Toán 9 Chương 3 Góc với đường tròn

CHƯƠNG III GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI 1: GĨC Ở TÂM, GĨC NỘI TIẾP 1, GĨC Ở TÂM – Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Hai cạnh góc cắt đường trịn hai điểm chia đường tròn thành hai cung: – Cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nẳm bên ngồi góc gọi cung lớn VD: Ở Hình 1: ·AOB Góc góc tâm ) AmB Cung nhỏ cung ) Cung lớn cung Hoặc ta có cách nói khác: Góc ·AOB AnB ) chắn cung AmB Chú ý: + Góc bẹt chắn nửa đường trịn 2, SỐ ĐO GĨC Ở TÂM 1800 – Số đo nửa đường tròn – Số đo góc tâm số đo cung bị chắn VD: Ở Hình 2: Góc ·AOB = 680 ) => sđ AmB = 680 ) Từ đó: sđ AnB = 3600 − 680 Chú ý: + Hai cung chúng có số đo 3, GĨC NỘI TIẾP – Góc nội tiếp góc có đỉnh nẳm đường trịn hai cạnh hai dây cung đường trịn – Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn VD: Ở Hình 3: ·ABC Góc góc nội tiếp Góc ·ABC ) chắn cung AmC 4, SỐ ĐO GĨC NỘI TIẾP – Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn VD: Ở Hình 4: ) sđ AmC = 980 nên ·ABC = 490 Chú ý: Trong đường trịn: + Các góc nội tiếp chắn cung + Các góc nội tiếp chắn cung + Góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung + Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 5, CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP: µA = D µ – Tứ giác ABCD nội tiếp µA = D µ Tứ giác ABCD có 1 1 ) ( chắn cung BC ) ngược lại: tứ giác ABCD nội tiếp ( O) Bˆ = Dˆ = 900 – Tứ giác ABCD nội tiếp đường kính AC ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ngược lại: Bˆ = Dˆ = 900 Tứ giác ABCD có tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính AC – Tứ giác ABCD nội tiếp tổng hai góc Tứ giác ABCD có tổn hai góc 1800 Aˆ + Cˆ = 1800 ngược lại: tứ giác ABCD nội tiếp 6, BÀI TẬP VẬN DỤNG ( O) Bài 1: Cho nửa đường trịn đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn AC ⊥ CB Chứng minh Bài 2: Cho nửa ( O) đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC EH ⊥ AB H, AC cắt BD E Chứng minh ( O) ( BA < BC ) ∆ABC Bài 3: Cho nội tiếp đường trịn đường kính AC biết Trên đoạn OC lấy điểm I CH ⊥ BD, ( H ∈ BD ) ( I ≠ C) ( O) Đường thẳng BI cắt điểm thứ hai D Kẻ , DK vng góc AC , ( K ∈ AC ) với a, Chứng minh tứ giác DHKC tứ giác nội tiếp ·ABD = 400 ∆ACD b, Cho độ dài đoạn thẳng AC 4cm Tính diện tích c, Đường thẳng qua K song song với BC cắt đường thẳng BD E Chứng minh I OC , ( I ≠ C ) thay đổi đoạn thẳng điểm E ln thuộc đường trịn cố định Bài 4: Cho đường trịn ( O) đường kính AB Dây CD vng góc với AB H M điểm đoạn ( O) thẳng CD Tia AM cắt N a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp MC.MD = MA.MN b, Chứng minh c, Chứng minh AM AN = AC ( A; AH ) ∆ABC Bài 5: Cho vuông A, Đường cao AH, vẽ đường tròn Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với ( A) cắt đường thẳng AC D ( I tiếp điểm, I H không trùng nhau) a, Chứng minh AHBI tứ giác nội tiếp AB = 4cm, AC = 3cm b, Cho Tính AI c, Gọi HK đường kính ( A) Chứng minh rằng: BC = BI + DK ( O; R ) ∆ABC Bài 6: Cho nhọn nội tiếp Các đường cao AD, BE CF cắt H a, Chứng minh tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp BD.BC = BH BE b, Chứng minh ∆BMH c, Kẻ AD cắt cung BC M Chứng minh cân ( O) Bài 7: Cho nửa đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC H, AC cắt BD E EH ⊥ AB a, Chứng minh CHDE nội tiếp · · DAB = DEH b, Chứng minh c, Vẽ tiếp tuyến với ∆ABC ( O) D cắt EH I Chứng minh I trung điểm EH ( O) Bài 8: Cho nhọn nội tiếp đường tròn có hai đường cao BD CE cắt H a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn DE ⊥ OA b, Chứng minh c, Cho M, N trung điểm hai đoạn thẳng BC, AH Cho K, L giao điểm hai đường thẳng OM CE, MN BD Chứng minh KL // AC ( O; R ) AB < AC Bài 9: Cho đường tròn dây BC cố định Điểm A di động cung lớn BC cho ∆ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt H Gọi K giao điểm EF với BC a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp KB.KC = KE.KF b, Chứng minh c, Gọi M giao điểm AK với ( O) , M khác A Chứng minh MH ⊥ AK ( O) AB = R Bài 10: Cho đường kính , điểm C thuộc đường trịn ( C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, Tia AC cắt BE F a, Chứng minh FCDE nội tiếp DA.DE = DB.DC b, Chứng minh · · CFD = OCB c, Chứng minh d, Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC tiếp tuyến ( O) ( O) AB = R Bài 11: Cho nửa đường trịn đường kính C điểm nửa đường tròn · AC < CB COD = 900 cho C khác A Điểm D thuộc cung nhỏ BC cho Gọi E giao điểm AD BC, F giao điểm AC BD a, Chứng minh CEDF tứ giác nội tiếp FC.FA = FD.FB b, Chứng minh c, Gọi I trung điểm EF Chứng minh IC tiếp tuyến ∆ABC ( AB < AC ) ( O) ( O) Bài 12: Cho nhọn có Vẽ đường trịn đường kính BC cắt hai cạnh AB AC F E Gọi H giao điểm BE CF, AH cắt BC D Gọi I trung điểm AH AD ⊥ BC a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp điểm O, D, F, I, E thuộc đường tròn BC = 6cm, Aˆ = 600 c, Cho biết , Tính OI 10 ( O) Bài 22: Cho nửa đường tròn đường kính AB điểm M nửa đường tròn ( M khác A B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax, Tia BM cắt Ax I, tia phân giác · IAM cắt nửa đường tròn E, cắt tia BM F Tia BE cắt Ax H, cắt AM K AI = IM IB a, Chứng minh AEMB nội tiếp b, Chứng minh BAF tam giác cân c, Chứng minh AKFH hình thoi Bài 23: Cho ∆ABC ( O; R ) nhọn có AB < AC nội tiếp đường trịn đường tròn D cắt BC E Vẽ a, Chứng minh OHDE nội tiếp OH ⊥ BC ED = EC.EB ( O; R ) vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với b, Chứng minh c, Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD I Chứng minh HI // AB 53 ( O; R ) Bài 24: Cho , Từ K bên đường tròn kẻ tiếp tuyến KB, KD ( B, D hai tiếp điểm) Cắt tuyến KAC ( A nằm K C) Gọi I trung điểm BD Biết I, O không thuộc AC ∆KAB∆KBC AB.CD = AD.BC a, Chứng minh b, Chứng minh AIOC nội tiếp c, Kẻ dây CN ( O; R ) cho CN // BD Chứng minh A, I, N thẳng hàng ( O) Bài 25: Cho nửa đường tròn đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường trịn, điểm C thuộc đoạn OA Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q, AM cắt CP E, BM cắt CQ F a, Chứng minh APMC nội tiếp · PCQ = 900 b, Chứng minh c, Chứng minh AB // EF 54 ( O) Bài 26: Từ điểm A bên đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB AC ( B, C tiếp điểm) M MI ⊥ AB , MH ⊥ BC , MK ⊥ AC điểm cung nhỏ BC Kẻ a, Chứng minh tứ giác BIMH nội tiếp MH = MI MK b, Chứng minh c, Gọi P giao điểm IH MB Q giao điểm KH MC Chứng minh tứ giác MPHQ nội tiếp Bài 27: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C MI ⊥ AB MK ⊥ AC tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M bất kì, vẽ , a, Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn · · MP ⊥ BC , ( P ∈ BC ) MPK = MBC b, Vẽ Chứng minh MI MK = MP c, Chứng minh d, Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích $MI.MK.MP$ đạt giá trị lớn 55 ( O; R ) Bài 28: Cho đường tròn điểm A nằm ngồi đường trịn, Kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, Gọi I, H, K hình chiếu M BC, AC AB a, Chứng minh tứ giác BIMK CIMH tứ giác nội tiếp b, Gọi P giao điểm BM IK, Q giao điểm CM IH Chứng minh tứ giác PMQI PQ ⊥ MI tứ giác nội tiếp c, Chứng minh MI = MH MK d, Xác định vị trí điểm M để 1 + MH MK đạt giá trị nhỏ ( O) ( O) Bài 29: Cho đường tròn điểm A ngồi đường trịn Các tiếp tuyến với đường trịn kẻ từ A ( O) ( O) tiếp xúc với B C Trên đường tròn lấy điểm M ( M khác B C) cho M A nằm MH ⊥ BC , MK ⊥ AC MI ⊥ AB hai phía đường thẳng BC Từ M kẻ a, Chứng minh tứ giác MIBH tứ giác nội tiếp ∆ABN ∆AMB b, Đường thẳng AM cắt đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh , từ suy AB = AM AN · · MIH = MHK c, Chứng minh MI + MK ≥ 2.MH d, Chứng minh 56 ( O) , Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn , A B ( O) tiếp điểm Gọi E trung điểm đoạn MB C giao điểm AE với ( C khác A), H giao điểm AB MO a, Chứng minh điểm M, A, O, B thuộc đường tròn Bài 30: Từ điểm M bên ngồi đường trịn ( O) EB = EC.EA b, Chứng minh c, Chứng minh tứ giác HCEB tứ giác nội tiếp d, Gọi D giao điểm MC ( O) ( D khác C) Chứng minh ( O; R ) Bài 31: Cho từ điểm A nằm ngồi đường trịn O ( ) , B C tiếp điểm a, Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp ( O) ∆ABD tam giác cân vẽ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn b, Gọi D trung điểm AC, BD cắt đường tròn E, đường thẳng AE cắt đường tròn AB = AE AF điểm thứ hai F Chứng minh BC = CF c, Chứng minh 57 ( O) Bài 32: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn ( O) vẽ tiếp tuyến AB AC đường tròn ( B, C hai ( O) tiếp điểm) Gọi E trung điểm AC, F giao điểm thứ hai EB với a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b, Gọi K giao điểm thứ hai AF với đường tròn ( O) Chứng minh ∆ABF c, Chứng minh AE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp Bài 33: Cho đường tròn ( O) dây BC cố định Trên cung lớn BC ( O) AB < AC cho Hai tiếp tuyến qua B C cắt E a, Chứng minh tứ giác BOCE nội tiếp ( O) ( D ≠ A) ( O) BF CK = BK CF Lấy điểm A EB = ED.EA ( A ≠ B, C ) b, AE cắt điểm thứ D Chứng minh c, Gọi F trung điểm AD Đường thẳng qua D song song với EC cắt BC G Chứng minh GF // AC AH = AC d, Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho Chứng minh A thay đổi cung lớn BC H di động đường trịn cố định 58 Bài 34: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn ( O; R ) ( O) tiếp điểm cát tuyến AMN với đường tròn a, Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b, Chứng minh AM AN = AB Từ điểm A vẽ tiếp tuyến AB, AC với B, C ( MN không qua tâm O AM < AN ) c, Tiếp tuyến N đường tròn ( O; R ) thẳng FM tiếp tuyến ( O; R ) cắt đường thẳng BC điểm F Chứng minh đường d, Gọi P giao điểm dây BC dây MN, E giao điểm đường tròn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC ( E khác O) Chứng minh P, E, O thẳng hàng Bài 35: Cho đường tròn ( O) AB = R CA2 = CD.CE Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với ( O) ( A tiếp điểm) ( O) AC = R Trên tia Ax lấy điểm C cho Qua C vẽ đường thẳng cắt đường tròn hai điểm D E ( D nằm C E) cắt đoạn OB Gọi H trung điểm đoạn DE a, Chứng minh AOHC tứ giác nội tiếp b, Chứng minh đường kính ∆MON c, Đoạn thẳng CB cắt đường trịn ( O) K Tính số đo gióc ·AOK diện tích hình quạt AOK theo R d, Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE M N Chứng minh O trung điểm MN 59 ∆ABC ( O) ) ) AD < CD Bài 36: Cho nội tiếp D điểm thuộc cung nhỏ AC cho Tiếp tuyến ( O) B cắt đường thẳng DA M Đường thẳng BA cắt đường thẳng CD N ·ADN = ABC · ·ADN a, Chứng minh suy số đo ·ABM = 600 b, Chứng minh tứ giác BMND nội tiếp 1 = + DA + DC = DB DE DA DC c, Gọi E giao điểm BD AC, Cho Chứng minh Bài 37: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O) ( O) Vẽ đường kính AD đường trịn Gọi E K ( O) giao điểm hai đường thẳng AC BO, AC BD Tiếp tuyến B cắt đường thẳng CD F a, Chứng minh điểm B, E, C, F thuộc đường tròn DE ⊥ FK b, Chứng minh EF // AB 60 BÀI GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG, BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN 1, GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN ( O) – Cho đường tròn , hai dây AB CD cắt I ·AIC · BID Góc hay góc gọi góc có đỉnh bên đường trịn Góc · BID ) chắn hai cung cung BmD ) cung AnC – Sơ đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn ) ) sd BmD + sd AnC · BID = 2, GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN – Cho đường trịn hình bên: Góc Aˆ ( O) , góc đỉnh A nằm bên ngồi đường trịn hai cạnh góc cắt gọi góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 61 ( O) – Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn ) ) sd EmC − sd DnB Aˆ = ) ) sd EmB − sd DnB Aˆ = 62 3, BÀI TẬP VẬN DỤNG ( O) AC > AB với dây BC cố định điểm A thay đổi cung lớn BC cho ( O) AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến D C cắt E Gọi P Q giao điểm AB với CD AD với CE a, Chứng minh DE // BC b, Chứng minh PACQ nội tiếp 1 = + CE CQ CF c, Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh Bài 1: Cho ∆ABC ∆ABC Bài 2: Cho có đường cao BD CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp hai điểm M, N a, Chứng minh BEDC nội tiếp · DEA = ·ACB b, Chứng minh ∆ABC c, Chứng minh DE song song với tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp · ∆ABC MAN d, Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh AO phân giác e, Chứng minh AM = AE AB 63 ( O; R ) CD ⊥ AB Bài 3: Cho đường kính AB, điểm H nằm hai điểm A O Kẻ dây H Lấy F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD E, AF cắt DC I a, Chứng minh AHEF nội tiếp · · BE.BF = BH BA BFH = EAB b, Chứng minh từ suy c, Đường trịn ngoại tiếp ∆IEF cắt AE M Chứng minh ∆OHD d, Tìm vị trí H AO để có chu vi lớn Bài 4: Cho ( O; R ) ∆HBE ∆ΗΙΑ điểm M ∈( O) , Dây MN không qua tâm C, D hai điểm thuộc dây MN ( C, D khơng trùng với M, N) A điểm cung nhỏ MN Các đường thẳng AC AD cắt điểm thứ hai E, F ·ACD = AFE · a, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp b, Chứng minh AM = AC AE ( O) c, Kẻ đường kính AB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp hàng 64 ∆MCE Chứng minh M, I, B thẳng Bài 5: Cho đường tròn ( O; R ) , Dây MN cố định ( MN < 2R ) Kẻ đường kính AB vng góc với dây ( O) MN E Lấy điểm C thuộc dây MN ( C khác M, N, E) BC cắt đường tròn điểm K ( K khác B) a, Chứng minh AKCE tứ giác nội tiếp BM = BK BC b, Chứng minh c, Gọi I giao điểm AK MN, D giao điểm AC BI 1, Chứng minh D thuộc ∆MCK ( O; R ) ∆DEK 2, Chứng minh điểm C cách ba cạnh d, Xác định vị trí điểm C dây MN để khoảng cách từ E đến tâm đường tròn ngoại tiếp nhỏ Bài 6: Cho ( O) ∆ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường trịn M N điểm cung O ( ) nhỏ AB, BC Đường thẳng MN cắt cạnh AB, BC D E Hai đường thẳng CM AN cắt I, OM cắt AB H, ON cắt BC K a, Chứng minh tứ giác BHOK nội tiếp NB = NC = NI b, Chứng minh c, Chứng minh tứ giác MAID nội tiếp đường thẳng DI // BC d, Gọi P tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MBE 65 , BP cắt NO Q Chứng minh Q thuộc ( O) ( O) Bài 7: Cho đường trịn với đáy AB cố định khơng phải đường kính Gọi C điểm thuộc cung lớn ∆ABC AB cho nhọn M, N điểm cung nhỏ AB AC Gọi I giao điểm BN CM Dây MN cắt AB AC H K a, Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp MK MN = MI MC b, Chứng minh ∆AKI c, Chứng minh cân K ( O) MA < MB , Kẻ đường kính AB Điểm M cho , M khác ( I) MH ⊥ AB A B Kẻ H Vẽ đường trịn đường kính MH cắt MA, MB E F Bài 8: Cho đường tròn a, Chứng minh ( O; R ) MH = MF MB ba điểm E, I, F thẳng hàng b, Kẻ đường kính MD đường trịn minh BONF nội tiếp c, MD cắt EF K Chứng minh d, Đường tròn FE BA đồng quy ( I) ( O) , MD cắt đường tròn MK ⊥ EF cắt đường tròn ( O) · · MHK = MDH điểm thứ 66 ( P) ( I) điểm thứ hai N Chứng Chứng minh ba đường thẳng MP, ( O) ( O) Bài 9: Cho nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung CB cung CA, D điểm tùy ý cung CB ( D khác C B) Các tia AC, AD cắt Bx E F ∆ABE a, Chứng minh vuông cân FB = FD.FA b, Chứng minh c, Chứng minh CDFE nội tiếp ∆ABC Bài 10: Cho vuông A Đường trịn đường kính AB cắt cạnh BC M Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ( E khác A M) Kéo dài BE cắt AC F · BEM = ·ACB a, Chứng minh , từ suy tứ giác MEFC tứ giác nội tiếp b, Gọi K giao điểm ME AC Chứng minh 67 AK = KE.KM ... 38 39 3, BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho đường tròn ( O; R ) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường ( O) ( D ≠ B) tròn ( B C tiếp điểm) Từ B kẻ đường thẳng song song với. .. biểu thức theo R 13 ( O) ( AB > AC ) Bài 19: Cho nửa đường trịn đường kính BC điểm A nửa đường tròn với Gọi D điểm nằm O B, Qua D kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB E, cắt đường thẳng AC F...2 3, GĨC NỘI TIẾP – Góc nội tiếp góc có đỉnh nẳm đường trịn hai cạnh hai dây cung đường trịn – Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn VD: Ở Hình 3: ·ABC Góc góc nội tiếp Góc ·ABC ) chắn