TOAN 9 CHUYEN DE GOC VOI DUONG TRON

3.6 Cho đường tròn O ; R, đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của cung AB Vẽ dây CD dài bằng R..  Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung

Phần 2 Hình học Chương 3

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN



A - Góc ở tâm Số đo cung

1. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

 Số đo (độ) của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

 Số đo (độ) của cung lớn bằng 360 0 trừ đi số đo (độ) của cung nhỏ.

 Số đo (độ) của nửa đường tròn bằng 180 0

2. Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng

nhau):

 Hai cung bằng nhau nếu chúng có cùng số đo (độ)

 Trong hai cung, cung nào có số đo (độ) lớn hơn thì gọi là lớn hơn.

3.Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđ = sđ

+ sđ

3.1 a) Từ 2 giờ đến 4 giờ thì kim đồng hồ quay được một góc ở tâm bằng

bao nhiêu độ ?

b) Cũng câu hỏi như thế từ 6 giờ đến 9 giờ ?

3.2 Một đồng hồ chạy chậm 15 phút Hỏi để chỉnh lại đúng giờ thì phải quay

kim phút một góc ở tâm là bao nhiêu độ ?

3.3 Hai tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M Tính số đo góc ở tâm

AOB, số số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB Biết:

3.4 Hai tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M Biết AMB 70  0

a) Tính số đo của góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB

b) Tính số đo mỗi cung AB (cung lớn và cung nhỏ)

3.5 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt nhau tại hai điểm A, B) Đường phân

giác OBO cắt các đường tròn (O), (O) tại các điểm thứ hai theo thứ tự

là C và D So sánh BOC và BO'D

3.6 Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB) Gọi C là điểm chính giữa của

cung AB) Vẽ dây CD dài bằng R Tính góc DOB

3.7 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt nhau tại hai điểm A, B) Dây cung AC

của (O) vuông góc với AO, dây cung AD của (O) vuông góc với AO Sosánh AOC và AO'D

AB

AC CB

3.8 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh R

và r nếu :

a) Số đo cung nhỏ AB của (O) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O)

b) Số đo cung lớn AB của (O) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O)

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau

3.9 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh số

đo hai cung nhỏ AB của hai đường tròn nếu :

3.10 Trên một đường tròn (O) có sđAB 140  0, cung lớn AD nhận B làm điểmchính giữa, cung nhỏ CB nhận A làm điểm chính giữa Tính số đo cáccung nhỏ CD, cung lớn CD

3.11 Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC (A B C   )

a) Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

So sánh các góc ở tâm IOJ, JOK, KOI

b) Chứng minh:

 0 ABOC 90

2

Tìm các công thức tương tự đối với các đỉn

h B và C của ABC rồi so sánh AOB, BOC, COA

c) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp ABC tại các gó

c BAC, CBA, ACB So sánh các góc ở tâm BO C 1 , CO A 2 , AO B 3

3.12 Cho 2 đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) Dây AB của (O; R) chứa

dây AB của (O; r), dây CD của (O , R) chứa dây CD của (O; r) Chứngminh: nếu hai cung nhỏ AB, CD bằng nhau thì hai cung nhỏ AB và CDcũng bằng nhau

3.13 Cho ABC đều Gọi O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.b) Tính số đo tạo bởi hai trong 3 điểm A, B và C

B - Liên hệ giữa cung và dây

1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai

đường tròn bằng nhau):

2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai

đường tròn bằng nhau):

3 Trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây

song song thì bằng nhau.

4  Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm

chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

 Trong một đường tròn đường kính đi qua trung

điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì chia cung căn dây ấy thành hai phần bằng nhau.

 Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho

AD = AC Vẽ (O) ngoại tiếp DBC Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc

OH, OK xuống BC và BD (H  BC, K  BD)

a) C/minh: OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC

3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB Gọi H là trung điểm của AB và I

là điểm chính giữa của cung AB (cung nhỏ hoặc cung lớn hoặc cung nửađường tròn)

a) Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thẳng hàng

b) Cho cung CD cũng nhận I là điểm chính giữa

Chứng minh : CD // AB hoặc CD  AB

3.16 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A, B.

Kẻ các đường kính AOC và AOD Gọi E là giao điểm thứ hai của đườngthẳng AC với (O)

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng

b) So sánh các cung nhỏ BC và BD

c) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD

3.17 Trên dây cung AB của một đường tròn (O), lấy hai điểm C và D sao cho

AC = CD = DB) Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E

và F Chứng minh:

a) AE FB  b) AE EF 

Gọi E là điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO là hình bình hành

Ta có AE = OD < R (do D nằm trong đt nên khoảng cách tới O < bánkính) = OA

Trong ∆ AEO do AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD

Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD

3.18 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ

CH  AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E Từ A kẻ AK  DC, nócắt đường tròn tại điểm thứ hai là F Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau

O D

A

E

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.

c) DE = BF

3.19 Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O; 2R) Từ M  (O; 2R) kẻ hai tiếp

tuyến MA, MB đến (O; R), các tiếp tuyến này cắt (O; 2R) tại N và K

a) Tính số đo cung AB

b) So sánh hai cung MN và NK

c) Gọi OC là bán kính của (O; 2R) song song với với BM (C  cung NK),bán kính này cắt đường tròn (O; R) tại D Tính số đo (độ) các cung AD

và NC

3.20 ABC có AM là trung tuyến, BH là đường cao.

a) So sánh các cung nhỏ MH và MC của đường tròn đi qua ba điểm C, M,H

b) Trong trường hợp CH là đường kính của đường tròn (CMH), tính số đo

HBC.

3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C và D chia nửa

đường tròn thành ba phần bằng nhau (C ở gần B hơn)

a) Tứ giác BCDO là hình gì ? Tính số đo các góc của tứ giác

b) Gọi I là điểm chính giữa của cung AD Tiếp tuyến của đường tròn tại Acắt OI ở E và cắt tia BD ở F Chứng minh: OCI 45  0 và OE = AF

3.22 Cho (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn

(C  A, C  B) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cung nhỏ AC và

CB Kẻ ND  AC (D  AC)

a) Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O)

b) Tính số đo (độ) của cung MN

c) Chứng minh: khi C di chuyển trên (O) thì MN luôn tiếp xúc với mộtđường tròn cố định

3.23 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B (R > r) Kẻ hai

đường kính BOC và BOD của hai đường tròn này

a) So sánh số đo (độ) của hai cung nhỏ AC và AD

b) Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho MA < MC Đường thẳng vuông gócvới AC tại M cắt (O) ở N So sánh cung AN và cung CN

3.24 Cho ABC đều Ở miền ngoài của tam giác vẽ nửa đường tròn đường

kính BC Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm M và N sao cho ba cung

BM = MN = NC) Chứng minh rằng các đường thẳng AM và AN chia BCthành 3 phần bằng nhau

C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

1 Góc nội tiếp:

a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường tròn đó.

b) Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

2 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

a) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

b) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

3 Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường

tròn:

bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

b) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

3.25 Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Lấy

một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với (O) tại M Tiếp tuyến nàycắt đường thẳng CD tại S Chứng minh: MSD = 2MBA

3.26 Từ một điểm T ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P là tiếp

điểm) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường tròn (A và B thuộc (O),

B nằm giữa O và T) Chứng minh: BTP 2BPT 90    0

3.27 Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau Dây AE cắt dây BC ở

D và cắt (O) ở E Chứng minh: AB2 = AD AE

3.28 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT và haicát tuyến MAB và MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)) Chứngminh: MA MB = MC MD = MT2 = OM2 – R2

b) Qua điểm M ở bên trong đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB và CDcủa đường tròn (O) (A, B, C, D  (O))

Chứng minh: MA MB = MC MD = R2 – OM2

3.29 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm trên cung nhỏ

BC, MA cắt BC tại D Trên AM lấy N sao cho MB = MN Chứng minh:

3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia

BC tại D Tia phân giác BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D cắt

