Chuyên đề Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối trình bày đầy đủ các dạng toán cơ bàn và khó, phương pháp giải chi tiết cụ thể, có bài tập với lời giải chi tiết giúp độc giả hiểu rõ về bản chất từng dạng
Trang 1Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách
- Dùng định nghĩa A A khi A 00.
A khi A
≥
= − <
- Chia miền xét dấu
- Đặt điều kiện và bình phương, đặt ẩn phụ, đánh giá 2 vế…
- Dạng cơ bản:
>
≥
<
⇔
>
−
<
>
≥
⇔
>
−
<
⇔
>
•
<
>
⇔
<
−
<
<
≥
⇔
<
<
−
⇔
<
•
<
+
−
⇔
<
⇔
<
•
2 2
2 2
2 2
0
0 0
0
0 0
0
0 ) )(
(
B A B B
B A A
B A A
B A
B A
B
A
B A B
B A A
B A
A B
A B B
A
B A B A B
A
B
A
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:
2
1 2 5.
− + − ≤ + (*)
Giải:
x
+ ≥
− + ≤ − + − ≤ +
2 2
5 2
1 2 5.
x
≥ −
⇔ − − ≤ − + −
− + − ≤ +
2
5 2
3 4 0
3 6 0.
x
≥ −
⇔ − + + ≥
− − − ≤
1 x 4.
⇔ − ≤ ≤ Vậy nghiệm của bất phương trình là x∈ −[ 1; 4].
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:
1 2 4 1
).
2
3 3 3 2 ).
1 2
+
≥
−
−
<
−
−
x x
x x
x
Giải
3 3 3
2
).
1 x2 − x− < x−
Trang 25 2
2 3
3 1
5 0
3 1
0 6
0 3 2
0 5
0 3 2
3 3 3 2
0 3 2
3 3 3 2
0 3 2
2 2 2 2
2
2
2
2
<
<
⇔
>
∨
−
<
<
<
−
<
<
≥
∨
−
≤
⇔
<
+
−
−
<
−
−
<
−
≥
−
−
⇔
−
<
+ +
−
<
−
−
−
<
−
−
≥
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x
Vậy: 2< x< 5
1 2
4
1
).
2 − x ≥ x+
≥
≤
⇔
≥
>
≤
≤
⇔
+
≥ +
−
<
−
+
≥
−
≥
−
⇔
1 0
1 4 1 0 4 1
1 2 4 1
0 4 1
1 2 4 1
0 4 1
x x
x x x x
x x x
x x x
Vậy x≤ 0 hoac x≥ 1
===================
Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
Ví dụ 3: Giải và biện luận theo a bất phương trình: x2 − 2x a+ ≤ x2 − − 3x a
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2
2
5 0
( ) 2
2
5
2
x
I
x a
x
II
≤ ≤
− ≤ ≥ −
+ ≥
⇔ ⇔ ≥
− ≥
+ ≤ ≤
≤ −
• Trường hợp 1: 2 0 0 ( ) 0 5 ;( ) 2
2
− ≤ ⇔ ≥ ⇒ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − .Vậy nghiệm hệ là 5
0
2
2
x
≤ ≤
≤ −
< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ .Vậy nghiệm hệ
là
5 2
2 0
a x
x
− ≤ ≤
≤
Trang 3• Trường hợp 3:
0
2
x
≤
≤ ≤ −
.Vậy nghiệm hệ là
0
5
2
2
x
≤
≤ ≤ −
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG
ª Dùng định nghĩa: f x( ) f x( ) ( ) ( ) ( ); ; f x 00
f x f x
≥
= − <
ª Xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối trên cùng một bảng
ªChia ra một số khoảng trên trục số mà mỗi khoảng này ta đã biết dấu của các biểu thức trong trị tuyệt đối
ªGiải bất phương trình trong khoảng đang xét
Thí dụ 1: Giải phương trình: x2 − +x 2x− > 1 1 1( )
Giải:
Bảng xét dấu:
x −∞ 0 1\ 2 1
+∞
2
x −x + 0 - - 0 +
2x− 1 - - 0 + +
i/ x≤ 0: ( )1 ⇔x2 − + −x 1 2x> ⇔ 1 x2 − 3x> 0
3
x
x x
<
⇔ > ⇔ < . ii/ 0 1
2
x
< ≤ : ( )1 ⇔ − + −x x2 1 2x> ⇔ − − > 1 x2 x 0
− < < 1 x 0.(L) iii/ 1 1
x
x
<
⇔ − − + > ⇔ − + > ⇔ > ⇔ ≤ < .
