Chuyên đề Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối trình bày đầy đủ các dạng toán cơ bàn và khó, phương pháp giải chi tiết cụ thể, có bài tập với lời giải chi tiết giúp độc giả hiểu rõ về bản chất từng dạng
Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách - Dùng định nghĩa 0 0. A khi A A A khi A ≥ = − < - Chia miền xét dấu. - Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá 2 vế…. - Dạng cơ bản: > ≥ < ⇔ >− < > ≥ ⇔ > −< ⇔>• < > ⇔ <− < < ≥ ⇔<<−⇔<• <+−⇔<⇔<• 22 22 22 0 0 0 0 0 0 0 0))(( BA B B BA A BA A BA BA BA BA B BA A BA A BABBA BABABABA Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 2 1 2 5.x x x− + − ≤ + (*) Giải: (*) 2 2 5 0 (2 5) 1 2 5. x x x x x + ≥ − + ≤ − + − ≤ + 2 2 5 2 2 5 1 1 2 5. x x x x x x x ≥ − ⇔ − − ≤ − + − − + − ≤ + . 2 2 5 2 3 4 0 3 6 0. x x x x x ≥ − ⇔ − + + ≥ − − − ≤ 1 4.x⇔ − ≤ ≤ Vậy nghiệm của bất phương trình là [ ] 1;4x ∈ − . Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: 1241).2 3332).1 2 +≥− −<−− xx xxx Giải 3332).1 2 −<−− xxx 52 23 31 50 31 06 032 05 032 3332 032 3332 032 2 2 2 2 2 2 2 2 <<⇔ >∨−< <<− << ≥∨−≤ ⇔ <+−− <−− <− ≥−− ⇔ −<++− <−− −<−− ≥−− ⇔ x xx x x xx xx xx xx xx xxx xx xxx xx Vậy: 2< x< 5 1241).2 +≥− xx ≥ ≤ ⇔ ≥ > ≤ ≤ ⇔ +≥+− <− +≥− ≥− ⇔ 1 0 1 4 1 0 4 1 1241 041 1241 041 x x x x x x xx x xx x Vậy 10 ≥≤ xhoacx =================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a bất phương trình: 2 2 2 3x x a x x a− + ≤ − − Giải: Bất phương trình tương đương với: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 ) 0 (2 5 )( 2 ) 0 5 0 ( ) 2 2 5 0 2 2 0 5 2 5 0 2 2 0 0 2 x x a x x a x x a x x a x x x a x I x x x a x a x x x II x a x x a − + ≤ − − ⇔ − + − − − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ ≤ − ≤ ≥ − + ≥ ⇔ ⇔ ≥ − ≥ + ≤ ≤ ≤ − • Trường hợp 1: 5 2 0 0 ( ) 0 ;( ) 2 2 a a I x II x a− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − .Vậy nghiệm hệ là 5 0 2 2 x x a ≤ ≤ ≤ − • Trường hợp 2: 5 5 5 0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0 2 4 2 a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ .Vậy nghiệm hệ là 5 2 2 0 a x x − ≤ ≤ ≤ • Trường hợp 3: 0 5 5 2 ( ) ;( ) 5 2 4 2 2 x a a I VN II x a ≤ − ≥ ⇔ ≤ − ⇒ ⇔ ≤ ≤ − .Vậy nghiệm hệ là 0 5 2 2 x x a ≤ ≤ ≤ − DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG ª Dùng định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 ; 0 f x f x f x f x f x ≥ = − < ª Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng. ªChia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối. ªGiải bất phương trình trong khoảng đang xét. Thí dụ 1: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 1x x x − + − > Giải: Bảng xét dấu: x −∞ 0 1\ 2 1 +∞ 2 x x − + 0 - - 0 + 2 1x − - - 0 + + i/ 0x ≤ : ( ) 2 2 1 1 2 1 3 0x x x x x ⇔ − + − > ⇔ − > 0 0 3 x x x < ⇔ ⇔ < > . ii/ 1 0 2 x < ≤ : ( ) 2 2 1 1 2 1 0x x x x x ⇔ − + − > ⇔ − − > 1 0x− < < .