PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên đề phương trình đường tròn trình bày các dạng toán thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học cao đẳng, bên cạnh đó có các bài tập và lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ bản chất từng vấn đề, đồng thời có bài tập rèn luyện

Tuần từ ngày……… đến ngày……… Duyệt của tổ trưởng

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: (x a− )2+ −(y b)2=R2

Nhận xét: Phương trình x2+y2+2ax+2by c+ =0, với a2+b2− >c 0, là phương trình đường

tròn tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆

∆ tiếp xúc với (C) ⇔ d I( , )∆ =R

VẤN ĐỀ 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

• Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: (x a− )2+ −(y b)2=R2

thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.

• Nếu phương trình đường tròn (C) có dạng: x2+y2+2ax+2by c+ =0

thì – Biến đổi đưa về dạng (x a− )2+ −(y b)2=R2

hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a2+b2−c

Chú ý: Phương trình x2+y2+2ax+2by c+ =0 là phương trình đường tròn nếu thoả

Dạng 1: Viết phương trình đường tròn bằng cách xác định hệ số( Thường sử dụng khi biết đường tròn

đi qua nhiều điểm)

Dạng 2: Viết phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính một cách gián tiếp

• Biết tâm I(a;b) + Điều kiện:

- Tiếp xúc với (d) => R = d(I;(d))

- Cắt (d) tại hai điểm A,B sao cho AB=k(hằng số) =>

( Hoặc tam giác IAB vuông cân hay đều, diện tích tam giác IAB, ….)

- Cắt đường tròn (C’) theo dây cung AB=K

• Biết tâm I thuộc đường thẳng (d) và thỏa mãn điều kiện nào đó

- Thiết lập phương trình đường thẳng (d) theo dạng tham số

- Tham số hóa tọa độ điểm I (theo t)

- Từ điều kiện ta suy ra t

- Chú ý: Điều kiện thường là khoảng cách, tiếp xúc với đường thẳng ….

Dạng 3: Nếu bài toán không cho biết tọa độ tâm và bán kính(không phải dạng 1) chỉ cho dàn ĐK

+ Gỉa sử I(a,b) sau đó thiết lập các phương trình theo a, b dựa vào ĐK

+ Tìm bán kính thông qua ĐK ví dụ như (C) đi qua A thì IA=R, (C) tiếp xúc với (d) thì d(I;(d))=R…

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN KHI DẠY TRÊN LỚP.

Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của

(C) Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng ∆.

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆.

– Bán kính R = IA.

Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng ∆.

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Tâm I của (C) thoả mãn: I d

Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm B.

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

– Viết phương trình đường thẳng ∆′ đi qua B và vuông góc với ∆.

– Xác định tâm I là giao điểm của d và ∆′.

– Bán kính R = IA.

Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I

Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi ∆1 và ∆2

hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến ∆1 và ∆2

– Nếu ∆1 // ∆2 , ta tính R = d1 ( , )1 2

2 ∆ ∆ , và (2) được thay thế bới IA = R.

Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 , ∆2 và có tâm nằm trên đường thẳng d.

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I

– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.

– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c ⇒ phương trình của (C).

Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn: IA IB

Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.

– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai gĩc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.

– Bán kính R = d I AB( , )

==================================

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

10A1

10A4

TIẾT………….

VÍ D Ụ MINH HỌA THEO DẠNG

1 Lập phương trình đường tròn Biết toạ độ tâm I(a;b) và biết bán kính R

(C) : (x-a)2+(y-b)2 = R2.(*)

2 Lập đường tròn (C)nhận đoạn thẳng AB làm đường kính Với hai điểm A và B đã biết toạ độ

Phương pháp :

Ví dụ minh hoạ :

Cho hai điểm A(1;2) và B(5;4 Hãy viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính

3 Lập đường tròn (C) đi qua ba điểm A,B và C cho sẵn

4 Lập đường tròn (C) đi qua hai điểm A và B ,đồng thời tâm nằm trên một đường thẳng cho sẵn

Ví dụ minh hoạ :

Lập phương trình đường tròn (C) đi qua A(3;1) ,B(-1;3)và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2=0

3x-y-Bài giải :

• Đường thẳng d có dạng :

