Phương trình chứa ẩn ở căn thức

Phương trình chứa ẩn thức Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương trì nh chứa ẩn thức Ví dụ : Giải phương trì nh:  x  x2  x   x Giải: ĐK  x  Để giải phương trì nh rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ thức Có cách để loại bỏ thức ? Điều nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trì nh cho ln khơng âm nên bì nh phương hai vế ta thu phương trì nh tương đương 2   (1)  1  x  x2      x  1 x   1 4 x  x  (x  x )   x  x   2(x  x )  x  x   x  x 2 x  x    x  x2   x  0; x     VN   xx 4  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trì nh: x  0;x  Qua lời giải ta thấy thức  x  1 x  x  x biểu diến qua x   x nhờ vào đẳng   x  x (*) Cụ thể ta đặt t  x   x t2  xx  phương trì nh cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn t2  t:   t  t  3t    t  1; t  2 x  x   x  1 x 1   x  0; x  Vậy ta có:   x   x   VN (VT  2)   Việc thay biểu thức x   x ẩn t (mà ta gọi ẩn phụ) suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( nhớ lại tì m cách làm thức !) Cách làm ta thường gặp sống ngày chúng ta, chẳng hạn xa không tiện cho việc mang theo tiền mặt ta đổi qua la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng việc chuyển đổi tiền trên, để làm thức ta tìm cách đặt biểu thức chứa thức biểu thức ẩn cho phương trì nh ẩn có hình thức kết cấu đơn giản phương trì nh ban đầu Đặt biểu thức chứa biểu thức ẩn vấn đề quan trọng nhất, bước làm định đến có lời giải hay khơng lời giải tốt hay dở Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp ta cần phải tìm mối quan hệ biểu thức tham gia phương trì nh cách giải ta tạo mối quan hệ đẳng thức (*) Có nhiều cách để tạo mối quan hệ đối tượng tham gia GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh phương trì nh chẳng hạn phương trì nh ngồi đẳng thức (*) ta cịn có mối quan hệ biểu thức tham gia phương trì nh:    x  1 x   x   x  (**) mà từ phương trì nh ta rút thức qua 1 x  3t  Do đặt t   x  x  thay vào 2t  1 x  (**) biến đổi ta thu phương trì nh t(t  1)(2t  4t  3)   t  0,t  hay x  0,x  nghiệm phương trì nh Phương trì nh cho chứa tổng tích hai thức, đồng thời hai thức thỏa mãn (**) ta đặt a  x , b   x từ phương trì nh cho kết hợp với  1  ab  a  b (**) ta có hệ phương trì nh:  hệ đối xứng loại I, giải hệ ta a  b   nghiệm phương trì nh x=0 x=1 Bản chất cách giải cách đặt ẩn phụ t   x mà ta giải Tiếp tục nhận xét đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức mà ta biết ? Chắc hẳn bạn dễ dàng trả lời đẳng thức lượng giác: sin   cos   Điều dẫn đến cách giải sau:  Đặt x  sin t, t  [0; ] (Điều hoàn toàn hợp lí x  [0;1] ) Khi phương trì nh cho trở thành:  sin t.cos t  sin t  cos t  3(1  sin t)  (1  sin t)(1  sin t)(2sin t  3)  sin t   x  x  x     x0  sin t  (3  2sin t)  sin t sin t(4sin t  6sin t  8)     Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh bất phương trì nh vơ tỉ Mọi phương pháp chung tưởng tì m cách loại bỏ thức đưa phương trì nh cho phương trì nh mà ta biết cách giải Sau vào phương pháp giải cụ thể thức lại: x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh I Phương pháp biến đổi tương đương : Nội dung phương pháp sử dụng tính chất lũy thừa phép biến đổi tương đương phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương trì nh ban đầu phương trì nh, bất phương trì nh biết cách giải Ta nhơ lại tính chất lũy thừa phép biến đổi tương đổi phương trì nh bất phương trì nh 1) ( n a ) n  a ( Nếu n chẵn cần thêm điều kiện a  ) 2) a  b  a 2n  b 2n với a b dấu 3) a  b  a 2n 1  b 2n 1 với a,b 4) a  b   a 2n  b 2n (Chú ý a,b0) 1 x  x  x  2x x GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 38 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Vậy phương trì nh có nghiệm x  Ví dụ 6: Giải phương trì nh : x   x   2x  2x  Giải: Do VT  nên  VP   x  1 Ta thấy 2x  x  hai vế phương trì nh nên ta phân tích thừa số 2x  x  Ta có: PT  ( 2x   x  2)  ( 2x  x  1)   2x  x  2 (2x  1)  (2x  1)(x  2)  (x  2) 3  2x  x  4x  2x (x  1)  (x  1) 3 0  2x  x   (do x  1 nên đặt 2x  x  làm thừa số biểu thức dấu () ln dương )  x  1; x   nghiệm phương trì nh cho Chú ý : Bài tốn giải cách đánh sau * Nếu 2x  x   x  1;x   hai vế cảu phương trì nh 2 * Nếu 2x  x   VT  VP  phương trì nh vơ nghiệm * Nếu 2x  x   VT  VP  phương trì nh vơ nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trì nh: x  x   (x  2) x  2x  Giải: Phương trì nh  x  2x   3(x  2)  (x  2) x  2x   2  x  2x   (x  2)(3  x  2x  2)   x  2x   x2  (x  2x  7)(1  2 )   (x  2x  7)( (x  2)(x  2x  7) x  2x   (x  1)   (x  1) x  2x   x  2x   x  2x    x   nghiệm phương trì nh cho 0 )0 Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy sau tạo thừa số chung, ta tìm cách chứng minh biểu thức dấu () cịn lại ln âm luon dương Tuy nhiên xảy trường hợp Ta xét tốn sau Ví dụ 8: Giải phương trì nh: Giải: ĐK x  12 x  24  12  x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 39 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương trì nh  ( x  24  3)  ( 12  x  3)  x 3 3x   0 3 12  x  (x  24)  x  24   (x  3)( 12  x  (x  24)2  3 x  24  6)  x    12  x  (x  24)  3 x  24    Kết hợp với phương trì nh ban đầu ta có (*) (*)  (x  24)2  x  24   x  24,x  88 thử lại ta thấy hai nghiẹm thỏa mãn phương trì nh Vậy phương trì nh cho có ba nghiệm: x  88;x  24; x  Nhận xét: Để giải phương trì nh (*) ta phải kết hợp với phương trì nh ban đầu Ta ý phép biến đổi phép biến đổi hệ sau giải xong ta phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai Ví dụ 9: Giải phương trì nh: x  7x  10  x  x  12x  20 x  Giải: ĐK   x  10 Để đơn giản ta đặt a  x  7x  10;b  x  12x  20  2a  b  x (I) Ta thấy phương trì nh có nghiệm x=1.Ta biến đổi sau: PT     x  7x  10  (x  1)  x  12x  20  (x  2) 18(x  1) x  7x  10  x   16(x  1) x  12x  20  x  (Vì phương trì nh x  7x  10  x   x  12x  20  x   vô nghiệm ) x     (II) a  x 1 b  x  2a  b  x Kết hợp (I) (II) ta có hệ phương trì nh :   5a  4x  8a  9b  x  10  15  5 x   x  7x  10  4x    x 2   x  15x  25  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 40 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 15  5 thỏa mãn 15  5 Vậy phương trì nh cho có hai nghiệm x  x  Thay