(L) iii/ 1 1 2 x < ≤ : ( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 3 2 0 1 2 2 x x x x x x x x < ⇔ − − + > ⇔ − + > ⇔ ⇔ ≤ < > . iv/ 1x > : ( ) 2 2 2 1 1 2 1 2 0 1 1 x x x x x x x x < − ⇔ − − + > ⇔ + − > ⇔ ⇒ > > Thí dụ 2: Giải phương trình: 2 2 4 3 (1) 1 5 x x x x − + ⇔ ≥ + − Bảng xét dấu : X −∞ 0 4 5 +∞ x 2 – 4x + - + + x – 5 - - - + +) Xét : 0 4 5 x x < ≤ < 2 2 2 4 3 3 2 2 (1) 1 0 5 5 3 x x x x x x x x − + + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − + − + (do 2 5 0, x R x x ∈ − + > ∀ ) +) Xét 0 4x ≤ < : 2 2 2 4 3 1 (1) 1 2 5 2 0 2 5 2 x x x x x x x − + + ⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ − + +) Xét 5x ≥ : 2 2 2 4 3 5 8 1 21 8 1 21 (1) 1 0 5 5 2 5 2 x x x x x x x x x − + − − − − + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤ + − + − (ktm) Vậy nghiệm bpt là : 2 3 1 2 2 x x − ≤ ≤ ≤ ========================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… Thí dụ 3: Giải bất phương trình : 2 3 2 5 6 x x x − ≥ − + Giải : a. Nếu x ≥ 3 Ta có bất phương trình : 2 2 2 3 2 11 15 2 0 5 6 5 6 x x x x x x x − − + − ≥ ⇔ ≥ − + − + ⇔ 2 ≤ x < 3 , 3< x < 5 2 . So đk (a ) ta nhận : 3< x < 5 2 b. Nếu x < 3 Ta có bất phương trình : 2 ( 3) 1 2 3 2 2 0 5 6 2 2 x x x x x x − − − − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − + − − ⇔ 3 2 2 x≤ < .So đk (b) ta nhận : 3 2 2 x≤ < Vậy nghiệm của bất phương trình : 3< x < 5 2 , 3 2 2 x≤ < Thí dụ 4: Giải và biện luận bpt sau : 2 2 3 4 (1)x x m x x m− − ≤ − + Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 (1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0x x m x x m x x x m x x x m⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ Ta có : 7 (2 7)( 2 ) 0 2 0 2 x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ = +) Nếu 2m < 0 : Có trục xác định dấu: Kết luận : 2 7 0 2 x m x ≤ ≤ ≤ +) Nếu 2m = 0 . Kết luận: 7 2 x ≤ +) Nếu 7 7 0 2 0 2 4 m m< < ⇔ < < . Kết luận: 0 7 2 2 x m x ≤ ≤ ≤ +)Nếu 2m = 7 2 7 4 m⇔ = . Kết luận: 0 7 2 x x ≤ = +)Nếu 7 7 2 2 4 m m> ⇔ > . Kết luận: 0 7 2 2 x x m ≤ ≤ ≤ BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) 2 2 1x x x− ≤ − . b) 3 4 3 2 x x + ≤ − . c) 2 3 1 3 x x − ≥ − . d) 2 4 4 2 1 5x x x+ − + ≥ . e) 2 2 5 4 6 5x x x x− + ≤ + + . f) 2 5 4 12x x x+ > + − . g) 3 8 2x x− ≥ − 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 6 ( 6 1 7) 2) 5 6 ( 1 2 3 6) 3) 5 4 2 ( 2 2 4) 1 1 4) 3 2 1 ( ) 4 2 5) 5 9 6 (1 3) 6) 2 4 0 ( 2 1) 1 7) 1 2 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − < < < + − < − < < ∨ < < − + > − < + ∨ ≥ − − < − − < < − − + < − < < − + − > > ∨ < − − − < > − Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 2 1) 1 2 3 ( 0 2) ; 2) 3 5 3 ( ) 3 x x x x x x x x x− + − > − < ∨ > − + − < > 2 2 2 2 3) 1 2 ; 4) 1 4 2 1 ; 5) 2 2 2 2 ; 6)3 3 9 2x x x x x x x x x x x− < − ≥ + + − ≤ − − − − > − 2 4 2 2 3 2 7) 1 ; 8) 1 ; 9) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11 1 x x x x x x x − ≤ − ≤ + − − ≤ + − + Bài 3: Giải các bất phương trình sau 2 2 2 2 2 2 1). 2 4 2 , ( 3 5) 6). 2 (0 1) 3 4 2 2). 1,( ) 7). 1 ( 5 2 1) 2 5 2 2 5 3 1 3). 1 0 (3 2) 8). 3 ( 2 1) 3 1 2 2 3 10 3 1 1 3 4). 3 (3 ) 9). 1 ( ) 5 6 3 1 4 2 4 2 5). x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − ≤ − + − ≤ ∨ ≥ ≥ < ≤ + + − ≤ ≥ − > − < < − ∨ > − + + + − − + + > ≠ > < < − ∨ > − − + + − − ≥ < ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤ − + + 2 3 1 ( 4 1 1 4) 4 x x x x x < ≤ − ∨ − ≤ ≤ ∨ ≥ − =================================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… Bài 4 : Giải các bất phương trình sau : a) | 1 - x 2 | ≤ (1+x) 2 ; x = -1 hoặc x ≥ 0 . b) | x 2 - x +1 | ≤ | 3x - 4 - x 2 | ; x ≤ 3/2. c) | x 2 -3x+2 | > | x 2 + 3x + 2 | ; x < 0. d) | x 2 + 6x -7 | < x + 6 ; S = ( 2 775 ; 2 537 +−+− ). e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2. f) | x 