cho ta x>2 vậy nghiệm của bất phương trình là 2 < x ≤ 3 Bài3: gbpt: 2x+ 7 2 2 7 35 / 0
7
7 2 7
| 2
1 2
1 2 ) ( 7
2 7 2
2 ,
2
x x
x x
x x
f co x x x
x x
Hàm số đồng b iến trên tập xác định vì vậy f(x) < 35 = f
12
29
vậy nghiệm bpt 0< x <
12 29
IV) Phương pháp sử dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất hàm số
Kiến thức cơ bản Lập bảng biến thiên từ đó có kết quả của bài toán
Bài tập áp dụng
Bài1 Tìm m để bpt sau có nghiệm: mx - x 3 m 1 đặt t = x 3 t ≥ 0 ta có
m( t2+2) ≤ t+1 tương đương với m
t
t
2
1
2 xét hàm số f(t) = 2 12
t
t
trên tập t≥ 0 có
2 ,
) 2 (
2 2 )
(
t
t t t
f f,(t) = 0 khi t = 1 3
Trang 6Ta có bảng biến thiên
Nhìn vào bảng biến thiên để bất phương trình có nghiệm thì m ≤
4
1
3
V) Phương pháp đồ thị :
Kiến thức cơ bản : dùng đẻ giải các bài toán tìm tham số để bất phương trình có nghiệm thực hiện
các
bước sau :
*) sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa bất phương tình đã cho về một hệ
*) xét trên hệ trục tọa độ Oxm
+) Biểu diễn các điểm M(x,m) thỏa mãn các bất phương trình trong hệ ,giả sử các tập đó là X1,X2, +) Xác định X= X1 ∩ X2 ∩…
+) Chiếu vuông góc tập X lên trục m ,giả sử là Im
*) Khi đó:
+) Để hệ vô nghiệm khi m ≠ Im
+) Để hệ có nghiệm khi m € Im
+) Để hệ có nghiệm duy nhất khi đường thẳng m = giao với tập X đúng một điểm duy nhất
Bài tập áp dụng:
Bài1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 1 x2 m x đặt y = 1 2 0
x khi đó bất phương trình tương đương với một hệ
) 3 ( 0 ) 2 ( 1 2 2
m y x y x
Các điẻm thỏa mãn (2) ký hiệu là X1 là tập hợp các điểm mằn nửa trên của đường tròn tam O bán kính R=1 các điểm thỏa mãn (3) ký hiệu là X2 là tập hợp các điểm nằm phía trên của đưòng thẳng x +
y = m lấy với y ≥ 0 Vậy để bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi X 1 X2 0 khi m 2
Bài2: Tìm m để bất phương trình sau đúng mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6
( 4 x)( 6 x) x2 - 2x +m đặt y = ( 4 x)( 6 x) ≥ 0 suy ra y2 = 24 + 2x – x2
Tương đương với ( x -1 )2 +y2 = 25 như vậy vế trái của bất phương trình là nửa trên của đường tròn tâm I(1,0) bán kính R = 5 , còn vế phải của bất phương trình y = x2 – 2x + m là một pảabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 1 để bài toán nghiệm đúng
với mọi x thuộc – 4 ≤ x ≤ 6 thì pảa bol luôn nằm
phía trên nửa đường tròn và đỉnh của pảabol tiếp xúc
với đường tròn tại điểm M(1,5) tức là 5 = m0 – 1 suy ra m0 = 6
vậy giá trị m cần tìm là m ≥ 6
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
t
f t
F ( t )
0
-+
-1 3
0
M(1, 5)
x
1
y
Trang 7Cơ sở lý thuyết : dựa vào đặc điểm của bất phương trình ta có thể