vào phương trì nh ban đầu ta thấy có nghiệm x  Bài tập: Giải phương trì nh bất phương trì nh sau: 5x    x  2x  3x  1) ( x  1) 2)   (x  ) 3 x 2x 3) (x  1) x  2x   4x x   2(x  1) (ĐS: x  1) 4) x  x  (x  4) x   3x  28  (ĐS: x=8) 5) x    2x  x  x 6) 2x  11x  21  4x  7) x   3x    3x 8) x   x   2x  9) x  9x  24  16x  59x  149   x 10) 2x  11x  21  3 4x  11) x  3x  8x  40  4x  12) x   x   13)  x  x   ( x  5; ( x=3 ) ( x=3 ) 14) 17  x  2x8   GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 41 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương pháp đánh giá Cách 1: Tì m nghiệm chứng minh nghiệm Ví dụ Giải phương trì nh:   (1) 3 x 2x Giải: Điều kiện x  Với phương trì nh vơ tỉ dạng ta thường dự đoán nghiệm giá trị x mà biểu thức thức nhận giá trị số phương Nhận thấy nghiệm (1) phải lớn Bằng cách thử ta thấy PT có nghiệm x  Ta chứng minh nghiệm phương trì nh (1) Thật 6 8 *Với x    4   4 2x 3 x 3 x 2     (1) vô nghiệm khoảng (; ) 3 x 2x * Với  x  chứng minh tương tự, ta có:    (1) vô nghiệm 3 x 2x khoảng ( ;2) Vậy PT (1) có nghiệm x  Nhận xét: *Ta thấy giải phương trì nh cách đánh giá quan trọng ta đốn nghiệm của Để đoán nghiệm ta nên khoảng chứa nghiệm xét trường hợp đặc biệt để tìm nghiệm * Bài tốn cị n giải cách dựa vào tính đơn điệu hàm số Ta có VT hàm số đồng biến Ví dụ 2: Giải Phương trì nh: Giải: 3x(2  9x  3)  (4x  2)(1   x  x )  (2) PT  3x(2  (3x)2  3)  (2x  1)(2  (2x  1)  3)   3x(2  (3x)  3)  (2x  1)(2  (2x  1)  3) Từ (2) ta thấy PT có nghiệm x  ( ;0) nhận thấy : 3x  2x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 42 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 1  x   biểu thức hai vế nhau.Vậy x   nghiệm 5 PT(2) Ta chứng minh x   nghiệm PT(2) Thật 1 * Với   x   ta có: 3x  2x    (3x)  (2x  1)2   (3x)2    (2x  1)  Từ suy ra: 3x(2  (3x)  3)  (2x  1)(2  (2x  1)2  3)  3x(2  (3x)  3)  (2x  1)(2  (2x  1)2  3)  1 Vậy (2) khơng có nghiệm ( ;  ) *Chứng minh tương tự ta đến (2) nghiệm ( ;0) Vậy PT (2) có nghiệm x   Chú ý : 1) Bài tốn giải theo nhiều cách khác C Đặt a  3x,b  (2x  1)  a, b  phương trì nh trở thành f (a)  f (b) , 2 f (t)  2t  t t  có f '(t)   t   t2 t 3  nên f(t) hàm đồng biến, f (a)  f (b)  a  b  x   C Nhân lượng liên hợp 2) Thơng thường tốn giải theo cách ta giải cách sử dụng hàm số Tuy nhiên cách giải lại phù hợp với HS chưa học khái niệm đạo hàm Cách 2: Đánh giá hai vế Xét PT: f (x)  g(x) xác định D f (x)  m(x) f (x)  m(x) Nếu  x  D PT : f (x)  g(x) với x  D   g(x)  m(x) g(x)  m(x) Trong cách đánh giá ta thường dùng bất đẳng thức quen thuộc (như BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT chứa trị tuyệt đối… )để đánh giá hai Sau số thí dụ minh họa GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 43 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Ví dụ 3: Giải phương trì nh: x  2x x  2x  16  2x  6x  20  Giải: Ta có PT  x  2x x  2x  16  x  2x  16  x  4x    x  x  2x  16    (x  x  2x  16)  (x  2)     x  x    Ví dụ 4: Giải phương trì nh: x   x  5x  14 Giải: PT  x  6x   x   x     (x  3)  ( x   2)  x      x  nghiệm phương trì nh cho  x 