2 + x | - 5 < 0 ; S =( 2 211 ; 2 211 +−−− ). g) x 2 - | 5x + 8 | > 0 ; S= ); 2 575 () 2 575 ;( +∞ + ∪ − −∞ . h) x 2 + 4 ≥ | 3x + 2 | - 7x ; S = );22[]195;( +∞+−∪−−−∞ . i) 1 2 |3| > + ++ x xx ; S = (-5 ; -2 ) ∪ (-1 ; + ∞ ) . j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5. Bài 5 : Giải các bất phương trình. a. 2 2 4 3 1 5 x x x x − + ≥ + − . b. 2 3 1 1 x x − ≤ + c. 2 1 1x − − ≤ d. 9 3 5 3 x x ≥ − − − Bài 6 : Giải các phương trình và bất phương trình. 1) 2 2 2 2 1x x x − = − 2) 2 5 4 1x x x − + > − 3) 2 2 3 2 1x x x x − − ≤ − 4) 2 3 1 4 x x ≤ − ; 5) 2 2 3 1x x− + = 2x 2 + x – 1 ; 6) 2 2 5 4 1 4 x x x − + ≤ − ; 7) 1 3 2 1 3 x x + + = + 8) 3x 2 – 3x − > 9x – 2 ; 9) 2 2 7 10 0 6 9 x x x x − + > − + ========================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: Thí dụ 1: Giải bất phương trình : 2 2 1 2 8 (1)x x x− ≤ − + Giải Đặt t = , 0x t ≥ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 0 2 8 1 9 (1) 1 2 8 9 2 1 2 8 2 t t t t t t t t t t t t t − + ≥ − + − ≤ − ⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤ − ≤ − + Thí dụ 2: Giải bất phương trình : 2 2 2 1x x ≤ − Giải Đặt : 2 , 0x t t= > Ta được : 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 0 1 2 2 0 t t t t t t t t t t t t t t t t − ≤ − + − ≤ − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤ − ≥ − + ≤ Vậy 2 1 1 0 1 0 x x x − ≤ ≤ < ≤ ⇔ ≠ Thí dụ 3: Giải bất phương trình : 4 ( 3)( 1) 5 ( 1) 11x x x+ − − ≤ + − Giải 2 4 2 4 (3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11 x x x x x ⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + − Đặt : 2 ( 1) , 0t x t= + ≥ Ta được : 2 2 2 2 2 9 11 2 0 1 2 5 9 11 5 4 4 11 9 20 0 t t t t t t t t t t t t t t t t − ≤ − − − ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ − − ≤ − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ≥ − + ≤ − + − ≥ Vậy 4t ≥ ( tm ): 2 1 ( 1) 4 ( 1)( 3) 0 3 x x x x x ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ − DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ: Thí dụ 1: Tìm m để phương trình 2 2 2 4x x x x m − − + + < có nghiệm. Giải: 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 y=f(x) y=m O -1 -3 Ta có ( ) 2 2 2 2 3 2; 1 2 2 4 5 2; 1 2 x x x x f x x x x x x x + − ≤ − ∨ ≥ = − − + + = + − < < Số nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( ) y f x = và đường thẳng y m = Dựa vào đồ thị ta suy ra bất phương trình có nghiệm 3m ⇔ > − . Thí dụ 2: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : 2 2 2 2 0x mx x m− + − + > Giải 2 2 (4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − > Đặt : , 0x m t t− = ≥ Ta được : t 2 + 2t + 2 – m 2 > 0 (5) Để tmbt 2 2 0 ( ) 2 2 t f t t t m ≥ ⇔ = + > − ∀ 2 inf( ) 2(6)M t m⇔ > − Lập bbt của f(t) .Suy ra Minf(t) = 0 . Vậy 2 (6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < < ========================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… Thí dụ 3: Với giá trị nào của m thì bpt sau có nghiệm: 2 2 2 1 0x x m m m+ − + + − ≤ Giải 2 2 2 2 2( ) 1 0 ( ) (5) 2( ) 1 0 ( ) x x m m m I x m x x m m m II x m + − + + − ≤ ≥ ⇔ − − + + − ≤ < (5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: 2 2 ( ) 2 ( ) 1 x m I x x f x m m ≥ ⇔ + = ≤ − + + Có f(m) = m 2 + 2m (I) có nghiệm 2 2 2 1 2 2 1 0 1 1 2 m m m m m m m ⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ − ≤ ≤ (II) 2 2 2 ( ) 3 1 x m x x g x m m < ⇔ − = ≤ − − + (II) có nghiệm 2 2 2 2 3 1 2 1 0 1 1 2 m m m m m m m ⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < < Kết luận : 1 1 2 m− ≤ ≤ Thí dụ 3: Tìm a để với mọi x : 2 ( ) ( 2) 2. 