Suy ra đặc điểm của nghiệm của bất phương trình từ đó suy ra
Giá trị tham số m , điều kiện đủ với m tìm được thay vào bẩt phương trình ,giá trị m thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
Bài tập áp dụng
Bài toán1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm duy nhất x2 2m mx2 (1)
Điều kiện cần : giả sử (1) có nghiệm là x0 thì – x0 cũng là nghiệm , do đó muốn có nghiệm duy nhất thì phải có x0 = - x0 suy ra x0= 0 thay vào (1) ta có m = 0
Điều kiện đủ : với m = 0 thay vào bất phương trình ta có ngay nghiệm duy nhất x = 0 ,vậy m = 0
là giá trị cần tìm
Bài toán2: Tìm m để bất phương trình ( 2 x)( 4 x) x2 2xm (1) nghiệm đúng với mọi
x 2 , 4
Điều kiện cần: để bất phương trình đúng mọi x 2 , 4 thì x = 1 cũng là nghiệm thay vào (1) ta có m≥ 4
Điều kiện đủ : với m ≥ 4 khi đó áp dụng bất đẳng thức Cô si vế trái ta có Vế trái =
3 2
4 2
) 4
)(
2
x
x vế phải x2 – 2x + m = (x-1)2+ m – 1 ≥ 3 suy ra vế phải ≤ vế trái , vậy với m ≥ 4 là giá trị cần tìm
VII) Phương pháp đánh giá: Đó là các bài toán giải thông thường gặp khó khăn nếu để ý đặc điểm
của bài toán và kết hợp với mọt số bất đẳng thức cơ bản ta có thể suy ngay ra nghiệm của bài toán
Bài toán áp dụng : giải bất phương trình sau 2 1 2 1 2
x
0 1 0 1 0 1
2 2
x x
x x x
và chỉ khi Vế trái = 2 khi và chỉ khi 2 1 2 1 1
vậy x = 1 là nghiệm của bất phương trình
Chủ đề phương trình có chứa giá trị tuyệt đối
I) Phương pháp biến đổi tương đương
1) Cơ sở lý thuyết :
) 2 ( ) ( )
(
) 1 ( ) ( ) ( )
( ) (
x g x
f
x g x f x
g x f
) ( ) ( 0 ) ( )
( )
x g x f x g x
g x
) ( ) (
) ( ) ( 0 ) (
x g x f
x g x f x g
Chú ý: người ta thường dùng cách thứ 2 khi bình phương hai vế xuâts hiện phương trình bậc cao
2) Bài tập áp dụng
2 2 2 2 2 2 2
2 1 2
2
x x x x x x x x x x x
Bài2:gpt | x2 +5x+4 | = x+4 tương đương 0 , 6
) 4 ( ) 4 5 ( 0 4
2 2
x x x x x x
Bài 3: Giải và biện luận phương trình: | x2 -2mx-2m | = | x2 + 2x| (1)
) 3 ( 0 )
1 (
2 )
1 ( 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
m x m x
m x m x
x m mx x
x x m mx x
Giải 2
với m + 1 = 0 thì m = -1 khi đó (2) vô nghiệm
với m + 1 ≠ 0 thì m ≠ - 1 khi đó (2) tương đương với 1
m
m x
Giải3 Ta có = (m+1)2
* Với = 0 m = - 1 (3) có nghiệm x = -1
* Với > 0 m ≠ - 1 khi đó (3) có nghiệm
m x
Kết luận
Trang 8 Với m = -1 phương trình có một nghiệm x = - 1
Với m ≠ - 1 phương trình có3 nghiệm x = - 1 , x = m , 1
m
m x
Bài4 Giải và biện luận phương trình | x2 + x +m | = - x2 + x +2 Phưong trình tương với
) 3 ( 2 ) 2 ( 2 (*) 2 1 2 2 2 2 2 1 2 0
2 2 2 2 2 2
m x m x x m x m x x x m x x x x m x x x x
a) Giải và biện luận (2)
6
2 4
2 2
0 2 2
m
m m
m
khi đó (2) không có nghiệm thỏa mãn (*)