1    Ví dụ 5: Giải phương trì nh : 4x   4x   Giải: ĐK x   4x     4x   4x   Đẳng thức xảy x  Với x     4x    Vậy phương trì nh cho có nghiệm x  Ví du 6: Giải phương trì nh:  2x  x   2x  x  2(x  1) (2x  4x  1) (3) Giải: Điều kiện  x  Đặt t  (x  1) , ta có  t  PT (3) trở thành: 1   t    t  2t (2t  1) Nhận thấy t  Bì nh phương hai vế rút gọn ta : 1  t  2t (2t  1)    2(2t  1) t t t 1 Vì t      2(2t  1)2 Từ suy t   x  t t t Vậy nghiệm PT (3) là: x  Ví dụ 7: Giải phương trì nh: 2x  x   2x  x   Giải: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 44 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh VT  (2x   x)(2x   x)  (2x  1)2  x  4x  3x    2x  x   2x  x   Nên PT    x  nghiệm phương trì nh cho x   Ví dụ 8: Giải phương trì nh : x    x  x  6x  11 Giải: ĐK  x  Áp dụng BĐT a  b  2(a  b ) , ta có: x    x  2(x    x)  Mặt khác x  6x  11  (x  3)    x2  4x 2  Do PT    x  nghiệm PT cho (x  3)    Nhận xét : Tương tự ta có tổng quát sau: f(x)  a  b  f (x)  g (x)  2(b  a) , ab  f (x)  b  a Khi việc giải PT quy giải hệ:  g(x)   x 1 (x  1)  2x   Ví dụ 9: Giải bất phương trì nh : x   Giải: ĐK: x  Áp dụng BĐT Bunhiacovski ta có: x 1 x 1 (x  1)  2[x   (  VP VT  x   ) ]  2x   4 x 1 x  2x  Đẳng thức có  x   x   x  8x  24  VN0 16 Vậy nghiệm BPT cho là: x  Ví dụ 10: Giải phương trì nh: 3x   x  x  x x   Giải: Điều kiện: x   x   2 (7x  x  4) (*) GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 45 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Ap dụng BĐT Bunhia cho hai số (1,1,-x) ( 3x  1, x  x , x  1) ta có VT(*)  (x  2)(5x  x) Dấu “=” xảy x=-1 Do x   x   nên 5x2-x >0 Ap dụng BĐT Cơsi ta có  2 VP(*)  5x  x  2(x  2)     2 (5x  x)2(x  2) 2  (5x  x)(x  2) Dấu “=” xảy x  1 x  Từ ta có nghiệm PT (*) x=-1 Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh : (4  x)(x  2)  4  x  x   6x 3x  x  30 Giải: ĐK  x  Ví dụ 12: Giải phương trì nh: x  2x   2x  x   3x  3x (1)   15 x0  Giải: ĐK:  1  15  x 2 Áp dụng BĐT Bunhicovski ta có: VT(1)  2(2x  x   3x  3x )  2(1  2x  x )  2[2  (1  x)2 ]  Dấu “=” xảy  x  Mặt khác : VT(1)  (x  1)   Dấu “=” xảy  x  Từ suy phương trì nh cho có nghiệm x  Ví dụ 13: Giải phương trì nh: 13x  6x  10  5x  13x  17  17x  48x  36  (36x  8x  21) (2) 2 Giải: Ta có VT(2)  (3x  1)2  (2x  3)2  (2x  )  (x  )  x  (4x  6)  2  3x   2x   x 3  VT(2)  3x   2x   x  6x   6x  Dấu “=” xảy x  2 2 GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 46 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Mặt khác: VP(6)  12x   2(4x  12x  9)    2 1  12x   2(2x  3)2   (12x  3)  6x   2 Dấu “=” xảy x  (f) Từ ta có nghiêm PT (2) x  Giải phương trì nh sau 1) x   x   ;2) x   x  x  3) x  x  x   3x  x  4) ( x  2) x   x  5) ( x  2)(2 x  1)  x    ( x  6)(2 x  1)  x  6) 32 x  x   x(8 x  1) GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 47 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương pháp hàm số: Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) ln đb (hoặc ln ngb) số nghiệm pt : f(x)=k Không nhiều f(x)=f(y) x=y Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) đb (hoặc ngb) hàm