1
x
x
< −
⇔ − − + > ⇔ + − > ⇔ > ⇒ >
Thí dụ 2: Giải phương trình:
2 2
5
x x
− +
+ − Bảng xét dấu :
X −∞ 0 4 5 +∞
+) Xét : ≤ <4x<0x 5
Trang 4x
x − + > ∀x ∈ )
+) Xét 0 ≤ <x 4:
2
2 2
x x
− + +
− +
+) Xét x≥ 5:
2
Vậy nghiệm bpt là :
2 3 1
2 2
x x
−
≤
≤ ≤
==========================
Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 3: Giải bất phương trình : 2 3 2
5 6
x
−
≥
− +
Giải :
a Nếu x ≥ 3 Ta có bất phương trình : 2 3 2 2 22 11 15 0
− ≥ ⇔− + − ≥
⇔2 ≤x < 3 , 3< x <5
2 So đk (a ) ta nhận : 3< x <5
2
b Nếu x < 3 Ta có bất phương trình : 2( 3) 2 1 2 2 3 0
− − ≥ ⇔ − ≥ ⇔− + ≥
⇔ 3 2
2 ≤ <x .So đk (b) ta nhận : 3 2
2 ≤ <x Vậy nghiệm của bất phương trình : 3< x <5
2, 3 2
2 ≤ <x
Thí dụ 4: Giải và biện luận bpt sau : 2 2
x − − ≤x m x − x m+
Giải
(1) ⇔ x − − 3x m ≤ x − 4x m+ ⇔ 2x − 7x x− 2m ≤ ⇔ 0 x x2 − 7 x− 2m ≤ 0
Ta có :
7
2
x x− x− m = ⇔ =x m∪ = ∪ =x x
+) Nếu 2m < 0 :
Có trục xác định dấu:
Kết luận :
2 7 0
2
x
≤
≤ ≤
Trang 5+) Nếu 2m = 0 Kết luận: 7
2
x≤
+) Nếu 0 2 7 0 7
< < ⇔ < < Kết luận:
0 7 2
2
x
m x
≤
≤ ≤
+)Nếu 2m = 7
2
7 4
m
⇔ = Kết luận:
0 7 2
x x
≤
=
m> ⇔ >m Kết luận:
0 7
2 2
x
≤
≤ ≤
BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
1
x − ≤x x − . b) 3 4 3
2
x
x + ≤
c) 2 3 1
3
x
x − ≥
d) 4x2 + 4x− 2x+ ≥ 1 5.
x − x+ ≤x + x+ .
x+ > x + x− . g) 3
8 2
x − ≥ −x
2 2 2
2
1
2
− − < < < +
− < − < < ∨ < <
− + > − < + ∨ ≥
− − < − − < < −
− + < − < <
− + − > > ∨ < −
− − < > −
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
2
3
x− + − > −x x x< ∨ >x x− + − <x x x>
3) x − < 1 2 ; 4) 1 4x − x ≥ 2x+ 1 ; 5)x + − ≤x 2 2x − 2x− 2 ; 6)3x − − >x 3 9x− 2
2
2 3 2
1
x
−
+
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
Trang 62
2 2
2
2
3
5)
x
+ −
+ +
2
3
4
x
−
===================================
Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
Bài 4 : Giải các bất phương trình sau :
a) | 1 - x2 | ≤ (1+x)2 ; x = -1 hoặc x≥0
b) | x2 - x +1 | ≤ | 3x - 4 - x2 | ; x ≤ 3/2
c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + 2 | ; x < 0
d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 ; S = (
2
77 5
; 2
53
e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2
f) | x2 + x | - 5 < 0 ; S =(
2
21 1
; 2
21
2
57 5
( ) 2
57 5
;
h) x2 + 4≥ | 3x + 2 | - 7x ; S = (−∞;−5− 19]∪[−2+ 2;+∞)
2
| 3
+
+ +
x
x x
; S = (-5 ; -2 ) ∪(-1 ; +∞) j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5
Bài 5 : Giải các bất phương trình.