* Với 1 < 4 6 0
2
2
m m
thì (2) có nghiệm x =
2
2 m
thỏa mãn (*)
* Với 0 ≤ 1 0 2
2
2
m m
thì (2) có nghiệm x =
2
2 m
thỏa mãn (*) b) Giải và biện luận (3) ,nghiệm của (3) thỏa mãn (*) khi 2 6 0
2
2
Kết luận :
) vơi m>2 hoặc m <- 6 phương trình vô nghiệm
) Với 0 m 2 phương trình có 2 nghiệm x =
2
2 m
) 6 m 0 thì (2) có nghiệm x = 2 m2 và x= 2 m2
II) Phương pháp chia khoảng
1) Cơ sở lý thuyết: Khi giải phương trình có chứa nhiều tuyệt đối a) Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
b) Lập bảng xét dấu tất cả các biểu thức nằm trong tuyệt đối c) Giải phương trình trên từng khoảng đã chia
d) Kết luận 2) Bài tập áp dụng
Bài 1 gpt | x2 – x | + | 2x – 4 | = 3
Nếu x ≤ 0 hoặc 1 ≤ x ≤ 2 pt tương dưong với x2 – x – (2x-4) = 3 khi x2-3x+1=0
Cho ta 2 nghiệm
2
5
3
x loại
* Nếu 0<x<1 pt tương đương với x2 +x -1 = 0 có nghiệm
2
5
1
* Nếu x ≥ 2 pt tương đương với x2 +x – 7 = 0 có nghiệm
2
29
1
Bài2: gpt 3
1 4
3
x điều kiện x khác 3 và 5
x
X 2 -x 2x-4
|
| 0
+
+
Trang 9
* Nếu x ≤ -3 pt tương đương với x2 = 12 có nghiệm x = 2 3 thỏa mãn
* Nếu -3 <x < 4 pt tương đương với x2 = 6 có nghiệm x = 6thỏa mãn
* Nếu x ≥ 4 pt tương đương với x2 -2x – 18 = 0 có nghiệm x = 1+ 19 thỏa mãn Chú ý : néu có nhiều giá trị tuyệt đối cách giải vẫn tương tự nhự vậy
III) Phương pháp sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối :
1) Cơ sở lý thuyết:
* Tính chất 1: | a+b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a,b ≥ 0
* Tính chất 2: |a| + |b| = a + b khi và chỉ khi a,b ≥ 0
* Tính chất3 : |a| + |b| = a - b Khi và chỉ khi a ≥ 0 , b ≤ 0
* Tính chất 4 : | a – b | = |a| - |b| Khi và chỉ khi b( a-b) ≥ 0
Cách giải
Đặt điều kiện phương trình có nghĩa
Biến đổi phương trình về 1 trong 4 dạng trên
Giải và kết luận
2) Bài tập áp dụng
Bài1: Giải phương trình | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = 3
Cách 1 có thể giải bằng phương pháp chia khoảng Cách 2 phương trình có thể biến đổi thành | x2 – 4x + 3| + | x2 – 4x| = ( x2 – 4x + 3)- ( x2 – 4x )
4 3 1 0 0 4 0 3 4
2 2
x x x
x x x
Bài2 Giải phương trình tan tantan 1
1 tan
x x
x
x
x
x x
x
x
tan 1 tan
tan tan
1 tan
tan
Tương đương với
k x k
k x x
x x
x
2 4
1 tan 0 tan 0 1 tan tan 2
Bài3 Giải phương trình x 2 x 1 x 3 4 x 1 1 điều kiện x ≥ 2
Tương đương với ( x 1 1 ) 2 ( 2 (x 1 ) 2 1
Tương đương với x 1 1 2 x 1 = ( x 1 1 ) ( 2 x 1 )
Tương đương với 2 5
2 1 0 1 0 1 2 0 1 1
x x
x x
x
IV) Phương pháp đặt ẩn phụ:
1) Cơ sở lý thuyết : Đặt ẩn phụ thích hợp đưa bài toán đã cho vè bài toán 1 ản không
có tuyệt đối
2) Bài tập áp dụng
Bài1: gpt (x – 1 )2 +4 | x-1| +3 = 0 Đặt t = | x-1| t không âm ta có phương trình t2 +4t +3 = 0