• Nếu tâm I của (C) nằm trên d thì I(t; -2+3t)

• Nếu (C) qua A,B thì ta có :

• Vậy (C) có phương trình là : (x-2)2+(y-4)2 =10

Ngoài cách trên ta có cách giải khác :

• Gọi I(a;b) là tâm của (C) Nếu I thuộc (C) thì : 3a-b-2=0 (1)

• Khi (C) qua A(3;1) và B(-1;3) thì

• Gọi I(a;b) và R thừ tự là tâm và bán kính của (C) Nếu (C) qua A(-1;0),B(1;2) thì ta có hệ :

• Nếu d tiếp xúc với (C) thì :

Ví dụ 2.Lập phương trình đường tròn (C) qua A(1;4) ,B( và tiếp xúc với đường thẳng d : 3x+y -11=0

Bài giải :

• Gọi I(a;b) là tâm của (C).Nếu (C) qua A và B thì ta có hệ :

• Nếu (C) tiếp xúc với d thì :

• Từ (1) và (3) ta có hệ sau :

• Gọi I(a;b) là tâm của (C) Vì d //d' nên tâm I phải nằm trên đường thẳng (m)// và cách đều

d với d' : 2x+y+1/2=0 Ta có phương trình : 2a+b+1/2=0 (1)

• Mặt khác

• Do (C) qua O(0;0) : d(I;d)=R

• Từ (1) và (3) ta có :

• Thay các giá trị của a,b vào (2) ta tìm được R (C) :

• Lập phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi d và d':

• Nếu tâm I(a,b) của (C) thuộc đường phân giác thì thay toạ độ của I vào phương trình hai đường phân giác,ta có (1) : f(a,b)=0

• Nếu (C) đi qua M Ta có d(M;d)=IM (2)

• Từ hai phương trình (1) và (2) ta tìm được a,b Sau đó thay ngược vào (2) ta tìm được bán kính R=IM của (C).

• Viết phương trình (C) theo (*)

Ví dụ minh hoạ

Lập phương trình của (C) đi qua điểm A(2;-1) và tiếp xúc với hai dường thẳng d : x-y+1=0 và d' : x+y-3=0

Bài giải :

• Viết phương trình của hai đường phân giác của góc tạo bởi d và d' :

• Nếu (C) tiếp xúc với d và d' thì tâm I(a;b) của (C) phải thuộc đường phân giác :

• Nếu (C) đi qua A(2;-1) ,thì d(I;d)=IA=R

* Trường hợp 1 Từ (2) và (3) ta có :

* Trường hợp 2 Từ (2') và (3) ta có :

• Vậy có hai đường tròn ; (C) : (x-1)2+y2=2 ; và (C') : (x-1)2+(y+8)2= 50

===============================

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

Đáp số : (C) : (x-5)2+(y+5)2=25 ; (C') : (x+1)2+(y-1)2=1

Bài 2 Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua O(0;0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d :

2x+y-1=0 và d' : 2x-y+2=0

Đáp số : (C;C') : 4x2+4y2+2x+

7 Lậïp phương trình của đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d 1 và tiếp xúc với hai

đường thẳng d 2 ,d 3

a) Nếu d 1 //d 2 mx+ny+p=0 và mx+ny+q=0

• Tâm I(a;b) thuộc dường thẳng : ma+nb+ =0 (1)

• Thay t vào toạ độ của I ,ta tìm ra a,b,R

Ví dụ minh hoạ

a) Lập phương trình của (C) có tâm thuộc đường thẳng d : 2x+y=0 Và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : 4x-3y+10=0 và d2 : 4x-3y-30=0

b) Lập phương trình của (C) có tâm thuộc đường thẳng d : 4x-5y -3=0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : 2x-3y-10=0 và d2 : 2x-3y-4=0

Bài giải :

a) Lập (C)

• Chuyển d sang tham số :

• (C) tiếp xúc với d1 và d2 thì I phải thuộc đường thẳng // và cách đều d1 ,d2: 4t+6t-10=0 ; Hayt=1

• Do đó I(1;-2) Và R=

• Vậy (C): (x-1)2+(y+2)2=4

b) Lập (C)

• Chuyển d sang tham số :

• Nếu (C) tiếp xúc với d1 và d2 thì I phải thuộc đường thẳng // cách đều d1,d2:nên ta có

phương trình : 2(2+5t)-3(1+2t)-7=0 Suy ra t=3/2

• Vậy I( ) và R= d(I;d1)=

• Vậy (C) : (x-19/2)2+(y-7)2=144/13

b) Nếu d 1 và d 2 cắt nhau ;

• Chuyển d sang tham số Thì điều kiện I thuộc d sẽ là I( )

• Lập phương trình của hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1,d2.