số y=g(x) ln ngb (hoặc ln đb) D số nghiệm D pt: f(x)=g(x) không nhiều Định lí 3: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n pt f (k) (x)  có m nghiệm, pt f (k 1) (x)  có nhiều m+1 nghiệm Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) đồng biến( nghịch biến) D f (x)  f (y)  x  y (x  y) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trì nh sau: 1) 3x   x  7x   2) 5x   2x   x  3) 3 x   x   2x   2x Giải: 1) Xét hàm số f (x)  3x   x  7x  , ta có: 1 7x   nên hàm số f(x) đồng biến f '(x)   3x  x  7x  Mặt khác: f (1)   pt  f (x)  f (1)  x  Vậy x=1 nghiệm phương trì nh cho 2) Phương trì nh  5x   2x    x  f (x)  g(x) 3 Với f ( x)  x   x  có f '(x)  15x   nên f(x) hàm 5x  (2x  1) đồng biến g(x)   x hàm nghịch biến Mà f (1)  g(1)  nên phương trì nh cho có nghiệm x=1 3) Đặt u  x  1, v  2x phương trì nh cho trở thành 3 u   u  v   v  f (u)  f (v) , f (t)  t   t GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 48 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Ta có: f '(t)  t 3 (t  1)   nên f(t) hàm đồng biến Do đó: f (u)  f (v)  u  v  2x  x   x  1, x   Vậy phương trì nh có hai nghiệm: x  1, x   2 Ví dụ 2: Giải bất phương trì nh sau: 1) 5x   x   2) 3  2x  3)  2x  2x  (x  2)(2x  1)  x    (x  6)(2x  1)  x  2x  3x  6x  16    x Giải:1) Đk: x  4) Xét hàm số f (x)  5x   x  , ta có f '(x)  1   x  5x  x  Mà f (1)   bpt  f (x)  f (1)  x  Vậy Bpt cho có nghiệm x  2) Đk:  x  Bpt  3  2x   2x   f (x)  g(x) (*) 2 2x  3 Trong đó: f (x)  3  2x  , có f '(x)     f (x) 2x   2x ( 2x  1)3 hàm đồng biến, g(x)  2x  hàm đồng biến f (1)  g(1)  *Nếu x   f (x)  f (1)   g(1)  g(x)  (*) *Nếu x   f (x)  f (1)   g(1)  g(x)  (*) vô nghiệm Vậy nghiệm Bpt cho là:  x  3) Đk: x  Khi đó: Bpt  ( x   x  6)( 2x   3)  (*) *Nếu 2x     x   (*) GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 49 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh *Nếu x  , ta xét hàm số f (x)  ( x   x  6)( 2x   3) có: 1 x2 x6  )( 2x   3)   nên f(x) hàm đồng x2 x6 2x  biến f (7)  nên (*)  f (x)  f (7)  x  Vậy nghiệm Bpt cho là:  x  2x  3x  6x  16   4) Đk:   2  x  4  x   f '(x)  ( Khi đó, Bpt  2x  3x  6x  16   x   f (x)  (*) Trong đó: f (x)  2x  3x  6x  16   x có f '(x)  3(x  x  1)   nên f(x) hàm đồng biến 4x 2x  3x  6x  16 Mà ta có: f (1)   (*)  f (x)  f (1)  x  Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm Bpt cho là: 2  x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 50 ... đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương pháp đặt ẩn phụ: Nội dung phương pháp đặt biểu thức chứa thức biểu thức ẩn mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phương trì nh ẩn phụ vừa đặt Giải phương trì nh ẩn. .. làm thức ta tìm cách đặt biểu thức chứa thức biểu thức ẩn cho phương trì nh ẩn có hình thức kết cấu đơn giản phương trì nh ban đầu Đặt biểu thức chứa biểu thức ẩn vấn đề quan trọng nhất, bước... để giải phương trì nh bất phương trì nh vơ tỉ Mọi phương pháp chung tưởng tì m cách loại bỏ thức đưa phương trì nh cho phương trì nh mà ta biết cách giải Sau vào phương pháp giải cụ thể thức lại: