+ Giải phương trỡnh ẩn phụ.. + Chọn cỏc giỏ trị ẩn phụ thỏa món điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giỏ trị ẩn ban đầu.. + Kết luận nghiệm của phương trỡnh ban đầu... Tập hợp các giá tr
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ A/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số:
Phương trình bậc hai một ẩn số (x) là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c
∈R và a ≠0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1 Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax 2 + bx = 0:
ax2 + bx = 0 ⇔x.(ax+b)=0 ⇔
0 0
0
x x
b
a
=
=
+ = = −
2 Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax + c = 0: 2
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax2 + c > 0 ∀
x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax2 + c = 0 ⇔ 2 2
ax
c x
c x
x
a
= −
= − ⇔ = − ⇔
= − −
3 Dạng đầy đủ – Dạng ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c≠0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c
- Bước 2: Lập ∆ = b2 - 4ac (hoặc ∆' = b'2 – ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính ∆(hoặc tính ∆ ')
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
∆ = b2 - 4ac -NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b x
2 1
∆ +
−
a
b x
2 2
∆
−
−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b x x
2 2 1
−
=
=
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆' = b'2 - ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x1= − '+ ∆' ;
a
b
x2 = − '− ∆'
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b x
x
' 2
- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
Trang 2III/ Định lớ Vi-ột:
1/ Vi-ột thuận: Nếu x1, x2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a≠0) thì:
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
−
= + =
2/ Vi-ột đảo: Hai số u và v thỏa món u + v = S; u.v = P thỡ u,v là nghiệm của
ph-ơng trình:
x2 - Sx + P = 0 (Điều kiện: S2 - 4P ≥ 0)
3/ Nhẩm nghiệm của ph ơng trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a 2 ≠ 0):
*/ Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = c
a
*/ Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 = c
a
−
* Chỳ ý: Nếu x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a≠0) thì:
ax 2 + bx + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )
IV/ Giải cỏc phương trỡnh quy được về phương trỡnh bậc hai:
1/ Phương trỡnh tớch: ( ) ( ) 0 ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x
B x
=
= ⇔ =
2/ Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tỡm ĐKXĐ của phương trỡnh (là ĐK của ẩn để tất cả cỏc mẫu đều khỏc 0)
- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế
- Bước 3: Giải phương trỡnh nhận được trong bước 2
- Bước 4: Đối chiếu giỏ trị ẩn vừa tỡm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
3/ Phương trỡnh trựng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a ≠0 )
+ Đặt : x2 = y ≥ 0 , ta cú PT đó cho trở thành : ay2 + by + c = 0 (*) + Giải phương trỡnh (*)
+ Chọn cỏc giỏ trị y thỏa món y≥0 thay vào: x2 = y ⇔x=± y
+ Kết luận nghiệm của phương trỡnh ban đầu
4/ Phương trỡnh sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trỡnh bậc hai:
+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu cú
+ Giải phương trỡnh ẩn phụ
+ Chọn cỏc giỏ trị ẩn phụ thỏa món điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giỏ trị ẩn ban đầu
+ Kết luận nghiệm của phương trỡnh ban đầu
V/ Cỏch giải một số dạng toỏn về phương trỡnh bậc hai:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm:
1 Hoặc a = 0, b ≠ 0
2 Hoặc a ≠ 0, ∆≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0
Trang 3Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2
Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt
>
∆
≠
0
0
a
hoặc
>
∆
≠
0
0 '
a
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
≠
=
0
0
b
a
hoặc
=
∆
≠
0
0
a
hoặc
=
∆
≠
0
0 '
a
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:
=
∆
≠
0
0
a
hoặc
=
∆
≠
0
0 '
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
<
∆
≠
0
0
a
hoặc
<
∆
≠
0
0 '
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:
≠
=
0
0
b
a
hoặc
=
∆
≠
0
0
a
hoặc
=
∆
≠
0
0 '
a
Bài toán 7 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:
>
=
≥
∆
0
0
a
c
P hoặc
>
=
≥
∆
0
0 '
a
c P
Bài toán 8 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 (a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:
>
−
=
>
=
≥
∆
0 0 0
a
b S a
c
P hoặc
>
−
=
>
=
≥
∆
0 0
0 '
a
b S a
c P
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c
= 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:
Trang 4
<
−
=
>
=
≥
∆
0 0 0
a
b S a
c
P hoặc
<
−
=
>
=
≥
∆
0 0
0 '
a
b S a
c P
Bài toán 10 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a.c<0
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx +
c = 0 (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x1
Cách giải:
- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax1 + bx1 + c = 0 → m
- Thay giá trị của m vào (*) → x1, x2
- Hoặc tính x2 = S - x1 hoặc x2 =
1
x P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx +
c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x1 , x 2 thoả mãn các điều kiện:
a αx1+ βx2 = γ b x +x2 =k
2
2 1
Điều kiện chung: ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:
=
=
=
−
= +
) 2 (
) 1 (
2 1
2 1
P a
c x x
S a
b x x
a Trờng hợp: αx1 +βx2 =γ
Giải hệ
= +
−
= +
γ β
α 1 2
2 1
x x
a
b x x
Thay x1, x2 vào (2) → m Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b Trờng hợp: x +x =k ↔ x +x 2 − x1x2 =k
2 1
2 2
2
Thay x1 + x2 = S =
a
b
− và x
1.x2 = P =
a
c vào ta có:
S2 - 2P = k → Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
B/ BÀI TẬP:
Dạng 1: Giải phương trỡnh:
Bài 1: Giải phương trỡnh
x 1 , x 2
Trang 5a) 2x2 + 5x = 0 b) x - 6x2 = 0 c) 2x2 + 3 = 0 d) 4x2 -1 = 0
e) 2x2 + 5x + 2 = 0 f) 6x2 + x + 5 = 0 g) 2x2 + 5x + 3 = 0 h) 25x 2 − 20x 4 0 + =
Bài 2: Giải phương trình
a) 3x4 + 2x2 – 5 = 0 b) 2x4 + x2 – 7 = 0 c) 3x 4 − 5x 2 − = 2 0
Bài 3: Giải phương trình
a) 16 x3 – 5x2 – x = 0 b) ( 2 ) (2 2 )2
− + = −
d) ( ) ( )
2
x 3
x 3 x 2
− + =
−
− + e) 12 12 =167
−
−
x
Bài 4: Giải phương trình
a) x – 7 x 1 0 − = b) x 5 5 x 1 0 + − − = c) ( 2 )2 ( 2 )
2x + x − 13 2x + + x 12 0 =
− + + − − + + − = e) ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16
f) (x2 – 3x – 1 )4 – 13x2 (x2 – 3x – 1)2 + 36x4 = 0
Dạng 2: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH:
Bài 1: Cho phương trình: x 2 − 8x 15 0 + = , không giải phương trình hãy tính:
x +x
d) ( )2
x x
x + x
Bài 2: Cho phương trình: x 2 + 3x 15 0 + = , không giải phương trình hãy tính:
a) x1 +x2 b) x x1. 2
Bài 3: a) Cho phương trình: x 2 − 2mx 5 0 + = có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại
b)Cho phương trình: x 2 + 5x q 0 + = có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v=3 và u.v=2 b) u+v= -3 và u.v=6 c) u-v=5 và u.v=36 d) u2+v2=61
và u.v=30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:
a) x1 = 8 và x2 = 3 b) x1 = 5 và x2 = − 7 c) x1= + 1 2 và x2 = − 1 2
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình: x 2 − 2x m 1 0 + − = , tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
Trang 6c) Vô nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu
e) Có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 2 2
x +x =
Bài 2: Cho phương trình: 3x 2 − 2x m 1 0 − + = , tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm
b) Có hai nghiệm trái dấu
c) Có hai nghiệm dương
Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: x 2 − 2x m − 2 − = 4 0luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m
b) Chứng minh rằng phương trình: x 2 − 2 m 1 x m 4 0( + ) + − = luôn có hai nghiệm phân biệt
∀m
c) Chứng minh rằng phương trình: x 2 + 2 m 2 x 4m 12 0( + ) − − = luôn có nghiệm∀m.
d) Chứng minh rằng phương trình: c x 2 2 +(a 2 − − b 2 c x b 2) + 2 = 0vô nghiệm với a, b, c là độ
dài ba cạnh của một tam giác
Dạng 6: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình: x 2 − 2 m 1 x 4m 0( + ) + = .
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1= 2x2
e) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: 2 2
x +x = .
f) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho A= 2 2
2x + 2x −x x. đạt giá trị nhỏ nhất