• Nếu (C) tiếp xúc với d1 và d2 thì

• Thay toạ độ của I vào hai phương trình của (2) ,ta có hai phương trình của ẩn t Giải chúng ,ta tìm được t Sau đó thay ngược vào (2) ta tìm được R

• Viết phương trình của (C) theo (*)

Ví dụ minh hoạ

Viết phương trình của đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x-6y-10=0 ,và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : 3x+4y+5=0 và d2 :4x-3y-5=0

Bài giải :

• Chuyển d sang tham số :

• Phương trình của hai đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 là :

• Nếu (C) tiếp xúc với d1 và d2 thì I còn phải thuộc (2) hoặc (2').Ta thay toạ độ của I vào (2')

hoặc (2) ,ta được :

• Do đó

===============================

Tuần từ ngày……… đến ngày……… Duyệt của tổ trưởng

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

a) Tỡm ủieàu kieọn cho d caột (C) taùi hai ủieồm E,F Tớnh ủoọ daứi cuỷa EF?

b) Laọp ủửụứng thaỳng d' ủi qua M vaứ caột (C) tai hai ủieồm P,Q sao cho M laứ trung ủieồm cuỷa PQ?

Phửụng phaựp giaỷi :

a) ẹeồ tớnh E,F

• Chuyeồn d sang tham soỏ :

• Neỏu d maứ giao (C) thỡ heọ coự hai nghieọm t

b)Laọp d' ủi qua M

• ẹửụứng thaỳng d' :

• Giaỷi heọ treõn ta tỡm ra quan heọ giửừa t1 vaứ t2

• Neỏu M laứ trung ủieồm cuỷa PQ thỡ

Vớ dụ minh hoạ

Cho (C): x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0 và hai điểm A(4; 5) B(5; 1)

a/ Chứng minh rằng đờng thẳng AB cắt đờng tròn

b/ Giả sử đờng thẳng AB cắt đ tròn tại E, F Tính độ dài đoạn EF

Baứi giaỷi :

Vớ dụ 1.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng tròn (S) có phơng trình:

x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2 ; 4)

a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong đờng tròn

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, cắt đờng tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung

điểm của AB

c) Viết phơng trình đờng tròn đối xứng với đờng tròn đã cho qua đờng thẳng AB

Baứi giaỷi :

ẹửụứng troứn (C) coự taõm I(1;3) vaứ baựn kớnh R=2

a) Thay toaù ủoọ cuỷa ủieồm M(2;4) vaứo phửụng trỡnh cuỷa (C) : -2<0 Chửựng toỷ M naốm beõn trong cuỷa(C)

b) Laọp phửụng trỡnh cuỷa d

• Giả sử d có véc tơ chỉ phương với toạ độ (a;b) d đi qua M(2;4) có phương trình là :

• Gọi giao của d và (C) là A và B có toạ độ là hai nghiệm của hệ trên Với A(2+at1;4+bt1 )và B(2+at2;4+bt2) ( với t1,t2 là hai nghiệm của (1) ).Nếu M là trung điểm của AB thì ta có :2+at1+(2+at2)=4 và (4+bt1)+(4+bt2)=8 Hay: a(t1+t2)=0 Áp dụng Vi -ét cho phương trình (1) :

Đường tròn (C) có tâm I(1;-3) và bán kính R=5 Giả sử d cắt (C)

theo dây cung AB ,với AB=8 Gọi H là hình chiếu của I lên

AB ,thì H là trung điểm của AB và IH vuông góc với AB Trong

tam giác AIH IH2=IA2-AH2=25-16-9 Vậy IH=3 (cm) Đường

thẳng qua O có dạng y=ax hay ax-y=0 Theo tính toán ở trên

Vậy có hai đường thẳng d1 : y=0 và d2 : 3x-4y=0 thoả mãn yêu cầu của bài toán

===============================

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

A

BH8

a) CMR: (Cm) là đờng tròn với mọi m Tìm tập hợp tâm các đờng tròn (Cm) khi m thay đổi

b) Khi m=4 hãy viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng (d): 3x-4y+10=0 và cắt