2
4 3
1
3 1 3
1
x
x x
x t
loai t
2 5
6 2
2
x x x
x
Dặt t = | x2 -5x +2| >0 ta có phương trình t + 1/t +1=0 có nghiệm t= -3 , t=2 với t = 2 thỏa mãn khi đó | x2 -5x +2| = 2 ta có x2 -5x +2 = 2 ,
x2 -5x +2 = - 2 cho ta nghiệm x=0 , x= 1, x= 4 , x=5 Bài3 : Giải và biện luận pt 2
1 2
2
mx mx
x x+3 3 x-4
-3 0
|
4
-+
Trang 10
Đặt t = | mx-2| +1 ≥ 1 có phương trình t – 1 + 2/t =2
1 3 2 1
2
0 2 2
1 2
1 1 2 2
1
mx mx mx mx
mx mx
mx t
t
Kết luận : * với m =0 phương trình vô nghiệm
với m khác 0 phương trình có 3 nghiệm phân biệt x = 1/m , x = 2/m ,
x = 3/m
V) Phương pháp hàm số
1) Cơ sở lý thuyết Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định của nó thì ta
luôn
có f(u) = f(v) khi và chỉ khi u = v
2)Bài tập áp dụng
Bài 1 gpt 2 5 1 2 1 5 11 2 5 2 1 5 1 11
x
e x
e x
x e
Tập xác định x khác 5/2 , 1
Xét hàm só f(t) = et – 1 / t có đạo hàm et + 1/t2 > 0 với mọi t hàm số luôn đồng biến Vậy ta có f(| 2x-5|) = f( |x-1|) khi và chỉ khi | 2x-5| = | x-1| giải ra có nghiệm x = 2,x=4 Bài2 gpt x2 –x|x| + 3x – 10 = 0
Xét hàm số f(x) = x2 –x|x| + 3x – 10 có đạo hàm f ) =
0 3
2 3
0 3
2 3
2 2
x x
x
x x
x
Đạo hàm luôn dương với mọi x hàm số luôn luôn đồng biến vậy nếu có nghiệm thì đó là
nghiệm duy nhất dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của bài toán
VI) Phương pháp điều kiện cần và đủ
a Cơ sở lý thuyết : Tìm điều kiện tham số có thẻ xẩy ra các dạng sau
Dạng1 : phương trình có nghiệm duy nhất
Dạng2 phương triònh có nghiệm với mọi giá trị tham số
Dạng 3 phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc miền D
Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bất phương trình khác Thực hiện các bước giải sau
Đặt điều kiện phương trình có nghĩa
Dựa vào đặc điểm của phương trình tìm điều kiện cần suy ra giá trị của tham só
Giá trị tham số thỏa mãn điều kiện của bài toán là giá trị cần tìm
b Bài tập áp dụng
Bài toán : Tìm m để phương trình sau | x-m | = x + 4 đúng với mọi x ≥ -2 Điều kiện cần : vì đúng với mọi x ≥ -2 nên đúng với x = -2 suy ra | 2-m| = 2+m Suy ra m = 0 , m=4
Điều kiẹn đủ Với m = o ta có phương trình |x| = x+ 4 ta thấy x =0 không thỏa mãn loại Với m = 4 ta có | x-4 | = x + 4 luôn đúng với mọi x ≥ -2
Vậy giá trị m = 4 là giá trị cần tìm
VII) Phương pháp đánh giá
1) Cơ sở lý thuyết dựa vào tính chát một số bất đẳng thức cơ bản ,và phương pháp đối
lập
Ta có thể suy ra nghiệm của phương trình
2) Bài tập áp dụng
Bài toán 1: gpt sau 2
3
1 1
3
x x
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho vế trái phương trình ta có
2 3
1 1
3 2 3
1 1
3
x x x
x bằng vế phải dấu bằng xẩy ra khi