I.PHẦN MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Đối với học sinh lớp 8, để giải bài toán tìm x với những phép tính cộng, trừ, nhân, chia đã rất quen thuộc, nhưng việc giải phương trình lại là một khái niệm hoàn toàn mới. Được giảng dạy ở lớp có đầu vào tốt cũng như các em có lực học trung bình, trở lên nên tôi muốn khai thác sâu ở các em học sinh dạng toán giải phương trình tích. Nhằm giúp học sinh có kĩ năng giải phương trình và nắm bắt dạng phương trình, các em cần phân biệt được giữa bài toán tìm x và bài toán giải phương trình có điểm gì giống và khác nhau. Trên cơ sở đó giúp các em hiểu và vận dụng nhanh hơn trong giải toán, đặc biệt là giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích. Trong SGK Toán 8 đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, …để làm một số dạng bài tập giải phương trình tích. Nếu chỉ giải những phương trình đơn giản thì người đọc sẽ chỉ cảm thấy rằng việc học sinh giải phương trình tích là điều hiển nhiên có thể làm được, nhưng nếu là giáo viên trực tiếp giảng dạy họ sẽ nhận ngay ra được rằng lỗi mà học sinh hay vấp phải nhất khi giải phương trình đó là tìm sai hướng giải, máy móc một cách giải cho tất cả các bài toán và đương nhiên khả năng tư duy logic của các em sẽ không được phát huy.Khi dạy chuyên đề này tôi nhận thấy học sinh khi giải phương trình tích dạng A(x).B(x) thì học sinh làm được và làm một cách máy móc. Nhưng khi gặp những phương trình khó hơn và được nâng cao dần về kiến thức thì các em lại không làm được, thậm chí không tìm được hướng để giải bài toán. Nếu học sinh lớp 8 giải phương trình tích và các phương trình đưa về dạng tích không tốt thì khi gặp các bài học sau và thậm chí khi lên lớp 9 các em sẽ gặp khó khăn khi giải những phương trình bậc cao hơn, hay những bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Điều đó khiến tôi trăn trở và muốn tìm ra phương pháp đưa đến các em những kiến thức cơ bản nhất và cần thiết nhất để các em không thấy khó khăn khi giải phương trình. Trong quá trình giảng dạy các em theo trình tự các bước của đề tài, tôi nhận thấy các em học sinh rất thích thú. Vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều bài vận dụng cách giải khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích. Từ đó giúp các em học tập kiến thức mới và giải được một số bài toán từ đơn giản đến mức độ khó. Vì vậy, trong những nội dung mà tôi đưa ra sẽ nhằm hướng các em hiểu về phương trình, phương trình tích. Vận dụng các phương pháp để đưa một phương trình về phương trình tích và giải phương trình, giải bài toán. Và tôi nhận thấy rằng, khi đưa đến cho các em các lượng kiến thức vừa đủ và đa dạng ở phương trình tích và phương trình đưa được về phương trình tích từ “đơn giản’’ đến “khó dần’’ là việc đưa lại hiệu quả cao, tạo được hứng thú cho các em và giúp các em nắm chắc kiến thức. Đó là lí do để tôi chọn đề tài này. Ngoài ra bằng sự kết hợp linh hoạt của máy tính và hướng dẫn cơ bản của giáo viên, các em học sinh dễ dàng đưa được phương trình về dạng phương trình tích tìm được nghiệm. 2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Qua những năm giảng dạy, tôi thấy để “giải phương trình tích’’ và những dạng bài tập vận dụng cần hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu, giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic, chỉ ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “Giải các dạng phương trình đưa về dạng phương trình tích’’.Để làm được điều này, người giáo viên cần định hình cho học sinh hiểu thế nào là giải phương trình? Phương trình tích là phương trình có dạng như thế nào và các cách giải? Hướng dẫn cho các em biết cách giải các phương trình đơn giản, biết đoán nghiệm của phương trình thông qua việc sử dụng máy tính từ đó phân tích, biến đổi phương trình về dạng phương trình tích. Nên có thể khai thác ở các em vận dụng các cách giải khác nhau và kích thích các em sự hứng thú, tò mò muốn giải quyết bài toán. Linh hoạt trong giải toán, phục vụ tốt cho các em trong việc luyện thi Toán Internet và Toán Casio với bài toán phương trình.3.Đối tượng nghiên cứu Một số biện pháp hướng dẫn học sinh lớp 8 trường THCS Lương Thế Vinh học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích (căn cứ theo năng lực của học sinh để mở rộng các dạng phương trình tích cho học sinh). 4.Giới hạn phạm vi nghiên cứu Hướng dẫn học sinh giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích, các bài tập vận dụng trong chương trình học kì II môn Đại số lớp 8. Được áp dụng cho học sinh lớp đại trà và lớp chọn khối 8 trường THCS Lương Thế Vinh năm học 2014 – 2015.5. Phương pháp nghiên cứu Dựa trên những định hướng ban đầu, nội dung được dựa trên những phương pháp sau: Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: thông qua quá trình trực tiếp giảng dạy học sinh lớp 8. Phương pháp đọc sách và tài liệu: Sách giáo khoa Toán 8 tập II; Sách Toán cơ bản và nâng cao Đại số 8; Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8. Phương pháp nghiên cứu sản phẩm. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục: Thông qua quá trình giảng dạy, giáo viên đúc kết ra những hướng đi giúp học sinh tìm đến kiến thức. Phương pháp thực nghiệm. Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề. II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận Trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của BGD ĐT ban hành kèm theo quyết định số 162006 QĐ – BGD ĐT ngày 552006. Quy định giáo viên là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn điều khiển quá trình học tập, còn học sinh là chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện. Từ đó nhằm phát triển nhân cách và các năng lực cần thiết. Vì vậy, trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học, tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. Riêng với chương trình Đại số lớp 8, việc học sinh không giải được phương trình tích sẽ khiến cho các em học sinh có lực học trung bình và khá mất đi một kiến thức cơ bản để giải những phương trình đưa được về dạng tích, học sinh giỏi sẽ cảm thấy khó và không có hướng giải với những phương trình đa dạng, phức tạp với lũy thừa lớn. Nhờ phương trình tích, học sinh có thể giải nhiều phương trình bậc cao có dạng f(x) = 0. Nhiều trường hợp còn đòi hỏi các em học sinh phải thêm bớt, tách hạng tử, đặt ẩn phụ để giải được bài toán.Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán (cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy thì giáo viên cần gợi sự say mê học tập, tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em học sinh.2. Thực trạng 2.1. Thuận lợi – khó khăn Thuận lợi: Là giáo viên còn trẻ nên bản thân tôi nhận thấy việc giáo viên cần học hỏi và trau dồi kiến thức, phương pháp để đưa đến cho các em kiến thức là một vấn đề rất quan trọng và được đặt lên hàng đầu khi soạn giảng. Trong quá trình giảng dạy và công tác tại trường tôi được học hỏi ở đồng nghiệp các phương pháp giảng dạy và kĩ năng khi đứng lớp, được dự các tiết chuyên đề, thao giảng, hội giảng về bộ môn toán của đồng nghiệp. Trường có điều kiện cơ sở vật chất đầy đủ, thư viện thông minh với các tài liệu tham khảo đa dạng nên có rất nhiều sách tham khảo viết về chuyên đề phương trình nói chung, phương trình tích nói riêng cho học sinh tìm hiểu và nghiên cứu. Từ đó giúp tôi tự tin hơn về kiến thức và phương pháp để thực hiện chuyên đề này. Đa số các giáo viên giảng dạy môn toán 8 đã quan tâm nhiều đến việc dạy cho các em học sinh các cách giải phương trình tích. Được nhà trường quan tâm, động viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, nên bản thân mỗi giáo viên và học sinh đều cố gắng nâng cao kiến thức. Bên cạnh đó, đội ngũ giáo viên trong tổ bộ môn có năng lực vững vàng, nhiệt tình đã giúp tôi học được nhiều kinh nghiệm trong phương pháp truyền đạt đến học sinh cũng như bồi dưỡng kiến thức chuyên môn. Các em ham học, thích nghiên cứu tài liệu và ham muốn được mở rộng kiến thức. Khó khăn: Lực học của các em học sinh không đồng đều giữa các lớp. Một số em học sinh tiếp thu kiến thức cơ bản còn chậm, không đáp ứng được yêu cầu của chương trình, bằng lòng với những kiến thức mình đã có. Điều kiện kinh tế và hoàn cảnh gia đình số ít học sinh còn khó khăn nên có sự ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh. Đã có nhiều loại sách tham khảo viết các chuyên đề về phương trình, phương trình tích nhưng để đi sâu về hướng dẫn học sinh giải phương trình đưa được về phương trình tích thì còn hạn chế, còn mang tính tổng quát, chưa cụ thể. Các chuyên đề khác có hướng dẫn học sinh giải phương trình tích nhưng tôi nhận thấy còn chưa cụ thể, đặc biệt chưa quan tâm nhiều đến các bước hướng dẫn học sinh đi đến kiến thức và trình bày bài giải. Chưa khai thác sâu ở các em học sinh khả năng tư duy logic, mối liên hệ giữa các phương trình trong quá trình biến đổi phương trình về phương trình tích. Các chuyên đề khác chỉ đưa ra cho các em các dạng toán và bài giải, thiếu tính logic từ dễ đến khó, chưa nâng mức độ khó của bài toán lên cao dần.2.2.Thành công – hạn chế
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích I.PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối với học sinh lớp 8, để giải tốn tìm x với phép tính cộng, trừ, nhân, chia quen thuộc, việc giải phương trình lại khái niệm hoàn toàn Được giảng dạy lớp có đầu vào tốt em có lực học trung bình, trở lên nên tơi muốn khai thác sâu em học sinh dạng toán giải phương trình tích Nhằm giúp học sinh có kĩ giải phương trình nắm bắt dạng phương trình, em cần phân biệt tốn tìm x tốn giải phương trình có điểm giống khác Trên sở giúp em hiểu vận dụng nhanh giải toán, đặc biệt giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Trong SGK Tốn trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, …để làm số dạng tập giải phương trình tích Nếu giải phương trình đơn giản người đọc cảm thấy việc học sinh giải phương trình tích điều hiển nhiên làm được, giáo viên trực tiếp giảng dạy họ nhận lỗi mà học sinh hay vấp phải giải phương trình tìm sai hướng giải, máy móc cách giải cho tất toán đương nhiên khả tư logic em không phát huy Khi dạy chuyên đề nhận thấy học sinh giải phương trình tích dạng A(x).B(x) học sinh làm làm cách máy móc Nhưng gặp phương trình khó nâng cao dần kiến thức em lại khơng làm được, chí khơng tìm hướng để giải tốn Nếu học sinh lớp giải phương trình tích phương trình đưa dạng tích khơng tốt gặp học sau chí lên lớp em gặp khó khăn giải phương trình bậc cao hơn, hay toán rút gọn biểu thức chứa bậc hai Điều khiến tơi trăn trở muốn tìm phương pháp đưa đến em kiến thức cần thiết để em khơng thấy khó khăn giải phương trình Trong q trình giảng dạy em theo trình tự bước đề tài, nhận thấy em học sinh thích thú Vì có ví dụ đa dạng, có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích Từ giúp em học tập kiến thức giải số toán từ đơn giản đến mức độ khó Vì vậy, nội dung mà tơi đưa nhằm hướng em hiểu phương trình, phương trình tích Vận dụng phương pháp để đưa phương trình phương trình tích giải phương trình, giải tốn Và tơi nhận thấy rằng, đưa đến cho em lượng kiến thức vừa đủ đa dạng phương trình tích phương trình đưa phương trình tích từ “đơn giản’’ đến “khó dần’’ việc đưa lại hiệu cao, tạo hứng thú cho em giúp em nắm kiến thức Đó lí để tơi chọn đề tài Ngồi kết hợp linh hoạt máy tính hướng dẫn giáo Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích viên, em học sinh dễ dàng đưa phương trình dạng phương trình tích tìm nghiệm Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Qua năm giảng dạy, thấy để “giải phương trình tích’’ dạng tập vận dụng cần hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu, giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính logic, phương pháp dạy học loại tập “Giải dạng phương trình đưa dạng phương trình tích’’ Để làm điều này, người giáo viên cần định hình cho học sinh hiểu giải phương trình? Phương trình tích phương trình có dạng cách giải? Hướng dẫn cho em biết cách giải phương trình đơn giản, biết đốn nghiệm phương trình thơng qua việc sử dụng máy tính từ phân tích, biến đổi phương trình dạng phương trình tích Nên khai thác em vận dụng cách giải khác kích thích em hứng thú, tị mị muốn giải tốn Linh hoạt giải toán, phục vụ tốt cho em việc luyện thi Toán Internet Toán Casio với tốn phương trình 3.Đối tượng nghiên cứu Một số biện pháp hướng dẫn học sinh lớp trường THCS Lương Thế Vinh học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích (căn theo lực học sinh để mở rộng dạng phương trình tích cho học sinh) 4.Giới hạn phạm vi nghiên cứu Hướng dẫn học sinh giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích, tập vận dụng chương trình học kì II mơn Đại số lớp Được áp dụng cho học sinh lớp đại trà lớp chọn khối trường THCS Lương Thế Vinh năm học 2014 – 2015 Phương pháp nghiên cứu Dựa định hướng ban đầu, nội dung dựa phương pháp sau: - Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: thơng qua q trình trực tiếp giảng dạy học sinh lớp - Phương pháp đọc sách tài liệu: Sách giáo khoa Toán tập II; Sách Toán nâng cao Đại số 8; Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục: Thông qua trình giảng dạy, giáo viên đúc kết hướng giúp học sinh tìm đến kiến thức - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Toán BGD & ĐT ban hành kèm theo định số 16/2006 QĐ – BGD & ĐT ngày 5/5/2006 Quy định giáo viên người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn điều khiển q trình học tập, cịn học sinh chủ thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện Từ nhằm phát triển nhân cách lực cần thiết Vì vậy, hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học, tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành q trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo, tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Riêng với chương trình Đại số lớp 8, việc học sinh khơng giải phương trình tích khiến cho em học sinh có lực học trung bình kiến thức để giải phương trình đưa dạng tích, học sinh giỏi cảm thấy khó khơng có hướng giải với phương trình đa dạng, phức tạp với lũy thừa lớn Nhờ phương trình tích, học sinh giải nhiều phương trình bậc cao có dạng f(x) = Nhiều trường hợp đòi hỏi em học sinh phải thêm bớt, tách hạng tử, đặt ẩn phụ để giải toán Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn (cụ thể mơn đại số lớp 8) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập, tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức em học sinh Thực trạng 2.1 Thuận lợi – khó khăn * Thuận lợi: Là giáo viên trẻ nên thân nhận thấy việc giáo viên cần học hỏi trau dồi kiến thức, phương pháp để đưa đến cho em kiến thức vấn đề quan trọng đặt lên hàng đầu soạn giảng Trong q trình giảng dạy cơng tác trường học hỏi đồng nghiệp phương pháp giảng dạy kĩ đứng lớp, dự tiết chuyên đề, thao giảng, hội giảng mơn tốn đồng nghiệp Trường có điều kiện sở vật chất đầy đủ, thư viện thông minh với tài liệu tham khảo đa dạng nên có nhiều sách tham khảo viết chuyên đề phương trình nói chung, phương trình tích nói riêng cho học sinh tìm hiểu nghiên cứu Từ giúp tơi tự tin kiến thức phương pháp để thực chuyên đề Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích - Đa số giáo viên giảng dạy mơn tốn quan tâm nhiều đến việc dạy cho em học sinh cách giải phương trình tích - Được nhà trường quan tâm, động viên công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, nên thân giáo viên học sinh cố gắng nâng cao kiến thức - Bên cạnh đó, đội ngũ giáo viên tổ mơn có lực vững vàng, nhiệt tình giúp tơi học nhiều kinh nghiệm phương pháp truyền đạt đến học sinh bồi dưỡng kiến thức chuyên môn - Các em ham học, thích nghiên cứu tài liệu ham muốn mở rộng kiến thức * Khó khăn: Lực học em học sinh không đồng lớp Một số em học sinh tiếp thu kiến thức cịn chậm, khơng đáp ứng u cầu chương trình, lịng với kiến thức có - Điều kiện kinh tế hồn cảnh gia đình số học sinh cịn khó khăn nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh - Đã có nhiều loại sách tham khảo viết chuyên đề phương trình, phương trình tích để sâu hướng dẫn học sinh giải phương trình đưa phương trình tích cịn hạn chế, cịn mang tính tổng quát, chưa cụ thể - Các chuyên đề khác có hướng dẫn học sinh giải phương trình tích tơi nhận thấy chưa cụ thể, đặc biệt chưa quan tâm nhiều đến bước hướng dẫn học sinh đến kiến thức trình bày giải Chưa khai thác sâu em học sinh khả tư logic, mối liên hệ phương trình q trình biến đổi phương trình phương trình tích Các chuyên đề khác đưa cho em dạng tốn giải, thiếu tính logic từ dễ đến khó, chưa nâng mức độ khó tốn lên cao dần 2.2.Thành cơng – hạn chế * Thành công: - Giáo viên bồi dưỡng kiến thức phương trình từ đơn giản đến phương trình bậc cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi văn hóa, học sinh giỏi Tốn Internet Tốn Casio Nâng cao kĩ đứng lớp truyền đạt kiến thức cách khéo léo Tích lũy cho thân nhiều phương pháp đổi dạy học - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập, cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống, em nắm dạng tập phương pháp giải phương trình tích toán liên quan - Đã gợi say mê học tập em học sinh - Là bước khởi đầu để em vận dụng tốt cho dạng toán giải toán cách lập phương trình, bất phương trình lớp dạng toán lên lớp Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích * Hạn chế: - Số tiết thực giảng dạy phương trình tích phương trình đưa dạng tích hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp để luyện tập giải phương trình cịn ít, dạng tập sách giáo khoa sách tập đa dạng nhiều dạng phương trình khác nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan đến phương trình tích cịn khó khăn Do có tốn học sinh cịn bỡ ngỡ chưa biết cách giải Hoặc bắt đầu hiểu tốn chưa củng cố phải chuyển sang dạng tốn khác, điều khiến em nhớ kiến thức vận dụng chưa sâu, chưa thành thạo - Các tài liệu tham khảo mang chuyên đề rộng, tài liệu viết riêng chủ đề nên việc tìm tài liệu tham khảo, chọn lọc tốn học sinh nhiều thời gian 2.3 Mặt mạnh – mặt yếu * Mặt mạnh: Với cách thiết lập tập theo thứ tự từ dễ đến khó khó dần, từ đơn giản đến bậc cao, lồng ghép ví dụ cụ thể, với hướng dẫn giải giáo viên tạo cho người đọc dễ hiểu, dễ vận dụng Học sinh dễ tham khảo khơng có hướng dẫn giáo viên Đã kết hợp đổi phương pháp dạy học tốn để học sinh tiếp cận với kiến thức cách nhanh nhất, vận dụng linh hoạt vào giải toán Khi học sinh lớp học tốt dạng tốn phương trình tích phương trình đưa dạng tích, học sinh tư tốt dạng toán khác giải toán cách lập phương trình, bất phương trình Tao cho vốn kiến thức vững vàng lên lớp Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên kết hợp cho học sinh sử dụng máy tính bỏ túi, phương pháp sơ đồ Hoocner, để đốn nghiệm phương trình từ tìm hướng giải tốn Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt, nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho thân Đa số giáo viên nhiệt tình cơng tác giảng dạy, học sinh ham học Cơ sở vật chất đầy đủ, đồ dung học tập phong phú Vì đề tài thực với khả tiếp thu học sinh tốt, học sinh mở rộng kiến thức với phương trình bậc cao đưa dạng phương trình tích * Mặt yếu: Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Trong lớp lực học em không đồng nên mức độ tiếp thu kiến thức khả vận dụng chưa cao Thời gian để em giải phương trình đưa dạng tích nhiều thời gian Thao tác thực em thiếu tính logic xác 2.4 Các nguyên nhân, yếu tố tác động Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn, tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt Bởi em hiểu sai phương trình tích tạo cho em cảm giác khơng muốn giải phương trình này, cảm giác giải sai phương trình từ dần đam mê học tốn Xuất phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi giáo vên khơng thể bỏ qua dạng tốn cho học sinh, sở để em tự tin giải phương trình bậc cao 2.5 Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt Trước đây, để dạy cho học sinh giải phương trình tích, tơi thường lấy ví dụ cho học sinh phương trình tích dạng đơn giản(A(x).B(x) = 0) đưa tập tương tự Vì học sinh thường hiểu máy móc làm rập khuôn theo cách giải giáo viên, không chủ động tư tìm tịi kiến thức, nên gặp dạng phương trình bậc hai, bậc ba,… học sinh phân tích hạng tử có chứa ẩn thành nhân tử, hạng tử tự chuyển vế sang vế phải phương trình, dẫn đến hiểu sai giải sai tốn Trong q trình làm tập đề thi có chứa phương trình dạng đưa phương trình tích học sinh thường gặp khó khăn khơng tự tin giải, bước trình bày giải lũng củng, thiếu tính xác Vậy giáo viên khơng làm thay đổi lối tư học sinh, khiến em giải tốt dạng tốn đưa phương trình tích Từ đó, thay đưa kiến thức trực tiếp đến học sinh dành thời gian cho học sinh học kiến thức đưa phương trình khó dần có liên quan logic đến kiến thức cũ “theo bậc thang” Và thực tế, nhận thấy em niềm vui hiểu giải dạng toán nâng cao dần Giải pháp, biện pháp 3.1 Mục tiêu giải pháp, biện pháp Trong thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy thân giáo viên rập khuôn dạy cho tất đối tượng học sinh, điều đem lại cho giáo viên sản phẩm người rập khn, máy móc, thiếu chủ động tư duy, “ nghe – làm theo” tạo cho em đặt niềm tin hồn tồn vào giáo viên, khơng tự đặt câu hỏi lại vậy? điều có không? Làm để vậy? làm cách khác có khơng? Làm có tác dụng gì? Áp dụng vào đâu? Vì vậy, tơi nau náu mong muốn tiết dạy làm sao, phương pháp để đưa Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích em rõ gốc vấn đề, kiến thức từ khơi lên em niềm vui đam mê giải phương trình tích, lẽ khơng phải dạng tốn khó, khơng phải qua dễ để em hời hợt, chủ quan Giải tốt dạng toán hành trang kiến thức để phần giúp em đến với lớp Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Để đạt điều này, chọn giải pháp cho học sinh tiếp cận với kiến thức từ đơn giản sách giáo khoa toán đến kiến thức cố sách tập toán kiến thức nâng cao sách tham khảo nhằm mục đích đưa đến em cách tư đầy đủ logic để em thấy lôi tốn, từ có động lực để làm toán 3.2 Nội dung cách thực giải pháp, biện pháp Để giảng phương trình tích phương trình đưa dạng tích đạt hiệu tốt nhất, trước tiên đặt yêu cầu học sinh sau: 3.2.1 Lí thuyết: - Các em cần nắm kiến thức chính: Phương trình tích có dạng: A(x).B(x) = - Nắm dạng phương trình đưa phương trình tích: phương trình bậc hai ẩn, phương trình trùng phương, phương trình chứa mẫu, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình đối xứng, … 3.2.2 Kĩ năng: - Các em biết dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm phương trình từ đơn giản đến phức tạp Việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi trước thực bước giải phương trình, em nhận biết nghiệm, thơng qua định hướng cách giải Điều giúp học sinh không bị lúng túng phát giải sai, phải giải lại toán từ đầu để giành thời gian cho tập - Rèn học sinh kĩ nhận biết phương trình định hướng cách giải phương trình tích Các ví dụ từ phương trình dạng phương trình tích đến phương trình khó theo mức độ tăng dần Đưa phương pháp hướng dẫn giáo viên hướng dẫn học sinh trình bày tốn Các ví dụ đưa khơng nhằm mục đích giải tốn, mà cịn ví dụ để giáo viên định hình bước làm cho học sinh - Rèn học sinh kĩ năng giải phương trình dạng tích có sẵn: hướng dẫn học sinh giải phương trình tích sách giáo khoa toán tập II (củng cố sau tiết dạy kiến thức Phương trình tích), giáo viên đưa thêm số tập sách tập toán tập II Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích - Rèn học sinh nhận biết phương trình đơn giản đưa phương trình tích cách biến đổi quy tắc chuyển vế, phân tích thành nhân tử, … (Bài tập sách giáo khoa sách tham khảo toán 8) - Đến dần với hệ thống tập đưa dạng tích cách tư học sinh thêm, bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, đẳng thức,…: Bài tập sách tham khảo Toán nâng cao chuyên đề đại số 8, Toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số, Bồi dưỡng học sinh giỏi đại số (giáo viên lồng ghép tập phù hợp với đối tượng học sinh giỏi) - Sau học sinh hiểu vận dụng giải phương trình trên, giáo viên mở rộng thêm cho học sinh phương trình bậc cao với cách giải Ở đây, cần yêu cầu học sinh đạt là: nhận dạng phương trình, nắm rõ bước giải, thao tác giải xác, trình bày giải logic - Với dạng, giáo viên gợi mở cho học sinh suy luận, giải sửa giải học sinh, sau giải đưa tập vận dụng 3.2.3 Vận dụng: a Cách sử dụng máy tính bỏ túi để đốn nghiệm phương trình Khi nhìn vào phương trình, có phương trình học sinh đốn nhận giá trị nghiệm Nhưng với phương trình phức tạp hơn, bậc cao kĩ sử dụng máy tính quan trọng Điều giúp em tự tin để giải phương trình Tơi hướng dẫn em sử dụng hai loại máy tính mà em hay sử dụng fx - 500 MS fx – 570VN PLUS + Đối với máy tính fx - 500 MS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra nghiệm hai cách Cách 1: (Chỉ dùng cho phương trình đưa dạng ax + bx + c = ax3 + bx2 + cx + d = 0) ON -> MODE -> MODE -> -> PHÍM mũi tên sang phải -> (chọn phương trình bậc 2) (chọn phương trình bậc 3) + Đối với máy tính fx – 570VN PLUS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra nghiệm theo hai cách: Cách 1: (Chỉ dùng cho phương trình đưa dạng ax + bx + c = ax3 + bx2 + cx + d = 0) ON -> MODE -> -> 3(chọn phương trình bậc 2) (chọn phương trình bậc 3) Cách 2: ON -> bấm phương trình phím ALPHA X (để biểu diễn ẩn) -> SHIFT SOLVE Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm phương trình 2x2 – 5x + = Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Với máy tính fx – 500 MS: ON -> MODE -> MODE -> -> PHÍM mũi tên sang phải -> -> Phím -> Phím mũi tên xuống phím ‘’=” (trên máy tính hiển thị a? ) -> phím – (trên máy tính hiển thị b?) -> Phím mũi tên xuống -> Phím (trên máy tính hiển thị c?) -> “ = ’’ Lúc máy tính hiển thị nghiệm phương trình x1 = 1,5 ; x2 = Với máy tính fx – 570VN PLUS: Học sinh bấm: MODE -> -> -> (tương ứng với giá trị a) -> phím “ =” mũi tên sang phải -> - (tương ứng với b) -> phím “ = “ -> (tương ứng với c) -> lần phím “ =” Lúc máy tính hiển thị nghiệm phương trình x = x2 = Hoặc học sinh bấm: (giáo viên hướng dẫn bấm phím x cách ALPHA -> Phím ) ) Từ học sinh việc bấm phương trình phương trình để tìm giá trị x b Nắm dạng tổng qt phương trình tích cách giải phương trình tích Giáo viên cần đưa mục tiêu cần đạt tất học sinh phải nắm dạng giải tốt 100% Đầu tiên, giáo viên nhắc lại cho học sinh kiến thức bản: Một tích nào? Trong tích có thừa số tích có hay khơng? Phương trình tích có dạng A(x)B(x) = A(x), B(x) đa thức biến x Để giải phương trình A(x)B(x) = ta giải hai phương trình A(x) = B(x) = lấy tất nghiệm hai phương trình Ví dụ : Giải phương trình : (3x – 2) (4x + 5) = ( I ) (Bài 21- Trang 17/sgk toán tập II) Khi đưa ví dụ này, có luồng ý kiến trái chiều như: toán đơn giản, khơng thiết phải đưa Hay tốn phù hợp với học sinh trung bình, yếu Nhưng theo tôi, bỏ qua kiến thức Học sinh có hiểu rõ “ gốc’’ vấn đề tư logic chặt chẽ Với tốn trên, tơi đặt u cầu tất học sinh phải làm được, làm tốt Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: dạng phương trình tích (Phương Ta có: ( 3x – ) (4x + ) = pháp phát hiện) ⇔ 3x – = 4x + = + Giáo viên cần hướng cho học sinh Giáo viên: Dương Thị Nga Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích nhận dạng A(x) B(x) Với 3x -2 = ⇔ 3x = ⇔ x = toán: 3x – 4x + + Học sinh cần giải phương Với 4x + = ⇔ 4x = -5 ⇔ x = −5 trình để giải toán: 3x – = 4x + = Vậy tập nghiệm phương trình (I) + Phương trình (I) có −5 nghiệm? Liệt kê nghiệm phương S = ; trình (I) + Học sinh viết tập nghiệm phương trình + Yêu cầu học sinh kiểm tra nghiệm phương trình máy tính Giải phương trình gọi giải phương trình tích c Nắm dạng tổng qt phương trình tích với nhiều nhân tử Với toán trên, giáo viên cần sử dụng phương pháp thuyết trình, vấn đáp trị để giải vấn đề Điều giúp em bước nắm kiến thức toán Bài tốn cịn giúp em rèn kĩ trình bày giải phương trình tích Từ tốn cụ thể, giáo viên dần hình thành cho học sinh tốn tổng qt Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau: Để giải phương trình tích A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = (II) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A(x ) = (1) A(x ) = (2) …………………… A (x n ) = (n) Nghiệm phương trình (1) ; (2) …….(n) nghiệm phương trình (II) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình (II) Ví dụ 2: Giải phương trình ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = ( Bài 21 – trang 17/sgk toán tập II) Giáo viên: Dương Thị Nga 10 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Qua ví dụ, giáo viên củng cố cho học sinh đưa phương trình dạng phương trình tích, học sinh cần : + Chuyển vế hạng tử vế phải sang vế trái, để vế phải + Phân tích vế trái thành nhân tử + Giải phương trình tích * Bài tập tương tự : giải phương trình (Bài tập 22 ; 23/sgk 28/ SBT toán tập II) a) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = ; b) x(2x – 7) – 4x + 14 = c) (x – 1)(5x + 3) = (3x -8)( x – 1) ; d) (2x – 1)2 + (2 – x )(2x – 1) = e) (2x2 + 1)(4x – ) = (2x2 + 1) (x – 12) ; f) ( x + 2) (3 – 4x) = x2 + 4x + g) 3x – 15 = 2x(x – 5) ; h) x – = x( 3x – 7) 7 e Đối với phương trình bậc cao Nâng cao thêm cho học sinh, với phương trình học sinh khơng nhận thấy nhân tử chung, làm để đưa phương trình dạng phương trình tích ? Ví dụ 5: Giải phương trình x2 - 5x + = Khi gặp phương trình này, nhận thấy em thường tách hạng tử -5x nào, có dùng máy tình kiểm tra nghiệm muốn ghi trực tiếp nghiệm cách tách Vì vậy, theo tơi học sinh cần thực sau : + Đối với phương trình có dạng ax2 + bx + c = Giáo viên hướng dẫn em tìm nghiệm máy tính + Sau nghiệm, đổi dấu nghiệm đem nhân với hệ số a Kết nhân với x Đó hai giá trị tách từ bx Tức x1 = đổi dấu thành -3 đem nhân với a = ta hạng tử tách -3x Còn x2 = đổi dấu thành -2 đem nhân với a = ta hạng tử tách -2x Vậy -5x tách thành -3x -2x Phần việc lại học sinh dễ dàng để hoàn thành Giáo viên: Dương Thị Nga 14 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: xét phương trình trước (đây Ta có: x2 - 5x + = khơng phương trình tích) ⇔ x2 – 2x – 3x + = + Học sinh dùng máy tính kiểm tra ⇔ x (x – 2) – 3( x – 2) = nghiệm phương trình + Giáo viên để hướng mở cho học ⇔ (x – 3)(x – ) = ⇔ x – = x – = sinh suy luận hướng giải toán + Giáo viên hướng dẫn học sinh Với x -3 = ⇔ x = cách tách – 5x thành -2x -3x Với x -2 = ⇔ x = + Hướng dẫn học sinh phân tích vế Vậy tập nghiệm phương trình trái thành nhân tử S = { 2;3} + Hướng dẫn học sinh giải tốn Qua ví dụ, với phương trình có dạng bậc hai mà học sinh khơng nhận thấy nhân tử chung Cần: + Đưa phương trình dạng ax2 + bx + c = + Tách hạng tử bx thành mx nx cho bx = mx + nx ( cho phân tích thành nhân tử vế trái phương trình, giáo viên hướng dẫn học sinh sử sụng máy tính bỏ túi xác định nghiệm tách dựa vào nghiệm) + Đưa phương trình dạng phương trình tích + Giải phương trình tích Ngồi ra, học sinh dùng sơ đồ Hoocner để giải phương trình bậc cao, nhẩm nghiệm, đặc biệt với nghiệm nguyên Sau dùng máy tính đốn nghiệm phương trình x2 – 5x + = x = m=2 a=1 b = -5 c=6 F1 = a = F2 = m.F1+ b F3 = m.F2+ c = -3 =0 Chú thích: Với giá trị F3 = m = gọi nghiệm phương trình Khi phương trình (*) ⇔ (x – m)(F1x +F2) = ⇔ (x – 2)(x – 3) = Giáo viên: Dương Thị Nga 15 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Dễ dàng giải x = x = nghiệm phương trình * Bài tập tương tự: Giải phương trình: ( Bài 30/SBT toán tập II) a) x2 - 3x +2 = ; b) – x2 + 5x – = c) 4x2 – 12x + = ; d) 2x2 + 5x + = -2 e) x2 – 3x = - 4x + 2; f) (x +1) (x + 2) = x( – x) Khi đến với dạng này, học sinh giải tốt Điều tương ứng với việc học sinh giải phương trình linh hoạt giáo viên đưa đến tiếp cho học sinh dạng tốn khó đưa phương trình tích Ví dụ 6: Giải phương trình : x3 + 3x + x = Đối với phương trình bậc cao (bậc 3) học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên yêu cầu học sinh Giải: nhận xét phương trình trước 2 (đây khơng phương trình tích) Cách : x + x + x = ⇔ x ( x + 3x + ) = + Yêu cầu học sinh dùng máy tính ⇔ x ( x + x + x + ) = (tách 3x = x + 2x ) tìm nghiệm phương trình ⇔ x ( x + x ) + ( x + ) = (nhóm hạng tử ) + Hướng dẫn học sinh phân tích vế trái phương trình thành ⇔ x x ( x + 1) + ( x + 1) = (đặt nhân tử chung) nhân tử +Đưa phương trình cho ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = (đặt nhân tử chung) dạng phương trình tích ⇔ x = x = -1 x = -2 + Giải phương trình tích Vậy nghiệm phương trình : + Một nghiệm phương trình có giá trị nghiệm máy S = { 0; −1; −2} tính tìm Cách2: x3 + 3x + x = ⇔ x + x + x + x = + Ngoài ra, học sinh dùng (tách 3x = x + x ) sơ đồ Hoocner để giải toán ⇔ (x3+x2)+(2x2+2x)=0 ⇔ ( x + 1) ( x + x ) = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = (đặt nhân tử chung ) ⇔ x =0 x = -1 x = - Giáo viên: Dương Thị Nga 16 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} Ngồi ra, gặp phương trình chưa ẩn mẫu, học sinh có trường hợp phải đưa phương trình phương trình tích Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác đa thức f Đối với phương trình chứa mẫu, chứa ẩn mẫu Ví dụ 7: Giải phương trình : Hướng dẫn giáo viên x+2 − = x − x x ( x − 2) (I) Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Yêu cầu học sinh tìm điều kiện x+2 − = Ta có : xác định phương trình x − x x ( x − 2) + Học sinh dùng máy tính tìm Điều kiện xác định phương trình : 1nghiệm phương trình x x ≠ x ≠ = -1 ⇔ x − ≠ + Học sinh cần thực quy x ≠ đồng mẫu thức phân thức x+2 hai vế phương trình − = Giải : Ta có ( I ) ⇔ x − x x ( x − 2) Bài toán giúp học sinh rèn kĩ tìm ĐKXĐ phương trình, quy đồng phân thức, nhân đơn thức ⇔ ( x + ) x − ( x − ) = x ( x − 2) x ( x − 2) với đa thức, quy tắc dấu ngoặc giải phương trình tích (quy đồng mẫu thức phân thức hai vế + Học sinh thu gọn phương trình phương trình khử mẫu) sau khử mẫu phương ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x2 + 2x − x + = trình + Học sinh dùng phương pháp (sử dụng phương pháp nhân đơn thức với đa thức phân tích đa thức thành nhân tử quy tắc dấu ngoặc) (đặt nhân tử chung) đưa phương ⇔ x2 + x = trình phương trình tích ⇔ x ( x + 1) = ⇔ x = x = -1 Giáo viên: Dương Thị Nga 17 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = khơng thỏa mãn điều kiện Do nghiệm phương trình : S = { −1} *Bài tập tương tự: Giải phương trình : a) ( x − 11) x−2 ; − = x+2 x−2 x −4 13 x +1 c) ( x − 3) ( x + ) + x + = x − ; d) 2− x 1− x x −1 = − ; 2001 2002 2003 f) e) x −1 b) x + x + − x − x + = x x + x + ( ) x2 − + = x −1 x −1 x + x + x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 g Đối với phương trình bậc cao(dành cho học sinh khá, giỏi) Ví dụ 8: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải phương trình : (Sách tốn nâng cao toán tập II) (x + 1)(x + 2) (x + )(x + 4) - 120 = Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có: xét phương trình trước (đây (x + 1)(x + 2) (x + )(x + 4) - 120 = (*) khơng phương trình tích) ⇔ (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) -120 = + Giáo viên để hướng mở cho học Đặt t = x2 + 5x + (hướng dẫn học sinh sinh suy luận hướng giải toán cách đặt ẩn phụ khác) + Yêu cầu học sinh dùng máy tính Ta có :(*) ⇔ t(t + 2) -120 = tìm nghiệm phương trình + Có thể học sinh nhận thấy quy luật ⇔ t + 2t – 120 = toán, chưa làm Giải t = 10 t = -12 quen với cách giải (Có thể học sinh Với t = 10 ta có x2 + 5x + = 10 dùng máy tính để kiểm tra nghiệm ⇔ x2 + 5x – = phương trình) + Khi học sinh chưa tìm ⇔ (x – 1)( x + 6) = hướng giải, giáo viên gợi mở ⇔ x= x = -6 vấn đề.(phương pháp đặt ản phụ) Với t = - 12 ta có x2 + 5x + = -12 + Với phương pháp đặt ẩn phụ, học ⇔ x2 + 5x + 16 = (1) sinh đặt khác Nhưng Giáo viên: Dương Thị Nga 18 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích 49 giáo viên cần định hướng cho học ⇔ (x + )2 + =0 sinh nhìn nhận tốn định hướng giải Điều giúp em tư 49 49 logic tạo cho em suy nghĩ Vì(x + ) + ≥ > nên phương trình(1) vơ tích cực giải tốn nghiệm + Với toán, giáo viên cố Vậy tập nghiệm phương trình (*) S = cho học sinh quy tắc nhân đa thức, { −6;1} biện luận để chứng minh phương trình vơ nghiệm + Ngồi ra, học sinh dùng sơ đồ Hoocner để giải tốn Chuyên đề giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ chuyên đề rộng với nhiều dạng toán khác Vì tơi đưa số dạng toán mà em hay gặp (đối với học sinh khá, giỏi) Ví dụ 9: Giải phương trình ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số) Nếu đột ngột giải toán đơn giản, giáo viên đưa tốn ví dụ 7, chắn học sinh trung bình, khó tiếp cận Nhưng sau tập củng cố trên, học sinh làm quen dần với dạng tốn khó dần, em đặt cho phương pháp có cịn sử dụng để giải phương trình hay khơng? Có cách giải nhanh khơng? Đó lúc giáo viên gợi mở vấn đề cho học sinh khiến em bị lôi theo kiến thức toán ham muốn giải toán Nếu học sinh thực quy tắc nhân đa thức, làm cho bậc đa thức cao (phương trình bậc cao) việc làm cho giải phương trình khó Vì vậy, cần nhấn mạnh học sinh quan sát kĩ toán, để thấy ý đồ tác giả để phương trình dạng đa cho giúp gì? … Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có: xét phương trình trước (đây ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (*) khơng phương trình tích) ⇔ (x2 – 4)(x2 – 10 ) = 72 + Giáo viên để hướng mở cho học Đặt y = x2 - (Hướng dẫn học sinh cách sinh suy luận hướng giải toán đặt ẩn phụ khác, a = x2; …) + Với toán học sinh cần biến đổi phương trình dạng tích, Ta có :(*) ⇔ (y + 3) (y - 3) = 72 cách đặt ẩn phụ (áp dụng Giáo viên: Dương Thị Nga 19 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích đẳng thức) ⇔ y2 – 81 = ( dùng đẳng thức đưa Khi đặt ẩn phụ, để đưa toán phương trình dạng phương trình tích) dạng dễ giải, giáo viên hướng Giải y = y = - học sinh tính trung bình cộng Với y = ta có x2 - = x2 – x2 – 10 x2 – ⇔ x2 - 16 = + Với toán này, giáo viên giúp ⇔ x= ±4 học sinh hình thành thêm kiến thức phương pháp đặt ẩn phụ, rèn học Với y = - ta có x -7 = - sinh kĩ giải phương trình tích, ⇔ x2 = -2 ( vơ lí) (1) … nên phương trình(1) vơ nghiệm +Ngồi giải tốn Vậy tập nghiệm phương trình (*) sơ đồ Hoocner S = { ±4} Qua đó, để đặt ẩn phụ cho phương trình (x + a) n + (x + b)n = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + a+b Sau đưa phương trình dạng phương trình biết giải phương trình Đối với phương trình bậc cao, học sinh cần luyện lại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ,… * Bài tập tương tự: Giải phương trình (Bài tập sách tốn nâng cao chuyên đề đại số 8; sách toán bồi dưỡng họ sinh lớp đại số) a) (2x2+ 3x – 1)2 – 5(2x2+ 3x +3) + 24 = b) (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 40 c) (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4 d) ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16 h Đối với phương trình đối xứng(trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi) Ví dụ 10 : Giải phương trình x – 3x3 + 4x2 – 3x + = ( Bài tập sách toán bồi dưỡng học sinh lớp đại số) Với tốn phương trình bậc cao (phương trình đối xứng) a0x2n + a1x2n-1 + + an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 + + a1x + a0 = (*) với a ≠ Nếu x = khơng nghiệm phương trình (*) ta chia hai vế phương trình cho xn ≠ n n −1 (*) ⇔ a x + a1x + + a n −1x + a n x + Giáo viên: Dương Thị Nga a n −1 a + + 0n = x x 20 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích n n −1 ⇔ a x + n ÷+ a1a x + n −1 ÷+ + a n = = x x Đặt y = x + ta đưa phương trình phương trình bậc n với ẩn y x Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Đầu tiên cần cho học sinh dùng Giải: Ta có: máy tính tìm nghiệm phương x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = (*) trình x = x = khơng nghiệm phương trình (*) + Giáo viên giúp học sinh đưa nên ta chia hai vế phương trình cho x ta phương trình dạng phương trình được: mà em học + Hướng dẫn học sinh chia hai vế x – 3x + - x + x = phương trình cho x2 ( khác 0) 1 + Sau đó, hướng học sinh đặt ẩn phụ ⇔ (x + x ) – 3(x + x ) + = để đưa phương trình phương 1 trình tích, phương trình học Đặt y = x + y2 = x2 + + x x + Để hướng dẫn học sinh hoàn thành tập, giáo viên cần hướng Nên x2 + 12 = y2 - x dẫn học sinh bước giải tốn thơng qua phương pháp thảo luận (*) ⇔ y2 – – 3y + = nhóm (theo bàn theo nhóm) ⇔ y2 – 3y + = (Đưa phương trình dạng học sinh dùng phương pháp tách để giải) ⇔ ( y – 1) ( y – ) = (phương trình tích) ⇔ y = y = - Với y = ta có x + =1 x Quy đồng khử mẫu ta x2 – x + = 0( phương trình vơ nghiệm) - Với y = ta có x + =2 x Hay (x – 1)2 = ⇔ x = Vậy phương trình (*) có tập nghiệm S = { 1} Giáo viên: Dương Thị Nga 21 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Với ví dụ trên, học sinh thấy với tốn dạng phương trình đối xứng, học sinh làm quen thêm với phương pháp giải Nếu không chia cho x2 khơng đặt ẩn phụ việc giải tốn thật khó khăn Vì em nhận thấy đa dạng phương trình, lơi tốn học qua tạo cho em long ham thích học tốn Ví dụ 11: Giải phương trình 5x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + = Học sinh dùng máy tính bỏ túi thấy phương trình vơ nghiệm Học sinh nhận thấy hệ số lũy thừa 5x4 5; 4x3 4x đối xứng Để giải toán, học sinh thấy x = khơng nghiệm phương trình Nên ta chia hai vế phương trình cho x2 Bài toán giúp học sinh rèn kĩ thực phép chia, bình phương hai vế phương trình, giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ, tách hạng tử, … Hướng dẫn giáo viên Hướng dẫn học sinh cách trình bày giải + Giáo viên giúp học sinh đưa Giải: Ta có: phương trình dạng phương trình 5x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + = (*) mà em học x = khơng nghiệm phương trình (*) + Hướng dẫn học sinh chia hai vế nên ta chia hai vế phương trình cho x phương trình cho x2 ( khác 0) ta được: + Sau đó, hướng học sinh đặt ẩn phụ để đưa phương trình phương 5x + 4x + + x + x = trình tích, phương trình học 1 Vậy phương trình tích ⇔ 5(x + x ) + 4(x + x ) + = phương trình trung gian để học sinh dễ dàng giải phương Đặt y = x + y2 = x2 + 12 + x x trình bậc cao, phức tạp + Phương pháp vận dụng Nên x2 + 12 = y2 - x phương pháp đọc sách tài liệu, phương pháp thực nghiệm (*) ⇔ 5y2 - 10 + 4y + = ⇔ 5y2 +4y -1 = (Đưa phương trình dạng học sinh dùng phương pháp tách để giải) ⇔ ( y+ 1) ( 5y – 1) = ( phương trình tích) ⇔ y = - y = Giáo viên: Dương Thị Nga 22 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích - Với y = -1 ta có x + = -1 x Quy đồng khử mẫu ta x2 + x + = 0( phương trình vơ nghiệm) - Với y = 1 ta có x + = x Hay 5x2 – x + nghiệm) = ( phương trình vơ Vậy phương trình (*) vơ nghiệm * Bài tốn tương tự: giải phương trình (Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán đại số) a) 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + = b) x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + = c) 3x4 – x3 + 2x2 – x + = Có thể thấy rằng, nói phương trình chun đề rộng phương trình tích gắn liền với dạng phương trình khác mà học sinh học Vì vậy, việc giúp cho em có kiến thức để giải phương trình từ đơn giản đến phức tạp vấn đề mà người giáo viên cần biết cách chọn lọc kết hợp để phù hợp với khả em Phương trình tích đóng vai trò quan trọng, cầu nối giúp em giải tiếp phương trình dạng khác 3.3 Điều kiện thực giải pháp, biện pháp - Được góp ý bổ sung thành viên tổ mơn q trình dự góp ý trao đổi kinh nghiệm, thân thấy đề tài áp dụng cho học sinh lớp đại trà học sinh khá, giỏi học sinh khối 8; - Thực trình trực tiếp giảng dạy thông qua tiết học lớp; tiết giải tập - Ngoài ra, giáo viên áp dụng biện pháp tổ chức thực tập trung phân theo nhóm đối tượng học sinh (theo chuyên đề) bồi dưỡng học sinh giỏi - Các tiết chuyên đề, thao giảng, hội giảng hay thi giáo viên dạy giỏi 3.4 Mối quan hệ giải pháp, biện pháp Với phương pháp nêu phương pháp biến đổi giải phương trình tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy Giáo viên: Dương Thị Nga 23 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích đồng mẫu khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế; nhóm quy đồng đưa hạng tử có tử giống để đặt nhân tử chung, …thì có mục đích chung bước trung gian để đưa phương trình dạng phương trình tích, để đạt hiệu tốt nhất, theo xem nhẹ giảng lướt qua kiến thức Vì với toán mức độ đơn giản quy tắc nhân đa thức, quy tắc dấu ngoặc, đặt nhân tử chung hỗ trợ toán Chỉ cần hiểu sai trình bày sai phương pháp làm ảnh hướng đến q trình giải tốn Hay với tốn khó cần sử dụng đến phương pháp tách hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ bước mở đầu gợi mở cho học sinh hướng giải để đưa phương trình dạng đơn giản tiếp tục sử dụng phương pháp ban đầu (đặt nhân tử chung, nhân đa thức, quy tắc dấu ngoặc, …) Điều chứng minh dù học sinh có lực học trung bình, hay khá, giỏi điều em phải vận dụng đúng, xác phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích, bước làm quan trọng ban đầu để vận dụng phương pháp khác 3.5 Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Trên số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình tích học sinh khối Được ứng dụng số phương pháp biến đổi khác trình giải để đưa phương trình dạng phương trình tích Khi chưa thực theo giải pháp đưa ra, học sinh làm phương trình dạng đơn giản, với khó dần theo mức độ khác học sinh khơng trình bày được, có làm chưa chặt chẽ Qua trình thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp Kết trước sau thực kinh nghiệm dạy phương trình tích tích cực, học sinh ý với việc giải dạng phương trình khác Quá trình giải phương trình học sinh xác Học sinh chủ động tư với kiến thức giáo viên đưa Và lực học học sinh tiến rõ rệt Cụ thể với phiếu tập nhau, kiểm tra với nhóm học sinh, với học sinh học giảng dạy bình thường học sinh học thực theo đề tài kết thu sau: * Đề bài: Giải phương trình a) ( 4x + 2) (x2 + 1) = 0; c) b) x2 - 3x +2 = x2 − + = ; x −1 x −1 x + x + d) 3x4 – x3 + 2x2 – x + = Kết thu được: Số học sinh Vận dụng chưa tốt Vận dụng tốt Nhóm (phương pháp cũ) 27 10 Giáo viên: Dương Thị Nga 24 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích 37 Nhóm (phương pháp mới) 14 23 37 * Nhóm 1: (nhóm học sinh học theo phương pháp thông thường) Kết chưa cao, đa số em làm bản, phương trình chứa ẩn mẫu, phương trình bậc * Nhóm 2: (nhóm học sinh học theo phương pháp mới) Các em vận dụng tốt kiến thức vào giải, với phương trình bậc cao em vận dụng máy tính linh hoạt, thao tác giải xác Cụ thể, tơi lấy hai để so sánh trình học sinh vận dụng kiến thức Bài làm học sinh học theo phương pháp thông thường Bài làm học sinh học theo nội dung đề tài Kết thu qua khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu * Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích phương trình đưa dạng tích Giáo viên: Dương Thị Nga 25 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Khảo sát hai lớp 8A4; 8A5 sau: Lớp SL GIỎI KHÁ TB SL TL YẾU KÉM SL SL SL TL SL TL SL TL 8A4 37 0% 24,3% 18 48,6% 10 27% 0% 8A5 37 13,5% 20 54,1% 12 32,4% 0% 0% Kết sau thực giảng dạy phương pháp giải phương trình tích phương trình dạng tích là: Lớp SL GIỎI KHÁ SL TB TL SL TL YẾU KÉM SL SL SL TL SL TL 8A4 37 13,5% 15 40,5% 14 45,9% 8,1% 0% 8A5 37 17 45,9% 20 54,1% 0% 0% 0% Điều cho thấy, việc vận dụng phương pháp giải phương trình tích theo trình tự từ dễ đến khó dần giúp cho học sinh có cách nhìn tích cực tiến học tập Qua bảng thống kê, lớp 8A4 cịn tình trạng học sinh vận dụng giải phương trình tích chưa tốt, vì: mức tiếp thu em cịn chậm, số lượng học sinh lớp đông số tiết dạy thời gian luyện tập nên chưa theo sát tìm lỗi hổng kiến thức em Đồng thời, việc tự rèn giải phương trình nhà em cịn III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu quả, giúp em thay đổi tư duy, nhận thức nhanh giải toán tốt Các em biết việc giải tốt phương trình tích phương trình đưa dạng tích giúp em nhiều việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Trên thực tế cịn nhiều dạng phương trình khác đưa phương trình tích để giải phương trình hồi quy, phương trình phản thương, …Nhưng với kiến thức chương trình lớp nên đưa số dạng thường gặp để học sinh làm quen Chắc chắn nhiều thiếu sót hạn chế 2.Kiến nghị Giáo viên: Dương Thị Nga 26 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích - Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Gia đình cần tạo điều kiện thuận lợi để em có thời gian điều kiện để làm quen với toán khác sách tham khảo, thực tế buổi chuyên đề - Thư viện nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo phương trình đa dạng để học sinh dễ dàng tìm hiểu - Chun mơn nhà trường tổ môn tổ chức nhiều tiết chuyên đề, hội giảng, thao giảng môn để giáo viên bồi dưỡng lực học hỏi kinh nghiệm giảng dạy Buôn Trấp, tháng năm 2016 Người viết Dương Thị Nga NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Giáo viên: Dương Thị Nga 27 Trường THCS Lương Thế Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích Lý chọn đề tài 1-2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài a Mục tiêu b Nhiệm vụ Đối tượng nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 2-3 II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận Thực trạng 2.1 Thuận lợi - khó khăn 3-4 2.2 Thành công - hạn chế 4-5 2.3 Mặt mạnh - mặt yếu 5-6 2.4 Các nguyên nhân, yếu tố tác động 2.5 Phân tích, đánh giá vấn đề thực trạng mà đề tài đặt Giải pháp, biện pháp 3.1 Mục tiêu giải pháp, biện pháp 6-7 3.2 Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp 7-23 3.3 Điều kiện để thực biện pháp, biện pháp 23 3.4 Mối quan hệ giải pháp, biện pháp 23-24 3.5 Kết khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu 24-25 Kết thu qua khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu 26 III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 26 Kết luận 26-27 Kiến nghị 27 Giáo viên: Dương Thị Nga 28 Trường THCS Lương Thế Vinh .. .Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng tốn giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích viên, em học sinh dễ dàng đưa phương trình dạng phương trình tích tìm nghiệm. .. Vinh Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp học tốt dạng toán giải phương trình tích phương trình đưa dạng phương trình tích * Hạn chế: - Số tiết thực giảng dạy phương trình tích phương trình đưa dạng. .. dụng linh hoạt vào giải toán Khi học sinh lớp học tốt dạng tốn phương trình tích phương trình đưa dạng tích, học sinh tư tốt dạng toán khác giải tốn cách lập phương trình, bất phương trình Tao cho