a
2
2
1 5
− +
≥ + − b
2 3
1 1
x x
−
≤ + c 2 1− − x ≤1 d
9
3
5 3 x
− −
Bài 6 : Giải các phương trình và bất phương trình.
1) x2 − 2x = 2x2 − 1 2) x2 − 5x+ > − 4 x 1 3) 3x2 − 2x− ≤ 1 x2 −x
4) 23 1
4
x
− ; 5)
2
2x − + 3x 1= 2x2 + x – 1 ; 6)
2 2
5 4
1 4
x
− + ≤
− ; 7)
1 3
2
x x
+
+ 8) 3x2 – x− 3 > 9x – 2 ; 9) 2
2
7 10
0
6 9
− +
>
− +
Trang 7Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
Thí dụ 1: Giải bất phương trình : x2 − ≤ 1 x2 − 2 x + 8 (1)
Giải
Đặt t = x t, ≥ 0:
2
2
2
t t
t
− + ≥
− + − ≤ −
≤
− ≤ − +
Thí dụ 2: Giải bất phương trình : 2
2
2 1
x
x
≤ −
Giải
Đặt : 2
, 0
x =t t> Ta được :
2
t
− ≤ − + − ≤
−
≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤
0
x x
x
− ≤ ≤
< ≤ ⇔ ≠
Thí dụ 3: Giải bất phương trình : 4
(x+ 3)(x− − ≤ + 1) 5 (x 1) − 11
Giải
( 1) 9 ( 1) 11
⇔ + − − ≤ + −
⇔ + − ≤ + −
Đặt : t= + (x 1) , 2 t≥ 0
Ta được :
2
− ≤ − − − ≥ ≤ − ∪ ≥ ≤ −
≤ − ∪ ≥ ≥
− + ≤ − + − ≥
( 1) 4 ( 1)( 3) 0
3
x
x
≥
⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ −
DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
Thí dụ 1: Tìm m để phương trình x2 − − + +x 2 x2 4x m< có nghiệm.
Giải:
Trang 84
2
-2
-4
-6
y=f(x)
y=m
O -1
-3
5 2; 1 2
+ − ≤ − ∨ ≥
= − − + + = + − < <
Số nghiệm của bất phương trình phụ thuộc vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số ( )
y= f x và đường thẳng y m=
Dựa vào đồ thị ta suy ra bất phương trình có nghiệm ⇔ > −m 3
Thí dụ 2: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x :
x − mx+ x m− + >
Giải
(4) ⇔ − (x m) + 2 x m− + − 2 m > 0 Đặt : x m− =t t, ≥ 0 Ta được : t2 + 2t + 2 – m2 > 0 (5)
0
⇔ = + > − ∀ ⇔Minf( )t >m2 − 2(6)
Lập bbt của f(t) Suy ra Minf(t) = 0 Vậy (6) ⇔ > 0 m2 − ⇔ − 2 2 < <m 2
==========================
Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 3: Với giá trị nào của m thì bpt sau có nghiệm:
x + x m m− + + − ≤m
Giải
( ) (5)
( )
I
x m
II
x m
+ − + + − ≤
≥
⇔ − − + + − ≤
<
(5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm:
Trang 92 2
( )
x m
I
≥
⇔ + = ≤ − + +
Có f(m) = m2 + 2m
(I) có nghiệm
2
1 1
2
m
⇔ − + ≥ +
⇔ + − ≤
− ≤ ≤
x m
<
⇔ − = ≤ − − +
(II) có nghiệm
2
1
1
2
m
⇔ − < − − +
⇔ + − <
⇔ − < <
Kết luận : 1 1
2
m
− ≤ ≤
Thí dụ 3: Tìm a để với mọi x :
2
( ) ( 2) 2 3(1)
f x = −x + x a− ≥
Giải
Bài toán thỏa mãn :
2
2
2 1 2 ( ) 0 (2)
6 1 2 ( ) 0 (3)
x a
x a
≥
<
− + − = ≥ ∀