đờng tròn tại hai điểm A, B sao cho độ dài AB=6

Baứi giaỷi :

a) ẹửụứng troứn (Cm) : (x+m)2+(y-3)2=m2+m+5 ẹeồ (Cm) laứ ủửụứng troứn thỡ m2+m+5≥0,nghúa laứ ủuựngvụựi moùi m thuoọc R

b)Khi m=4 (C) : (x+4)2+(y+3)2=25 (C) coự taõm I(-4;3 ) vaứ coự baựn kớnh R=5 Goùi d laứ ủửụứng thaỳngvuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng d' : 3x-4y+10=0 ,thỡ d coự daùng : 4x+3y+m=0 (vụựi m laứ tham soỏ )

Goùi H laứ hỡnh chieỏu cuỷa I treõn d thỡ H laứ trung ủieồm cuỷa AB (vụựi A,B laứ giao cuỷa d vụựi (C) ).Trongtam giaực AIH ,IH2=IA2-AH2=25-9=16 Suy ra IH=4 (*)

Nhửng IH =d(I,d) cho neõn

a) ẹửụứng troứn (C1) : (x-1)2+(y+2)2=9 Coự taõm I1(1;-2) vaứ baựn kớnh R1=3vaứ (C2) : (x+2)2

+(y-2)2=64 ,coự taõm I2(-2;2) vaứ baựn kớnh R2=8 Vụựi I1I22=9+16=25 Suy raI2 I1=5 <R1+R2=11.Vỡ vaọy hai ủửụứng troứn caột nhau

a)Goùi H laứ hỡnh chieỏu cuỷa I leõn d ,thỡ IH laứ ủửụứng cao cuỷa tam giaực ABC Maởt khaực IH=d(I,d)<R=3,nghúa laứ

Vaọy (d) luoõn caựt (C1) tai hai ủieồm AB Goùi laứ goực AIB thỡ (0< < ) Khi ủoự dieọn tớch tam giaực ABC S= 1/2 IA2 sin =1/2 R2 sin =1/2.9 sin ,ủaùt giaự trũ lụựn nhaỏt khi 900 Nghúa laứ tam

giaực ABC vuoõng goực taùi I Tam giaực ABC laứ tam giaực vuoõng caõn Suy ra d(I,d)=R

b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn chung cuỷa hai ủửụứng troứn

• Goùi d' laứ ủửụứng thaỳng tieỏp tuyeỏn chung coự daùng ax+by+c=0 (a2+b2≠0) ẹeồ d' laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (C1) thỡ

• D' laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (C2) thỡ

• Tửứ (1) vaứ (2) :

• Với thay (1) 112a2+24ab+105b2=0 Ph ư ơng tr ỡnh v ụ ngi ệm

* Chuự yự : Ta thaỏy I1I2=R2-R1=5 Chửựng toỷ hai ủửụứng troứn tieỏp xuực trong vụựi nhau Vỡ vaùy chổ coự moọt tieỏp tieỏp tuyeỏn chung ,ủi qua tieỏp ủieồm vaứ vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng noỏi hai taõm I1I2 ẹoự cuừng chớnh laứ truùc ủaỳng phửụng cuỷa hai ủửụứng troứn Ta chổ laỏy phửụng trỡnh cuỷa (C1) trửứ cho

phửụng trỡnh cuỷa (C2) laứ coự keỏt quaỷ caàn tỡm

Vớ duù 5 (H SP TPHCM-D2001)

Trong mặt phẳng Oxy cho họ đờng tròn

(Cm): x2 + − y2 2 mx + 4 my + 5 m2− = 1 0

a) CMR họ (Cm) luôn tiếp xúc với hai đờng thẳng cố định

b) Tìm m để (Cm) cắt đờng tròn (C): x2+y2 =1 tại hai điểm phân biệt A và B CMR khi đó đờng thẳng AB có phơng không đổi