AM ở I Chứng minh: DI  AM

3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R Các

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn (O)tại B và D cắt nhau tại K Chứng minh:

a) BIC BKD  b) BC là tia phân giác của KBD

3.32 Cho đường tròn tâm O, với M ở bên ngoài Kẻ các tiếp tuyến MA, MB và

đường kính AC của (O) Chứng minh: MO // BC

3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung CB có số đo bằng 450 Lấymột điểm M trên cung nhỏ AC rồi kẻ các dây MN, MP tương ứng vuônggóc với AB và OC Tính số đo cung nhỏ NP

3.34 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn Gọi P, Q, R theo thứ tự là các

điểm chính giữa của cung BC, CA, AB

a) Chứng minh: AP  QR

b) AP cắt CR tại I Chứng minh: CPI cân

3.35 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Hai dây

cung AC, BD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm I và lần lượt cắtđường tròn (O) tại các điểm thứ hai là C và D Chứng minh: CD // CD

3.36 Cho góc xOy  và một độ dài l Hai điểm A, B di động trên hai cạnh tương ứng sao cho độ dài AB luôn luôn bằng l Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp OAB

a) Chứng minh rằng IAB có chu vi không đổi

b) Tìm tập hợp điểm I

3.37 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại hai điểm A và B Qua

A kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm thứ hai

là C và D Tia BD cắt (O) tại điểm thứ hai M Các tia OB, BO lần lượt cắt(O) tại các điểm thứ hai là N và P So sánh:

a) ACB và BOO' b) CAM và PAN

3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H Các tia AD, BE, CF cắt (O) tại các điểm A, B, C Chứng minh:a) AB, BC, CA lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HC, HA, HB.b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF

c) ABC và DEF đồng dạng Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp

DEF bằng nửa bán kính đường tròn (O)

3.39 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Tiếp tuyến

tại A của (O) cắt (O) tại P Tia PB cắt (O) tại Q Chứng minh: AQ songsong với tiếp tuyến tại P của (O)

3.40 Cho AOB và COD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O; R).

Trên cung BC lấy điểm F sao cho BF = R Trên cung BD lấy một điểm M.Tiếp tuyến ở M gặp tia AB ở E Đường nối CM gặp AB ở S

a) Chứng minh: ES = EM

b) Gọi I là giao điểm của AB và DF Tính AID

c) Tính góc hợp bởi tiếp tuyến tại F với AC

3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau

tại E ở ngoài đường tròn (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E) Biết

CBE 75  , CEB 22  0, AOD 45  0 Chứng minh: AOB BAC 

3.42 Cho đường tròn (O), AB và CD là hai dây cung song song với nhau (A

và C nằm cùng phía với BD) AD cắt BC tại I Chứng minh: AOC AIC 

3.43 Cho ABC vuông tại A Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D Tiếp

tuyến tại D cắt AC ở P Chứng minh: PD = PC

3.44 Cho 3 điểm A, B, C  (O), sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC ở D Tia

phân giác của góc ABC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D cắt AM

a) AHE là tam giác gì ? Giải thích

b) Chứng minh: EOH ABE 

3.48 Cho nửa đường kính AB Gọi K là điểm chính giữa cung AB, M là một

điểm trên cung AK, N là một điểm trên dây cung BM sao cho BN = AM.Chứng minh rằng:

a) MKN vuông cân và MK là phân giác ngoài của AMN

b) Khi K di chuyển trên cung AK thì đường vuông góc với BM kẻ từ N luôn

đi qua một điểm cố định trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểmB

3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AH là đường cao của ABC và

AD là đường kính của đường tròn (O) Chứng minh:

a) AB AC = AD AH

b) ABC

abc S

4R

 

, với a, b, c là độ dài các cạnh của ABC

3.50 Cho nửa (O), đường kính AB Kẻ một dây AC Gọi M là điểm chính giữa

cung AC, OM cắt AC tại H Từ C kẻ tia song song với BM, tia này cắt OMkéo dài tại D

a) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích

b) AM cắt CD tại K Chứng minh: KH  AB

3.51 Cho ABC vuông ở A có đường cao AH Hai đường tròn đường kính AB

và AC có tâm là O1 và O2 Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O1) và(O2) lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: MHN là tam giác vuông

3.52 Cho ABC có đường phân giác trong AD, trung tuyến AM Vẽ đường

tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F

a) Chứng minh: BD BM = BE BA và CD CM = CF CA

b) So sánh BE và CF

3.53 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính

HC Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K là tiếp điểm) Tính tỉ số giữa 2 cạnh AB

và BK

3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song

song với tiếp tuyến Bx, đường thẳng này cắt BC tại D Chứng minh:a) AB2 = BC BD

b) AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACD)

3.55 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy một

cung CD có số đo 900 Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểmcủa AD và BC Tính số đo AMB và ANB

3.56 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm, dây AC và tiếp tuyến Bx

với đường tròn Đường phân giác của góc BAC cắt dây BC tại F, cắt Bxtại D

a) Chứng minh: BFD cân

b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD

3.57 Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến gặp nhau tại A (B, C là tiêp điểm).

Từ B kẻ dây BD song song với AC Đoạn thẳng AD cắt (O) tại E, BE cắt

AC tại K Chứng minh:

a) KA2 = KE KB b) KA = KC

3.58 Cho ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O) Các cạnh AB, AC, BC

tiếp xúc với đường tròn tại M, N và K BN cắt đường tròn (O) ở E, tia MEcắt BC ở I Chứng minh:

3.59 Cho hai đường tròn (O) và (O) ở ngoài nhau Đường nối tâm OO cắt

(O) và (O) lần lượt các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng Kẻtiếp tuyến chung ngoài EF (E  (O) và F  (O)) Gọi M là giao điểm của

AE và DF, N là giao điểm của EB và FC Chứng minh:

a) MENF là hình chữ nhật

b) MN  AD

c) ME MA = MF MD

3.60 Cho (O ; R) có các bán kính OA và OB vuông góc với nhau, M là điểm

chính giữa cung AB Gọi C là giao điểm của AM và OB, H là hình chiếucủa M trên OA

a) Chứng minh: BA = BC

b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R

3.61 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm D di động trên cung

AC Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC)Chứng minh:

a) AFB ABD  b) Tích AE BF không đổi

3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao vẽ từ B cắt (O) tại

M, đường cao vẽ từ C cắt (O) tại N MN cắt AB và AC lần lượt tại I và J.Chứng minh:

3.63 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định không cắt đường tròn A

là điểm cố định trên (O) và B là điểm cố định trên d Một đường tròn (O)bất kỳ đi qua A và B, đường tròn này cắt (O) tại C và cắt d tại E

a) Chứng minh khi (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn luôn đi qua mộtđiểm cố định K trên (O)

b) Đường thẳng BA cắt (O) tại F Chứng minh: FK // d

3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB M là một điểm trên tia đối của tia BA,

kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn Phân giác ACB cắt AB ở E.Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh rằng:

a) MC = ME

b) DE là tia phân giác của góc ADB

c) IM là tia phân giác của góc AID

D – C ung chứa góc – Bài toán quỹ tích

1 Quỹ tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng

cho trước dưới một góc  (0 0 < <180 0 ) không đổi là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó

2 Cách vẽ cung chứa góc 

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc

 (0 0 <  < 180 0 ) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn AMB.

điểm của Ay với đường thẳng d.

này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.

x

m m

3 Cách giải bài toán quỹ tích:

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính

chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai

phần:

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất đều thuộc hình

H

Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất .

Kết luận : Quỹ tích các điểm M có tính chất  là hình

H

(Thông thường với bài toán: “Tìm quỹ tích …” ta nên

dự đoán hình H trước khi chứng minh)

Xem thêm phần chuyên đề để biết thêm về phần này.

3.65 Cho ABC có cạnh BC cố định và A=  không đổi Tìm quỹ tích (tậphợp) giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó

3.66 Cho nửa đường tròn đường kính AB C là một điểm trên nửa đường

tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB Tìm quỹ tích các điểm E khi

C chạy trên nửa đường tròn đã cho

3.67 Dựng cung chứa góc 500 trên đoạn thẳng AB = 3,5cm

3.68 Dựng ABC, biết BC = 3cm, A = 450 và trung tuyến AM = 2,5cm

3.69 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường

tròn Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ

C đến AB Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đãcho

E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

1 Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn

được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

2 Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối

diện bằng 180 0

3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0

của đỉnh đối diện nó.

thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau.

4 Hình thang nội tiếp được trong đường tròn là hình

thang cân và ngược lại.

3.70 Cho ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Chứng minh:

a) Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp được

b) Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp được

c) Sáu điểm D, E, F, I, J, K cùng thuộc một đường tròn

3.71 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E Biết EA.EC = EB.ED Chứngminh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại M (M  AC và BD) Biết MA.MC

= MB.MD Chứng minh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

3.72 Cho đường tròn (O) và dây cung AB Từ trung điểm M của cung AB vẽ

hai dây MC, MD cắt AB ở E và F (E nằm giữa A và F)

a) Chứng minh: tứ giác CDEF nội tiếp được

b) Kéo dài MC và BD cắt nhau ở I, MD và AC cắt nhau ở K Chứng minh:

IK // AB

3.73 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B Đường

thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O) lần lượt tại C và E Đường thẳngAO cắt (O) và (O) lần lượt tại D và F

a) Chứng minh: tứ giác CDEF, ODEO nội tiếp được

b) Đường thẳng CD và đường thẳng EF cắt nhau tại M

Chứng minh: tứ giác MCBE nội tiếp

3.74 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có A = 450, các đường cao AD, BE, CF gặpnhau tại H

e) Tìm điều kiện của BC để 4 điểm B, H, O, C cùng nằm trên một đườngtròn

3.75 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt

nhau ở D Từ D kẻ một cát tuyến song song với AB cắt (O) ở E và F, cắtcạnh AC ở I Chứng minh:

a) Tứ giác DOIC nội tiếp được b) IE = ID

3.76 Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ cát tuyến MAB với

đường tròn (O)

a) Chứng minh: MA MB = MO2 – R2

b) Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt đường thẳng (d)vuông góc với OM kẻ từ M tại C và D Chứng minh: MC = MD

3.77 Cho ABC (AB  AC), trung trực của BC cắt BC tại M và cắt tia phân

giác của góc A tại I

a) Chứng minh: 4 điểm A, B, I, C cùng thuộc một đường tròn

b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của I trên AB, AC Chứng minh: H,

M, K thẳng hàng

3.78 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Điểm M di chuyển trên (O).

Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB Gọi I là giao điểm của hai tiếptuyến (khác AB) kẻ từ A và B đến đường tròn tâm M Chứng minh:

a) AOB = EMF

b) Tứ giác AOBI nội tiếp Suy ra 3 điểm M, O, I thẳng hàng

3.79 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), I là điểm chính giữa cung BC không

chứa A Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc ngoài với AB tại B, vẽ (O2) đi qua I vàtiếp xúc với AC tại C Gọi K là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2)

a) Chứng minh: ba điểm B, K, C thẳng hàng

b) Lấy D bất kỳ trên cạnh AB, E thuộc tia đối của tia CA sao cho

BD = CE Chứng minh: đường tròn (ADE) luôn đi qua điểm cố định I

3.80 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định và đường kính CD

thay đổi (CD không trùng với AB) Vẽ tiếp tuyến (d) của (O) tại B) Cácđường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q

a) Chứng minh: tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: trung tuyến AI của APQ vuông góc với CD

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp CDP Chứng minh: E di động trênmột đường cố định khi đường kính CD thay đổi

3.81 Cho ABC vuông tại A (AB < AC) Lấy điểm D thuộc cạnh AC, vẽ đường

tròn đường kính CD cắt BD tại E và cắt AE tại F

a) Chứng minh: A, B, C, E cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: BCA ACF 

c) Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB và BC Chứng minh:BNCM nội tiếp được trong đường tròn

d) Xác định vị trí điểm D sao cho bán kính đường tròn (BNCM) đạt giá trịnhỏ nhất