⇔ − + + = ≥ ∀
' 0
0
0 ' 0
(2)
1 1
2
a
a
∆ ≤
∆ > > ≤
⇔ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
≥ +
<
− <
' 0
8 2 0
' 0
3 2
a
a
a
∆ ≤
∆ > − > ≥
⇔ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔
≤ −
<
< −
Vậy để thỏa mãn bài toán : ≥a a≤04
==========================
Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:
10A1
10A3
TIẾT: …………
Thí dụ 4: Tìm a để bpt : ax + 4 > 0 (1) đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện
4
x <
Trang 10Nhận thấy trong hệ tọa độ xoy thỡ y = ax + 4 với
-4 < x < 4 là một đoạn thẳng Vỡ vậy y = ax + 4 > 0 ( 4) 0 1 1 1
a
− ≥ ≥ −
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
Thớ dụ 5: Tỡm a để bpt sau nghiệm đỳng với mọi x : (x2 + 4x+ 3)(x2 + 4x+ ≥ 6) a
Giải Đặt :
t=x + x+ = +x − ≥ − ⇒ ≥ −t
Bài toỏn thỏa món :⇔t t( + = 3) f t( ) ≥ ∀a t≥−1.Xột f(t) với t≥ −1Suy ra Min f(t) = -2
Vậy bttm ⇔ ≤ −a 2
Bài tập tương tự:
1 Định a để bất phương trỡnh x2 − + ≥x a 0 cú nghiệm.
2 Định m để phương trỡnh 2x2 − − < 3x 2 5m− − 8x 2x2 cú nghiệm.
3 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho bất phương trỡnh : x x− 3 < m được
thỏa với mọi x thuộc đoạn [ 1;4]
BÀI TẬP PHẦN BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI
Bài 1. Tỡm m để cỏc bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x:
a) 3x2+ 2(m− 1)x m+ + > 4 0 b) x2+ (m+ 1)x+ 2m+ > 7 0
c) 2x2+ (m− 2)x m− + > 4 0 d) mx2+ (m− 1)x m+ − < 1 0
e) (m− 1)x2− 2(m+ 1)x+ 3(m− > 2) 0 f) 3(m+ 6)x2− 3(m+ 3)x+ 2m− > 3 3
Bài 2. Tỡm m để cỏc bất phương trỡnh sau vụ nghiệm:
a) (m+ 2)x2− 2(m− 1)x+ < 4 0 b) (m− 3)x2+ (m+ 2)x− > 4 0
c) (m2+ 2m− 3)x2+ 2(m− 1)x+ < 1 0 d) mx2+ 2(m− 1)x+ ≥ 4 0
e) (3 −m x) 2− 2(2m− 5)x− 2m+ > 5 0 f) mx2− 4(m+ 1)x m+ − < 5 0
Bài 3: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phơng trình
f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-2; +∞)
Bài 4: Tìm các giá trị của tham số m ≠ 0 để bất phơng trình
f(x) = mx2 +4(m-1)x + m – 1 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1)
Bài 5:Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = 3x2+ (2m-1)x –m2 +12 < 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (0; +∞)
B i 6: à Tìm các giá trị của tham số m để bất phơng trình
f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - 2 > 0 thỏa mãn với mọi x thuộc nữa khoảng (-∞ ; 1)