Baứi giaỷi :

a)Phửụng trỡnh cuỷa (C) cho ta moọt soỏ keỏt quaỷ :

Hay : (x-m)2+(y+2m)2=1 coự taõm I(m;-2m) vaứ baựn kớnh R=1 Taõm I cuỷa (Cm) chaùy treõn ủửụứng thaỳng(n) : , vaứ coự baựn kớnh khoõng ủoồi R=1 Vaọy (Cm) seừ tieỏp xuực vụựi hai ủửụứng thaỳng coự phửụng cuứng vụựi phửụng cuỷa (n) ,nghúa laứ chuựng coự daùng : 2x+y+m=0 Caực ủửụứng thaỳng naứy tieỏp xuực vụựi (Cm) khi d(I,(n))=1

b) Neỏu (Cm) caột (C) taùi hai ủieồm phaõn bieọt AB thỡ A,B coự toaù ủoọ laứ nghieọm cuỷa heọ

ẹeồ (C) giao vụựi (Cm) thỡ khoaỷng caựch hai taõm phaỷi nhoỷ hụn toàn cuỷa hai baựn kớnh :

Vụựi ủieàu kieọn (*) thỡ (C) seừ caột (Cm) theo ủửụứng thaỳng AB ( laứ truùc ủaỳng phửụng cuỷa hai ủửụứng troứn ) coự phửụng khoõng ủoồi

===============================

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

Baứi 2 Cho đờng tròn x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và M(2; 4)

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua M cắt đờng tròn tròn tại 2 điểm A, B sao cho M là trung

điểm của AB

b/ Viết phgơng trình các tiếp tuyến của đờng tròn có hệ số góc k=1

Baứi 3 Cho (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 9

Viết phơng trình đờng thẳng qua A(2; 1), cắt (C) tại E, F sao cho A là trung điểm của EF

Baứi 4 (CĐ SP Quảng Bình-2005)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phơng trình đờng tròn (C) qua 3 điểm A(2;3), B(4;5), C(4;1) Chứng

tỏ điểm K(5;2) thuộc miền trong của đờng tròn (C) Viết

phơng trình đờng thẳng d qua điểm K sao cho d cắt (C) theo dây cung AB nhận K làm trungđiểm

Baứi 5 (ĐH TCKT)

Cho đơng tròn (C): 2 2

(x−1) + −(y 3) =4 và điểm M(2;4)a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và cắt (C) tại A và B sao cho M là trung điểm AB

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn có hệ số góc k=-1

b) Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của (C1) và (C1) và qua điểm M(0;1)

Baứi 8 Laọp phửụng trỡnh (C) coự taõm thuoọc d : 3x-5y-8=0 vaứ tieỏp xuực vụựi hai truùc toaù ủoọ

ẹaựp soỏ : (C) : (x+1)2+(y+1)2=1 vaứ (C') : (x-1/4)2+(y-1/4)2=1/16

Baứi 9 Laọp phửụng trỡnh cuỷa (C) coự taõm thuoọc d : 4x-5y+10=0 vaứ tieỏp xuực vụựi hai ủửụứng thaỳng d1: 2x-3y-10=0 vaứ d2 : 3x-2y+5=0

Bài 10.Lập (C) tiếp xúc với hai đường thẳng x+y=4=0 ;7x-y+4=0 và có tâm thuộc đường thẳng

4x+3y+4=0

Đáp số : (C): (x-2)2+(y+2)2=8 vf (C') : (x+4)2+(y-5)2=18

===============================

Ngày soạn:……… ……… Ngày dạy:

Bài 1. Viết phương trình đường trịn cĩ tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1)

a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2)

Bài 2. Viết phương trình đường trịn cĩ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng ∆, với: (dạng 2)

a) I(3;4), : 4∆ x−3y+ =15 0 b) I(2;3), : 5∆ x−12y− =7 0

c) I( 3;2),− ∆≡Ox d) I( 3; 5),− − ∆≡Oy

Bài 3. Viết phương trình đường trịn cĩ đường kính AB, với: (dạng 3)

a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6)

Bài 4. Viết phương trình đường trịn đi qua hai điểm A, B và cĩ tâm I nằm trên đường thẳng ∆, với: