Hh9 chuyên đề 3 góc với đường tròn (54 trang)

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | CHUYÊN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I GÓC Ở TÂM – SỐ ĐO CUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Góc tâm: Là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn Số đo cung: + Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung + Số đo cung lớn hiệu 360° số đo cung nhỏ (có chung mút với cung lớn) So sánh cung: + Hai cung gọi chúng có số đo + Trong cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Trên hình 1: Góc AOB gọi góc tâm chắn cung nhỏ AB (hay AmB ) Ta có: sđAmB AOB, sñAnB 360  AOB Điểm thuộc cung tròn:  Nếu C điểm nằm cung AB sđAB sđAC  sđCB II LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG Với cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng cung Với cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Cung lớn căng dây lớn + Dây lớn căng cung lớn Trên hình 2: AB CD  AB CD AB  EF  AB  EF III GÓC NỘI TIẾP Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa dây cung đường trịn Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn + Trong đường trịn: Các góc nội tiếp chắn cung + Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung .1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | CHUYÊN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN + Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung + Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Trên hình 3: 1 + Các góc AMB, ANB góc nội tiếp chắn cung AB  AMB ANB  sñAB  AOB 2 + AB BC  AMB BPC IV GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG Đường thẳng xy tiếp tuyến  O  điểm A Tiếp điểm A gốc chung tia đối Ax, Ay,  AB dây cung  O  Khi góc xAB,yAB góc tạo tia tiếp tuyến dây cung AB Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn Trong đường trịn: Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung 1 Trên hình 4: Ta có: xAB  sđAB AMB;yAM  sđAM ABM 2 V GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN, GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Cho hai dây cung AB, CD  O  cắt điểm M nằm đường tròn  O  Khi BMC gọi góc có đỉnh nằm đường trịn  O  Ta có định lý: Số đo góc có đỉnh nằm đường trịn nửa tổng số đo hai cung bị chắn Tức là: BMC  sñBC  sñAD   Hai tia CD, BA cắt N (AB, CD hai dây cung  O  ) Khi góc BNC gọi góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn  O  Định lí: Số đo góc có đỉnh nằm ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn Tức là: BNC   sñ BC  sđAD   VI CUNG CHỨA GĨC CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Cho điểm cố định A, B Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc AMB  khơng đổi  0    180  hai cung tròn đối xứng qua AB, gọi cung chứa góc α dựng đoạn thẳng AB Đặc biệt, quỹ tích điểm M nhìn đoạn AB góc vng đường trịn đường kính AB Cách dựng cung chứa góc α + Dựng đường trung trực (d) đoạn thẳng AB + Dựng tia Ax tạo với AB góc α + Dựng tia Ay  Ax cắt (d) điểm O + Ta có O tâm đường tròn chứa cung α dựng đoạn thẳng AB.  MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) có trực tâm H nội tiếp đường tròn  O  ngoại tiếp đường tròn  I  Gọi E trung điểm AH , M trung điểm BC Tia phân giác BAC cắt đường tròn  O  K (khác A), cắt EM Q a) Chứng minh: KB KC KI b) Chứng minh AQH 90 c) Gọi D giao điểm phân giác góc A với BC Dựng tiếp tuyến AN  K ,KB  Chứng minh: ND  AK Lời giải a) Do AK phân giác góc A nên KB KC  KB KC Ta chứng minh tam giác KIC cân K 1 Xét tam giác KIC ta có: KIC IAC  ICA  A  C (1) 2 Ta có: KCI KCB  ICB Mà KCB KAB  A (góc nội tiếp 1 chắn cung KB), ICB  C suy KCI  A  C (2) 2 Từ (1) (2) ta suy KIC KCI Hay tam giác KIC cân K tức KI = KC Vậy KI = KC = KB .3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | CHUYÊN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN Chú ý: Điểm K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC b) Dễ thấy O, M, K thẳng hàng Kẻ đường kính AS  O  SC  AC,SB  AB lại có BH  AC, CH  AB  BH // SC, CH // SB suy tứ giác BHCS hình bình hành nên H, M, S thẳng hàng M trung điểm HS Ta có HAQ AKO OAK (cặp góc so le tam giác AOK cân) Lại có EQA QAS (so le) Từ suy EAQ EQA suy EA EQ  EA EQ EH Tức tam giác AQH vuông Q c) Vì KBC KAC (cùng chắn cung KC), mà KAC KAB suy KBC KAB suy KBD ∽KAB nên Hay KD KB KN   (do KB = KN) KB KA KA KD KN  kết hợp với DKN NAK suy KB KA DNK ∽ NAK suy NDK ANK 90 đpcm Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp  O; R  , đường cao AD kéo dài cắt  O  E (E khác A) Dựng đường kính AK a) Chứng minh: ABE CAK từ suy BCKE hình thang cân b) Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh: H đối xứng với E qua BC c) Chứng minh: a b c   2 R với AB = c, BC =a ,CA = b sin A sin B sinC d) Tiếp tuyến A đường tròn  O  cắt tia CB M, phân giác góc A cắt BC F Chứng minh: Tam giác AMF cân e) Đường thẳng qua A vng góc với MO cắt  O  Q Đoạn thẳng MO cắt  O  I Chứng minh: I tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMQ Lời giải a) Do AK đường kính  O  nên AKC 90 , ta có: BAE 90  ABC mà ABC AKC (cùng chắn cung AC) nên BAE 90  ABC 90  AKC CAK CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Vì BAE CAK  BE CK  EK // BC hay BCKE hình thang cân b) Do BH  AC nên EAC HBC (cùng phụ với góc ACB ) Mặt khác ta có: EAC EBC (cùng chắn cung EC) nên suy HBC EBC  ∆HBD = ∆EBD (g.c.g) suy DH =DE, hay H đối xứng với E qua BC Ta chứng minh theo cách khác: KC  AC,KB  AB lại có BH  AC,CH  AB  BH // KC, CH // KB suy tứ giác BHCK hình bình hành nên BC cắt HK trung điểm N đường Do AEK 90 nên EK // DN mà N trung điểm HK nên ND đường trung bình tam giác HEK suy D trung điểm HE hay H đối xứng với E qua BC c) Ta có: ABC AKC (cùng chắn cung AC) Trong tam giác vng AKC ta có: AC b b b a c sinAKC    sin B   2 R , tương tự ta có 2 R , 2 R hay AK R 2R sin B sin A sinC a b c   2 R sin A sin B sinC d) Ta có MAF MAB ABF mà MAB ACB (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Suy 1 MAF  BAC  ACB , ta có AFM FAC FCA  BAC  ACB suy MAF AFM 2 hay tam giác AMF cân M e) Theo tính chất đối xứng ta suy MQ tiếp tuyến  O  , MO trung trực AQ nên IA IQ Ta có MAI AQI (tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung) Mặt khác ta có: IAQ AQI nên suy MAI IAQ hay AI phân giác góc MAE Theo tính chất tiếp tuyến cắt ta có: MI phân giác góc AMQ Suy I tâm đường trịn nội tiếp tam giác AMQ Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn  O  bán kính R, điểm M chuyển động cung nhỏ BC a) Chứng minh: MA = MB + MC b) Tìm GTLN, GTNN P = MA + MB + MC c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  1  MB MC Lời giải: a) Áp dụng định lý Ptolemy (*) cho tứ giác ABMC ta có: | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | CHUYÊN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN MA.BC  AB.MC  AC.MB Do AB = BC = CA Suy MA = MB + MC.  Cách khác: Trên AM lấy điểm E cho MB = ME (1) Thế tam giác BME cân M, mặt khác ta có: BME BCA 60 (cùng chắn cung AB) suy tam giác BME Xét tam giác BEA tam giác BMC ta có: BE = BM tam giác BME AB = BC (do ABC đều) ABE 60  EBC CBM suy ∆ABE = ∆CBM  AE = MC (2) Từ (1) (2) suy MA = MB + MC b) Ta có P = MA + MB + MC = 2MA P nhỏ M B M C P lớn MA đường kính  O  c) Với số thực dương x, y ta có:  x  y   1x  1y  2  1 Nên ta suy   , dấu x y xy xy xy  xảy x = y Áp dụng vào toán ta có: 1 4    MB MC MB  MC MA Do MA 2 R nên ta suy 1   2 R Dấu xảy MA MB R AM đường kính  O  Hay M điểm cung nhỏ BC Định lý Ptolemy (*): Định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn  O  Khi ta có: AB.CD  AD.BC  AC.BD Chứng minh: Trên đường chéo BD lấy điểm E cho DAE BAC Ta có DAE BAC ADE ACB (cùng chắn AB ) nên  ADE ∽ ACB (g.g)  AD DE  AC BC  AD.BC  AC.DE (1) Do DAE CAB nên DAC EAB , lại có ABE ACD (cùng chắn AD )   ABE ∽ ACD (g.g) CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | AB BE    AB.CD  AC.BE (2) AC CD Từ (1) (2) suy AB.CD  AD.BC  AC  BE  DE   AC.BD Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp  O  , ngoại tiếp  I  , đường thẳng AI, BI,CI cắt  O  giao điểm thứ X,Y Z Các đường thẳng XY cắt AB, BI, BC M, N, P XZ cắt IC Q a) Chứng minh: Tam giác BMP cân b) Chứng minh: I trực tâm tam giác XYZ c) Chứng minh: NQ song song với BC Lời giải: a) Do AI, BI,CI đường phân giác góc A, B, C nên X, Y, Z điểm cung BC, CA, AB Ta có: BMP  sđ AY  BX   BPM  sñ BY  CX mà   BX AY BY ,CX   Suy BMP BPM hay tam giác BMP cân B b) Ta có: BNX  sđ BX  YZ  BX AY  AZ  BC  AB  AC 90 suy XY  BZ 2       Chứng minh tương tự ta có AX  YZ ,CY  XZ suy I trực tâm tam giác XYZ c) Từ chứng minh câu b) ta suy INX IQX 90 nên điểm I, N, X, Q nằm đường trịn đường kính XI Suy IQN IXN (cùng chắn cung IN ) Mặt khác ta có: IXN AXY YCB (Hai góc nội tiếp chắn cung nhau) từ suy IQN YCB  NQ // BC Ví dụ Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H nội tiếp  O  , đường cao AD Gọi M, N trung điểm BC, AB Gọi I, K hình chiếu vng góc B, C lên đường thẳng AO a) Chứng minh: I, D đối xứng qua MN b) Đường thẳng IM cắt AC E Chứng minh: BE  AC | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | CHUYÊN ĐỀ GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN c) Chứng minh: Khi B, C cố định A di chuyển đường tròn  O  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DIK điểm cố định d) Chứng minh: Khi B, C cố định A di chuyển đường tròn  O  tìm giá trị lớn HA  HB  HC Lời giải a) Do N trung điểm AB nên ON  AB Các điểm N, I, M nhìn BO góc 90° nên suy điểm B, N, O, I, M nằm đường trịn đường kính BO Ta có AIB ADB 90 nên điểm A, I, D, B nằm đường trịn tâm N đường kính AB Ta có: IBD  IND (Liên hệ góc nội tiếp góc tâm) Mặt khác IBD IBM INM (cùng chắn cung IM ) Suy INM  IND nói cách khác NM phân giác góc N tam giác cân IND suy MN  DI trung điểm DI Hay MN trung trực ID b) Dựng BE  AC Ta chứng minh: E, I, M thẳng hàng Ta thấy điểm A, E, I, B nằm đường trịn tâm N đường kính AB Suy EIA EBA (1) (cùng chắn cung EA) Ta có AIM AIB BIM 90 BNM 90  BAC (do BIM BNM chắn cung BM MN// AC) (2) Từ (1) (2) suy AIM  EIA 90 BAC EBA 180 hay E, I, M thẳng hàng (đpcm) c) Gọi P trung điểm AC Chứng minh tương tự a) ta có PM trung trực DK Từ suy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác DIK trung điểm M AC d) Dựng đường kính AS S, H, M thẳng hàng (tính chất quen thuộc, xem thêm ví dụ 1) suy AH 2OM Do BC cố định nên OM không đổi suy AH không đổi Đặt BOC 2 Trên tia đối HB ta lấy điểm F cho HF = HC HB + HC =BF 1  Để ý rằng: HFC  BHC  180  A  180   2     không đổi Theo tốn cung chứa góc ta suy điểm F thuộc cung chứa góc  dựng đoạn BC nằm nửa mặt phẳng 180     bờ BC chứa điểm A Từ suy BF lớn BF đường kính đường trịn chứa CHUN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUYÊN |  dựng đoạn BC Tức  180   cung chứa góc BCF 90 , hay B,O, F thẳng hàng Tức   tam giác ABC cân B giá trị lớn HA + HB + HC là: 2OM  R 2 R  BC  2R VII TỨ GIÁC NỘI TIẾP Tiêu chuẩn 1: Tứ giác ABCD nội tiếp tổng hai góc đối 180° Hệ quả: ABCD nội tiếp  xAD BCD (Tứ giác ABCD nội tiếp góc ngồi đỉnh góc đối diện với đỉnh đó) Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp  O  , đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh: AEHF tứ giác nội tiếp b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng AM K Chứng minh: Các tứ giác EKMC, FKMB nội tiếp c) Chứng minh: BHKC nội tiếp Lời giải a) Do BE, CF đường cao tam giác ABC nên AEH AFH  90 , suy AEH AFH 180 nên tứ giác AEHF nội tiếp b) Do điểm A, E, H, F nằm đường trịn  I  đường kính AH nên đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF đường trịn  I  Ta có AKE AFE (cùng chắn cung AE) (1) Mặt khác ta có BFEC nội tiếp nên AFE ECB (2) Từ (1) (2) suy AKE ECM nên tứ giác EKMC nội tiếp Tương tự ta chứng minh được: Tứ giác FKMB nội tiếp chứng minh theo cách khác sau: Ta có: FKM 360  EKM  EKF 180  EKM  180  EKF ACB  BAC 180  ABC suy FKM ABC 180 nên tứ giác FKMB nội tiếp .9 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | CHUN ĐỀ GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN c) Ta có: HKC 360  HKE  EKC 180  HKE  180  EKC DAC  180  EKC (3) Mặt khác tứ giác EKMC nội tiếp nên: EKC EMC (cùng chắn cung EC) Tứ giác BFEC nội tiếp  BC   M;  nên EMC 2EBC (4), ta có EBC DAC phụ với BCA (5)   Từ (3), (4), (5) suy HKC 180  EBC  HKC HBC 180 nên tứ giác BHKC nội tiếp Cách khác: IEM 180  IEA  MEC 180  IAE  ECM 90 suy ME tiếp tuyến  I  Từ ta có MCK MEK EHK nên suy tứ giác BHKC nội tiếp Chú ý: Thơng qua ví dụ ta có thêm tính chất: Đường trịn ngoại tiếp tam giác HEF, HBC cắt điểm nằm AM Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp  O  có ba đường cao AD, BE, CF cắt H, điểm M di chuyển cung nhỏ BC (M ≠ B, C) Gọi P, Q điểm đối xứng với M qua AB, AC a) Chứng minh: AHBP nội tiếp b) Chứng minh: P, H, N thẳng hàng c) Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để PN lớn Lời giải a) Ta có: APB AMB (tính chất đối xứng) AMB ACB 180  DHE 180  AHB hay AMB AHB 180 Suy AHBP tứ giác nội tiếp.  b) Chứng minh tương tự câu a ta thấy tứ giác AHCN nội tiếp Theo câu a tứ giác AHBP nội tiếp nên ta có biến đổi góc sau: AHP ABP ABM 180  ACM 180  ACN 180  AHN , hay AHP AHN 180 tức N, H, P thẳng hàng c) Do ba điểm M, N, P nằm đường tròn tâm A bán kính AM suy     NP 2 AM.sinPMN 2 AM.sin 180  BAC 2 AM.sinBAC Do NP lớn AM lớn nhất, lúc AM đường kính đường tròn  O  Vậy độ dài đoạn NP lớn M điểm đối xứng A qua O Ví dụ 10