3(1)f x x x a= − + − ≥ Giải Bài toán thỏa mãn : 2 2 2 1 2 ( ) 0 (2) 6 1 2 ( ) 0 (3) x a x a x x a f x x x a g x ≥ < − + − = ≥ ∀ ⇔ − + + = ≥ ∀ 2 ' 0 0 0 ' 0 (2) 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 1 1 2 a a o a f a a a a b a a ∆ ≤ ≤ > ≤ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ ≥ + < − < (3) 2 ' 0 8 2 0 8 2 0 4 ' 0 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 3 2 a a a g a a a a b a a a ∆ ≤ − ≤ − > ≥ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − + ≥ ≤ − < < − Vậy để thỏa mãn bài toán : 0 4 a a ≤ ≥ ========================== Ngày soạn:……………………………………………… ………………………………………. Ngày dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… Thí dụ 4: Tìm a để bpt : ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện 4x < Gii Nhn thy trong h ta xoy thỡ y = ax + 4 vi -4 < x < 4 l mt on thng . Vỡ vy y = ax + 4 > 0 ( 4) 0 1 1 1 (4) 0 1 y a a y a Thớ d 5: Tỡm a bpt sau nghim ỳng vi mi x : 2 2 ( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + Gii t : 2 2 4 3 ( 2) 1 1 1t x x x t= + + = + Bi toỏn tha món : 1 ( 3) ( ) t t t f t a + = .Xột f(t) vi t 1 Suy ra Min f(t) = -2 Vy bttm 2a Bi tp tng t: 1. nh a bt phng trỡnh 2 0x x a + cú nghim. 2. nh m phng trỡnh 2 2 2 3 2 5 8 2x x m x x < cú nghim. 3. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho bt phng trỡnh : x. 3x < m c tha vi mi x thuc on [ 1;4] BI TP PHN BT PHNG TRèNH BC HAI Bi 1. Tỡm m cỏc bt phng trỡnh sau nghim ỳng vi mi x: a) x m x m 2 3 2( 1) 4 0+ + + > b) x m x m 2 ( 1) 2 7 0+ + + + > c) x m x m 2 2 ( 2) 4 0+ + > d) mx m x m 2 ( 1) 1 0+ + < e) m x m x m 2 ( 1) 2( 1) 3( 2) 0 + + > f) m x m x m 2 3( 6) 3( 3) 2 3 3+ + + > Bi 2. Tỡm m cỏc bt phng trỡnh sau vụ nghim: a) m x m x 2 ( 2) 2( 1) 4 0+ + < b) m x m x 2 ( 3) ( 2) 4 0 + + > c) m m x m x 2 2 ( 2 3) 2( 1) 1 0+ + + < d) mx m x 2 2( 1) 4 0+ + e) m x m x m 2 (3 ) 2(2 5) 2 5 0 + > f) mx m x m 2 4( 1) 5 0 + + < Bi 3: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = mx 2 +2(m+1)x + 4m > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +). Bi 4: Tìm các giá trị của tham số m 0 để bất phơng trình f(x) = mx 2 +4(m-1)x + m 1 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1) Bi 5:Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = 3x 2 + (2m-1)x m 2 +12 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (0; +). B i 6: Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình f(x) = -(2m 2 +1)x 2 + 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (- ; 1). . dạy: Lớp Ngày giảng 10A1 10A3 TIẾT: ………… BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách - Dùng định nghĩa 0 0. A. này ta đã biết dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối. ªGiải bất phương trình trong khoảng đang xét. Thí dụ 1: Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 1x x x − + − > Giải: Bảng xét dấu: x −∞ 0. của bất phương trình phụ thuộc vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( ) y f x = và đường thẳng y m = Dựa vào đồ thị ta suy ra bất phương trình có nghiệm 3m ⇔ > − . Thí dụ 2: Với giá trị